Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 106

W Y K Ł A D IX

Grawitacja .

Siły grawitacyjne są najsłabsze z pośród czterech podstawowych sił przyrody. Są całkowicie zaniedbywalne

w oddziaływaniach między atomami i nukleonami w jądrze atomowym. Nie grają równieŜ roli w przyciąganiu

ciał o zwykłych rozmiarach, takich jak na przykład oddziaływanie grawitacyjne bloku mieszkalnego na

samochód. Jednak, kiedy wziąć pod uwagę bardzo duŜe obiekty: księŜyce, planety, gwiazdy, to siły grawitacji

odgrywają podstawową rolę. Z codziennego doświadczenia wiemy, Ŝe Ziemia przyciąga nas i otaczające

przedmioty. To siła grawitacji zmusza Ziemią i inne planety do ruchu w wokół Słońca. Siła grawitacji jest

odpowiedzialna za ewolucję gwiazd i ma określony wpływ na rozwój poznawalnego wszechświata.

10-1 Prawa Keplera.

Od zarania dziejów ludzkości widok

nocnego nieba z migoczącymi gwiazdami

zawsze fascynował człowieka. Jednak

dopiero w szesnastym wieku pokuszono

się o naukowy sposób opisania ruchu

planet. W roku 1543 powstało słynne

dzieło Kopernika „De revolutionibus

orbium coelestium” („O obrotach ciał

niebieskich”). W oparciu o prace

Kopernika i inne dane analizujące ruch

planet Kepler sformułował trzy

podstawowe prawa:

Pierwsze prawo : Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych i w jednym z ognisk tych elips

leŜy Słońce.

Drugie prawo : Linia łącząca dowolną planetę ze Słońcem zakreśla jednakowe pole w jednostce czasu.

Trzecie prawo : Okres obiegu danej planety wokół Słońca podniesiony do kwadratu jest proporcjonalny do

sześcianu wielkiej półosi orbity, po której porusza się planeta.

Rysunek 10-1 przedstawia orbity planet krąŜących wokół Słońca.

Elipsa jest miejscem geometrycznym punktów, dla których suma odległości od dwu ognisk jest stała, jak jest to

pokazane na rysunku 10-2. Rysunek 10-3 przedstawia poruszającą się planetę po orbicie eliptycznej i Słońce

Merkury Wenus Ziemia Mars

Jowisz

Uran

Neptun

Pluton Rysunek 10-1

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 107

znajdujące się w jednym z ognisk tej elipsy. Orbita Ziemi jest praktycznie okręgiem. Największe zbliŜenie Ziemi

do Słońca (peryhelium) wynosi 1,48 x 1011m, a najdalej Ziemia znajduje się w odległości 1,52 X 1011m od

Słońca (aphelium). Średnia odległość Ziemi od Słońca, równa długości duŜej półosi elipsy, wynosi 1,50 X

1011m. Ta średnia odległość jest jednocześnie równa jednostce astronomicznej:

1 j.a. = 1,50 x 1011m 10-1

Rysunek 10-4 ilustruje drugie prawo Keplera – prawo równych pól. Planeta porusza się szybciej, jeŜeli jest

bliŜej Słońca niŜ wtedy, kiedy jest dalej od niego. Zakreślone powierzchnie w czasie t∆ mają jednakowe pola.

Jest to związane z zasadą zachowania momentu pędu i będzie to pokazane dalej.

Trzecie prawo Keplera moŜna zapisać

w postaci:

32 CrT = 10-2

gdzie r oznacza średnią odległość

planety od Słońca, a C jest stałą,

jednakową dla wszystkich planet. Prawo

to jest konsekwencją faktu, iŜ siła wywierana przez Słońce na planetę jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu

odległości dzielącej te ciała.

10-2 Prawo grawitacji.

ChociaŜ prawa Keplera były waŜnym krokiem w kierunku zrozumienia ruchu planet, były jednak tylko

empirycznymi (doświadczalnymi) wzorami otrzymanymi na podstawie obserwacji astronomicznych. Dopiero

Newton powiązał przyspieszenia, jakie doznają planety ze szczególnym rodzajem sił wywieranych na nie przez

Słońce. Udowodnił on, Ŝe siła, która zmienia się odwrotnie proporcjonalnie wraz z kwadratem odległości planety

Rysunek 10-2

Rysunek 10-3

Słońce

Planeta

Rysunek 10-3

Słońce

Planeta

Rysunek 10-4

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 108

od Słońca wywołuje jej ruch po elipsie takiej, jaką przewidział Kepler. Newton przyjął śmiałe załoŜenie, Ŝe tego

rodzaju siła występuje między dowolnymi dwoma obiektami we wszechświecie. Prawo grawitacji Newtona

mówi, Ŝe siła przyciągania między dowolną parą ciał jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał i odwrotnie

proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Ciało o masie 1m działa na ciało o masie 2m oddalone o

od niego or siłą daną wzorem:

