Wykład 19 - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_19/wyklad_w19.pdf · Prawo Faradaya może byd wyprowadzone z zasady zachowania energii. ... (EIdt) będzie składad

Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 1

Wykład 19

Indukcja elektromagnetyczna. Prawa Maxwella.

19.1 Zjawisko indukcji elektromagnetycznej (doświadczenia Faradaya).

W poprzednim wykładzie omawialiśmy zjawisko powstawania pola magnetycznego wokół

przewodnika z prądem. A czy istnieje zjawisko odwrotne? Istnienie związku między polem

magnetycznym i prądem doprowadziło do szeregu prób wzbudzenia prądu za pomocą pola

magnetycznego. Zadanie to, zostało doskonale wykonane przez angielskiego fizyka M. Faradaya w

1831 roku. Odkrył on zjawisko indukcji elektromagnetycznej, polegające na tym, że w zamkniętym

c)

Rysunek 19.1

b) a)

Magnes porusza

się względem

cewki

Druga cewka porusza

się względem

pierwszej

Prąd powstaje w

nieruchomej cewce

Prąd powstaje w

nieruchomej cewce

Druga cewka pozostaje w spoczynku względem

pierwszej

Prąd powstaje w nieruchomej

cewce tylko wtedy, gdy zmienia

się prąd w cewce zewnętrznej.


obwodzie, podczas zmian strumienia magnetycznego obejmującego ten obwód, powstaje prąd

elektryczny zwany prądem indukcyjnym.

Rozpatrzmy klasyczne doświadczenia Faradaya, w których odkrył on zjawisko indukcji

elektromagnetycznej.

1 doświadczenie (Rysunek 19.1a,b). Jeżeli do solenoidu włączonego do obwodu z

galwanometrem wprowadzad magnes (b) cewkę), to podczas jego wprowadzania lub wyciągania

obserwuje się wychylenie strzałki galwanometru (powstaje prąd indukcyjny), raz w jedną, raz w

drugą stronę. Wychylenie strzałki galwanometru jest tym większe im większa jest szybkośd

poruszającego się magnesu. Po zmianie biegunów magnesu strzałka wychyla się w przeciwną

stronę.

2 doświadczenie (Rysunek 19.1c). Kooce jednej z cewek podłączone są do galwanometru,

cewki są wstawione jedna w drugą i przez drugą płynie prąd. Wychylenie strzałki obserwuje się w

chwili włączania i wyłączania prądu lub podczas przemieszczania cewek względem siebie. (Rysunek

19.1c). Odchylenia strzałki podczas włączania i wyłączania również są przeciwne.

Uogólniając rezultaty swoich doświadczeo Faraday doszedł do wniosku, że prąd indukcyjny

powstaje zawsze wtedy, gdy zmienia się strumieo indukcji

magnetycznej. Ustalił on również, że wielkośd prądu indukcyjnego

nie zależy od sposobu, w jaki zmieniany jest strumieo indukcji

magnetycznej, a zależy jedynie od szybkości jego zmian.

19.2 Prawo Faradaya. Strumieo pola magnetycznego.

Faraday ustalił, że za każdym razem, gdy zmienia się strumieo

indukcji, powstaje w obwodzie siła elektromotoryczna zwana siłą

elektromotoryczną indukcji. Wielkośd tej SEM określona jest tylko szybkością zmian strumienia

magnetycznego:

ℇ𝑖~𝑑ΦB

𝑑𝑡 19.1

Przypomnijmy sobie określenie strumienia. Wybierzmy nieskooczenie mały element

powierzchni 𝐝𝐀 i niech indukcja pola magnetycznego na tym elemencie wynosi 𝐁 (Rysunek 19.2).

Wtedy strumieo pola magnetycznego przez element 𝑑𝐴 jest równy:

𝑑ΦB = B ∙ dA = 𝐵⊥𝑑𝐴 = 𝐵𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙

Rysunek 19.2


gdzie 𝐵⊥ jest składową pola magnetycznego 𝐵 w kierunku prostopadłym do pola powierzchni 𝐝𝐀 ,

ϕ jest kątem między 𝐁 i 𝐝𝐀 . Całkowity strumieo pola magnetycznego ΦB przez skooczoną

powierzchnię A znajdziemy całkując po tej powierzchni:

Φ𝐵 = B ∙ dA = 𝐵𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙 19.2

Znak strumienia indukcji magnetycznej zależy od wyboru dodatniej normalnej do powierzchni

konturu. Z kolei kierunek dodatni normalnej związany jest z prądem regułą śruby prawoskrętnej.

W rezultacie wybierając dowolnie dodatni kierunek normalnej, określamy zarówno znak

strumienia jak i kierunek prądu i SEM w obwodzie. Korzystając z tych wniosków Faradaya, Maxwell

podał prawo indukcji (zwane prawem Faradaya):

Bez względu, jaka jest przyczyna zmian strumienia indukcji magnetycznej przechodzącego

przez zamknięty obwód, siła elektromotoryczna powstająca w tym obwodzie wyraża się wzorem:

ℇ𝐢 = −𝐝𝚽

𝐝𝐭 19.2

Prawo Faradaya.

Kierunek indukowanej SEM

indukcji.

Możemy znaleźd kierunek

indukowanej SEM lub prądu

stosując 19.2 razem z paroma

prostymi zasadami dotyczącymi

znaku. A mianowicie:

1. Określamy dodatni kierunek

wektora powierzchni 𝐀 .

2. Znając zwroty 𝐀 i 𝐁 określamy

znak strumienia pola

magnetycznego ΦB. Rysunek

19.3 przedstawia kilka

przykładów.

3. Określamy znak indukowanej

SEM i prądu. Jeżeli strumieo

Rysunek 19.3

Strumień dodatni (ΦB > 0)

Strumień staje się bardziej dodatni (dΦB/dt > 0)

SEM indukcji ujemna (E < 0)

Strumień dodatni (ΦB > 0)

Strumień staje się mniej dodatni (dΦB/dt < 0)

SEM indukcji ujemna (E > 0)

Strumień ujemny (ΦB < 0)

Strumień staje się bardziej ujemny (dΦB/dt < 0)

SEM indukcji dodatnia (E > 0)

Strumień ujemny (ΦB < 0)

Strumień staje się mniej ujemny (dΦB/dt > 0)

SEM indukcji ujemna (E < 0)

(a) (b)

(c) (d)

𝑩

𝑩

𝑩 𝑩

(Wzrasta)

(Wzrasta) (Maleje)

(Maleje)

E


zwiększa się, czyli wartośd dΦB/dt jest dodatnia, wtedy wartośd Ei lub prądu jest ujemna, jeżeli

strumieo maleje, wtedy wartośd dΦB/dt jest ujemna, a wartośd Ei lub prądu jest dodatnia.

