[Www.toancapba.net] tổng+hợp+nhiều+đề+hsg+có+đap+án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a. Giải phương trình sau: 2 2 3 44 1 1 5 4 2x x x x x x với x R .

b. Giải phương trình: 22sin 3sin 2 1 3 cos 3 sinx x x x .

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh 2AB . Trong mặt phẳng chứa

tam giác ABC lấy điểm M thỏa 2 2 2MA MB MC . Tìm quỹ tích của điểm M.

b. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc

bằng 060 , 6, 9BM CN . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác

ABC.

Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số nu xác định bởi 1 1u và 2

1 3 2n nu u với mọi 1n .

a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số nu .

b. Tính tổng 2 2 2 2

1 2 3 2011...S u u u u .

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho , ,a b c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1a b c .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

36M a b c a b c abc

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 3 2

2

2 2 2 3

3

x y x xy m

x x y m

với ,x y là các số thực.

………………. Hết ……………….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang ) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

Câu Đáp án Thang điểm a. ( 3,0 điểm )

Đặt 2 31,

2t x x t . Khi đó phương trình trở thành:

4 2 4 2 24 7 5 6 9 4 4 0t t t t t t t

0,5

2 22 2 23 2 0 1 5 0t t t t t t (*) 0,5

(*) 2

2

1 0

5 0

t t

t t

0,5

Với 3

2t thì 2 1 0t t có một nghiệm là

1 5

2t

Với 3

2t thì 2 5 0t t có một nghiệm là

1 21

2t

0,5

Khi 1 5

2t

thì

2

2 21 51 2 2 1 5 0

2x x x x

1 3 2 5

2x

hoặc

1 3 2 5

2x

.

0,5

Khi

1 21

2t

thì

2

2 21 211 2 2 9 21 0

2x x x x

1 19 2 21

2x

hoặc

1 19 2 21

2x

.

0,5

b. ( 2,0 điểm ) Phương trình đã cho được viết lại:

2 23sin 2 3 sin cos cos 3 3 sin cosx x x x x x

0,5

2

3 sin cos 3 3 sin cos 0x x x x

0,5

1 (5,0 điểm)

3sin cos 0x x hoặc 3 sin cos 3x x

0,5

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 2

1

3 sin cos 0 tan63

x x x x k , k Z

3 sin cos 3x x phương trình vô nghiệm.

0,5

a. (2,0 điểm ) Chọn hệ trục tọa độ Bxy vuông góc sao cho tia Bx qua A và tia

By qua C. Ta có: 0;0B , 2;0A , 0;2C . Giả sử ;M x y .

0,5

2 2 2MA MB MC

2 22 2 2 22 2x y x y x y

2 2 4 4 0x y x y .

0,5

Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm

2; 2I , bán kính 2 2R .

0,5

Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm 2; 2I , bán kính

2 2R .

0,5

b. ( 3,0 điểm )

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xét trường hợp: 0120BGC Ta có: 2 2 2 02 . .cos120 76BC GB GC GBGC

2

2 2 2 02 . .cos60 284ACMC GM GC GM GC

Vậy AC2 = 112

0,5

2

2 2 2 02 . .cos60 134ABNB GB GN GBGN Vậy AB2 = 52

0,5

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :

2 2 22 63 3 7

2 4a aAC AB BCm m

0,5

Xét trường hợp: 060BGC Ta có : 2 2 2 02 . .cos60 28BC GB GC GBGC

2

2 2 2 02 . .cos120 524ACMC GM GC GM GC

Vậy AC2 = 208

0,5

2

(5,0 điểm)

2

2 2 2 02 . .cos120 374ABNB GB GN GBGN

Vậy AB2 = 148

0,5

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 3

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :

2 2 22 171 171

2 4a aAC AB BCm m

0,5

Câu Đáp án Thang điểm

a. 2,0 điểm

Dễ thấy *0,nu n N

Từ 2 2 21 13 2 3 2n n n nu u u u .

0,5

Đặt 2n nv u thì có: 1 13 2 1 3 1n n n nv v v v . 0,5

Đặt 1n nx v thì ta có:

1 3n nx x . Từ đây suy ra nx là cấp số nhân với 1 2x , công bội

là 3.

0,5

Nên: 1 1 12.3 2.3 1 2.3 1n n nn n nx v u .

0,5

b. 2,0 điểm

0 1 2 20102.3 2.3 2.3 ... 2.3 2011S

0,5

0 1 2 20102 3 3 3 ... 3 2011 0,5

20112 3 1

20113 1

0,5

3 (4,0 điểm)

20113 2012

0,5

Chứng minh được: 2 2 2 23 3a b c a b c 0,5

Suy ra: 3a b c và 33a b c a b c 0,5

3

8 32 6 2 3 6

3 3

a b cM a b c abc

0,5 + 0,5

Vậy GTLN của M là 8 3

3

0,5

4

(3,0 điểm)

Giá trị này đạt được khi 1

3a b c .

0,5

5 (3,0 điểm)

Viết lại hệ: 2

2

2 2 3

2

x x x y m

x x x y m

0,5

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 4

Đặt 2 2 ,u x x v x y . Dễ có: 1u .

Hệ trở thành: . 2 3u v m

u v m

0,5

Suy ra: 2

2 32 3 3 2

2

uu m u m u m u m

u

0,5

Xét hàm 2 3

2

uf u

u

với 1u .

2/

2

4 30, 1

2

u uf u u

u

0,5

Bảng biến thiên:

u 1 /f u +

f u

2

0,5

Kết luận : 2m .

0,5

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 5

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOGIA LAI

. . . . . . . . . . . .ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHLỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi : Toán - Bảng A

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi : 02/12/2011

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 1. (3 điểm) Chứng minh rằng mọi dãy số dương (an) thỏa mãn a2n+1 = an + 1 (n ∈ N

∗) đềucó chứa số hạng vô tỉ.

Câu 2. (3 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực :

√x2 − x + 1 =

x3 + 2x2 − 3x + 1

x2 + 2.

Câu 3. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :

4

√

a

4a + b + c+

4

√

b

4b + c + a+ 4

√

c

4c + a + b≤ 3

4√

6.

Câu 4. (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn :

f(xf(y) + x) = xy + 2f(x) − 1, ∀x, y ∈ R.

Câu 5. (4 điểm) Cho dãy số (xn) được xác định như sau : x1 = 24, x2 = 60 và

xn+1 = xn +xn−1

n(n + 1)(n + 2)(n = 2, 3, . . .).

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn.

Câu 6. (4 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R, OC là một bán kính vuông gócvới AB và I là trung điểm OC , M là điểm di động trên (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt cáctiếp tuyến tại A, B của (O) lần lượt tại D và E; AE cắt BD tại N . Xác định vị trí điểm M trên(O) để tam giác NIA có diện tích lớn nhất.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .HẾT. . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.• Giám thị không giải thích gì thêm.

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 6

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOGIA LAI

. . . . . . . . . . . .ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHLỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2012

. . . . . . . . . . . .ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn : Toán - Bảng A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 1 (3đ). Giả sử trái lại rằng mọi số hạng của dãy là số hữu tỉ. Đặt an =bn

cn

với gcd(bn, cn) = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Từ giả thiết a2

n+1 = an + 1 ta có

b2n+1

c2n+1

=bn

cn

+ 1 ⇔ b2n+1

c2n+1

=bn + cn

cn

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Do gcd(bn, cn) = 1 nên gcd(bn + cn, cn) = 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Từ đó ta được hai dãy số nguyên dương (bn) và (cn) thỏa mãn

b2n+1 = bn + cn, c

2n+1 = cn với n = 1, 2, . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Suy ra bn = b2

n+1 − cn = b2n+1 − c2

n+1 = (bn+1 − cn+1)(bn+1 + cn+1). Chú ý rằng

bn+1 > cn+1 ⇒ bn+1 − cn+1 ≥ 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Từ đó bn ≥ bn+1 + cn+1 > bn+1 với mọi n. Như thế dãy (bn) là dãy giảm các số nguyên dương. Điềunày vô lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Câu 2 (3đ). Phương trình đã cho viết lại

√x2 − x + 1 =

x3 + x2 − 2x + (x2 − x + 1)

x2 + 2. (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Đặt a =

√x2 − x + 1, thay vào (1) ta được

(

x2 + 2)

a = x3 + x2 − 2x + a2 ⇔ a2 −(

x2 + 2)

a + x3 + x2 − 2x = 0. (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Ta có

∆ =(

x2 + 2)2 − 4

(

x3 + x2 − 2x)

= x4 − 4x3 + 8x + 4

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 7

2

=(

x2 − 2x)2 − 4

(

x2 − 2x)

+ 4 =(

x2 − 2x − 2)2

.

Vậy (2) ⇔ a =x2 + 2 ± |x2 − 2x − 2|

2⇔[

a = x2 − xa = x + 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

• Với a = x + 2, ta có

√x2 − x + 1 = x + 2 ⇔

{

x ≥ −2x2 − x + 1 = (x + 2)2 ⇔ x = −3

5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)• Với a = x2 − x, ta có √

x2 − x + 1 = x2 − x. (3)

Do a =√

x2 − x + 1 nên từ (3) ta được

a = a2 − 1 ⇔ a2 − a − 1 = 0do a≥0⇔ a =

1 +√

5

2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Từ đó

x2 − x + 1 =

(

1 +√

5

2

)2

⇔ 2x2 − 2x −(

1 +√

5)

= 0 ⇔ x =1 ±

√

3 + 2√

5

2.

Phương trình đã cho có 3 nghiệm x = −3

5, x =

1 ±√

3 + 2√

5

2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Câu 3 (3 điểm). Theo bất đẳng thức Becnuli ta có

4

√

6a

4a + b + c=

(

6a

4a + b + c

)1

4

≤ 1

4.

