Wykład 16 - Urząd Miasta Łodzicmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_16/wyklad_w...Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku punktowego q w punkcie P odległym

Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 1

Wykład 16

16.1 Zasada zachowania ładunku

Istnieją dwa rodzaje ładunków – dodatnie i ujemne; ładunki jednoimienne odpychają się,

a różnoimienne przyciągają się. Podczas elektryzowania za pomocą tarcia, zawsze

elektryzują się oba ciała, jedno z nich ładuje się ładunkiem dodatnim, a drugie takim samym

co do wartości, ale przeciwnym ładunkiem.

Doświadczalnie zostało udowodnione, iż ładunek elektryczny jest dyskretny, tzn. ładunek

dowolnego ciała składa się z całkowitej wielokrotności elektrycznego ładunku

elementarnego e:

𝐞 = 𝟏, 𝟔𝟎𝟐 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝐂

Elektron (𝑚𝑒 = 9,11 ∙ 10−31𝑘𝑔) i proton (𝑚𝑝 = 1,67 ∙ 10−27𝑘𝑔) są nośnikami

odpowiednio ujemnego i dodatniego ładunku elementarnego.

Faraday uogólniając dane doświadczalne sformułował jedno z podstawowych praw

przyrody – prawo zachowania ładunku:

Suma algebraiczna ładunków elektrycznych dowolnego układu zamkniętego (układu

niewymieniającego się ładunkami z otoczeniem) pozostaje stała bez względu na zjawiska

zachodzące wewnątrz tego układu.

W zależności od tego czy ciało posiada nośniki ładunków (elektrony, jony), czy nie,

przewodzi lub nie przewodzi prądu elektrycznego. Ciała dzielą się w związku z tym na

przewodniki, dielektryki i półprzewodniki. W przewodnikach ładunek elektryczny może

poruszad się po całej jego objętości. Przewodniki dzielą się na dwie grupy: 1) przewodniki

pierwszego rodzaju (np. metale) – przenoszone w nich ładunki nie powodują reakcji

chemicznych; 2) przewodniki drugiego rodzaju (np. stopione sole, roztwory kwasów) –

przewodzenie w nich ładunków (dodatnich i ujemnych jonów) prowadzi do zmian

chemicznych substancji przewodzącej. Dielektryki (np. szkło, plastik) nie przewodzą prądu

elektrycznego; jeżeli nie jest do nich przyłożone zewnętrzne pole elektryczne, to praktycznie

nie zawierają one swobodnych ładunków. Półprzewodniki (np. german, krzem) zajmują


pośrednie położenie między przewodnikami i dielektrykami, przy czym ich przewodzenie

silnie zależy od warunków zewnętrznych np. temperatury.

Jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb (C) – jest to taki ładunek, który przepływa

przez poprzeczny przekrój przewodnika w ciągu 1s, gdy w przewodniku płynie prąd 1A ( jest

to jednostka pochodna, ponieważ jest określana przez jednostki podstawowe).

16.2 Prawo Coulomba.

Prawo oddziaływania nieruchomych ładunków punktowych zostało podane w 1785 roku

przez Coulomba (wcześniej prawo to odkrył Cavendish, jednak jego praca pozostawała

nieznana przez przeszło sto lat). Ładunkiem punktowym nazywamy ładunek skupiony w

ciele, którego rozmiary są zaniedbywalnie małe w porównaniu z odległościami do innych

naładowanych ciał, z którymi on oddziaływa. (patrz: punkt materialny)

Prawo Coulomba:

Siła oddziaływania F dwóch ładunków punktowych, znajdujących się w próżni jest wprost

proporcjonalna do ładunków Q1 i Q2 i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości

między nimi:

𝐅 = 𝐤𝐐𝟏𝐐𝟐

𝐫𝟐 16.1

gdzie k – współczynnik proporcjonalności zależny od wyboru układu jednostek.

Siła F jest skierowana wzdłuż prostej łączącej oddziaływujące ładunki (siła centralna) i

odpowiada przyciąganiu (F<0) w przypadku różnoimiennych ładunków i odpychaniu (F>0) w

przypadku jednoimiennych ładunków.

Prawo Coulomba zapisane w formie wektorowej przybierze postad:

𝑭 𝟏𝟐 = 𝒌𝑸𝟏𝑸𝟐

𝒓𝟐

𝒓 𝟏𝟐

𝒓 16.2

gdzie 12F

- siła działająca na ładunek Q1 pochodząca od ładunku Q2, 12r

- promieo wodzący ,

łączący ładunek Q1 z ładunkiem Q2, 12rr

(Rysunek 16.1 – Q1 > 0 i Q2 > 0).

Rysunek 16.1

𝑭 𝟏𝟐

Q1

>

Q2

𝑭 𝟐𝟏 𝒓 𝟏𝟐


Jeżeli oddziaływujące ładunki znajdują się w jednorodnym i izotropowym ośrodku to siła

wzajemnego oddziaływania ładunków dana jest wzorem:

𝐅 = 𝐤𝐐𝟏𝐐𝟐

𝛆𝐫𝟐

gdzie ε jest wielkością bezwymiarową zwaną względną przenikalnością elektryczną

ośrodka, wskazującą ile razy siła F wzajemnego oddziaływania ładunków w danym ośrodku

jest mniejsza od siły oddziaływania tych ładunków w próżni:

𝛆 =𝐅 𝟎

𝐅 16.3

W układzie SI współczynnik proporcjonalności jest równy:

𝒌 =𝟏

𝟒𝝅𝛆𝟎

Wtedy prawo Coulomba przyjmuje postad:

𝐅 =𝟏

𝟒𝝅𝛆𝟎

𝐐𝟏𝐐𝟐

𝐫𝟐 16.4

Wielkośd ε0 jest fundamentalną stałą fizyczną zwaną stałą elektryczną (przenikalnością

elektryczną próżni). Można ją obliczyd z łatwej do zapamiętania wartości k:

𝟏

𝟒𝝅𝛆𝟎= 𝟗. 𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟗𝑵 ∙ 𝒎𝟐/𝑪𝟐

16.3 Pole elektryczne i natężenie pola elektrycznego.

Jeżeli w przestrzeo otaczającą ładunek elektryczny wprowadzid inny ładunek, to podziała

na niego siła kulombowska; oznacza to, że w przestrzeni

otaczającej ładunki istnieje pole sił. Zgodnie ze współczesnymi

poglądami w fizyce, takie pole istnieje realnie i jest jednym z

przejawów materii. Pole to jest odpowiedzialne za oddziaływanie

między cząstkami. W danym przypadku, pole elektryczne jest

pośrednikiem oddziaływania ładunków elektrycznych.