4. Na koocu określmy kierunek indukowanej SEM lub prądu stosując regułę prawej dłoni.

Zegnijmy palce prawej dłoni wokół wektora 𝐀 , tak aby kciuk wskazywał jego zwrot. Jeżeli siła

elektromotoryczna indukcji Ei lub prąd są dodatnie, to mają ten sam kierunek co nasze zagięte

palce; jeżeli siła elektromotoryczna indukcji Ei lub prąd są ujemne, to mają kierunek przeciwny

do naszych zagiętych palców.

Podsumowując: znak minus wskazuje, że zwiększenie strumienia (𝑑Φ

𝑑𝑡> 0) powoduje powstanie

SEM indukcji Ei < 0 tzn. powstające dodatkowe pole magnetyczne wywołane prądem indukcyjnym

jest skierowane przeciwnie do tego strumienia; zmniejszenie strumienia (𝑑Φ

𝑑𝑡< 0) powoduje

powstanie SEM indukcji Ei > 0, tzn. kierunek strumienia i kierunek pola indukowanego prądem

pokrywają się. Znak minus we wzorze 19.2 jest matematycznym odzwierciedleniem reguły Lenza.

Reguła Lenza: Kierunek prądu indukcyjnego w obwodzie jest zawsze taki, że wzbudzane nim

pole magnetyczne przeszkadza zmianą strumienia pola magnetycznego wzbudzającego ten

prąd.

Reguła Lenza.

Kilka przypadków zastosowania reguły Lenza przedstawiają sytuacje zobrazowane na rysunku

19.5.

Prawo Faradaya może byd wyprowadzone z zasady zachowania

energii. Rozpatrzmy przewodnik z prądem I, który został umieszczony

w jednorodnym polu magnetycznym, prostopadłym do obwodu, i

który może się swobodnie przemieszczad (Rysunek 19.4). Pod

wpływem działania siły Ampere’a F, kierunek, której pokazany jest na

rysunku, przewodnik przesunie się na odległośd dx. Tym samym, siła Ampere’a wykona pracę dW

= IdΦ, gdzie dΦ jest strumieniem przeciętym przez przewodnik.

Jeżeli całkowity opór obwodu wynosi R, to, zgodnie z zasadą zachowania energii, praca źródła

prądu w czasie dt (EIdt) będzie składad się z pracy zamienionej na ciepło Joule’a i pracy wykonanej

podczas przesuwania przewodnika z prądem w polu magnetycznym (IdΦ):

IdRdtIEIdt 2

skąd

𝐁

1 2

𝐅 l

dx

E

I

Rysunek 19.4


Rdt

dEI /

gdzie −𝑑Φ

𝑑𝑡= ℇ𝑖

jest właśnie prawem Faradaya.

SEM indukcji elektromagnetycznej wyraża się w woltach:

VsA

sVA

sA

J

smA

mN

s

mT

s

Wb

dt

d

22

Jaka jest przyczyna powstawania SEM indukcji elektromagnetycznej? Jeżeli przewodnik

(ruchoma poprzeczka z rysunku 19.4) porusza się w stałym polu magnetycznym, to siła Lorentza

działająca na elektrony w przewodniku będzie skierowana przeciwnie do kierunku prądu tzn.

będzie ona wytwarzad w przewodniku prąd indukcyjny skierowany przeciwnie (jako kierunek

prądu przyjmujemy ruch ładunków dodatnich). Tym samym wzbudzenie siły elektromotorycznej

Poruszający się magnes

powoduje wzrost strumienia

skierowanego do dołu

𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌

(a) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne

kierunek prądu musi być przeciwny do

kierunku wskazówek zegara.

𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌

𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌 𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌

Indukowane pole magnetyczne jest

skierowane do góry przeciwnie

do zmian

strumienia


powoduje zmniejszenie strumienia

skierowanego do dołu Indukowane pole magnetyczne jest

skierowane do

góry przeciwnie do zmian

strumienia

Poruszający się magnes powoduje wzrost strumienia

skierowanego do dołu

Indukowane pole magnetyczne jest

skierowane do


strumienia


powoduje zmniejszenie strumienia

skierowanego do góry Indukowane pole magnetyczne jest

skierowane do


strumienia

(b) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne

kierunek prądu musi być zgodny z

kierunkiem wskazówek zegara.

(c) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne

kierunek prądu musi być zgodny z

kierunkiem wskazówek zegara.

(d) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne

kierunek prądu musi być przeciwny

do kierunku wskazówek zegara.

Rysunek 19.5


indukcji podczas ruch obwodu w stałym polu magnetycznym daje się wyjaśnid działaniem siły

Lorentza powstającej podczas ruchu przewodnika.

Zgodnie z prawem Faradaya, powstanie siły elektromotorycznej indukcji jest możliwe również

w nieruchomym przewodniku umieszczonym w zmiennym polu magnetycznym. Jednak siła

Lorentza nie działa na nieruchome ładunki, dlatego w tym przypadku nie można za jej pomocą

wytłumaczyd powstania SEM indukcji. W celu wytłumaczenia powstawania SEM indukcji w

nieruchomych przewodnikach Maxwell założył, ze każde zmienne pole magnetyczne 𝑩 wywołuje w

otaczającej przestrzeni pole elektryczne 𝑬 𝑩,, które jest właśnie przyczyną powstania prądu

indukcyjnego w przewodniku. Zgodnie z teorią Maxwella, obwód, w którym pojawiła się SEM, gra

drugoplanową rolę, i jest tylko swojego rodzaju „przyrządem” wykrywającym to pole.

Cyrkulacja wektora 𝐄 𝐁 tego pola po dowolnym konturze L przewodnika jest SEM indukcji:

ℇ𝐢 = 𝐄 𝐁𝐝𝐥 = −𝛛𝚽𝐁

𝛛𝐭𝐋, 19.3

gdzie pochodna cząstkowa 𝛛𝚽𝐁

𝛛𝐭 uwzględnia zależnośd strumienia indukcji magnetycznej tylko po

czasie.

Podstawiając do 19.3 wyrażenie na strumieo magnetyczny otrzymujemy

L A

B AdBt

ldE

.