6a

4a + b + c+ 1 − 1

4. (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Theo bất đẳng Cauchy (Cô-si), ta có

1

a + b + c+

1

3a≥ 4

4a + b + c⇒ a

4a + b + c≤ 1

4

(

a

a + b + c+

1

3

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Kết hợp với (1) ta được

4

√

6a

4a + b + c≤ 3

8

(

a

a + b + c+

1

3

)

+3

4. (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Tương tự ta có

4

√

6b

4b + c + a≤ 3

8

(

b

a + b + c+

1

3

)

+3

4. (3)

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 8

3

4

√

6c

4c + a + b≤ 3

8

(

c

a + b + c+

1

3

)

+3

4. (4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Cộng (2), (3), (4) ta được

4

√

6a

4a + b + c+

4

√

6b

4b + c + a+ 4

√

6c

4c + a + b≤ 3

8(1 + 1) +

9

4= 3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Suy ra

4

√

a

4a + b + c+

4

√

b

4b + c + a+ 4

√

c

4c + a + b≤ 3

4√

6.

Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Câu 4 (3 điểm). Giả sử f là hàm số thỏa mãn các yêu cầu đề bài, khi đó

f(xf(y) + x) = xy + 2f(x) − 1, ∀x, y ∈ R. (1)

Trong (1) thay x = 0 ta được f(0) = 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Trong (1) thay x = 1 ta được

f (f(y) + 1) = y + 2f(1) − 1, ∀y ∈ R. (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Trong (2) lấy y = −2f(1) ta được f (f (−2f(1)) + 1) = −1. Đặt f (−2f(1)) + 1 = a. Khi đó

f (a) + 1 = 0 ⇒ xf (a) + x = 0 ⇒ f (xf (a) + x) = f(0) = 1, ∀x ∈ R.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Vậy theo (1) ta có

1 = f (xf (a) + x) = ax + 2f(x) − 1 ⇒ f(x) = −a

2x + 1, ∀x ∈ R.

Suy ra f(x) có dạng f(x) = cx + 1, với c là hằng số.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Thay vào (1) ta được

c (xf(y) + x) + 1 = xy + 2(cx + 1) − 1, ∀x, y ∈ R

⇔c [x(cy + 1) + x] = xy + 2cx, ∀x, y ∈ R

⇔c2xy + 2cx = xy + 2cx, ∀x, y ∈ R.

Ta được c = ±1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Vậy có hai hàm số thỏa mãn các yêu cầu đề bài là

f(x) = x + 1, ∀x ∈ R ; f(x) = −x + 1, ∀x ∈ R.

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 9

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Câu 5 (4 điểm). Dễ thấy xn > 0, ∀n ∈ N∗, do đó xn+1 ≥ xn, ∀n = 1, 2, . . . Suy ra dãy số đã cho

là dãy số tăng.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Theo giả thiết ta có:

xn+1 =xn−1

(n + 2)(n + 1)n+ xn

=xn−1

(n + 2)(n + 1)n+

xn−2

(n + 1)n(n − 1)+ xn−1 (0,5 điểm)

=xn−1

(n + 2)(n + 1)n+ · · · + x3

6.5.4+

x2

5.4.3+

x1

4.3.2+ x2

=xn−1

(n + 2)(n + 1)n+ · · · + x3

6.5.4+ 62. (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng xn <2480

39, ∀n = 3, 4, . . . Ta có

x1 = 24 <2480

39, x2 = 60 <

2480

39, x3 = x2 +

x1

2.3.4= 60 + 1 = 61 <

2480

39.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Giả sử xk <2480

39, với mọi k sao cho 3 ≤ k ≤ n. Khi đó từ (1) ta có

xn+1 <2480

39

[

1

(n + 2)(n + 1)n+ · · · + 1

6.5.4

]

+x2

5.4.3+

x1

4.3.2+ x2. (2)

Do x1 = 24, x2 = 60 nên từ (2) suy ra

xn+1 <2480

39

[

1

(n + 2)(n + 1)n+ · · · + 1

6.5.4

]

+ 62. (3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Ta có

1

(k + 2)(k + 1)k=

1

2

[

1

k(k + 1)− 1

(k + 1)(k + 2)

]

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Vậy từ (3) ta được

xn+1 <2480

39.1

2

[

1

4.5− 1

(n + 1)(n + 2)

]

+ 62

<1240

39.

1

4.5+ 62 =

2480

39.

www.Toancapba.net

www.Toancapba.net 10

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Theo nguyên lý quy nạp suy ra xn <2480

39, ∀n = 1, 2, 3, . . . Vậy dãy số đã cho tăng và bị chặn trên

nên có giới hạn hữu hạn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Câu 6 (4 điểm). Chọn hệ trục toạ độ Oxy (như hình vẽ), ta cóA(R; 0), B(−R; 0). Theo tính chất tiếp tuyến của đường tròn, ta cóBE = ME, AD = MD.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5điểm)

Ngoài ra: BE//AD suy raNE

NA=

BE

AD=

ME

MD. Do đó MN//BE//AD.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Suy ra MN⊥AB. Cho MN ∩ AB = H. Ta có

MN//EB ⇒ MN

BE=

DM

DE; HN//BE ⇒ HN

BE=

AN

AE=

DM

DE.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)

Suy ra HM = 2HN . Từ đó, phép co F về trục Ox với hệ số co k =1

2biến M thành N .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Do đó khi M di động trên (O) thì N di động trên elip (E) có trục lớn là AB.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Dễ dàng thấy rằng (E) qua I và F (∆MAC) = ∆NAI .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Khi đó với phép co F với hệ số co k, ta có S∆NAI = |k|.S∆MAC (bổ đề sau). Do đó S∆NAI đạt giátrị lớn nhất khi và chỉ khi S∆MAC đạt giá trị lớn nhất, điều này xảy ra khi M là điểm giữa củacung BC ′ với CC ′ là đường kính của đường tròn (O).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Bổ đề. Cho ∆ABC có A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3). Gọi A′, B ′, C ′ lần lượt là ảnh của A, B,C qua phép co F về trục Ox với hệ số co k. Ta có A′(x1; ky1), B ′(x2; ky2), C ′(x3; ky3). Ta có

SABC =1

2AB.AC. sinA =

1

2

√

(AB.AC)2 − (−→AB.

−→AC)2

=1

2|(x2 − x1)(y2 − y1) − (x3 − x1)(y3 − y1)| .

Từ đó

SA′B′C′ =1

2|(x2 − x1)(ky2 − ky1) − (x3 − x1)(ky3 − ky1)|

=1

2|k| |(x2 − x1)(y2 − y1) − (x3 − x1)(y3 − y1)| = | k |SABC.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 điểm)Lưu ý. Nếu học sinh làm theo cách khác, đúng thì vẫn cho điểm tối đa với các bước tương ứng.

www.Toancapba.net


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐẮK LẮK NĂM HỌC 2011 -2012

MÔN: TOÁN 12 – THPT Thời gian: 180 phút (không kể phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 10/11/2011 Đề thi có 01 trang

Bài 1. (4,0 điểm).

Cho hàm số 3 21y = x x2

có đồ thị là (C).

Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

(C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số: 2

44x +3g(x) =x +1

.

Bài 2. (5,0 điểm). Giải các phương trình sau trên tập số thực R: 1/ 2cosx + 3(sin2x +sinx) -4cos2x.cosx -2cos x + 2 0 .

2/ 4 3 2x 2x + x 2(x x) = 0 .

Bài 3. (5,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C. 1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’. 2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất. 3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa AB và A’C.

Bài 4. (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và đường thẳng : 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M sao cho: MA + MB+ MC

nhỏ nhất.

Bài 5(3 điểm).

Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng (m + 2010)!m!2011!

là

một số nguyên. ---------------------- HẾT ----------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh……………………............……………… Số báo danh………....

www.Toancapba.net


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 1012

TỈNH ĐẮK LẮK MÔN: TOÁN 12 – THPT

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (gồm 4 trang)

A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Bài(ý) Nội dung đáp án Biểu

điểmBài 1 (4 đ) Bài 2 (5 đ) 1/ (2,5 đ)

* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2

44x +3g(x) =x +1

- Đặt t = x2, với t 0 ta có hàm số 2

t4 +3g(t) =t +1

;

- 2 2

24t 6t + 4g'(t) =(t +1)

; g’(t) = 0 1t = 2; t =2

;

- Ta lại có: lim ( ) 0t

g t

; lim ( ) 0t

g t

, bảng biến thiên của hàm số:

t –2 0 1

2

g’(t) – 0 + + 0 – g(t)

0

–1

3

4 0

- Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là (x)g = 4, đạt được khi 2

2x

* Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) - Ta có: y’ = 3x2 – x , giả sử điểm M0(x0, f(x0))(C), thì hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại M0 là f’(x0)= 2

0 03x x

- Vậy: 20 03x x = 4 suy ra x0 = –1; x0 = 4

3, tung độ tương ứng f(–1) = – 3

2 ;

f( 4

3) = 40

27

+ Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;– 3

2); ( 4

3; 40

27)

Phương trình cosx + 2cos2x + 3 .sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0. cosx(2cosx + 1)+ 3 .sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0 (2cosx + 1)(cosx + 3 .sinx –2.cos2x) = 0

Nếu: 1/ 2cosx + 1 = 0 22 ,

3x k k Z

0,75

0,5

0,75

0,5

1,0

0,5

1,0

0,5

www.Toancapba.net


2/ cosx + 3 .sinx –2.cos2x = 0 1 3

cos sin cos 22 2

x x x cos( ) cos 23

x x

2

2 ; ;3 9 3

kx k x k Z

,

- Nghiệm của pt là:

22 ,

3x k k Z

; 22 ; ;

3 9 3

kx k x k Z

0,5

0,5

2/ (2,5 đ) Bài 3 (5 đ)

1/

(1, 0 đ)

- Phương trình 2 24 3 2(x 2x + x x x) 2(x x) = 0

2 2 2 2((x x) x x) 2(x x) = 0

- Đặt t = 2x x , với t 0 ta có phương trình: t4 – t2 – 2 t = 0; suy ra t = 0; t = 2 - Với t = 0 thì x = 0; x = 1 - Với t = 2 thì x = –1; x = 2 Tóm lại phương trình có 4 nghiệm phân biệt: 1;0;1;2

B B’ J C C’ H A A’ Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, VB.ACA’ là thể tích khối chóp B.ACA’, - Ta có V = h.SABC (h là chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’).

- Ta có VB.ACA’ = 1

3h.SABC.