W celu znalezienia i zbadania doświadczalnie pola elektrycznego

wykorzystuje się tzw. ładunek próbny q0. Jest to ładunek

punktowy, na tyle mały, że nie zakłóca swoim działaniem

badanego pola. Jeżeli do badanego pola wprowadzid ładunek Rysunek 16.2

b) ładunek q jest ujemny

a) ładunek q jest dodatni


próbny, to podziała na niego siła kulombowska 𝑭 różna w różnych punktach pola, która

zgodnie z prawem Coulomba będzie proporcjonalna do ładunku q0. Dlatego wielkośd F/q0

nie będzie zależała od ładunku próbnego i będzie charakteryzowad pole w punkcie, w którym

znajduje się ładunek próbny. Wielkośd ta nazywa się natężeniem pola elektrycznego.

Natężeniem 𝐄 pola elektrycznego w danym punkcie nazywamy wielkośd fizyczną,

określoną siłą jaka, działa na jednostkowy ładunek dodatni umieszczony w tym punkcie pola:

𝐄 =𝐅

𝐪𝟎 16.5

Natężenie pola elektrycznego.

Kierunek natężenia pola elektrycznego pokrywa się z kierunkiem siły działającej na dodatni

ładunek. Widad, że jednostką natężenia pola elektrycznego jest 1N/C = 1V/m.

Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku punktowego q w punkcie P odległym o r jest równe

𝐄 =𝟏

𝟒𝝅𝛆𝟎

𝑸

𝒓𝟐

𝒓

𝒓, 16.6

co wynika ze wzoru 16.1 (Rysunek 16.2).

Pole elektryczne można przedstawid graficznie za pomocą

linii sił pola. Linie sił pola prowadzi się w taki sposób, że w

każdym punkcie są one styczne do wektora natężenia pola

elektrycznego (Rysunek 16.3). Aby scharakteryzowad wartośd

natężenia pola, linie prowadzi się tak, aby gęstośd linii była

proporcjonalna do wartości pola; innymi słowy, im większa

wartośd pola elektrycznego w danym obszarze tym więcej linii przechodzi przez jednostkową

powierzchnię. Rysunek 16.4 przedstawia układ linii dla kilku najprostszych konfiguracji.

Rysunek 16.3 𝑬 𝟏

𝑬 𝟐

Rysunek 16.3

Rysunek 16.4

a) Linie pola elektrostatycznego

- ładunek punktowy. b) Linie pola elektrostatycznego

- dwa ładunki różnoimienne.

c) Linie pola elektrostatycznego

- dwa ładunki jednoimienne.


Z liniami sił pola elektrycznego związane jest ściśle pojęcie

strumienia pola elektrycznego. Strumieniem pola elektrycznego

nazywamy wyrażenie określone wzorem:

𝒅𝚽𝐄 = 𝐄⊥𝐝𝐀 = 𝐄𝐝𝐀⊥ = 𝑬 ∙ 𝒅𝑨 = 𝑬 ∙ 𝒅𝑨 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝝓 16.7

gdzie dA jest nieskooczenie małym polem powierzchni, 𝐄⊥ jest

składową natężenia pola elektrycznego prostopadłą do tej

powierzchni, a 𝐝𝐀 = 𝐝𝐀𝐧 określa wektor prostopadły do tej

powierzchni i równy wartości jej pola powierzchni (𝐧 - wersor

prostopadły do powierzchni dA) (Rysunek 16.5). Tak więc, aby

obliczyd wartośd strumienia pola elektrycznego należy na przykład

pomnożyd pole powierzchni przez wartośd składowej natężenia pola

elektrycznego prostopadłej do pla powierzchni.

Dla dowolnej powierzchni A, strumieo natężenia pola

elektrycznego przez tę powierzchnię dany jest wyrażeniem:

𝚽𝐄 = 𝐄⊥𝐝𝐀 = 𝐄𝐝𝐀⊥ = 𝐄 ∙ 𝐝𝐀 = 𝐄 ∙ 𝐝𝐀 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛟 16.8 16.8

gdzie całkę liczymy po dowolnej powierzchni A. Dla zamkniętych

powierzchni zwrot wersora n wybiera się na zewnątrz tej

powierzchni.

16.4 Zasada superpozycji pól. Pole dipola.

Niech będzie dany układ nieruchomych ładunków punktowych Q1, Q2,...,Qn. Obliczmy

natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni. Doświadczenie pokazuje, że

do sił kulombowskich stosuje się zasada niezależności działania sił, tzn. wypadkowa siła 𝐹

działająca na ładunek próbny q0 jest równa sumie Fi sił pochodzących od każdego ładunku z

osobna:

𝐹 = F ini=1 16.9

Zgodnie z 16.5 F = q0E i F i = q0E i, gdzie E – natężenie pola wypadkowego, a E i –

natężenie pola wytwarzanego przez ładunek qi. Podstawiając powyższe do 1.7 otrzymujemy:

a. 𝑬 i 𝑨 są równoległe ϕ = 0,

strumień Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝐴 = 𝐸𝐴

𝜱𝑬 = 𝑬 ∙ 𝑨 = 𝑬𝑨𝒄𝒐𝒔𝝓

b. 𝑬 i 𝑨 tworzą kąt ϕ,

𝜱𝑬 = 𝑬 ∙ 𝑨 = 𝑬𝑨𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎𝟎

= 𝟎

c. 𝑬 i 𝑨 tworzą kąt ϕ = 900,

Rysunek 16.5

𝒏


n

1i

iEE

16.10

Równanie 16.10 przedstawia zasadę superpozycji (nakładania) pól elektrycznych:

Natężenie wypadkowego pola elektrycznego E wytworzonego przez układ ładunków jest

równe sumie wektorowej natężeń pól wytwarzanych przez poszczególne ładunki z

osobna.

Zasada superpozycji pozwala obliczyd natężenia pól pochodzące od dowolnego układu

ładunków.

Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwu jednakowych co do

wartości, ale różnoimiennych ładunków oddalonych od siebie na

odległośd l. Elektrycznym momentem dipolowym nazywamy

wyrażenie:

lQp

16.11

gdzie l jest wektorem, którego długośd jest równa odległości między

ładunkami, a zwrot wektora jest od ładunku ujemnego do

dodatniego (Rysunek 16.6).

Korzystając z zasady superpozycji wykaż, że jeżeli odległości r i r’

są dużo większe od l to natężenia pola elektrycznego w punktach A i

B wynoszą odpowiednio:

3

0

2

4

1

r

pEA

16.12

i

30 '4

1

r

pEB

16.13

16.5 Twierdzenie Gaussa.

Obliczenia natężenia pola elektrycznego układu ładunków można w znacznym stopniu

uprościd, jeżeli zastosowad twierdzenie Gaussa. Zgodnie z wyrażeniem 16.8 strumieo pola

elektrycznego przez sferyczną powierzchnię o promieniu r, której środek znajduje się w

punktowym ładunku Q dany jest wyrażeniem (Rysunek 16.7):

Rysunek 1.4

+Q

𝑬 +

𝒍

𝑬 𝑨

-Q

r

r’ l

𝑬 −

𝑬 +

𝑬 𝑩

𝑬 −

A

B

Rysunek 16.6


ΦE = E ∙ dA =𝑞

4𝜋𝜖04𝜋𝑟2 =

𝑞

𝜖0 16.14

Ten sam wynik otrzymamy oczywiście, gdy promieo czaszy będzie

wynosił nie r, a 4r. Otrzymany wynik jest również prawdziwy dla

powierzchni zamkniętej o dowolnym kształcie. Rzeczywiście, jeżeli

otoczyd sferę dowolną zamkniętą powierzchnią, to strumieo

przechodzący przez sferę przejdzie również przez te powierzchnię

(Rysunek 16.8) .