Ponieważ kontur i powierzchnia są nieruchome, to działania różniczkowania i całkowania można

zamienid miejscami:

AL

B Adt

BldE

19.4

Podsumujmy dotychczasowe wiadomości: Prawo Faradaya obowiązuje w przypadku dwu

różnych sytuacji. W pierwszym przypadku siła elektromotoryczna indukcji powstaje w wyniku

wywierania sił magnetycznych podczas poruszania się przewodnika w polu magnetycznym. W

drugim przypadku zmienne pole magnetyczne powoduje powstanie pola elektrycznego w

nieruchomym przewodniku i w rezultacie indukuje się SEM. Przy czym to pole E B może powstawad

nawet wtedy, gdy nie ma przewodnika. Pole to różni się od pola elektrostatycznegoE Q ponieważ


jest niezachowawcze. Zgodnie z tym, co było powiedziane w poprzednim wykładzie, cyrkulacja

wektora natężenia EQ pola elektrostatycznego (zachowawczego) po dowolnym zamkniętym

konturze jest zawsze równa zero:

L

Q ldE 0

19.5

Porównując 19.4 i 19.5 widad, że między rozpatrywanymi polami (𝑬 𝑩 i 𝑬 𝑸) istnieje zasadnicza

różnica: cyrkulacja wektora 𝑬 𝑩, w odróżnieniu do cyrkulacji 𝑬 𝑸, nie jest równa zero. Tak, więc

zarówno pole 𝑬 𝑩 i samo pole magnetyczne 𝑩 są polami wirowymi. Pomimo tych różnic między 𝑬 𝑩

i 𝑬 𝑸 zarówno jedno jak i drugie pole, zgodnie ze swoją podstawową naturą, wywierają siłę 𝐹 = 𝑞𝐸

na ładunek q.

Zatem zmienne pole magnetyczne zachowuje się jak źródło takiego pola elektrycznego, które

nie jesteśmy w stanie wytworzyd przez żaden statyczny układ ładunków. Co więcej, jak

przekonamy się w dalszej części wykładu, zmienne pole elektryczne jest źródłem pola

magnetycznego.

Opisana natura powstawania pola 𝑬 𝑩 znalazła cały szereg praktycznych zastosowao. W

nieruchomej cewce głowicy magnetycznej odtwarzacza magnetofonowego powstają prądy

indukcyjne w miarę jak różne obszary namagnetyzowanej taśmy przesuwają się przed głowicą.

Dyski twarde w komputerze działają na tej samej zasadzie. Przetworniki w gitarach elektrycznych

wykorzystują prąd indukowany w przetwornikowych cewkach w wyniku drgao w pobliżu nich strun

𝑩

Strumień zmniejsza się najszybciej, największa

wartość dodatnia SEM

Strumień najbardziej

ujemny, SEM równa

zero

Strumień zwiększa się

najszybciej, największa

wartość ujemna SEM 𝑩

Strumień najbardziej

dodatni, SEM równa

zero

Rysunek 19.6


ferromagnetycznych. W alternatorach większości samochodów obraca się magnes, który wywołuje

w cewce przepływ prądu. Oczywiście taka lista może byd kontynuowana.

19.3 Ruch ramki w polu magnetycznym.

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej znajduje zastosowanie przy zamianie energii

mechanicznej na energię elektryczną prądu elektrycznego. W tym celu wykorzystuje się

generatory (prądnice), których zasadę działania można przeanalizowad na przykładzie płaskiej

ramki obracającej się w jednorodnym polu magnetycznym (Rysunek 19.6 i Rysunek 19.7).

Załóżmy, ze ramka obraca się w jednorodnym polu magnetycznym (B = const) ruchem

jednostajnym z prędkością kątową ω = const. Strumieo indukcji magnetycznej przechodzący przez

ramkę o powierzchni A w dowolnej chwili czasu t jest równy:

tBABAABn coscos ,

gdzie ϕ = ωt – kąt o jaki obróci się ramka po czasie t (warunki początkowe zostały wybrane tak, że

dla t = 0 α = 0)

Podczas obracania się ramki będzie w niej powstawad SEM indukcji:

tBAdt

dEi sin

19.6

zmieniająca się sinusoidalnie z czasem. Dla sinωt = 1, wartośd Ei będzie maksymalna i równa

BAE max . 19.7

Uwzględniając 4.5 można zapisad

tEEi sinmax 19.8

Podsumowując:, jeżeli ramka obraca się ruchem jednostajnym w jednorodnym polu

magnetycznym, to powstaje w niej siła elektromotoryczna indukcji, która zmienia się sinusoidalnie

wraz z czasem.


W prądnicy przedstawionej na rysunku 19.6 otrzymuje się prąd zmienny o przebiegu

sinusoidalnym (wzór 19.8). Indukowane napięcie pobierane jest przy pomocy ślizgających się

szczotek z dwu pierścieni obracających się razem z ramką.

Ze wzoru 19.7. wynika, że Emax zależy od ω, A i B. Za standardową częstotliwośd prądu w sieci

przyjmuje się częstotliwośd równą ν = ω/(2π) = 50Hz, dlatego możliwe jest tylko zwiększanie

dwóch ostatnich wielkości. W elektrowniach w generatorach dużej mocy w celu zwiększenia B

stosuje się magnesy o dużej mocy, lub przez elektromagnesy przepuszczany jest prąd o dużym

natężeniu, lub też rdzenie elektromagnesów wykonuje się z materiałów o dużej przenikalności

magnetycznej μ. Jeżeli obracad nie jeden zwój, a cały szereg N zwojów, połączonych szeregowo, to

tym samym zwiększamy powierzchnię, która wyniesie NS.

Rysunek 19.7 przedstawia schematycznie zasadę działania prądnicy prądu o stałym kierunku

przepływu. Układ półpierścieni zwanych komutatorem odwraca połączenie z zewnętrznym

układem w położeniach kątowych ramki, przy których następuje zmiana SEM na przeciwną.

Powstająca w wyniku tego SEM przedstawiona jest na rysunku 19.7b. Komercyjne prądnice

posiadają wiele ramek połączonych z komutatorem składającym się z wielu segmentów (pierścieo

podzielony jest nie na dwie części, ale na wiele odcinków). Taki układ powoduje, że otrzymywane

napięcie ulega wygładzeniu i w rezultacie otrzymuje się nie tylko prąd płynący w jednym kierunku,

ale stały.

Proces przekształcania energii mechanicznej w elektryczną jest odwracalny. Jeżeli przez ramkę,

umieszczoną w polu magnetycznym, przepuszczad prąd elektryczny, to będzie na nią działał

obrotowy moment sił (patrz: siła Ampere’a) i ramka zacznie się obracad. Na tej zasadzie działają

silniki elektryczne.