- Vậy V= 3.VB.ACA’ hay VA’.BCC’B’ = 2.VB.ACA’

- Ta có V= 3.VB.ACA’

1,0

0,75

0,75

1,0

www.Toancapba.net


2/

(2 đ)

Vậy V lớn nhất khi VB.ACA’ lớn nhất,

- Ta có: ' '.

1.

3 ACAB ACA

V S BH hay '

2

. 3

B ACA

aV BH , mà BH2 = AB2 – AH2 = a2 – AH2

– vậy BH lớn nhất khi AH nhỏ nhất tức là AH A’C5

aCH

0,5

1,5

3/ (2 đ)

Bài 4 (3 đ)

- Trong mp(AHB) kẻ HJ AB, suy ra HJ là đường vuông góc chung của AB và A’C.

- Trong ta giác vuông AHB ta H ta có: 2 2 2

1 1 1

HJ HA HB , ta có:

22 4

5

aHA ;

22

5

aHB ; suy ra: 2

5

aHJ

- Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có tọa độ của G là G( 4 4;

3 3 )

- Khi đó: MA + MB+ MC

= 3MG

, G và cố định (G không nằm trên ),

- Vậy MA + MB+ MC

nhỏ nhất khi 3MG

nhỏ nhất, tức MG nhỏ nhất hay

MG vuông góc với . Do đó M là giao điểm của và đường thẳng d qua G và vuông góc với .

- Một véc tơ chỉ phương của là (3;2)u

đó cũng là 1 vec tơ pháp tuyến của d, vậy phương trình của d là:

3x + 2y – 4

3 = 0,

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

2 3 12 0

43 2 0

3

x y

x y

20

13116

39

x

y

20 116( ; )

13 39M

y 4 M 1---- A -6 -2 O 1 5 x -1 G

0,5

1,5

0,5

0,5

0,5

0,5

1,0

www.Toancapba.net


B. HƯỚNG DẪN CHẤM

1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số. 2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó.

----------------Hết------------------

Bài 5 ( 3 đ)

-4 Ta có:

( 2010)! 2011 ( 2011)!.

!2010! 2011 !2011!

2010m+2010

m mC

m m m= 2011

2011

2011.

2011 mCm

Suy ra: 2010m+2010(m+2011)C = 2011

20112011. mC , tức là: 2010m+2010(m+2011)C chia hết cho

2011 (do 2010m+2010C ; 2011

2011mC là các số tự nhiên) Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + 2011, 2011)= 1

Vậy 20112010m+2010C hay (m + 2010)!

m!2011! là số nguyên.

1,0

1,0

1,0

www.Toancapba.net


Họ tên TS: .............................................................. Số BD: .......................... Chữ ký GT 1: ........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠONINH THUẬN

(Đề thi chính thức)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHNĂM HỌC 2011 – 2012

Khóa ngày: 17 / 11 / 2011Môn thi: TOÁN Cấp: THPTThời gian làm bài: 180 phút(Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ:(Đề thi có 01 trang)

Bài 1 (5,0 điểm).Tìm m để phương trình 2 3x m x có nghiệm.

Bài 2 (4,0 điểm).Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 6 chữ số mà tích các chữ số của số

này bằng 3500 ?

Bài 3 (5,0 điểm).Cho góc vuông xOy và điểm A (A ≠ O) cố định trên đường phân giác

Om của góc ấy. Một đường tròn (C ) thay đổi luôn đi qua hai điểm A, O cốđịnh và cắt Ox tại M, cắt Oy tại N.

a) Chứng minh rằng khi đường tròn (C ) thay đổi thì tổng OM + ON cógiá trị không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MN khi đườngtròn (C ) thay đổi.

Bài 4 (3,0 điểm).Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 4c = 1. Chứng

minh rằng: 2 2 1 3 2 1 4 2 1 10a b c .

Bài 5 (3,0 điểm).Tìm tất cả các số f: thỏa mãn các điều kiện:

i) f(1) = 2011,ii) f(x2 – y) = xf(x) – f(y), với mọi x, y .

--------- HẾT ---------

www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TP HÀ NỘI NĂM 2011-2012 Khoá ngày 18/10/2011

************* Bài I: (5 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Giải hệ phương trình: Bài II: (4 điểm) Cho với Chứng minh rằng: 1. khi

2. khi Bài III (4 điểm) 1. Cho dãy số (u_n) xác định bởi: và với mọi

Tìm

2. Cho dãy số (v_n) xác định bởi: và với mọi

Chứng minh rằng: Bài IV: (5 điểm) 1. Cho hình chóp đáy là hình thang vuông với các góc vuông tại và Gọi là trung điểm cạnh

Tính thể tích hình chóp và diện tích tam giác biết rằng

và 2. trong mặt phẳng cho hình thang có vuông góc với hai cạnh đáy và Cạnh

cố định, cạnh thay đổi và có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh đáy. Gọi là điểm thuộc cạnh CD sao cho Xác định vị trí điểm trong mặt phẳng để tổng diện tích của hai tam giác và là nhỏ nhất. Bài V: (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho là đồ thị hàm số và là các điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị

Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng không vượt quá ----------Hết---------

www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP -----------------------------------------------------------------------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)

I. Hướng dẫn chung 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.

II. Đáp án và thang điểm Câu Đáp án Điểm

Câu 1 Giải phương trình: 2 12 3 1.x x x x

x

3đ

Điều kiện: 1 0, 1x x Chia hai vế của phương trình cho ,x ta được:

1 1 1 12 3 2 3 0x x x xx x x x

Đặt 1 , (t 0)t xx

. Ta có: 2 12 3 0 1

2t

t t tt

Với 21 1 51 1 1 02

t x x x xx

(thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 1 5 .2

x

Câu 2 Cho hai số dương ,x y thỏa mãn điều kiện 1, 1x y và 3( ) 4 .x y xy Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 32 2

1 13 .P x yx y

3đ

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si, ta có: 94 3( ) 64

xy x y xy xy

Do điều kiện 1, 1x y nên: ( 1)( 1) 0 1

41 33

x y xy x y

xy xy xy

Ta có: 3 32 2

1 13P x yx y

22

2 2

3 3 2 2

1 1 6( ) ( ) 3 3

4 16 16 633 9 364 6 16427 3

x y x y xyx y xy

xy x y xyxy

x y x yxy

Đặt t xy , với 9 ;34

t

3 264 6 16427 3

P t tt

www.Toancapba.net


Trang 2

Xét hàm số 3 264 6 16( ) 427 3

f t t tt

, 9 ;34

t

Ta có: 3

22 2

64 6 8 (8 9) 54 9'( ) 8 0, ;39 9 4

t tf t t t tt t

( )f t là hàm số tăng trên 9 ;34

9 ( ) (3)4

f f t f

hay 113 94( )12 3

f t

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11312

. Khi đó

9 4 3 2

3( ) 4

xyx yx y

x y xy

Giá trị lớn nhất của P bằng 943

. Khi đó

13

3( 1)( 1) 0

33( ) 4

1

xxy yx y

xx y xy

y

.

Câu 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 22 .x x y 2đ Ta có: 2 2 2 2 2 22 4 (4 4 1) 7 (2 ) (2 1) 7x x y y x x y x

(2 2 1)(2 2 1) 7 7 1 1 7 ( 7) ( 1) ( 1) ( 7)y x y x

2 2 1 7 12 2 1 1 2

y x xy x y

2 2 1 1 22 2 1 7 2

y x xy x y

2 2 1 7 22 2 1 1 2

y x xy x y

2 2 1 1 12 2 1 7 2

y x xy x y

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên: ( ; ) (1;2), (1; 2), ( 2;2), ( 2;2).x y

Câu 4 Cho tam giác ABC có ,BC a ,CA b AB c và .c b Hai điểm ,M N tương ứng di động trên hai cạnh ,AB AC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Xác định vị trí của M và N để MN có độ dài nhỏ nhất.

3đ

Từ giả thuyết, ta có:

1 1 1 1 1. sin . sin .2 2 2 2 2AMN ABCS S AM AN A bc A AM AN bc

Đặt ,AN xb AM yc với , 1x y 1 1 1.2 2 2

AM AN bc xybc bc xy

www.Toancapba.net


Trang 3

Theo định lý hàm số Cosin, ta có: 2 2 2 2 . cosMN AM AN AM AN A

Câu 5 Cho dãy số ( )nu xác định bởi:

1

2

1

3 ( 1, )2

2 3n

nn

un nuu

u

Hãy xác định công thức tổng quát của nu theo .n

3đ

Ta có:

22nn

n 1 n 1n n

u 2u 2u u 22u 3 2 u 2 1

Đặt n nx u 2 , n 1, n 1 1x u 2 1

Khi đó: 2n

n 1 2n n 1 n n

x 1 1 2x2x 1 x x x

Đặt tiếp n 1n 1

1 1y , n 1, n y 1x x

Khi đó: 22n 1 n n n 1 ny y 2y y 1 y 1

Tiếp tục đặt n n 1 1v y 1, n 1,n v y 1 2

Khi đó: 2 n n n 12 2 2 2 2

n 1 n n 1 1 nv v v ... v 2 v 2

n 1, n

Từ đó ta tìm được:

n 1

n 1 n 12

n n n2 2

1 1y 2 1 x u 22 1 2 1

Vậy công thức tổng quát của dãy số n(u ) là: n 1

n 1

2

n 2

2.2 1u n 1,n2 1

.

Câu 6 Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông OABC có đỉnh (3;4)A và điểm B có hoành độ âm.

a) Tìm tọa độ các đỉnh B và C của hình vuông .OABC b) Gọi E và F theo thứ tự là các giao điểm của đường tròn ( )C ngoại tiếp OABC với trục hoành và trục tung ( E và F khác gốc tọa độ O ). Tìm tọa độ điểm M trên ( )C sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất.