W przypadku ogólnym dla powierzchni zamkniętej o dowolnym

kształcie i zawierającej w sobie n ładunków, natężenie 𝐄

wytworzone przez wszystkie ładunki, zgodnie z zasadą superpozycji

16.10, jest równe sumie natężeo Ei wytwarzanych przez poszczególne

ładunki: i

iEE

. Dlatego:

AdEAdEAdEi S

i

S S i

iE

16.15

Zgodnie z 16.14 każda z całek stojąca za znakiem sumy jest

równa Qi/ε0. w rezultacie:

S S

n

i

iE QdAEAdE10

1

16.16

Wyrażenie 1.14 wyraża twierdzenie Gaussa dla pola elektrycznego w próżni:

Strumień pola elektrycznego w próżni przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy

algebraicznej sumie ładunków zawartych wewnątrz tej powierzchni podzielonej przez ε0:

𝚽𝐄 = 𝐄 ∙ 𝐝𝐀 =𝐐𝐳𝐚𝐰𝐚𝐫𝐭𝐞

𝛜𝟎

Twierdzenie Gaussa.

Korzystając z twierdzenia Gaussa pokaż, że:

Rysunek 16.8

Rysunek 16.7


1. Natężenie pola elektrycznego od nieskooczonej, równomiernie naładowanej płaszczyzny

wynosi:

02εσ/E 16.17

2. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz dwu nieskooczonych równoległych płaszczyzn

naładowanych przeciwnymi ładunkami wynosi:

0εσ/E 16.18

gdzie σ =q/A – jest gęstością powierzchniową ładunku, czyli ładunkiem przypadającym na

jednostkę powierzchni.

16.6 Cyrkulacja wektora pola elektrycznego.

Jeżeli w polu elektrycznym ładunku punktowego Q z punktu 1 do punktu 2 wzdłuż

dowolnego toru przesuwad inny ładunek q0 (Rysunek 16.9), to siła przyłożona do tego

ładunku będzie wykonywad pracę. Praca ta na nieskooczenie małym (elementarnym)

odcinku będzie równa:

cosαdl

r

Qq

4ππ

1FdlcosαdW

2

0

0

Ponieważ drdlcosα , to

drr

Qq

4ππ

1dW

2

0

0

.

Praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku q0 z położenia 1

do punktu 2 wyniesie:

2

0

1

0

0

2

0

021

4

1

4

2

1

2

1r

Qq

r

Qq

r

drQqdWW

r

r

r

r

16.19

i jak widad nie zależy od kształtu toru, po którym przemieszcza się ładunek, a jedynie od

położenia punktu początkowego i koocowego. W rezultacie pole wytworzone przez ładunek

Q nazywamy potencjalnym, a siły działające w tym polu nazywają się zachowawczymi.

Z równania 16.19 wynika, że praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku w

zewnętrznym polu po dowolnym torze zamkniętym (konturze) L będzie równa zero:

L

dW 0 16.20

1

2

𝒓 𝟏

𝒓 𝟐

𝒓

𝑭

q0

Q

dr

Rysunek 16.9


Jeżeli jako ładunek przenoszony w zewnętrznym polu wziąd dodatni ładunek jednostkowy, to

elementarna praca sił pola na drodze dl będzie równa Edl = Eldl, gdzie El = Ecosα – jest

rzutem wektora 𝐄 na kierunek elementarnego przemieszczenia. W rezultacie wzór 1.18

można przepisad w postaci

0dlEldEL L

l

16.21

Całkę we wzorze 1.19 nazywamy cyrkulacją wektora natężenia pola elektrycznego 𝐄 . Tak,

więc cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego po dowolnej drodze zamkniętej jest

zawsze równa zero; linie pola elektrycznego muszą byd zawsze zamknięte. Pomimo, iż pole

to często nazywamy krócej polem elektrycznym, musimy pamiętad, że jest ono wytworzone

przez ładunki stacjonarne (nieruchome). W przypadku pola wytworzonego przez ładunki

będące w ruchu sytuacja ulega zamianie (patrz – Wykład 19).

16.7 Potencjał pola elektrycznego.

Ciało znajdujące się w potencjalnym polu sił (pole elektrostatyczne jest polem

potencjalnym) posiada energię potencjalną. Kosztem tej energii wykonywana jest praca

przez siły pola (patrz semestr I). Lub innymi słowy; siły zachowawcze wykonując pracę

powodują zmniejszenie energii potencjalnej układu. Dlatego pracę (16.19) sił pola

elektrycznego można przedstawid w postaci różnicy energii potencjalnych jakie posiada

ładunek punktowy q0 w początkowym i koocowym punkcie pola wytworzonego przez

ładunek Q (Rysunek 16.9):

21

2

0

01

0

0

21 UUr

Qq

4π

1

r

Qq

4π

1W

16.22

Z powyższego wynika, że energia potencjalna ładunku q0 w polu ładunku Q jest równa:

Cr

Qq

4π

1U 0

0

,

która podobnie jak w mechanice nie jest określona jednoznacznie, a tylko z dokładnością do

stałej całkowania C. Jeżeli przyjąd, że po oddaleniu ładunku na nieskooczonośd ( r ) jego


energia będzie wynosiła zero, to C = 0 i energia potencjalna ładunku q0 znajdującego się w

polu ładunku Q w odległości r od niego wyniesie:

r

Qq

4π

1U 0

0 16.23

Elektrostatyczna energia potencjalna dwu ładunków punktowych.

Dla ładunków jednoimiennych Qq0 > 0 i energia potencjalna ich oddziaływania (odpychania)

jest dodatnia, dla ładunków różnoimiennych Qq0 < 0 i energia potencjalna ich oddziaływania

(odpychania) jest ujemna.

Jeżeli pole jest wytworzone przez układ n ładunków punktowych Q1, Q2, ...,Qn,

(uwzględniając zasadę superpozycji pól (16.10), to energia potencjalna U ładunku q0

znajdującego się w tym polu jest równa sumie jego energii potencjalnych Ui, wytworzonych

przez poszczególne ładunki:

n

1i 0

i0

n

1i

irε4

QqUU

16.24

Ze wzorów 16.23 i 16.24 wynika, że stosunek U/q0 nie zależy od ładunku q0 i przez to jest

cechą charakterystyczną samego pola elektrycznego, którą nazywamy potencjałem:::

𝐕 =𝐔

𝐪𝟎 16.25

Potencjał elektryczny.