Rysunek 19.7

𝑩


19.4 Współczynnik indukcji. Zjawisko samoindukcji.

Prąd elektryczny płynący w zamkniętym obwodzie wytwarza wokół siebie pole magnetyczne,

którego indukcja magnetyczna, zgodnie z prawem Biota – Savarta, jest proporcjonalna do

natężenia prądu. W związku z tym strumieo pola magnetycznego przechodzący przez obwód

będzie proporcjonalny do natężenia prądu I:

Φ = 𝐿𝐼 19.9

Strumieo pola magnetycznego w obwodzie z prądem.

gdzie współczynnik proporcjonalności L nazywa się współczynnikiem samoindukcji

(indukcyjnością) obwodu.

Jeżeli zmieni się natężenie prądu (Rysunek 19.8), to zmieni

się również strumieo pola magnetycznego przechodzący przez

obwód, w związku z tym w obwodzie będzie indukowana SEM.

Powstawanie SEM indukcji w obwodzie, w którym zmienia się

natężenie prądu nazywa się zjawiskiem samoindukcji.

Ze wzoru 19.9 można określid jednostkę współczynnika

samoindukcji – henr (H): 1H jest to indukcyjnośd takiego

obwodu, w którym płynący prąd 1 A wytwarza strumieo

indukcji magnetycznej równy 1Wb:

AsVAWbH /1/11

Rozważmy indukcyjnośd nieskooczenie długiego solenoidu. Zgodnie z obliczeniami z

poprzedniego wykładu strumieo pola magnetycznego przez solenoid wynosi Il

Sn2

0 .

Porównując to z 19.9 widzimy, że

l

SnL

2

0 19.10

Można pokazad, że współczynnik indukcji zależy tylko od geometrycznej formy obwodu, jego

rozmiarów i przenikalności magnetycznej ośrodka, w którym się znajduje. W tym sensie

Rysunek 19.8 Prąd i w obwodzie

powoduje powstanie pola 𝐵 i strumienia przecinającego cewkę. Jeżeli zmienia się prąd, to zmienia się również strumieo i powstaje SEM samoindukcji.


indukcyjnośd obwodu jest analogiem do pojemności przewodnika, która również zależy tylko od

kształtu przewodnika, jego rozmiarów i przenikalności dielektrycznej ośrodka.

Stosując prawo Faradaya do zjawiska samoindukcji otrzymujemy:

dt

dLI

dt

dILLI

dt

d

dt

dES

Jeżeli obwód nie ulega deformacji i przenikalnośd magnetyczna ośrodka nie zmienia się, to L =

const i

ℇ𝐬 = −𝐋𝐝𝐈

𝐝𝐭 19.11

SEM samoindukcji.

gdzie znak minus, uwarunkowany regułą Lenza, pokazuje, że pojawienie się indukcyjności w

obwodzie prowadzi do spowolnienia zmian natężenia prądu w obwodzie.

Jeżeli prąd wzrasta w czasie, to 𝑑𝐼

𝑑𝑡> 0 i ES < 0, co oznacza, że prąd indukcyjny skierowany jest

przeciwnie do prądu w obwodzie i hamuje jego wzrost. Jeżeli prąd maleje w obwodzie, czyli

𝑑𝐼

𝑑𝑡< 0 a ES > 0, to prąd indukcyjny ma taki sam kierunek co malejący prąd w obwodzie i spowalnia

jego ubywanie. W rezultacie, jeżeli obwód posiada określoną indukcyjnośd, to posiada pewną

bezwładnośd elektryczną, polegającą na tym, że dowolna zmiana prądu jest hamowane i

hamowanie to jest tym silniejsze im większa jest indukcyjnośd obwodu.

Aby zrozumied lepiej zachowanie się obwodów z prądem zawierających cewkę o indukcyjności

L przystosujmy drugie prawo Kirchhoffa do takich obwodów. W przypadku zwykłych obwodów,

suma algebraiczna wszystkich różnic potencjałów na elementach pasywnych obwodu po obejściu

obwodu w koło musi byd równa zero, ponieważ występujące w obwodzie pole elektryczne jest

zachowawcze 𝐸 𝑧𝑎𝑐ℎ .

Kiedy w obwodzie znajduje się cewka sytuacja ulega zmianie. Indukowane w cewce pole

elektryczne, jak wiemy, nie jest zachowawcze i oznaczmy je jako 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ . Musimy bardzo uważnie

prześledzid role jakie odgrywają poszczególne pola. Załóżmy, że mamy do czynienia z cewką o

zaniedbywalnym oporze. W takiej sytuacji wystarczy dowolnie małe całkowite pole elektryczne,

aby ładunki zaczęły się poruszad, zatem całkowite pole elektryczne 𝐸 𝑧𝑎𝑐 ℎ + 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ wewnątrz cewki

musi byd równe zero.


Rozważmy obwód pokazany na rysunku 19.9; pojemnik na rysunku

zawiera określony zestaw ogniw i oporników, które umożliwiają regulację

prądu i płynącego w obwodzie. Zgodnie z prawem Faradaya (wzór 19.3)

całka liniowa z 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia

magnetycznego, który z kolei dany jest równaniem 19.9. W rezultacie

otrzymujemy:

E nzach dl = −Ldi

dtL

całkując wzdłuż obwodu (zgodnie z kierunkiem założonego prądu i). Jednak

𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ jest różne od zera tylko w obszarze cewki. Dlatego też całkę po

całym obwodzie z 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ możemy zastąpid całką od a do b wzdłuż cewki,

tzn.:

E nzach dl 𝑏

𝑎= −L

di

dt

Następnie, ponieważ 𝐸 𝑧𝑎𝑐 ℎ + 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ = 0 w każdym punkcie cewki,

możemy zapisad:

E zach dl 𝑏

𝑎= L

di

dt

Całka po lewej stronie jest po prostu różnicą potencjałów między punktami

a i b. Ostatecznie otrzymujemy:

𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = Ldi

dt 19.12

Na podstawie ostatniego równania możemy wyciągnąd wniosek, że między

koocami cewki istnieje realna różnica potencjałów związana z elektrycznym

polem zachowawczym, pomimo faktu, iż samo pole elektryczne związane z

zjawiskiem indukcji magnetycznej nie jest zachowawcze. Zatem mamy

prawo używad reguły dotyczącej drugiego prawa Kirchhoffa pod

warunkiem, że będziemy przyjmowad równanie 19.12 określające różnicę potencjałów na koocach

cewki.