3đ

www.Toancapba.net


Trang 4

a) Giả sử 0 0( ; )B x y , 0( 0)x Tứ giác OABC là hình vuông OAB vuông cân tại A

0

00 02 2

0 0 0

0

713( 3) 4( 4) 0. 0

( 3) ( 4) 25 17

xyx yAB OA

x y xAB OAy

Do điều kiện 0 0x nên tọa độ điểm B là: ( 1;7)B

Điểm C đối xứng với A qua trung điểm 1 7;2 2

I

của OB nên ta có:

3 142 2 ( 4;3)

4 372 2

C

C

C C

xx

Cy y

b) Phương trình đường tròn ( )C ngoại tiếp OABC :

2 21 7 252 2 2

x y

Tọa độ giao điểm E và F của ( )C với trục hoành và trục tung là: ( 1;0),E (0;7)F

Dễ thấy EF là đường kính của ( )C nên tam giác MEF vuông tại M 2 2 21 25.

2 4 4 2MEFME MF EFS ME MF

Vậy MEFS đạt giá trị lớn nhất bằng 252

.

Khi đó MEF vuông cân

2 2

2 2

( 1) 25

1 7 252 2 2

M M

M M

x y

x y

(3;3)M hoặc ( 4;4).M Cách khác:

Phương trình đường thẳng : 7 7 0EF x y

Ta có: 1 . ( , )2MEFS EF d M EF

www.Toancapba.net


Trang 5

Như vậy MEFS lớn nhất ( , )d M EF lớn nhất

Mà

1 777 7 2 2

( , )5 2 5 2

M MM M

x yx y

d M EF

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2 21 7 1 77 5 2. 25

2 2 2 2M M M Mx y x y

Vậy ( , )d M EF lớn nhất bằng 5 22

. Khi đó: 2 2

1 72 2

7 11 7 252 2 2

M M

M M

x y

x y

(3;3)M hoặc ( 4;4).M Câu 7

Với mọi n nguyên và 3,n tính tổng sau đây: 3 3 3 33 4 5

1 1 1 1... .n

PC C C C

3đ

Ta có: 3

1 3!( 3)! 3! 3! 1 1! ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) ( 1)k

kC k k k k k k k k

Thay k bằng 3, 4,5,...,n , ta được:

33

34

35

3

1 3! 1 12 1.2 2.3

1 3! 1 12 2.3 3.4

1 3! 1 12 3.4 4.5

................................

1 3! 1 12 ( 1)( 2) ( 1)n

C

C

C

C n n n n

Cộng các đẳng thức trên, ta có:

3 3 3 33 4 5

1 1 1 1 3! 1 1 3( 1)( 2)...2 1.2 ( 1) 2 ( 1)n

n nC C C C n n n n

Vậy 3( 1)( 2) .2 ( 1)n nP

n n

------------------------------Hết-------------------------------

www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012

Môn: TOÁN

VÒNG 1

Câu I

Giải hệ phương trình sau:xy+1 = (y + 1)x

√−4x2 + 18x− 20 + 2x2−9x+6

2x2−9x+8=√

y + 1.

Câu II

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối tia AB

lấy điểm M . Cát tuyến qua B cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C và D (B nằm

giữa C và D). Đường thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD

cắt (O2) TẠI Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD,

E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh

MO vuông góc với EF .

Câu III

Cho a; b; c > 0. Chứng minh:

1

a(b + 1)+

1

b(c + 1)+

1

c(a + 1)≥ 3

1 + abc.

Câu IV

Cho đa thức P (x) = x2012−mx2010 +m(m 6= 0). Giả sử P (x) có 2012 nghiệm

thực. Chứng minh có ít nhất một nghiệm thỏa | x0 |≤√

2.

Câu V

Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x2−2xy+y2−5x+7y và x2−3xy+2y2+x−y

đều chia hết cho 17. Chứng minh xy − 12x + 15y chia hết cho 17.

1

www.Toancapba.net


Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012

Môn: TOÁN

VÒNG 2

Câu I

Tìm tất cả các hàm f(x) : R → R thỏa: f(f(x) + y) = f(x2 − y) + 4yf(x)

với mọi x, y ∈ R.

Câu II

Cho a; b; c > 0. Chứng minh:

ab2

a2 + 2b2 + c2+

bc2

b2 + 2c2 + a2+

ca2

c2 + 2a2 + b2≤ a + b + c

4.

Câu III

Cho 4ABC nội tiếp (O). Trên AC và AB lần lượt lấy 2 điểm P và Q. Gọi

M, N, J lần lượt là trung điểm BP,CQ, PQ. Cho (MNJ) cắt PQ tại R.

Chứng minh OR ⊥ PQ.

Câu IV

Cho dãy (un) được định bởi:u1 = 45

un+1 = u2n

u4n−8u2

n+8∀n ∈ N∗.

Tìm công thức tổng quát của dãy un.

Câu V

Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn (ab)2 − 4(a + b) là một bình

phương của 1 số nguyên.

2

www.Toancapba.net


SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề

Bài 1: (4 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2cos 6 sin2xf x x trêm đoạn 0; .

b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:

5 10sin sin 6 sin4

A B C

Bài 2: (4 điểm)

Cho đường tròn (O, R) và hai điểm P, Q cố định. P nằm ngoài (O), còn Q là điểm nằm trong (O). Dây

cung di động AB của (O) luôn qua Q. PA, PB lần lượt giao lần thứ hai với (O) tại C và D.

Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định.

Bài 3: (4 điểm)

Giải hệ phương trình

2 22

58 4 13

12 1

x y xyx y

xx y

Bài 4: (4 điểm)

a) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các

chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau?

b) Tính tổng: 1 2 2 3 32 2 .2 2 .3 ... 2 .n nn n n nS C C C nC

Bài 5: (4 điểm)

Giải phương trình: sin 2011 cos2011x x

----------------- Hết--------------------

Họ và tên thí sinh: SBD:

www.Toancapba.net


ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012

Bài 1: (4 điểm)

a) Đặt sin 0;12x t t ta có hàm số 22 1 1 6f t t t

Khảo sát hàm số trên đoạn 0;1 ta được 6 5 10min 0; max arcsin4 4

f x f f x f

b) Ta có sin sin 6 sin 2 os os 6 sin 2 os 6 sin2 2 2C A B CA B C c c C c C

2 2 2 1 3 5 1010 os sin 10 os os2 2 2 2 2 2 4C C C Cc c c

. Đẳng thức khi A = B,…

Bài 2: (4 điểm)

Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua I PQ CD điểm cố định.

Bài 3: (4 điểm)

Hệ phương trình viết thành

2 2

255 3 13

1 1

x y x yx y

x y x yx y

Đặt a x yb x y

và đặt

1 , 2a u ua

Ta được hệ 2 25 3 23

1u b

u b

Ta tìm được 2 1 1u b a .

Từ đó hệ có nghiệm duy nhất , 0,1x y

Bài 4: (4 điểm)

a) Số có dạng 01ab cd với giao hoán các chữ số theo giả thiết là 5 42P P số.

Vậy số các chữ số phải tìm là 6 5 5 4( ) 2P P P P số.

b) Xét khai triển 1 1n

x và đạo hàm hai vế của nó, ta có được

1 21 22 1 1 2 1 ... . 1n n nn n nn x x x C x C n x C , từ đó có 12 .3nS n

Bài 5: (4 điểm)

Từ sin 2011 1, os2011 1x c x và ;k Z Q ta được nghiệm duy nhất 0x .

----------------- Hết--------------------

PTDT NT.

www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

AN GIANG Năm học 2011 – 2012

Môn : TOÁN (vòng 1)

Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3,0điểm)

Cho hàm số (m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của


Giải phương trình

Bài 4: (3,0điểm) Giải hệ phương trình

Bài 5:(2,0điểm) Tính giới hạn


Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có điểm , điểm B

nằm trên trục hoành, điểm C nằm trên đường thẳng và góc

.

Tìm tọa độ điểm D.

Bài 7: (4,0 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a; góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy

bằng ; góc hợp bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên bên kề nhau bằng 2.

a) Tính thể tích khối chóp theo a và . (2,0điểm)

b) Chứng minh rằng . (2,0điểm)

---Hết---

ĐỀ CHÍNH THỨC

SBD : ………… PHÒNG :……

…………

www.Toancapba.net


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 AN GIANG Năm học 2011 – 2012

MÔN TOÁN VÒNG 1

A.ĐÁP ÁN

Bài 1

+ TXĐ : D=R

+ Để đồ thị hàm số có ba điểm cực thì m<0

+Với m<0 Gọi ba điểm cực trị là A,B,C

.

+Do hàm trùng phương nên AOy và B,C đối xứng qua Oy

Vậy

thì thỏa yêu cầu bài toán.

3điểm

Bài 2

+ A xác định khi . Đặt khi đó xét hàm số

ạ

+ Ta có bảng biến thiên

ậ

arctan

t 0 9 +

y’ + 0 -

y

1/6

-1/3 0

3điểm

www.Toancapba.net


Bài 3

+

Vậy phương trình có tập nghiệm là

3điểm

Bài 4

Điều kiện

Trường hợp phương trình (1) trở thành

Đặt với ta được

ạ

Khi ta có hệ

ạ

ạ

So với trường hợp đang xét hệ phương trình có nghiệm

Trường hợp phương trình (1) trở thành

Đặt với ta được phương trình

3điểm

www.Toancapba.net


ạ

Khi ta có hệ

So với trường hợp đang xét hệ phương trình có nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

Bài 5

2điểm

Bài 6

+Ta có ABCD là hình thoi và

suy ra .

+Gọi B(b,0) Ox và

Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC

TH1: thay vào phương trình (2) ta được

TH2: thay vào phương trình (2) ta được

2điểm

www.Toancapba.net


phương trình vô nghiệm

+ Vậy

.

+ Gọi I là trung điểm AC khi đó

, D là điểm đối xứng B qua I nên

Bài

7a

Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông ABCD. Do hình chóp

đều nên SO(ABCD) và là góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy.

Đặt SO=h khi đó

Tam giác SOM vuông tại O nên ta được

2điểm

Bài

7b

+ Gọi H là hình chiếu của O lên SC ta được SCOH (1)

Do BDAC, BDSO BD(SOC)BDSC (2)

Từ (1) và (2) SC(BDH) vậy góc hợp bởi hai mặt bên của hình

chóp là góc hợp bởi hai đường thẳng BH và HD theo đề bài ta được

hay .