Potencjał φ w dowolnym punkcie pola elektrycznego jest to taka wielkośd fizyczna, której

wartośd jest równa energii potencjalnej jednostkowego, dodatniego ładunku umieszczonego

w tym punkcie.

Z równania 16.23 i 16.25 wynika, że potencjał pola wytworzonego przez ładunek

punktowy Q jest równy:

r

Q

4π

1

0V 16.26

Praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku q0 z punktu 1 do punktu 2 (równania

16.22, 16.24) może byd przedstawiona w postaci:


)(qUUW 2102121 VV 16.27

i jak widad, jest równa iloczynowi przenoszonego ładunku i różnicy potencjałów w

punkcie początkowym i koocowym.

Praca sił pola przy przemieszczeniu ładunku q0 może byd również zapisana w postaci

2

1

012 ldEqW

16.28

Porównując wzory 16.27 i 16.28 otrzymujemy wyrażenie:

𝐕𝟏 − 𝐕𝟐 = 𝐄 ∙ 𝐝𝐥 𝟐

𝟏 16.29

Związek między różnicą potencjałów a natężeniem pole elektrycznego.

gdzie całkowanie można prowadzid po dowolnej krzywej łączącej punkty 1 i 2.

Jeżeli przemieszczad ładunek q0 z dowolnego punktu pola poza granice pola, tzn. w

nieskooczonośd, gdzie z założenia potencjał jest równy zero, to praca sił pola, zgodnie z

16.27 będzie równa:

VqW 01

lub

𝐕 =𝐖𝟏→∞

𝐪𝟎 16.30

Interpretacja potencjału w danym punkcie.

W rezultacie widad, że potencjał w danym punkcie jest równy pracy jaką wykonują siły pola

przy przemieszczeniu jednostkowego, dodatniego ładunku z tego punktu do

nieskooczoności. Praca ta jest równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne (równoważące

siły pola) przy przemieszczeniu jednostkowego, dodatniego ładunku z nieskooczoności do

danego miejsca pola.

Jednostką potencjału jest 1 volt (V). Z 16.30 widad, że 1V = 1J/1C.

16.8 Natężenie jako gradient potencjału.


Znajdźmy zależnośd między natężeniem pola elektrycznego, a potencjałem pola. Praca

wykonana podczas przemieszczenia jednostkowego, punktowego ładunku z jednego punktu

pola do drugiego wzdłuż osi x, przy założeniu, że punkty położone są nieskooczenie blisko

siebie x2 – x1 = dx, jest równa: Exdx. Jednocześnie ta praca jest równa: V1 – V2 = - dV.

Porównując oba wyrażenia otrzymujemy:

x

Ex

V 16.31

gdzie symbol pochodnej cząstkowej podkreśla, że liczymy pochodną tylko po x. Powtarzając

analogiczne rozważania dla osi y i z można znaleźd wektor E:

k

z

Vj

y

Vi

x

VE

16.32

gdzie i, j, k – wersory osi x,y,z.

Z wyrażenia 1.30 wynika, że natężenie pola jest gradientem potencjału wziętym ze

znakiem minus:

gradVE

lub VE

16.33

Znak minus wskazuje, że natężenie pola jest skierowane w kierunku malejącego

potencjału.

Dla zobrazowania potencjału pola elektrycznego wprowadza się pojęcie powierzchni

ekwipotencjalnych. Są to powierzchnie posiadające we wszystkich miejscach tę samą

wartośd potencjału V.

Jeżeli pole jest wytworzone przez ładunek punktowy, to potencjał dany jest wyrażeniem

16.26. Tak więc, powierzchniami ekwipotencjalnymi, w tym wypadku, są koncentryczne

sfery . Z drugiej strony, linie sił natężenia pola są promieniami. W rezultacie linie sił w tym

wypadku są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych.

Dalsza analiza prowadzi do wniosku, że linie natężenia pola są zawsze prostopadłe do

powierzchni ekwipotencjalnych. Rzeczywiście wszystkie punkty powierzchni

ekwipotencjalnej mają jednakowy potencjał, dlatego praca przy przemieszczeniu ładunku


wzdłuż dowolnej drogi po powierzchni

ekwipotencjalnej jest równa zero; a to oznacza, że

siły elektrostatyczne są skierowane zawsze

prostopadle do powierzchni ekwipotencjalnej. W

rezultacie wektor E jest zawsze normalny

(prostopadły) do powierzchni ekwipotencjalnej.

Znając położenie linii sił natężenia pola

elektrycznego można narysowad powierzchnie

ekwipotencjalne, i na odwrót znając kształt

powierzchni ekwipotencjalnych można poprowadzid zawsze linie sił pola, a tym samym

określid wartośd i kierunek natężenia pola. Dla przykładu na rysunku 16.10 pokazany jest

kształt linii natężenia pola elektrycznego i kształt powierzchni ekwipotencjalnych.

Pokaż: Różnica potencjałów między dwiema nieskooczonymi naładowanymi płaszczyznami

wynosi: 021 σd/εVV 16.34

16.9 Rodzaje dielektryków. Polaryzacja dielektryków.

Dielektryk, jak każda substancja, składa się z atomów i cząsteczek. Ładunek dodatni

skupiony jest w jądrach atomów, a ujemny w otoczkach elektronów wokół atomów i

cząsteczek. Ponieważ ładunek dodatni wszystkich jąder cząsteczki jest równy sumarycznemu

ładunkowi elektronów, to cząsteczka jako całośd jest obojętna. Jeżeli zamienimy dodatnie

ładunki jąder cząsteczki na sumaryczny ładunek +Q, znajdujący się w środku „ciężkości”

ładunków dodatnich, a ładunki wszystkich elektronów sumarycznym ładunkiem ujemnym,

znajdującym się w środku „ciężkości” ładunków ujemnych, to cząsteczki można rozpatrywad

jako dipole elektryczne o momencie

dipolowym danym wyrażeniem 16.11.

Pierwszą grupę dielektryków stanowią

substancje (N2, H2, O2, CO2, CH4,...), których

cząsteczki mają budowę symetryczną, tzn.

środki „ciężkości” ładunków dodatnich i

ujemnych pokrywają się pod nieobecnośd

zewnętrznego pola elektrycznego, a tym

Rysunek 16.10

a. Cząsteczki niepolarne

bez pola.

b. Cząsteczki niepolarne

w polu.

Rysunek 16.11


samym ich moment dipolowy wynosi zero. Cząsteczki takich dielektryków nazywają się

niepolarnymi (Rysunek 16.11). Pod działaniem zewnętrznego pola elektrycznego ładunki

cząsteczek niepolarnych ulegają przemieszczeniu w przeciwne strony

i cząsteczka uzyskuje moment dipolowy.