Na rysunku 19.10 przeanalizowano zachowania się opornika i cewki w czasie przepływu prądu i

podsumowano są relacje dotyczące znaków.

Rysunek 19.10

Rysunek 19.9

a. Opornik z prądem i

płynącym od a do b:

potencjał maleje od a do b

b. Cewka z prądem i

płynącym od a do b:

Jeżeli di/dt > 0, to potencjał maleje od a do b

Jeżeli di/dt < 0, to potencjał wzrasta od a do b

Jeżeli di/dt = 0, to różnica potencjałów wynosi zero


19.5 Prądy podczas zamykania i otwierania obwodu.

Wzrost natężenia prądu podczas zamykania obwodu.

Każda zmiana natężenia prądu w obwodzie powoduje powstaje SEM

samoindukcji i w rezultacie, w obwodzie pojawiają się dodatkowe prądy

samoindukcji. Prądy te, zgodnie z regułą Lenza, zawsze są skierowane tak,

aby przeszkadzad zmianom prądu w obwodzie. Podczas zamykania

obwodu prąd indukcyjny ma kierunek przeciwny do prądu powstającego

pod wpływem zewnętrznej SEM, a podczas otwierania obwodu, prąd

indukcyjny ma taki sam kierunek jak zanikający prąd.

Rozpatrzmy proces włączania prądu w obwodzie, który zawiera SEM E,

opór R i cewkę o indukcyjności L (Rysunek 19.11). Załóżmy, że początkowo oba klucze są otwarte.

W chwili t = 0 zamykamy klucz S1. Prąd nie może się zmienid gwałtownie od zera do pewnej

skooczonej wartości, ponieważ di/dt i indukowana SEM w cewce mają skooczone wartości.

Niech i będzie prądem po czasie t od zamknięcia klucza S1 i niech di/dt będzie szybkością zmian

prądu w tym czasie. Różnica potencjałów na oporniku w chwili t wynosi:

𝑉𝑎𝑏 = 𝑖𝑅

a różnica potencjałów Vbc na cewce jest równa:

𝑉𝑏𝑐 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡.

Zwródmy uwagę, że jeżeli prąd płynie w kierunku jak na rysunku i rośnie, to zarówno Vab jak i Vbc

są dodatnie, tzn. a ma wyższy potencjał niż b i b ma wyższy potencjał niż c (porównaj z rysunkiem

19.10b). Możemy teraz zastosowad drugie prawo Kirchhoffa do naszego obwodu z zamkniętym

kluczem S1:

ℇ − 𝑖𝑅 − 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 19.13

Przekształcając mamy:

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

ℇ

𝐿−

𝑅

𝐿𝑖 19.14

W chwili zamknięcia klucza S1 i = 0 i spadek potencjału na oporniku jest równy zero. Zatem

początkowa szybkośd zmian prądu wyniesie

𝑑𝑖

𝑑𝑡 𝑝𝑜𝑐𝑧

=ℇ

𝐿

Rysunek 19.11

i


Wraz z upływem czasu wzrasta i a tym samym (R/L)i w wyrażeniu 19.14, a zatem szybkośd zmian

prądu maleje coraz bardziej. Oznacza to, że prąd dąży do osiągnięcia stałej wartości I. Wtedy di/dt

będzie równe zero, a równanie przybierze postad

𝑑𝑖

𝑑𝑡 𝑘𝑜ń𝑐

= 0 =ℇ

𝐿−

𝑅

𝐿𝐼

i

𝐼 =ℇ

𝑅

Zależnośd natężenia prądu od czasu przedstawia rysunek 19.12. Aby

wyprowadzid równanie opisujące tę zależnośd, przepiszmy równanie

19.14 w postaci

𝑑𝑖

𝑖− ℇ 𝑅 = −

𝑅

𝐿𝑑𝑡

Scałkujmy to wyrażenie

𝑑𝑖

𝑖− ℇ 𝑅

𝑖

0= −

𝑅

𝐿𝑑𝑡

𝑡

0

𝑙𝑛 𝑖− ℇ 𝑅

−ℇ 𝑅 = −

𝑅

𝐿𝑡

Przepiszmy powyższe równanie jako funkcję i od t:

𝐢 =ℇ

𝐑 𝟏 − 𝐞− 𝐑/𝐋 𝐭 19.15

Prąd podczas włączania obwodu RL z SEM

Z wykresu na rysunku 9.12 widzimy, że początkowo prąd rośnie gwałtownie, aby następnie powoli

zbliżad się do ustalonej wartości I = E/R. Po czasie t = L/R prąd wzrośnie do wartości (1 – 1/e) lub

do około 63% swojej koocowej wartości. Dlatego też L/R jest miarą tego jak szybko prąd narasta i

wielkośd ta nazywa się stałą czasową obwodu – τ:

𝛕 =𝐋

𝐑 19.16

Stała czasowa obwodu R – L .

Po czasie 2τ prąd osiągnie 86% swoje koocowej wartości, po 5τ 99,3% i po 10τ 99,995%. Widzimy,

że dobierając odpowiednio R i L otrzymamy prąd, który narasta bądź szybko bądź wolno. Dla

przykładu, jeżeli R = 100Ω a L = 10H:

τ =10H

100Ω= 0,10s

Jednak gdy na przykład L = 0,010H, to τ = 1,0 ∙ 10−4𝑠 = 0,10𝑚𝑠 i wzrost jest znacznie bardziej

gwałtowny.

Rysunek 19.12


Rozważania dotyczące energii dają dodatkowy wgląd w zachowanie się obwodu R – L. Chwilowa

szybkośd z jaką dostarczana jest energia do obwodu jest równa P = ℇi. Chwilowa szybkośd z jaką

energia jest rozpraszana w obwodzie wynosi i2R, a szybkośd magazynowania energii w cewce jest

równa iVbc = Lidi/dt. W rezultacie korzystając z zasady zachowania energii:

ℇ𝑖 = 𝑖2𝑅 + 𝐿𝑖𝑑𝑖

𝑑𝑡 19.17

Jak widzimy ostatnie równanie jest równaniem 19.13 wynikającym z prawa Kirchhoffa. Częśd ℇi

dostarczanej energii ulega rozproszeniu w oporniku, a druga częśd energii gromadzona jest w

cewce.

Zanikanie natężenia prądu podczas otwierania obwodu.