+Tam giác SOC vuông tại O có OH là đường cao

Vậy

2điểm

B HƯỚNG DẪN CHẤM

+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+ Điểm số có thể chia nhỏ đến 0,25 cho từng câu. Tổng điểm toàn bài không làm tròn

C

h

a

MO

S

B

DA

H

www.Toancapba.net


Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012

Môn: TOÁN

VÒNG 1

Câu I

Giải hệ phương trình x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0

x(x− 2y + 2) = −1.

Câu II

Tìm hệ số của số hạng x10 trong khai triển của (1 + x + x2 + x3)15.

Câu III

Cho đa giác bảy cạnh đều ABCDEFG. Chứng minh: 1AB

= 1AC

+ 1AD

.

Câu IV

Cho các số thực x, y, z ∈ [0, 1]. Chứng minh: x2+y2+z2 ≤ x2y+y2z+z2x+1.

Câu V

Cho phương trình x2n − 3x + 2 = 0 (1) trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1.

1. Chứng minh rằng ứng với mỗi n, (1) có đúng một nghiệm xn ∈ [0, 1].

2. Gọi (xn) với n = 2, 3, 4, ... là dãy số có được theo trên. Chứng minh rằng

dãy số đơn điệu và bị chặn.

Câu VI

Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 1; M là điểm di động

trên đường chéo BD1 của hình lập phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của MA +

MD.

1

www.Toancapba.net


Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012

Môn: TOÁN

VÒNG 2

Câu I

Ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng 1 có tâm là O. Phép quay tâm O với

góc quay ϕ biến ngũ giác ABCDE thành ngũ giác A1B1C1D1E1. Tính diện

tích phần chung S của hai ngũ giác theo ϕ. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Câu II

Giải hệ phương trình: (x + y)3 = z

(y + z)3 = x

(z + x)3 = y.

Câu III

Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Chứng minh:

1 + x2

1 + y + z2+

1 + y2

1 + z + x2+

1 + z2

1 + x + y2≥ 2.

Câu IV

Cho các dãy số {an}, {bn} với n = 0, 1, 2, 3... thỏa các điều kiện sau:

(i) (i) a0 = b0 = 1;

(ii) an+1 = an + bn với mọi n ∈ N;

(iii) bn+1 = 3an + bn với mọi n ∈ N.

1. Tìm công thức tổng quát của an, bn.

2. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực k sao cho n|k.ab − bn| < 2

với mọi n.

Câu V

Tìm tất cả các hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa f(f(x)) + 7f(x) = 18x

với mọi x ≥ 0.

2

www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm)

1. Cho hàm số 2

1

xy

x

có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến

của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.

2. Tìm m để hàm số 29 9y x m x có cực đại. Câu 2 (2 điểm)

1. Giải phương trình 2012 20121005

1sin x cos x

2

2. Giải hệ phương trình 2 2

2 2

1 1

1

x x y y

x y xy

Câu 3 (2 điểm)

1. Chứng minh 9 3

tan sin ( 3 ), 0;2 2 2

x x x x

. Từ đó suy ra trong

mọi tam giác nhọn ABC ta có 9 3

tan tan tan sin sin sin2

A B C A B C .

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 24 4 16y x x x . Câu 4 (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

2. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho 045MAN . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp

S.AMN. Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 1a b c . Chứng minh 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 15( )

3 3 3

a ab b bc c caa b c

a ab c b bc a c ca b

…………………Hết………………….

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

www.Toancapba.net


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

Câu Ý Nội dung ĐiểmI 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00

2( ) ; , 1

1

aM C M a a

a

.

2 2

3 3' '( )

( 1) ( 1)y y a

x a

0,25

Tiếp tuyến của (C) tại M có pt 2

3 2( )

( 1) 1

ay x a

a a

( )

Tiệm cận đứng 1 có phương trình 1x Tiệm cận ngang 2 có phương trình 1 ( 1;1)y I

0,25

1

51;

1

aA A

a

, 2 2 1;1B B a 0,25

1 1 5 1 6. 1 . 2 2 . .2 1 6

2 2 1 2 1IAB

aS IA IB a a

a a

(không

phụ thuộc vào a, đpcm)

0,25

2 Tìm m để hàm số 29 9y x m x có cực đại 1,00

TXĐ: , 2 2 2

9' 9 , ''

9 ( 9) 9

mx my y

x x x

2 2' 0 9 9 0 9 9y x mx x mx

2 2 2 2 2

0 0

81( 9) ( 81) 81.9

mx mx

x m x m x

(I)

0,25

TH 1. 2 281 9 9 . 9 9 9( )m m m x x x x nên 2

2

9 9' 0,

9

x mxy x

x

suy ra hàm số đồng biến trên , không

có cực trị.

0,25

TH 2. 1 2

279 ( )

81m I x

m

1 12 21 1

9''( ) 0

( 9) 9

my x x

x x

là điểm cực tiểu 9m loại

0,25

TH 3. 2 2

279 ( )

81m I x

m

2 22 22 2

9''( ) 0

( 9) 9

my x x

x x

là điểm cực đại.

Vậy hàm số có cực đại 9m

0,25

II 1 Giải phương trình 2012 20121005

1sin x cos x

2 (1) 1,00

www.Toancapba.net


Đặt 2sin , 0;1t x t . (1) có dạng: 1006 10061005

1(1 )

2t t (2) 0,25

Xét hàm số 1006 1006( ) (1 ) , 0;1f t t t t

1005 1005'( ) 1006[ (1 ) ]f t t t ; 1

'( ) 02

f t t

0,25

1005 10050;1

1 1 1(0) (1) 1, min ( )

2 2 2f f f f t

Vậy

1(2)

2t 0,25

hay (1) 2 1sin cos2 0

2 4 2x x x k

( k Z ) 0,25

2 Giải hệ phương trình 2 2

2 2

1 1 (1)

1 (2)

x x y y

x y xy

1,00

ĐK: 1y . 2 2(1) 1 1x y y x 2 2 2 2 2 22 1 1 2 ( 1)( 1)x xy y y x y x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1)( 1) 1 1xy y x x y x y y x x y

0,25

Kết hợp với (2) ta được 2 2

2

2 2

1 02 0

21

x y xx xy

y xx y xy

0,25

20 & (2) 1 1x y y

2 2 1 1 22 & (2) 3 1

3 3 3y x x x x y

0,25

Thử lại ta có 0, 1x y và 1 2

,3 3

x y thỏa mãn hệ pt

Vậy hệ có 2 nghiệm như trên

0,25

III 1 Chứng minh 9 3

tan sin ( 3 ), 0;2 2 2

x x x x

. 1,00

Xét hàm số 9

( ) tan sin2

f x x x x trên 0;2

3 2 2

2 2 2

1 9 2cos 9cos 2 (2cos 1)(cos x 4cos 2)'( ) cos

cos 2 2cos 2cos x

x x x xf x x

x x

Vì 20; 0 cosx<1 (cos 2) 4cos 0 '( )2

x x x f x

cùng

dấu với 1 2cos x . Bảng biến thiên của ( )f x

x 0 3

2

'( )f x - 0 +

( )f x

0,25

0,25

www.Toancapba.net


3( 3 )

2

Vậy 9 3

( ) tan sin ( 3 ), 0;2 2 2

f x x x x x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

x

Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên , , 0;2

A B C

9 3tan sin ( 3 )

2 2A A A . Tương tự, cộng lại ta được

9 9tan tan tan sin sin sin ( ) ( 3

2 2A B C A B C A B C

Kết hợp với A B C ta có đpcm

0,25

0,25

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 24 4 16y x x x 1,00

TXĐ: 4;4D . Đặt 4 4 , 0t x x t . Bình phương ta

được 2 8 2 ( 4)(4 ) 8t x x . Dấu bằng có khi x= 4

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có 2 8 2 ( 4)(4 ) 8 ( 4) (4 ) 16t x x x x .D bằng có khi x=0

Do 0 2 2 4t t

Khi đó 2

28 1( ) 4, 2 2;4

2 2

ty f t t t t t

'( ) 1, '( ) 0 1f t t f t t (loại)

(2 2) 2 2, (4) 0f f .

Vậy 4;4 2 2;4min min ( ) 0y f t

khi x=0, 4;4 2 2;4max max ( ) 2 2y f t

khi

x= 4

0,25

0,25

0,25

0,25

IV 1 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a 1,50

www.Toancapba.net


C'

D'

B'

C

AB

D

S

, ( ) 'BC AB BC SA BC SAB BC AB

( ) ' ' ( ) 'SC P SC AB AB SBC AB SB Tương tự 'AD SD

0,25 0,25

. ' ' ' . ' ' . ' 'S AB C D S AB C S AD CV V V 2 2

. ' '2 2 2 2

.

' ' '. '. 3 3 9. . . .

4 5 20S AB C

S ABC

V SB SC SB SB SC SC SA SA

V SB SC SB SC SB SC (1)

2 2. ' '

2 2 2 2.

' ' '. '. 3 3 9. . . .

4 5 20S AD C

S ADC

V SD SC SD SD SC SC SA SA

V SD SC SD SC SD SC (2)

0,25

0,25

Do 3

2. .

1 1 3. . 3

3 2 6S ABC S ADC

aV V a a 0,25

Cộng (1) và (2) theo vế ta được 3 3

. ' ' . ' '. ' ' '3 3

9 9 9 3 3 3.

20 20 10 6 203 36 6

S AB C S AD CS AB C D

V V a aV

a a 0,25

2 Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN 1,50 ( Hình vẽ trang cuối)

.

1. . 3

3S AMN AMNV S a . Đặt ,BM x DN y ; , 0;x y a

Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP BM x

,ABM ADP AM AP BAM DAP

0,25 0 0 045 45 45MAN BAM DAN NAP DAP DAN

1 1. ( )

2 2MAN PANMAN PAN S S AD PN a x y (*) 0,25

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )MN MC CN x y a x a y

0,25

2 2 2 2 2 2 22 2 2 ( )x y xy a x ax a y ay xy a x y a 0,25

www.Toancapba.net


2a axy

x a

Thế vào (*) ta được 21

( )2MAN

a axS a x

x a

Đặt 2 2 2 2

2

2( ) '( ) .