Drugą grupę dielektryków stanowią substancje ( H2O, NH3, SO2,

CO,...), których cząsteczki mają niesymetryczną budowę, tzn. środki

„ciężkości” ładunków dodatnich i ujemnych nie pokrywają się. W

rezultacie, cząsteczki te w nieobecności zewnętrznego pola

elektrycznego posiadają już niezerowy moment elektryczny.

Cząsteczki takich dielektryków nazywają się polarnymi (Rysunek

16.12) . Jeżeli jednak nie ma pola elektrycznego, to momenty

dipolowe cząsteczek polarnych, w wyniku ruchów cieplnych, są

zorientowane chaotycznie i ich wypadkowy moment jest równy zero.

Jeżeli dielektryk taki umieścid w zewnętrznym

polu, to siły tego pola będą dążyły do

ustawienia dipoli wzdłuż pola.

Trzecią grupę dielektryków stanowią

substancje (NaCl, KCl, KBr,...), których

cząsteczki posiadają budowę jonową.

Kryształy jonowe (Rysunek 16.13) są

siatkami przestrzennymi, w węzłach których

na przemian umieszczone są jony dodatnie i

ujemne. W kryształach tych nie można

wydzielid oddzielnych cząsteczek, można

jednak kryształy te traktowad jako układ dwu

podsiatek nałożonych na siebie. Po

przyłożeniu do kryształu jonowego

zewnętrznego pola 𝐄 następuje pewna deformacja siatki krystalicznej lub wzajemne

przesunięcie podsiatek i w rezultacie tworzy się niezerowy moment dipolowy.

W ten sposób, wprowadzenie tych trzech grup dielektryków w zewnętrzne pole

elektryczne prowadzi do powstania różnego od zera, wypadkowego momentu dipolowego

lub innymi słowami do polaryzacji dielektryka.

a. Cząsteczki polarne

bez pola.

b. Cząsteczki polarne

w pola.

Rysunek 16.12

Rysunek 16.13

Na+

Cl -

𝑬

-

-

-

+

+


16.10 Wektor polaryzacji. Natężenie pola elektrycznego w dielektryku.

Jeżeli umieścid dielektryk w zewnętrznym polu elektrostatycznym, to ulega on

polaryzacji, tzn. uzyskuje różny od zera moment dipolowy i

iV pp

, gdzie ip

- moment

dipolowy cząsteczki. W celu ilościowego opisania polaryzacji dielektryka wprowadza się

wielkośd zwaną wektorem polaryzacji (polaryzacją), określoną jako moment dipolowy

jednostki objętości dielektryka:

i

iV /Vp/VpP

16.35

Z doświadczenia wynika, że dla zdecydowanej większości dielektryków (oprócz

ferroelektryków) polaryzacja 𝐏 zależy liniowo od natężenia pola elektrycznego 𝐄 . Jeżeli

dielektryk jest izotropowy, to

EκεP 0

16.36

gdzie κ – podatnośd elektryczna substancji, charakteryzująca własności dielektryka. κ jest

wielkością bezwymiarową i dla większości substancji jej wartośd jest rzędu kilku jednostek,

chociaż np. dla wody wynosi 80.

W celu znalezienia ilościowych prawidłowości pola w dielektryku wprowadźmy w

jednorodne pole (wytworzone przez dwie równoległe, jednorodnie i różnoimiennie

naładowane, nieskooczone płytki) płytkę z jednorodnego dielektryka usytuowaną jak na

Rysunku 16.14. Pod wpływem pola dielektryk ulega polaryzacji, tzn. zachodzi przesunięcie

ładunków: dodatnie przesuwają się zgodnie z polem, a ujemne przeciwnie do kierunku pola.

W rezultacie na prawej ścianie dielektryka, zwróconej w kierunku ujemnej płaszczyzny,

pojawi się nadmiar ładunku dodatniego o gęstości powierzchniowej +σi, a na lewej nadmiar

ładunku ujemnego, o gęstości powierzchniowej -σi. Te nie skompensowane ładunki

nazywamy związanymi (indukowanymi). Ponieważ ich gęstośd powierzchniowa σi jest

mniejsza od gęstości powierzchniowej σ ładunków swobodnych na płytkach, to nie całe pole

elektryczne 𝐄 będzie skompensowane: częśd linii sił pola będzie przechodzid przez dielektryk.

W rezultacie polaryzacja dielektryka spowoduje zmniejszenie w nim pola elektrycznego. Na

zewnątrz dielektryka 𝐄 = 𝐄 𝟎.


W rezultacie, pojawienie się ładunków związanych prowadzi do

powstania dodatkowego pola 𝐄′ , które skierowane jest przeciwnie niż

pole zewnętrzne 𝐄 𝟎 i powoduje osłabienie tego ostatniego. Wypadkowe

pole wewnątrz dielektryka wyniesie:

'

0 EEE

Pole 0

' /εE i , dlatego

00 /εEE i 16.37

Obliczmy gęstośd powierzchniową ładunków związanych σ’. Z

równania 16.35 wynika, że całkowity moment dipolowy płytki będzie

wynosił pV = PV = PSd, gdzie S pole powierzchni ściany dielektryka, a d –

jego grubośd. Z drugiej strony całkowity moment dipolowy, zgodnie z

16.11 będzie równy iloczynowi związanego ładunku Q’ = σiS i odległości

między nimi, tzn. pV = σ’Sd. W ten sposób:

SdσPSd i

lub

Pσi 16.38 1.36

tzn. gęstośd powierzchniowa ładunków związanych σ’ równa jest

polaryzacji P.

Podstawiając do 16.37 wyrażenie 16.36 i 16.38 otrzymujemy

κEEE 0

skąd natężenie wypadkowego pola wewnątrz dielektryka

κ1/EE 0 16.39

Zgodnie z 16.3 przenikalnośd dielektryczna ośrodka ε wskazuje ile razy siła F oddziaływania

dwu ładunków w danym ośrodku jest mniejsza od siły F0 ich oddziaływania w próżni, tzn.

ε = F0/F. Wtedy

/εEE 0 16.40

Ze wzorów 16.39 i 16.40 wynika, że

b. Dielektryk między

płytami.

a. Próżnia między

płytami.

Rysunek 16.14

𝑬′

𝑬 𝟎

𝑬 𝟎

d


κ1ε 16.41

16.10 Przesunięcie elektryczne. Twierdzenie Gaussa dla pola elektrycznego

w dielektryku (Opcjonalnie).

Z powyższych rozważao wynika, że wektor natężenia pola elektrycznego na granicy dwu

dielektryków przechodzi skokową zmianę, powodując tym samym utrudnienia podczas

wyliczeo pól elektrycznych. Dlatego okazało się koniecznym wprowadzenie, oprócz wektora

natężenia pola elektrycznego, dodatkowo wektora przesunięcia elektrycznego, który w

przypadku izotropowego ośrodka jest równy

EεεD 0

16.42

Korzystając ze wzoru 16.41 i 16.36 otrzymujemy

PEεD 0

16.43

Jak stwierdziliśmy wcześniej, wektor 𝐄 zależy od własności dielektryka (inne jest ε dla

powietrza, a inne dla dielektryka na rysunku 16.14). Wektor 𝐃 nie zależy od własności

dielektryka (nie zależy od ε); w rezultacie opisuje on pole elektryczne wytworzone przez

ładunki swobodne.