Załóżmy teraz, że klucz S1 był przez pewien czas zamknięty i prąd

osiągnął maksymalną wartośd I0. W chwili t = 0 zamykamy klucz S2

(w tej samej chwili powinniśmy otworzyd klucz S1, aby uchronid

baterię przed zniszczeniem). Jak pokazuje wykres na rysunku19.13

prąd nie zmaleje natychmiast do zera.

Korzystając z wniosków z §19.4 i prawa Kirchhoffa możemy

wyprowadzid wzór na zależnośd i od t dla tego przypadku (postaraj

się zrobid to samemu):

𝐢 = 𝐈𝟎𝐞− 𝐑/𝐋 𝐭 19.18

Prąd podczas wyłączania obwodu RL

gdzie I0 jest wartością natężenia prądu w chwili początkowej t = 0. τ = L/R jest czasem po którym

prąd zmniejszy się e razy czyli do około 37% swojej początkowej wartości. Po czasie 2τ spadnie do

wartości 13,5%, a po czasie 10τ będzie stanowił tylko 0,0045% swojej początkowej wartości.

Energia, która jest potrzebna do utrzymania prądu podczas jego zaniku jest dostarczana z

energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki. Analiza energetyczna jest w tym wypadku

prosta; zamiast równania 19.17 mamy:

0 = 𝑖2𝑅 + 𝐿𝑖𝑑𝑖

𝑑𝑡 19.19

W tym przypadku Lidi/dt jest ujemne; równanie 19.19 pokazuje, że energia zmagazynowana w

cewce zmniejsza się z szybkością równą szybkości rozpraszania energii w oporniku.

Oceomy wartośd SEM samoindukcji ES podczas gwałtownego zwiększenia oporu obwodu prądu

stałego od R0 do R. Załóżmy, że rozwieramy obwód, kiedy płynie w nim prąd I0 = E/R0. Podczas

Rysunek 19.13


otwierania obwodu natężenie prądu zmienia się zgodnie ze wzorem 10. Podstawiając do niego

wyrażenie na I0 i τ otrzymujemy

LRteR

EI /

0

SEM samoindukcji wyniesie, więc

LRt

S EeR

R

dt

dILE /

0

.

Otrzymany wynik oznacza, że podczas nagłego i dużego zwiększenia oporu obwodu (R/R0≫1),

posiadającego duży współczynnik samoindukcji, SEM samoindukcji może wielokrotnie przewyższyd

SEM włączonego źródła prądu. Należy, zatem pamiętad, aby nie wyłączad gwałtownie prądu w

obwodzie posiadającym dużą indukcyjnośd, ponieważ może to doprowadzid do przebicia izolacji i

uszkodzenia przyrządów pomiarowych. Efekt tego rodzaju gwałtownego wzrostu napięcia w

obwodzie nazywamy przepięciem.

19.6 Indukcja wzajemna.

Rozważmy dwa nieruchome obwody (1 i 2)

położone dostatecznie blisko siebie (Rysunek 19.14).

Jeżeli przez obwód 1 płynie prąd I1, to strumieo

magnetyczny wytworzony przez ten prąd jest proporcjonalny do I1.

Oznaczmy przez Φ21 tę częśd strumienia, która przecina kontur 2. Wtedy

12121 IL 19.20

gdzie L21 – współczynnik proporcjonalności.

Jeżeli prąd I1 zmienia się to w obwodzie 2 indukuje się SEM Ei2, która, zgodnie z prawem

Faradaya, jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego Φ21, wytwarzanego przez prąd w

pierwszym obwodzie, i przecinającego obwód drugi:

dt

dIL

dt

dE 1

2121

12

Rysunek 19.14


n1

n2

Rysunek 19.15

Analogicznie, podczas przepływu prądu I2 w obwodzie 2 strumieo magnetyczny przecina

pierwszy kontur. Jeżeli Φ12 jest częścią strumienia przecinającego obwód 1, to

21212 IL

Jeżeli prąd I2 zmienia się, to w obwodzie 1 indukuje się SEM Ei1, równa szybkości zmian strumienia

magnetycznego Φ12, wytwarzanego przez prąd w drugim obwodzie i przechodzącym przez obwód

pierwszy:

dt

dIL

dt

dEi

212

122

.

Zjawisko powstawania SEM w jednym z obwodów podczas zmian natężenia prądu w drugim

obwodzie nosi nazwę indukcji wzajemnej. Współczynniki proporcjonalności L12 i L21 noszą nazwę

indukcyjności wzajemnej. Obliczenia, potwierdzone doświadczalnie, pokazują, że L12 i L21 są równe

𝐿21 = 𝐿12 19.21

Współczynniki te zależą od kształtu geometrycznego obwodów,

rozmiarów wzajemnego położenia obwodów i od przenikalności

magnetycznej otaczającego ośrodka. Jednostką indukcji wzajemnej, tak

samo jak dla indukcyjności, jest henr.

Obliczmy indukcyjnośd wzajemną dwu cewek nawiniętych na

wspólny toroidalny rdzeo. Przypadek ten ma duże praktyczne znaczenie

(Rysunek 19.15). Indukcja magnetyczna pola wytwarzanego przez pierwszą

cewkę, składającą się z n1 zwojów, w której płynie prąd I1 i w przypadku rdzenia o przenikalności

magnetycznej μ jest równa l

InB 11

0 , gdzie l – długośd rdzenia wzdłuż jego środka. Wtedy

całkowity strumieo przechodzący przez drugą cewkę, posiadającą n2 zwojów

121

022 SIl

nnn .

Strumieo Φ wytwarzany jest przez pierwszą cewkę, zatem zgodnie z 19. 20 otrzymujemy


Sl

nn

IL 21

0

1

21

19.22

Jeżeli policzyd strumieo pola magnetycznego wytwarzany przez drugą cewkę i przechodzący przez

pierwszą, to na L12 otrzymamy takie samo wyrażenie jak 19.21. Zatem wzajemna indukcja dwóch

cewek nawiniętych na wspólny toroidalny rdzeo jest równa

Sl

nnLL 21

01221

19.7 Transformatory.

Zasada działania transformatorów, stosowanych od

podwyższania lub zmniejszania napięcia prądu

zmiennego, oparta jest na zjawisku indukcji wzajemnej.

Schematyczna budowa transformatora pokazana jest na

rysunku 19.16. Uzwojenia pierwotne i wtórne,

posiadające odpowiednio n1 i n2 zwojów, zamocowane są na

wspólnym żelaznym rdzeniu. Ponieważ kooce uzwojenia pierwotnego podłączone są do

zmiennego napięcia posiadającego SEM E1, to w uzwojeniu tym powstaje prąd zmienny I1, który z

kolei wytwarza w rdzeniu transformatora zmienny strumieo Φ. Strumieo ten praktycznie cały

skupiony jest w rdzeniu transformatora i przecina zwoje uzwojenia wtórnego. Zmiany tego

strumienia powodują powstanie w uzwojeniu wtórnym SEM indukcji wzajemnej, w uzwojeniu

pierwotnym SEM samoindukcji.