2 2 ( )

a x a a x ax af x f x

x a x a

'( ) 0 ( 2 1)f x x a .

0,25

2

(0) ( )2

af f a , 2(( 2 1) ) ( 2 1)f a a

2

0;max ( )

2a

af x ,

2

0;min ( ) ( 2 1)

af x a

Vậy 3

.

3max

6S AMN

aV khi

,

,

M B N C

M C N D

3

.

3( 2 1)min

3S AMN

aV

khi ( 2 1)MB ND a

0,25

V 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 15( )

3 3 3

a ab b bc c caa b c


1,00

, 0x y ta có 2

2 2 2 22 2 2x

x y xy x xy y x yy

0,25

2 2 22 2 2

2 22 2

1 ( 1)2( 1) ( 3

33

a ab a aba ab a ab c

a ab ca ab c

2 2

2 2 2 2 2 2 22 2( )2

a ba c ab a b c a c

0,25

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 3 2 (10)( )

2 20

a b c a a a a a b b b c c

2( ) 5 3 2

2 5 2 5

a a a a a b b b c c a b c

0,25

Tương tự, cộng lại ta được 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 15( )

3 3 3

a ab b bc c caa b c


Đẳng thức xảy ra 1

3a b c

0,25

www.Toancapba.net


x

yx

450

A

D

B

C

M

NP

www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


c�� c��

�

�

��c��

�� !�"#$�%��&'!�()*��

��

��

� ��+,�� å å � å å ��+,�� !��"#� � �� å � å å �$%�$&$� '�(�$&$� �!)*�+,�� -��#�� !��$&$� '�(�$&$� �!)�$.�� ,� �/��"#� '0�12�� -��3��4��%$�56�*��+,�-��

��7�0�89��"#�� :��9��

��

�

�� ;� �6�

�å

��

� � å��

�� <� ��

��+= ��

�>> �

�)

� ��

�� *��?��@��)��*�

��+,�.��7�0��"#�8��(�A(�$� �� B�*��C� �/�D2��E �$.��A�!)� �F$��

A$ $� �AG

� � A$ A � $� $ � �A� å å

å å å*�

��+,�/��7�0�DH�� I�JK7*JLKL7L�$%� M�8��$'��AN��AO��(� C��JK7�D�� C$�1)P�� '��J(�JK�3��(�J7�3�� 1��$��Q)�1)P��%$�$.�� R��JL� �N��= ��-��JK7��D�� )�� !��$.��JK*��*��?��>�0��$C$�� S�J� Q��= ��-��JLK7�� T0��*��A*��?��$0"��%$��U�� -��JJL�1��KL7L*�

VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVWQ VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV��

+X�7WY�W��WZ7�

www.Toancapba.net


+C��C��+[�W\��@'��\��D2��

�+,��0.�1$234�� 4 �� 4�3 ��4 �� 4 � *80��N��4��]�

*�+= �)�3��4��(�1�3 � �´ å (�>�� %�� $�0� �^� �� _*

5 5� � � �å � � ��

)�`��1�3�a��*�

<��)�`��1�3�� b$� � �� ´ ´ ´ ´å � � å � � � å �

� �

� � �

��

´´

´ ´

� ��

� � å��

<��)�`��1�3�V�� b$� � �� ´ ´ ´ ´å å � å � å � å �

� �

� � ; �

5��

´´

´ ´

å � ��

å � å��

G�� $%��c��3��(��; �

5´

��

�+,��0.1$234�� !��"#��

� � �� D ´ ´ � ´� å � å å �$%�$&$� '��(�$&$� �!)*�

+,�� -��#�� !��$&$� '�(�$&$� �!)�$.�� ,� �/��"#� '0�12�� -��3��4��M ��%$�56*�

��*��d��C$� /��$.��"#��e�3�f�

�g�3��4��V��4�� !��"#�$%�$&$� '�(�$&$� �!)� ��g�3��$%��c��h��A�c �� L _ �� 5� �� å å � �Ð *�

��$%�� ;

�� g*� �� 5��

´ � ´ �� å � å å å��

e0�$C$��0�� M�$.��$C$�$&$� �/�D��c��$.��g�3��DN��$C$� �!��$&$� �/�$%� i�� M�

�:��9�� -�� 5� ;

��

� �´

å� � å å

��

+�� -��j)��$&$� �/� '0�12�� -��3��4��M ��%$�56� �� $%�

www.Toancapba.net


�� 5��

� �� 56 �5� ��

��

�

�

åå

� �å

�

_

��_

�

�

�

� ��

� � ��

�+,�-�0.�1$234�

7�0�89��"#�� :��9��

<�

�

� ��

� ; �6��

´

� �´ ´ ´å

��

�� å��

�

+= ��

�* ��D�� *

�

�

� ��

� � �´�

��

�

kl ��"# � ��

m � � ; �6��

´ ´� � å� ,��A�Q�� N��;��n�4o��N��3��]�;��N��

��]�� &� ��$%��4��]��i��

<� �� $�F��D��89��>�P��A/�$�=��

�N�*��d �1d��Q)�89��A/�$�=�� N�� %��M�� I�1[��]��

� �� 3 �� V ;� 4 �6� � � �6 6

�´ ´� � å � � �

�$%��c��3�6�]��h)� �)p��*��

��$%�

��

� �� ; �6� 6 � 6��

� �� ´ ´ ´ ´ ´ ´å å� � å � � � � ��

� �

� � � � � � �

6 � 6�� 6 � � 6 6� � � � � � � �´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´å å

� � � � � � ��

�

7�0�>�$�'�� S�� Q�� $%��

� � �

� � 6

�

��

�´ ´� å

� � ��

1d��@��)��3��

�+,�.�0.1$234��+= ��

( (´ D � � ��

www.Toancapba.net


��(��(�q�]��>�� %��

� � � � � �

��

� � � � � � �

D� ´� ´D ´ D ��

´ D� D ´� � ´D ´ D� D ´� � ´D� å å � � å å

å å å å å å�

r��8I��AE � -�� F$�A)��$0�>��$�0��89��"#�8��

� � �

� � �n n �� n � n �

� � �

´ D �� ´ D� D ´� � ´D

´ D� D ´� � ´Då å å

å å å�

�� b$��

� � � ��

� � � �

� � � � � �

� � � ��

� �

� � � � � �

´ D �´ D � ´ D� D ´� � ´D

´ D� D ´� � ´D

´ D � ´ D �

´ D� D ´� � ´D ´ D� D ´� � ´D

å å � å å å å å å åå å å

å å� � å å

å å å å å å å å �

� �

� � � �

�

��

� � � � � ��

� � � � � � �

� � � ��

� �� 5� �

�

´ D � ´ D ��

´ D� D ´� � ´D ´ D � ´D D� �´

´ D �

´ D �´ D �

å å å å� � � � �

å å å å å å å å å å

å å� � �

å åå å å

�

sd��@��$.��G�D��5��>��3��3�q��3�A�3�$�

�+,�/�0.1$234��

www.Toancapba.net


�

�

�� 0��t�D�� )�� !��$.��JK�u�� %�Jgt�D�� $�0�$.��DH�� I��

��Q ��

��$%�Jgt�3�

� � �6L

��

�8�c�� ?$��$.�� C$�JK7�D��* �

� ��

�� Ð

�

��$%� ��C$�JgJ7�1)P�� '��J�1��JJL

L

��

��

)�� )�

)� �

� �Jg7� JLJ ;�� å ��

�i��v�D�� )�� !��$.��Jg7� ��Kv�D�� $�0�$.�� C$�JgK7��

�1��JgK�3�K7�3��*�

� � � �; �Kv� 5 � �

� �

��

��

KK��

�5��

��

�

�

�

��

�

�

�

www.Toancapba.net


e�N�� ?$�� C$�JgK7�

�JgK7

* L �\ � ;

� 5

��

Ð

��

�0��s�D�� !� ?$��$.��>�#��$�%��Jg*JK7� ��

� � Lt*\ JK7 6s� Lt*\ JK7 3 *\ JLK7

� � \ JLK7 ;

��

ÐÐ Ð

Ð �

A��%$��U��JJg�1��Kg7g�$w��D��%$��U��JJg�1��K7��i��D��x� ��$%��

�L L �L* * 5 * 0" 0"

�

��

��

� � å��

� å��

³³³� ³³� ³³�³³³� ³³³� ³³� ³³³�

³³³� ³³³� ³³³�

�

�

�

www.Toancapba.net


ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011-2012

Câu 1: (3đ) Giải phương trình:1 1 1

1 0x

xx x x

Câu 2: (4đ) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sau,biết rằng x<0 và y>0

2 2 97

361 13 13 1

6 6

x y

y x y xx x

Câu 3: (4đ) Cho dãy số nguyên dương nu xác định như sau:

0 1

2 1

1; 451;2;3...