Podobnie jak pole 𝐄 pole 𝐃 można przedstawid za pomocą linii przesunięcia

elektrycznego. Linie wektora𝐄 mogą zaczynad się i kooczyd na dowolnych ładunkach –

swobodnych i związanych, tymczasem linie wektora D tylko na ładunkach swobodnych.

Zgodnie z powyższym twierdzenie Gaussa dla strumienia wektora przesunięcia

elektrycznego można zapisad w postaci

S S

n

1i

iD QdSDSdDΦ

16.44

gdzie uwzględniamy tylko ładunki swobodne. Równanie 16.44 wyraża twierdzenie

Gaussa dla pola elektrycznego w dielektryku:

Strumieo wektora elektrycznego przesunięcia w dielektryku przez dowolną powierzchnię

zamkniętą jest równy sumie algebraicznej zamkniętych wewnątrz tej powierzchni

swobodnych ładunków elektrycznych.


Dla próżni Dn = ε0En (ε = 1), wtedy strumieo wektora natężenia E przez dowolną

powierzchnię zamkniętą będzie równy

S i

in0 QdSEε

Ponieważ źródłem pola E w ośrodku są zarówno ładunki swobodne jak i związane, to

twierdzenie Gaussa w najbardziej ogólnej postaci można zapisad w postaci

S S

n

i

izw

n

i

in QQdSESdE11

00

gdzie

n

i

iQ1

i

n

i

izwQ1

- odpowiednio sumy ładunków swobodnych i związanych zawartych

wewnątrz zamkniętej powierzchni S. Jednak równanie to nie może byd zastosowane do

opisania pola E w dielektryku, ponieważ wzór ten określa własności nieznanego pola E

poprzez ładunki związane, które z kolei, są określone tym polem. To jeszcze raz udowadnia

celowośd wprowadzenia wektora przesunięcia.

16.11 Przewodniki w polu elektrycznym.

Jeżeli przewodnik umieścid w zewnętrznym polu elektrycznym lub, jeżeli dostarczyd do

przewodnika pewien ładunek, to na ładunki w przewodniku będzie działad pole elektryczne

powodujące przemieszczanie się ładunków. Przemieszczanie ładunków będzie zachodzid

dopóty, dopóki nie ustali się stan równowagowego rozłożenia ładunków, dla którego pole

elektryczne wewnątrz przewodnika będzie równe zero. Zachodzi to w bardzo krótkim

czasie (ułamek sekundy). Rzeczywiście, gdyby pole nie było równe zero, to w przewodniku

powstałby uporządkowany ruch ładunków bez użycia energii z zewnętrznego źródła, co

przeczy zasadzie zachowania energii. W rezultacie natężenie pola we wszystkich punktach

wewnątrz przewodnika jest równe zero:

0E

Zerowe natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika oznacza, że potencjał we

wszystkich punktach przewodnika jest jednakowy (φ = const.), a to z kolei oznacza, że

powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną. W rezultacie natężenie pola

na zewnętrznej powierzchni przewodnika musi byd prostopadłe w każdym punkcie

przewodnika. Jeżeli by tak nie było, to pod działaniem składowej stycznej pola 𝐄 ładunki


poruszałyby się po powierzchni, co z kolei przeczyłoby równowagowemu rozłożeniu

ładunków.

Jeżeli do przewodnika dostarczyd pewien ładunek Q, to nieskompensowane ładunki

mogą znajdowad się tylko na powierzchni przewodnika. Wynika to bezpośrednio z

twierdzenia Gaussa, zgodnie z którym, ładunek Q znajdujący się wewnątrz przewodnika w

pewnej objętości ograniczonej dowolną zamkniętą

powierzchnią jest równy strumieniowi natężenia pola

elektrycznego. Ponieważ E = 0, to Φ = 0 i Q = 0 (Rysunek

16.15.

Znajdźmy zależnośd pomiędzy natężeniem pola E w

pobliżu powierzchni naładowanego przewodnika, a

gęstością powierzchniową ładunków na powierzchni. W

tym celu zastosujmy twierdzenie Gaussa do powierzchni

cylindra o podstawie ds. (jedna z nich niech znajduje się

wewnątrz, a druga na zewnątrz przewodnika) i którego oś

jest równoległa do wektora D (Rysunek 16.16). Ponieważ

pole wewnątrz przewodnika nie istnieje, to strumieo

wektora D przez zamkniętą powierzchnię cylindra będzie

równy tylko strumieniowi przez zewnętrzną podstawę

cylindra. Zgodnie z twierdzeniem Gaussa (16.16), strumieo

ten (EdS) jest równy sumie ładunków razy 1/ϵ0 (Q = σdA)

zawartych wewnątrz tej powierzchni: EdA = σdA/ϵ0 tzn.

E = σ/(ε0) 16.45

W ten sposób natężenie pola elektrycznego przy powierzchni przewodnika jest określone

przez gęstośd powierzchniową ładunków. Zależnośd 16.45 jest prawdziwa dla przewodnika o

dowolnym kształcie.

Jeżeli do zewnętrznego pola wprowadzid obojętny przewodnik, to ładunki swobodne

będą się przemieszczad tak długo aż ustali się stan równowagi. Na jednym koocu

przewodnika zgromadzą się ładunki ujemne, a na drugim ładunki dodatnie. Ładunki te, tak

jak w przypadku dielektryków, nazywamy indukowanymi. W sranie równowagi natężenie

wewnątrz przewodnika osiągnie wartośd równą zeru, a linie na zewnątrz przewodnika będą

prostopadłe do niego.

b)

Powierzchnia Gaussa

wewnątrz przewodnika

(przekrój)

Przewodnik

(przekrój)

Ładunek na

powierzchni.

Rysunek 16.15

Powierzchnia

przewodnika

dA

dA

σ

𝐄

Rysunek 16.16


Ponieważ w warunkach równowagi wewnątrz

przewodnika nie ma ładunków to, jeżeli usunąd częśd

wnętrza przewodnika – wytworzyd w nim wnękę, to

nie spowoduje to zmiany konfiguracji ładunków, a

tym samym nie wpłynie to na pole elektryczne. W

rezultacie wewnątrz wnęki nie będzie pola

(Rysunek 16.17). Jeżeli następnie taki przewodnik z

wnęką uziemid, to potencjał we wszystkich punktach

wnęki będzie równy zero, a to oznacza, że wnęka

będzie całkowicie izolowana od wpływu zewnętrznych pól elektrostatycznych. Na tym

polega elektrostatyczne ekranowanie ciał, np. osłona czułych przyrządów pomiarowych od

wpływu zewnętrznych pól elektrostatycznych. Zamiast jednorodnego przewodnika, w

charakterze ekranu, może byd użyta gęsta metalowa siatka, która mówiąc nawiasem jest

dobrym ekranem również dla zmiennych pól elektrycznych.