Zgodnie z prawem Ohma, prąd I1 cewki pierwotnej jest określony przez sumę algebraiczną

zewnętrznej SEM i SEM samoindukcji:

111i RIndt

dE

gdzie R1 – opór uzwojenia pierwotnego. Spadek napięcia I1R1 na oprze R1 dla prądów

szybkozmiennych jest niewielki, dlatego

Rysunek 19.16


dt

dnE 11

. 19.23

SEM indukcji wzajemnej powstająca w uzwojeniu wtórnym

dt

dn

dt

ndE 2

22

19.24

Porównując wyrażenia 14. i 15. otrzymujemy wyrażenie na SEM w obwodzie wtórnym

1

1

22 E

n

nE 19.25

gdzie znak minus wskazuje, że SEM w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym mają przeciwne fazy.

Stosunek ilości zwojów n2/n1, wskazujący ile razy SEM w uzwojeniu wtórnym jest większa (lub

mniejsza) od SEM w uzwojeniu pierwotnym nazywa się przekładnią transformatora.

Zaniedbując straty energii, które we współczesnych transformatorach nie przekraczają 2% i

stosując prawo zachowania energii, możemy zapisad, że moc w obu uzwojeniach praktycznie jest

jednakowa:

1122 IEIE

Skąd, uwzględniając 19.25.

ℇ𝟐

ℇ𝟏=

𝐈𝟏

𝐈𝟐=

𝐧𝟐

𝐧𝟏 19.26

Przekładnia transformatora.

Widad, że natężenia prądów w uzwojeniach są odwrotnie proporcjonalne do ilości zwojów.

Jeżeli n2/n1 > 1, to mamy do czynienia z transformatorem podwyższającym, zwiększającym

SEM i obniżającym natężenie prądu (stosuje się je na przykład przy przesyłaniu energii elektrycznej

na duże odległości, ponieważ w tym przypadku straty energii, spowodowane wydzieleniem się

ciepła proporcjonalne do kwadratu natężenia prądu, ulegają zmniejszeniu). Jeżeli n2/n1 < 1, to


mamy do czynienia z transformatorem obniżającym, zmniejszającym SEM i zwiększającym prąd

(stosowane są na przykład przy spawaniu, gdzie wymagany jest duży prąd przy małym napięciu).

19.8 Energia pola magnetycznego.

Przewodnik, w którym płynie prąd jest zawsze otoczony polem magnetycznym, przy czym pole

magnetyczne pojawia się i znika wraz powstawaniem i zanikaniem prądu. W związku z tym częśd

energii idzie na wytworzenie pola magnetycznego, które, podobnie jak elektryczne, jest nośnikiem

energii. Naturalnym jest, więc założenie, że energia pola magnetycznego jest równa pracy, jaką

wykonuje prąd na wytworzenie tego pola.

Rozważmy obwód o indukcyjności L, w którym płynie prąd I. Z obwodem tym związany jest

strumieo pola magnetycznego Φ = LI, przy czym zmiana prądu o dI spowoduje zmianę strumienia o

dΦ = LdI. Jednak, aby zmienid strumieo pola magnetycznego o wielkośd dΦ trzeba wykonad pracę

(patrz odpowiednie równanie z poprzedniego wykładu) dW = IdΦ = LIdI. Praca potrzebna na

wytworzenie strumienia Φ będzie, zatem równa

1

0

2 2/LILIdIW

Praca ta dostarczona z zewnątrz zostanie zgromadzona wewnątrz cewki. W rezultacie energia pola

magnetycznego wytworzonego przez obwód

𝐔𝐁 =𝟏

𝟐𝐋𝐈𝟐 19.27

Energia zmagazynowana w cewce.

Badanie własności zmiennych pól magnetycznych, w szczególności rozchodzenia się fal

elektromagnetycznych, okazało się dowodem, że energia pola magnetycznego zlokalizowana jest

w przestrzeni. Zgadza się to z teorią pola elektromagnetycznego.

Energię pola magnetycznego można przedstawid w postaci funkcji wielkości

charakteryzujących to pole w otaczającej przestrzeni. W tym celu rozpatrzmy szczególny

przypadek – pole jednorodne długiego solenoidu. Podstawiając do wzoru 19.27 wzór 19.10.

otrzymamy:


Sl

InUB

22

02

1

Ponieważ n/BlI 0 (patrz wzór odpowiedni wzór z poprzedniego wykładu), to

VB

UB

0

2

2 19.28

gdzie Sl = V – objętośd solenoidu.

Pole magnetyczne solenoidu jest jednorodne i zawarte wewnątrz jego objętości, dlatego

energia tez będzie zawarta wewnątrz solenoidu i będzie miała gęstośd

𝐰 =𝐔𝐁

𝐕=

𝐁𝟐

𝟐𝛍𝛍𝟎 19.29

Gęstośd energii pola magnetycznego.

Wyrażenie 19.29 na gęstośd objętościową energii pola magnetycznego ma charakter ogólny,

pod warunkiem, że zależnośd między wektorami B i H jest liniowa, tzn. odnosi się tylko do

diamagnetyków i paramagnetyków.

19.9 Równania Maxwella.

Równania Maxwella łączą pola elektryczne E

i magnetyczne B

z ich źródłami, którymi są

ładunki, prądy i zmieniające się w czasie pola. Równania te podsumowują doświadczalne prawa

Coulomba, Gaussa, Biota-Savarta, Ampera i Faradaya. Prawa te mają charakter ogólny oprócz

prawa Ampera, które nie stosuje się do obwodów prądowych nieciągłych, takich jak na przykład

obwód zawierający ładujący się i rozładowują się kondensator. Maxwell uogólnił prawo Ampera na

nieciągłe obwody z prądem. Następnie pokazał, że te uogólnione prawa elektryczności i

magnetyzmu zakładają istnienie fal elektromagnetycznych.

Równania Maxwella odgrywają taką samą rolę w klasycznym elektromagnetyzmie jak prawa

Newtona w mechanice klasycznej. W zasadzie wszystkie zjawiska elektryczności i magnetyzmu

mogą byd opisane poprzez rozwiązanie równao Maxwella, tak jak wszystkie zagadnienia w

mechanice mogą byd opisane poprzez podanie rozwiązao równao Newtona.