45 3n n n

u uvoi n

u u u

a.Chứng minh rằng: 2 21 2. 3n

n n nu u u với mọi n=1;2;3…

b. Chứng minh rằng số : 23013. 4.3nnP u là số chính phương với mọi n=1;2;3…

Câu 4: (2đ) Cho góc nhọn xOy ,điểm A di động trên Ox,điiểm B di động trên Oy sao cho OA=OB+k (k dương và không đổi).Chứng minh rằng đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác AOB và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: (4đ) Cho đường tròn bán kính bằng 1.Gọi A là một điểm cố định trên đường tròn . Vẽ tiếp tuyến tại A trên đó lấy T sao cho AT=1.Một đường thẳng d quay quanh T cắt đường trọn tại B và C.Xác định vị trí của d để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Câu 6: (3đ) Cho x>0,y>o và 5

24

x y

. Chúng minh rằng .s inx

cos( ).sin

yx y

x y

www.Toancapba.net


SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán - Vòng I ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011) SỐ BÁO DANH:………. Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(3.0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) sin 3 sin 2 sin4 4

x x x

b) 2 23 2 9 3 ( 1) 2 2 4 0x x x x x

Câu 2:(2.0 điểm)

Cho dãy số ( nu ) xác định như sau: 1

20111

1

1 , , 1nn

n

u

uu n N n

u

Tính 2011 2011 20111 2

2 3 1

lim ... n

n

u u u

u u u

Câu 3:(2.0 điểm) Cho , , 0a b c thỏa mãn 3a b c

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 34P a b c Câu 4:(2.0 điểm) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm di động trên cung BC không chứa A (P không trùng B, C). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng PB, PC. a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

b) Xác định vị trí của điểm P sao cho AM.PB+AN.PC đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5:(1.0 điểm) Cho , yx là các số nguyên dương thoả mãn 1

3

xy

xx là số nguyên

dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương z sao cho x y z xyz

--------------------HẾT----------------------

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu. * Giám thị không giải thích gì thêm.

www.Toancapba.net


g: 1 - Đáp án Toán - Vòng 1

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011- 2012 Môn thi: Toán - Vòng I (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011)

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm 1

a) sin 3 sin 2 sin4 4

x x x

sin3 cos3 sin 2 (sin cos )x x x x x

sin2 cos cos2 sin (cos2 cos sin2 sin ) sin2 sin sin2 cosx x x x x x x x x x x x

cos2 sin cos2 cos 0 cos2 (sin cos ) 0x x x x x x x

cos2 0 ( )4 2

x x k k Z

0,25

0,25

0,5

0,5

www.Toancapba.net



b)

2 2

2 2

3 2 9 3 ( 1) 2 2 4 0

3 2 (3 ) 3 ( 1) 2 ( 1) 3 (*)

x x x x x

x x x x

Xét hàm số : 2( ) 2 3f t t t trên R.

Ta có 2

2

2'( ) 2 3 0,

3

tf t t t R

t

nên f đồng biến trên R.

Do đó: (*) 1(3 ) 1 3 1

2f x f x x x x

0,5

0,5

0,5

2 Ta có: 2011

2011 2012 201211 1

1 1

1 11n n

n n n n n n nn n n n

u uu u u u u u u

u u u u

Suy ra: 2011 2011 20111 2

2 3 1 1 1 1

1 1 1... 1n

n n n

u u u

u u u u u u

Ta có: 20121 0n n nu u u . Do đó ( nu ) là dãy số tăng.

Giả sử 2012lim 0nu a a a a a (vô lí vì 1a ).

Suy ra 1

1lim lim 0n

n

uu

Vậy 2011 2011 20111 2

2 3 1

lim ... n

n

u u u

u u u

=1

0,5

0,5

0,5

0,5

3 Ta có: 33 3 21

( ) ( ) 04

a b a b a b a b (đúng)

3 33 3 3 3 31 14 4 3 4

4 4P a b c a b c c c

Xét hàm số 3 31( ) 3 4 , 0;3

4f c c c c

Ta có 2 23 3'( ) 3 12 ; '( ) 0 (do 0;3 )

4 5f c c c f c c c

BBT c 0 3/5 3 f’(c) - 0 + f(c) 27/4 108

0,25

0,25

0,25

0,5

www.Toancapba.net



108/25

GTNN là P=108/25 khi a=b=6/5 và c=3/5

Mặt khác 33 3 3 3 34 3 27 3 108P a b c a b c c c

GTLN là P=108 khi a=b=0 và c=3

0,25

0,5

N

M

H

O

B C

A

P

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. H là điểm cố định. Ta chứng minh MN đi qua H. Thật vậy: Tứ giác AHMB nội tiếp. Suy ra 090BHM BAM ABM Tứ giác AHCN nội tiếp. Suy ra 090CHN CAN ACN Mặt khác ABM ACN (do ABPC nội tiếp). Suy ra BHM CHN Do đó H thuộc MN hay MN đi qua điểm cố định H.

0,25

0,5

0,25 0,25

4

b) Ta có: AM.PB+AN.PC=2SABP+2SACP=2SABPC=2SABC +2SPBC AM.PB+AN.PC lớn nhất khi SPBC lớn nhất khi P là điểm chính giữa cung BC.

0,5

0,25

5 Theo thiết ta có :

3 2 2

2 2

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ( , 1) 1)

( 1 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1)

( ) ( 1) ( ( , 1) 1)

x x xy x x xy x xy do x xy

x xy xy x xy xy x x y xy

x y xy do x xy

Tồn tại một số *z N sao cho ( 1)x y z xy , suy ra x y z xyz

0,25

0,5

0,25

www.Toancapba.net



www.Toancapba.net


(Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011) SỐ BÁO DANH:………. Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(2.0 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) 2 5

0

2011 1 5 2011limx

x x

x

b)

0

1 cos cos2lim

sinx

x x

x x

Câu 2:(2.0 điểm)

Giải hệ phương trình: 3 2 6 4

23 1 3 4

x xy y y

x y

Câu 3:(2.0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2 1a b c . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3. 1 . 1 . 1 1a b c b c a c a b Câu 4:(2.5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a, các mặt bên tạo với mặt đáy góc có số đo bằng . Mặt phẳng qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) cắt đường thẳng SD tại I. Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD và V1 là thể tích của khối chóp D.ACI. a) Chứng minh rằng đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (ACI).

b) Tính tỷ số 1

1

V

V V theo .

Câu 5:(1.5 điểm) Một số được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} và số đó chia hết cho 1111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị như thế?

--------------------HẾT----------------------

www.Toancapba.net



SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán - Vòng II (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011)

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm 1

a) I = 52 5

5

0 0

2011 1 5 12011 1 5 2011lim lim 1 5x x

xx xx x

x x

Ta có: 5

0lim 1 5 0x

x x

5

4 3 20 0 5 5 5 5

4 3 20 5 5 5 5

2011 1 5 1 2011( 5 )lim lim

1 5 1 5 1 5 1 5 1

5.2011lim 2011

1 5 1 5 1 5 1 5 1

x x

x

x x

x x x x x x

x x x x

Vậy I = - 2011

0,25

0,25

0,25

0,25

www.Toancapba.net



b) J =

0 0

1 cos cos 1 cos21 cos cos2lim lim

sin sinx x

x x xx x

x x x x

Ta có:

2

0 0 0

2sin sin1 cos 1 12 2lim lim lim .sin sin 22cos

2 2

x x x

x xx

x xx x x x

0 0 0

cos 1 cos2 cos 1 cos2 2cos sinlim lim lim 1

sin 1 cos2 sin 1 cos2x x x

x x x x x x

x x xx x x x

Vậy J = 3

2

0,25

0,25

0,5 2

ĐK: 1

3x

3 2 6 4

2

(1)

3 1 3 4 (2)

x xy y y

x y

Giải (1):3

3 2 6 4 3(1)x x

x xy y y y yy y

( y=0 không là nghiệm

của hệ phương trình với mọi x). Xét hàm số 3( ) , f t t t t R

2'( ) 3 1 0f t t t R . Vậy hàm số đồng biến trên R.

Ta có: 2( )x x

f f y y x yy y

Thay vào (2) ta có: 23 1 3 4 4 4 2 3 10 3 16x x x x x

2

2 2

33 10 3 6 2 1

3 10 3 4 24 36

xx x x x

x x x x

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; -1) hoặc (1; 1).

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

3 Ta có: 2 2 2 2

2 23

2 2 2 22 2 2 23

1 1 11 1

3 3

. 13

b c b cb c

a b a ca b c a

Tương tự:

0,5

0,25

www.Toancapba.net



2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 23 3. 1 ; c . 1

3 3

b c b a c a c bb c a b a b c

Do đó: 2 2 2 1VT a b c (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi 1

3a b c

0,5

0,5

0,25

4 a) Ta có AC(SBD)ACSD. Kẻ CH vuông góc AI tại H CHSD (vì (ACD)(SAD)). Suy ra SD(ACI) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của CD OMCD, SMCD ((SCD), (ABCD)) (SM,OM) SMO SMO .

Gọi a là độ dài cạnh đáy, suy ra 2a tan a tan 2

SO ,SD2 2

.

Ta có SD(ACI) SDAI2

22 2

DI OD 2OD DI.SD

SD SD tan 2

12

SACD

V DI 2

V DS tan 2

21 1SABCD SACD 2 2

1

V V1 1V 2V cos

V tan 2 V V tan 1

0,5

0,25 0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

S

DA

B C

OM

I H

www.Toancapba.net



5 Giả sử 1 2 3 4 1 2 3 4n a a a a b b b b là một số thú vị. Do các chữ số khác nhau nên n là một hoán vị của các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tổng các số này bằng 36 nên n chia hết cho 9. Do 9 và 1111 có ước số chung lớn nhất là 1 nên n chia hết cho 9999. Đặt 1 2 3 4 1 2 3 4; x a a a a y b b b b , ta có: 4.10 9999 ( )n x y x x y chia hết cho 9999 nên (x+y) chia hết cho 9999. Ta có 0 2.9999 9999x y x y Do đó 1 1 2 2 3 3 4 4 9a b a b a b a b Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có 4 cặp (1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5). Số hoán vị của 4 cặp này là 4! Với mỗi cặp ta có 2 cách chọn . Vậy số các số thú vị là 44!.2 384

0,5

0,5

0,5

www.Toancapba.net


TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc———–***———–

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán học

Ngày thi thứ nhất

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. Giải hệ phương trìnhx2 + 3

√y2 + 1 =

√y2 + 9 + 5

y2 + 3√z2 + 1 =

√z2 + 9 + 5

z2 + 3√x2 + 1 =

√x2 + 9 + 5

Câu 2. Cho dãy số (an)n≥1 được xác định bởi a1 = 1 và an =2n− 3

2nan−1 với mọi

n ≥ 2. Ta lập dãy số (bn)n≥1 như sau: bn =n∑

i=1

ai, với n = 1, 2, 3, . . .. Chứng minh

rằng dãy số (bn)n≥1 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có trực tâm H. Đường tròn với tâmlà trung điểm của BC và đi qua H cắt đường thẳng BC tại các điểm A1, A2; đườngtròn với tâm là trung điểm của CA và đi qua H cắt đường thẳng CA tại các điểmB1, B2; đường tròn với tâm là trung điểm của AB và đi qua H cắt đường thẳng AB

tại các điểm C1, C2. Chứng minh rằng các điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng nằmtrên một đường tròn.