Ta własnośd ładunków sytuowania się na zewnętrznej

powierzchni przewodnika jest wykorzystywana do budowy

generatorów elektrostatycznych, przeznaczonych do zbierania

dużych ładunków, i wytwarzania tym samym dużych różnic

potencjałów (rzędu milionów woltów). Generator

elektrostatyczny, po raz pierwszy zbudowany przez

amerykaoskiego fizyka van de Graaff’a, składa się z przewodnika

w kształcie sfery (Rysunek 16.18), zamocowanego na izolatorach.

Ruchoma, wykonana z materiału izolacyjnego taśma jest

ładowana przez źródło ładunków za pomocą układu ostrzy.

Uziemiona płyta wzmacnia proces spływania ładunków z ostrzy

na taśmę. Inny układ ostrzy zdejmuje ładunki z taśmy i

przekazuje je do powierzchnię czaszy metalowej.

16.12 Pojemnośd odosobnionego przewodnika.

Rozważmy odosobniony przewodnik, tzn. taki, który znajduje się daleko od innych

przewodników, ciał i ładunków. Jego potencjał, zgodnie z równaniem 16.26, jest wprost

proporcjonalny do ładunku przewodnika. Z doświadczenia wiadomo, że różne przewodniki,

Rysunek 16.17

Pole jest prostopadłe do powierzchni przewodnika

Pole przesuwa elektrony

na lewą stronę

Po prawej stronie zostaje

wypadkowy ładunek dodatni

Taśma

Izolowana

podpora

Przewodząca

czasza

Rysunek 16.18

Silnik napędzający

taśmę


które są jednakowo naładowane przyjmują różne potencjały. Dlatego dla odosobnionego

przewodnika można zapisad:

𝑄 = 𝐶 ∙ 𝑉

Wielkośd

𝐂 =𝐐

𝐕 16.46

nazywana jest pojemnością odosobnionego przewodnika. Pojemnośd odosobnionego

przewodnika równa jest takiemu ładunkowi, który przekazany na ten przewodnik powoduje

zwiększenie jego potencjału o jednostkę (1V).

Pojemnośd przewodnika zależy od jego rozmiarów i kształtu, nie zależy od kształtu i

rozmiarów wnęki wewnątrz przewodnika. Jest to związane z tym, że ładunek nadmiarowy

lokalizuje się na zewnętrznej powierzchni przewodnika.

Jednostką pojemności jest farad (F): 1F jest to pojemnośd takiego odosobnionego

przewodnika, którego potencjał zmienia się o 1V, jeżeli wprowadzid na niego ładunek 1C.

Zgodnie z 16.26, potencjał odosobnionej kuli o promieniu R znajdującej się w ośrodku

jednorodnym o przenikalności dielektrycznej ε jest równy:

εR

Q

4π

1V

0

Korzystając z 16.46 otrzymujemy wzór na pojemnośd kuli

εR4πC 0 16.47

Wynika stąd, że pojemnośd 1F posiada kula znajdująca się w próżni i mająca promieo

km1094πC/R 9

0 tzn. 1400 razy większy niż promieo Ziemi (pojemnośd Ziemi

0,7mFC ). Oznacza to oczywiście, że farad jest jednostką bardzo dużą i w związku z tym

praktycznie używa się – milifarad – 10-3F (mF), mikrofarad – 10-6F (μF), nanofarad (nF) – 10-

9F, pikofarad – 10-12F (pF).

16.13 Kondensatory.

Jak wynika z powyższego paragrafu, aby przewodnik posiadał dużą pojemnośd musi

posiadad bardzo duże rozmiary. W praktyce jednak potrzebne są urządzenia, które przy

niewielkich rozmiarach i niewielkich potencjałach względem otaczających ciał, byłyby w


Okładka a

o powierzchni A

Rysunek 16.19

Okładka b o

powierzchni A

Różnica

potencjałów = Vab

stanie gromadzid duże wartości ładunków, innymi słowy posiadałyby dużą pojemnośd.

Urządzenia te noszą nazwę kondensatorów.

Jeżeli do naładowanego przewodnika zbliżyd inne ciała, to na ich powierzchni powstaną

ładunki indukowane (na przewodniku), lub indukowane (w dielektryku), przy czym najbliżej

usytuują się ładunki mające znak przeciwny niż ładunek Q na przewodniku. Ładunki te,

oczywiście, osłabią pole wytworzone przez ładunek Q, tzn. obniżą jego potencjał, a tym

samym zwiększą jego pojemnośd (patrz 16.46).

Kondensator składa się z dwu przewodników (okładek), które są rozdzielone

dielektrykiem. Aby na pojemnośd kondensatora nie wpływały otaczające ciała,

kondensatorom nadaje się taki kształt, aby pole wytworzone przez zgromadzony ładunek

było zawarte w wąskim obszarze między okładkami

kondensatora. Takiemu warunkowi odpowiadają np. dwie

płaskie płytki i taki kondensator nazywamy płaskim

(Rysunek 16.19a).

Ponieważ pole zawarte jest wewnątrz kondensatora, to

linie sił pola zaczynają się na jednej okładce, a kooczą na

drugiej, dlatego ładunki swobodne powstające na

okładkach są równe co do modułu i mają przeciwne znaki.

Pojemnością kondensatora nazywamy taką wielkośd

fizyczną, która jest równa stosunkowi ładunku Q

zgromadzonego na jednej z okładek do różnicy

potencjałów między jego okładkami:

𝐂 =𝐐

𝐕𝟏−𝐕𝟐 16.47

Pojemnośd kondensatora.

Rozważmy pojemnośd kondensatora płaskiego składającego się z dwóch równoległych

metalowych płytek a i bo powierzchni A, oddalonych od siebie na odległośd d i posiadających

ładunki +Q i –Q (Rysunek 16.19b). Jeżeli odległośd między płytkami jest mała w porównaniu

z ich rozmiarami liniowymi, to efekty brzegowe można zaniedbad i pole wewnątrz

kondensatora można uważad za jednorodne. Zgodnie ze wzorem 16.34, zakładając, że

między okładkami znajduje się dielektryk o ε otrzymujemy:

a.

b.


021 εεσd/VV 16.48

Wtedy z równania 16.47 otrzymujemy, że pojemnośd kondensatora płaskiego wynosi (Q =

σA)

d

AεεC 0

16.49

Widad, że pojemnośd kondensatora płaskiego jest wprost proporcjonalna do ε. Tak jest

również dla kondensatorów o innych kształtach. Dlatego też wypełnienie kondensatora

ferroelektrykiem (dielektrykiem o dużym ε), znacznie

zwiększa jego pojemnośd. Aby zwiększyd powierzchnię

okładek, a tym samym zwiększyd pojemnośd

kondensatorów wykonuje się je w ten sposób, że

między dwie długie wstęgi przewodzącej foli umieszcza

się cienką folię plastikową (dielektryk) i następnie zwija

się je razem (Rysunek 16.20).