Prąd przesunięcia.


Rysunek 19.17

Okładki

kondensatora Krzywa C

Prawo Ampera (Patrz poprzedni wykład) podaje związek pomiędzy cyrkulacją pola

magnetycznego B po krzywej zamkniętej L, a prądem który przepływa przez powierzchnię

ograniczoną tą krzywą:

IldB 0

C

, dla dowolnej krzywej zamkniętej C 19.30

Maxwell uwzględnił przepływ w prawie Ampera. Rysunek 19.17 dwie różne powierzchnie

ograniczone tą samą krzywą C, które otaczają przewód przewodzący prąd do

płyty kondensatora. Prąd przepływający przez

powierzchnię S1 jest równy I, natomiast przez powierzchnię

S2 nie przepływa żaden prąd. W związku z tym pojawia się

niejasnośd w stwierdzeniu „prąd przez dowolną

powierzchnię ograniczoną krzywą”. Tego rodzaju problem

powstaje za każdym razem, gdy prąd jest nieciągły.

Maxwell pokazał, że prawo Ampera może byd

uogólnione i uwzględniad wszystkie sytuacje, jeżeli prąd I w równaniu

zostanie zamieniony przez sumę prądu przewodzenia I i członu Iprz , zwanego prądem

przesunięcia, zdefiniowanym jako:

𝐈𝐩𝐫𝐳 = 𝛆𝟎𝐝𝚽𝐄

𝐝𝐭 19.31

Definicja – prąd przesunięcia.

gdzie ΦE jest strumieniem pola elektrycznego przez tę samą powierzchnię ograniczoną krzywą C.

Uogólniona postad prawa Ampera przybiera, zatem postad:

𝑩 𝒅𝒍 = 𝝁𝟎 𝑰 + 𝑰𝒑𝒓𝒛 = 𝝁𝟎𝑰 + 𝝁𝟎𝜺𝟎𝐝𝚽𝐄

𝐝𝐭 19.32

Uogólniona postad prawa Ampera.

Postaramy się zrozumied to uogólnienie poprzez rozpatrzenie Rysunku 19.17 ponownie.

Nazwijmy sumę I+Iprz prądem całkowitym. Zgodnie z przeprowadzoną właśnie dyskusją taki prąd

całkowity musi przeciąd dowolną powierzchnię rozpiętą na krzywej C. Zatem sumaryczny prąd

przepływający przez zamkniętą objętośd ograniczoną powierzchniami S1 i S2 musi byd równy zero.

Jeżeli istnieje rzeczywisty wypadkowy prąd I wpływający do tej objętości, to musi istnied równy co

do wartości wypadkowy prąd przesunięcia Iprz wypływający z tej objętości. W objętości na rysunku


istnieje wypadkowy prąd przewodzenia I wpływający do niej, który zwiększa ładunek wewnątrz tej

objętości:

dt

dQI

Strumieo pola elektrycznego przez powierzchnię S jest związany z ładunkiem za pomocą prawa

Gaussa:

wewn

0S

nwyp Q1

dAE

Szybkośd zwiększania się ładunku jest więc proporcjonalna do szybkości wzrostu wypadkowego

strumienia na zewnątrz objętości:

prz

wyp,E

0 Idt

d

dt

dQ

.

W rezultacie wypadkowy prąd przewodzenia wpływający do rozpatrywanej objętości jest równy

wypadkowemu prądowi przesunięcia wypływającemu z objętości. Całkowity prąd jest zawsze

ciągły.

Równania Maxwella.

Równania Maxwella dla próżni mają postad:

𝑬 ∙ 𝒅𝑨 =𝟏

𝜺𝟎Q𝒘𝒆𝒘𝒏 Prawo Gaussa dla 𝑬 19.33a.

𝑩 ∙ 𝒅𝑨 = 𝟎 Prawo Gaussa dla 𝑩 19.33b.

𝑬 ∙ 𝒅𝒍 = −𝒅

𝒅𝒕 𝑩 ∙ 𝒅𝑨 Prawo Faradaya 19.33c.

𝑩 ∙ 𝒅𝒍 = 𝝁𝟎𝑰 +𝒅

𝒅𝒕𝜺𝟎𝝁𝟎 𝑬 ∙ 𝒅𝑨 Prawo Ampere’a 19.33d.

Równania Maxwella

Równanie 19.33a. jest prawem Gaussa. Z prawa tego wynika, że linie pola zaczynają się i

kooczą na ładunkach elektrycznych.

Równanie 19.33b. jest odpowiednikiem prawa Gaussa dla pola magnetycznego,

stwierdzającym, że strumieo pola magnetycznego przez dowolną krzywą zamkniętą jest zawsze

równy zero. Odzwierciedla ono eksperymentalny fakt, że linie pola magnetycznego są zawsze

zamknięte (nie istnieją w przyrodzie magnetyczne monopole – magnetyczne odpowiedniki

ładunków elektrycznych).

Równanie 26c. jest prawem Faradaya; stwierdza ono, że cyrkulacja pola elektrycznego E po

krzywej zamkniętej C (siła SEM) równa jest szybkości zmian (ujemnej) strumienia pola


magnetycznego przez powierzchnię S ograniczoną krzywą C. Prawo Faradaya opisuje, w jaki

sposób linie pola elektrycznego otaczają dowolny obszar, w którym zmienia się strumieo pola

magnetycznego i wiąże pole elektryczne 𝑬 z szybkością zmian pola magnetycznego 𝑩 .

Równanie 26d. jest zmodyfikowanym prawem Ampera uwzględniającym prąd przesunięcia.

Stwierdza ono, że cyrkulacja wektora pola magnetycznego 𝑩 po dowolnej krzywej zamkniętej C

jest równa μ0 razy prąd przepływający przez dowolną powierzchnię ograniczoną krzywą C plus μ0ε0

razy szybkośd zmian strumienia pola elektrycznego przepływającego przez tę powierzchnię.

Musimy dodatkowo pamiętad o równaniu definiującym pola 𝑬 i 𝑩 :

𝑭 = 𝒒 𝑬 + 𝒗 × 𝑩 19.34

Wzór Lorentza.

Wzory 19.33 i 19.34 są podstawowymi związkami elektromagnetyzmu.


Documents

Wykład 19 - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/posmykiewicz/wyklady_wl/wyklad_19/wyklad_w19.pdf · Prawo Faradaya może byd wyprowadzone z zasady zachowania energii. ... (EIdt) będzie składad