Câu 4. Xét lưới ô vuông vô hạn. Hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có cạnhchung. Ta cần tô mầu n ô sao cho với mỗi ô được tô mầu có đúng một số lẻ các ôkề với ô đó cũng được tô mầu. Hỏi có thể thực hiện được hay không khi

(1) n = 2010

(2) n = 2011

www.Toancapba.net


TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc———–***———–

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán học

Ngày thi thứ hai

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh rằng

(a+ b+ c)3

ab(a+ c)− 4(a+ b+ c)

a≥ c

(4

b− 5

a+ c

).

Câu 2. Mỗi số n nguyên dương, ta kí hiệu T (n) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4.

Hàm số f : Z → Z được gọi là may mắn nếu phương trìnhT (x)

T (y)= f(y) vô

nghiệm hoặc chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương (x, y).

(1) Chứng minh rằng nếu f(x) = k2 với mọi x ∈ Z, trong đó k > 1 là một sốnguyên cho trước thì f là may mắn.

(2) Cho q(x) =n∑

j=0

ajxj là một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn q

(−1

2

)6= 0 và an

lẻ. Chứng minh rằng hàm số g(x) = (x + 1)(x + 3) (q(x))2 (với x ∈ Z) là maymắn.

Câu 3. Cho tam giác không đều ABC. Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác ABC

tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại A0, B0, C0. Gọi A1, B1, C1 theo thứtự là chân các đường phân giác trong góc I của các tam giác IBC, ICA, IAB; A2,B2, C2 theo thứ tự là chân các đường phân giác trong của các góc A0, B0, C0 củatam giác A0B0C0 và I0 là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A0B0C0. Chứngminh rằng

(1) IA1 song song với I0A2.

(2) Các đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 đồng quy tại một điểm nằm trên đườngthẳng II0.

Câu 4. Có hai đội quần vợt thi đấu với nhau, mỗi đội có n đấu thủ (10 ≤ n < 210).Biết rằng hai đấu thủ bất kì thuộc hai đội gặp nhau đúng một trận, và không cókết quả hòa. Chứng minh rằng có 10 đấu thủ thuộc cùng một đội nào đó mà mộtđấu thủ bất kì thuộc đội còn lại phải thua ít nhất một trong 10 đấu thủ trên.

www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


www.Toancapba.net


1

2 2 00

x y xx ay a

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Long 2011-2012 Buổi sáng: Bài 1: (5đ) Cho hàm số

2 22( ) ( ) ( ) , ,

2

x yf xy f x y x y R

2(2 1)

1

m x my

x

(1), với m là tham số.

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x. b) Khi m =2, tìm trên đồ thị (C) của hàm số (1) hai điểm phân biệt đối xứng với

nhau qua đường thẳng (d): 1

24

y x .

Bài 2: (3đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 5 0x y và hai elip 2 2

1( ) : 125 16

x yE ,

2 2

2 2 2( ) : 1

x yE

a b (a>b>0) có cùng tiêu điểm. Biết rằng (E2) đi qua

điểm M thuộc đường thẳng ∆. Tìm tọa độ điểm M sao cho elip (E2) có độ dài trục lớn nhỏ nhất. Bài 3: (4đ) Cho hệ phương trình ,với a là tham số

a) Giải hệ phương trình với a=1. b) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1,y1), (x2,y2). Chứng minh rằng

2 21 2 2 1( ) ( ) 1x x y y

Bài 4: (4đ) Lớp 12A của trường trung học phổ thông chuyên có 33 học sinh trong đó có 7 học sinh nữ. Trong một chuyến tham quan thực tế, theo yêu cầu của ban tổ chức, cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh trong đó mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? Bài 5: (2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

4y3 – 4x2y2 – 4xy2 + x2y + 5x2 +4y2 + 4xy + 8x =0 Bài 6: (2đ) Cho hàm số f: thỏa điều kiện

( ) ( )( ) ; , , 0

f x f yf xy x y x y

x y

Chứng minh rằng f là hàm hằng trên .

www.Toancapba.net


2

Buổi chiều : Bài 1 : (4,5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Từ một điểm thuộc miền trong tam giác vẽ các đoạn thẳng IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC,CA, AB. Tìm vị trí của điểm I sao cho AL2 + BH2 + CK2 nhỏ nhất. Bài 2 : (4,5đ) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 +2abc < 2 Bài 3 : (4,5đ) Xét phương trình

xn – x2 – x – 1 = 0, n , n>2 Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n>2 thì phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất. Chứng minh rằng lim 1nn

x

, trong đó xn là nghiệm dương

của phương trình trên. Bài 4 :(4,5đ) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

21

31

( 4); 1,2,3,...5n n n

u

u u u n

a) Chứng minh rằng (un) là dãy tăng nhưng không bị chặn trên.

b) Đặt 1

1, 1, 2,3,...

3

n

nk k

v nu

. Tính lim nn

v

.

Bài 5 : (2đ) Tìm tất cả các hàm số liên tục f : thỏa điều kiện 2 2

2( ) ( ) ( ) , ,2

x yf xy f x y x y

www.Toancapba.net


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH VĨNH PHÚC MÔN: TOÁN

NĂM HỌC: 2011 – 2012 Câu 1.(2 đ) Giải hệ pt:

2 2

2 2

2 2

2 4

2 4

2 3

x y z

z y x

x z y

Câu 2.(2,5 đ)

1. Tìm pt của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số 2 2( 1)y x tại đúng hai điểm phân biệt.

2. Tìm tất cả các giá trị đúng của tham số m sao cho pt sau có nghiệm thực: sin 2 ( 2). sin (2 ) s 2 0x m x m co x m .

Câu 3. (3 đ)

1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B với AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Gọi M là trung điểm của cạnh C’A’, I là giao điểm của các đường thẳng AM và A’C. Tính thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC). 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC và đường

thẳng : 3 1 0x y . Giả sử D(4;2), E(1;1), N(3;3) theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A,B và trung điểm cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng và điểm M có hoành độ lớn hơn 2.

Câu 4. (1,5 đ) Cho các số thực a,b,c với a < 3 và đa thức: 3 2( )f x x ax bx c có ba nghiệm âm phân biệt . CMR: b + c < 4. Câu 5.(1 đ) Tìm số các cặp sắp thứ tự (A;B) hai tập con của tập hợp S={1,2,3,…,2011} sao cho số phần tử của tập hợp A B là chẵn.

www.Toancapba.net


ĐỀ THI HSG VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU

NĂM HỌC 2011-2012

Vòng 1

Đề Chính thức

Bài 1: Giải hệ phương trình x+ 8 =√2y − x

√y + 4

x2 + 2x+ y = y√x2 − x+ 4

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt

đường thẳng BC ở K. Phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt cạnh BC tại D.

1. Chứng minh rằng: KD2 = KB.KC

2. Một đường thẳng qua K (khác đường thẳng BC) cắt (O) tại hai điểm phân biệt M,N . Các đường

thẳng MD,ND lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai E,F . Chứng minh rằng hai đường thẳng EF và

BC song song với nhau. ((O) kí hiệu đường tròn tâm (O)).

Bài 3: Cho dãy số (xn) được xác định bởix1 = 5

xn+1 = x2n − 5xn + 9

(n ≥ 1)

Đặt yn =1

x1 − 2+

1

x2 − 2+ ...+

1

xn − 2. Chứng minh dãy yn hội tụ và tính giới hạn.

Bài 4: Tìm hàm số f : R→ R, biếtf(f(x) + xf(f(y))) = x+ yf(x)

Bài 5: Tồn tại hay không số nguyên dương x mà x3 + 7 là số chính phương?

Bài 6: Cho n nguyên dương. Tập con X của S = {1; 2; ...;n} gọi là tập tốt nếu phần tử nhỏ

nhất của X không nhỏ hơn số phần tử của X. Tính số tập con tốt theo n.

Đề dự bị

Bài 1: Cho a, b, c dương, biết abc = 1. Chứng minh rằng:1

a2 − a+ 1+

1

b2 − b+ 1+

1

c2 − x+ 1≤ 3

Bài 2: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB và AC. Một điểm M thay đổi

trên cung lớn BC của (O). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt tại E,F .

Đường thẳng OE,OF cắt đường thẳng BC tại P,Q.

1. Chứng minh rằng các đường thẳng EQ,FP và OM đồng quy.

2. Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng EF nhỏ nhất.


xn+1 = 3xn + 1 + 2√2(x2

n + xn)(n ≥ 1)

1

www.Toancapba.net


Chứng minh dãy số trên gồm toàn số nguyên và dãy yn =xn+1

xn

hội tụ, tính giới hạn đó.

Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho (2p+ 1)2 + (2q + 1)2 − 1 là số chính phương.

Bài 5: Cho tập hợp S = {1; 2; ...; 2n} với n nguyên dương. Tìm số tập con X của S sao cho

không có hai phần tử nào của X có hiệu là 2.

Bài 6: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất có tính chất: Với n số thực bất kì luôn tìm được ba

số chẵn hạn là a, b, c sao cho a+ b, b+ c, c+ a cùng là số hữu tỉ hoặc cùng là số vô tỉ.

Vòng 2

Bài 1: Tìm hàm số f : R→ R, biếtf(f(x) + y)− f(x− f(y)) = 2y


n2xn = 2012− (x1 + x2 + ...+ xn−1)(n ≥ 2)

Chứng minh dãy yn = x1 + x2 + ...+ xn hội tụ và tính giới hạn.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại I; các đường thẳng AD,BC

cắt nhau tại K. Đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD cắt nhau tại E,F . Chứng

ming rằng bốn điểm I,K,E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy, xét tập M các điểm nguyên (x; y) mà x, y thuộc tập {1; 2; ...; 12}.Mỗi điểm thuộc M tô bởi một trong các màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh có ít nhất 6 hình chữ

nhật, mỗi hình có 4 đỉnh cùng màu và các cạnh song song với các trục tọa độ.

2

www.Toancapba.net


Documents

[Www.toancapba.net] tổng+hợp+nhiều+đề+hsg+có+đap+án