16.13.1 Równoległe łączenie kondensatorów. (Rysunek 16.21)

Dla równoległego połączenia kondensatorów różnica potencjałów na okładkach

kondensatorów jest jednakowa i równa BA .

Jeżeli pojemności poszczególnych kondensatorów

wynoszą C1, C2, ...,Cn, to zgodnie z 1.47

BA11 VVCQ

BA22 VVCQ

. . . . . . . . . . .

BAn VVCQn ,

i całkowity ładunek baterii kondensatorów

wyniesie:

n

1i

BAn21i VVC...CCQQ

Całkowita pojemnośd takiego układu kondensatorów – pojemnośd ekwiwalentna:

n

1i

in21BA CC...CCVVQ/C

Rysunek 16.20

Przewodnik

(folia metalowa)

Przewodnik

(folia metalowa) Dielektryk

(warstwa plastiku)

Rysunek 16.20

C1

C2

Cn

+Q1

+Qn

-Q1

-Q2

-Qn

VB VA

+Q2


tzn. jest równa sumie pojemności poszczególnych kondensatorów.

1.13.2 Szeregowe łączenie kondensatorów. (Rysunek 16.22)

Przy szeregowym połączeniu kondensatorów ładunki na wszystkich okładkach są równe

co do wartości bezwzględnej, a różnica potencjałów na zaciskach takiej baterii

n

1i

iΔVΔV

gdzie dla dowolnego z kondensatorów

ii Q/CΔV

Z drugiej strony,

n

1i

i1/CQQ/CΔV

i w rezultacie pojemnośd

całkowita:

n

1i i21 C

1...

C

1

C

1

C

1

tzn. przy szeregowym łączeniu kondensatorów sumują się odwrotności pojemności. Wynika

stąd, że przy szeregowym łączeniu kondensatorów sumaryczna pojemnośd C jest zawsze

mniejsza od najmniejszej pojemności występującej w baterii.

16.14 Energia układu ładunków, naładowanego odosobnionego

przewodnika i naładowanego kondensatora. Energia pola elektrostatycznego.

1. Energia układu nieruchomych ładunków. Siły elektrostatyczne są siłami zachowawczymi,

a w związku z tym układ ładunków posiada energię potencjalną. Znajdźmy energię

potencjalną układu dwu nieruchomych ładunków punktowychQ1 i Q2 znajdujących się w

odległości r od siebie. Każdy z tych ładunków znajdując się w polu drugiego posiada energię

potencjalną:

1211 VQU ,

C1 C2 C3 Cn

+Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q

VA VB

ΔV1 ΔV2 ΔV3 ΔVn

Rysunek 16.22


2122 VQU

gdzie V12 i V21 - odpowiednio potencjały wytworzone przez ładunek Q2 w punkcie położenia

ładunku Q1 i przez ładunek Q1 w punkcie położenia ładunku Q2. Zgodnie z 1.24

r

Q

4ππ

1V 2

0

12 i r

Q

4ππ

1V 1

0

21

Dlatego

UUU 21

i

212121212121 VQVQ2

1QVQU

Dodając do układu dwu ładunków następne Q3, Q4, ... można zauważyd, że dla n

nieruchomych ładunków ich całkowita potencjalna energia oddziaływania wyniesie:

n

1i

iiVQ2

1U 16.50

gdzie Vi jest potencjałem w miejscu gdzie znajduje się ładunek Qi wytworzonym przez

wszystkie ładunki oprócz i-tego.

2. Energia naładowanego odosobnionego przewodnika. Niech będzie dany odosobniony

przewodnik posiadający ładunek Q, potencjał V i pojemnośd C. Zwiększmy ładunek tego

przewodnika o dQ. W tym celu należy przenieśd ładunek dQ z nieskooczoności na

powierzchnię przewodnika i wykonad pracę równą

CVdVVdQdW .

Aby naładowad przewodnik od zerowego potencjału do potencjału φ należy wykonad pracę

0

2CV2

1CVdW 16.51

Energia naładowanego przewodnika jest równa takiej pracy, która jest konieczna do

naładowania tego przewodnika, tzn. 16.51 jest jednocześnie wyrażeniem na energię

naładowanego przewodnika:

C

Q

2

1QV

2

1CV

2

1U

22 16.52


Wzór 16.52 można otrzymad przypominając sobie, że potencjał przewodnika jest

wszędzie jednakowy. Przyjmując potencjał równy V z równania 1.50, otrzymujemy:

QV2

1QV

2

1U

i

i

gdzie i

iQQ jest ładunkiem przewodnika.

1. Energia naładowanego kondensatora. Jak każdy naładowany przewodnik kondensator

posiada energię, która zgodnie z ze wzorem 16.52 jest równa

𝐔 =𝟏

𝟐𝐂 ∆𝐕 𝟐 =

𝟏

𝟐𝐐∆𝐕 =

𝟏

𝟐

𝐐𝟐

𝐂 16.53

gdzie Q – ładunek kondensatora, C – jego pojemnośd, ΔV – różnica potencjałów między

okładkami.

Znajdź, że siła przyciągania się okładek kondensatora płaskiego wynosi

S2εε

QF

0

2

4. Energia pola elektrostatycznego. Przekształdmy wzór 16.53, opisujący energię

kondensatora płaskiego, podstawiając pojemnośd kondensatora płaskiego (C = εε0A/d) i

różnicę potencjałów między okładkami (Δφ = Ed). Otrzymamy wtedy

V2

EεεSd

2

EεεU

2

0

2

0 16.54

gdzie V = Sd jest objętością kondensatora.

Wzór 16.54 pokazuje, że energia kondensatora jest wyrażona poprzez wielkośd

charakteryzującą pole – natężenie E. Wskazuje to, że pole elektryczne posiada energię i, że w

związku z tym można mówid o energii pola elektrostatycznego. Takie pole posiada energię o

gęstości:

2

ED

2

EεεU/Vw

2

0 16.55

Wzór 1.53 określa energię poprzez ładunki, a wzór 1.54 poprzez natężenie pola E. Powstaje

zatem pytanie, czy energię posiadają ładunki, czy pole elektryczne? Na gruncie elektrostatyki

nie można dad na to pytanie odpowiedzi. Okazuje się jednak, że zmienne pola elektryczne

mogą istnied niezależnie od wzbudzających je ładunków elektrycznych i mogą

rozprzestrzeniad się w przestrzeni w postaci fal elektromagnetycznych przenoszących

energię. To przekonywująco udowadnia, że nośnikiem energii jest pole elektryczne.

Documents

Wykład 16 - Urząd Miasta Łodzicmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_16/wyklad_w...Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku punktowego q w punkcie P odległym