2

21

r

mGmF = 10-3

gdzie G jest uniwersalną stałą grawitacyjną, której wartość wynosi :

2211 kg/mN1067,6G ⋅×= −

10-4

Newton opublikował swoją pracę w roku 1686, ale dopiero sto lat później Cavendish doświadczalnie obliczył

wartość G . JeŜeli połoŜenie masy 1m określa promień wodzący 1r , a połoŜenie 2m promień 2r ( Rysunek

10-5 ) , to siła 2,1Fr

wywierana przez masę 1m na masę 2m moŜe być zapisana następująco:

2,122,1

212,1 r̂

r

mGmF −=r

10-5

Prawo grawitacji.

gdzie 2,1rr

jest wektorem skierowanym od masy 1m do masy 2m i 2,12,12,1 r/rr̂r= jest wektorem

jednostkowym skierowanym od masy 1m do masy 2m . Siła

1,2Fr

wywierana przez masę 2m na 1m , zgodnie z trzecią

zasadą dynamiki, jest taka sama co do wartości bezwzględnej, ale

przeciwnie skierowana niŜ 2,1Fr

.

Znając G moŜemy policzyć siłę grawitacji między dwa zwykłymi ciałami.

Ćwiczenie. Znajdź siłę oddziaływania grawitacyjnego między 65-

cio kilowym chłopcem, a 50-cio kilową dziewczyną znajdującymi

się w odległości 0,5m od siebie. Przyjmij, ich masy za punktowe.

(Odpowiedź: 8,67 x 10-7N)

PowyŜsze ćwiczenie pokazuje, Ŝe siły oddziaływania między

ciałami posiadającymi zwykłe rozmiary są wyjątkowo małe. Dla

porównania; cięŜar osoby 50-cio kilogramowej wynosi 491N, co

stanowi około pół miliarda razy więcej niŜ siła obliczona w Rysunek 10-5

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 109

powyŜszym ćwiczeniu. Siła grawitacji zaczyna odgrywać waŜną rolę tylko wtedy, gdy chociaŜ jedno z ciał ma

duŜą masę na przykład, gdy Ziemia przyciąga człowieka.

W celu sprawdzenia słuszności proporcjonalności siły grawitacji do odwrotności kwadratu odległości

Newton porównał przyspieszenie orbitalne (dośrodkowe) KsięŜyca z przyspieszeniem przedmiotów w pobliŜu

powierzchni Ziemi (takimi jak legendarne jabłko). ZałoŜył on, Ŝe w obu przypadkach Ziemia wywołuje te

przyspieszenia. Przyjął, Ŝe Ziemię i KsięŜyc moŜna traktować jako punkty materialne. Siła działająca na cząstkę

o masie m znajdującą się w odległości r od środka Ziemi jest równa:

2Z

r

mGMF = 10-6

Z drugiej zasady dynamiki wynika, Ŝe przyspieszenie wynosi:

2

Z

r

GM

m

Fa == 10-7

Dla ciał znajdujących w pobliŜu powierzchni Ziemi ZRr = , a przyspieszenie wynosi g :

2Z

Z

R

GMg = 10-8

PoniewaŜ odległość do KsięŜyca jest około 60 razy większa niŜ promień Ziemi, to przyspieszenie w pobliŜu

powierzchni Ziemi (g = 9,81m/s2) powinno być 602 = 3600 razy większe niŜ przyspieszenie na KsięŜycu.

Przyspieszenie dośrodkowe KsięŜyca moŜna policzyć znając jego odległość od środka Ziemi r = 3,84 X 108m i

okres obrotu T = 27,3 dni = 2,36 X 106s:

( ) ( )( )

2326

82

2

222

K s/m1072,2s1036,2

m1084,34

T

r4

r

T/4

r

va −×=

×

×==== πππ

Porównując przyspieszenia:

223

2

K

603607s/m1027,2

s/m81,9

a

g ≈=×

= −

Przytaczając słowa Newtona: „W zwi ązku z tym porównałem siłę wymaganą do utrzymania KsięŜyca na

swojej orbicie z siłą grawitacji na powierzchni Ziemi i stwierdziłem, Ŝe odpowiadają sobie wzajemnie.”

Przyjęcie załoŜenia, Ŝe Ziemia i KsięŜyc mogą być traktowane jako punkty materialne wydaje się do

zaakceptowania ze względu na duŜą odległość dzielącą te ciała. Jednak w przypadku Ziemi i ciała w pobliŜu jej

powierzchni ten warunek nie jest oczywiście spełniony. Newton, w wyniku przeprowadzonych obliczeń,

udowodnił, Ŝe siła wywierana przez dowolne ciało o symetrii sferycznej na punkt materialny znajdujący się na

lub nad tą powierzchnią jest taka sama jak gdyby cała masa ciała była skupiona w środku sfery.

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 110

PoniewaŜ 2s/m81,9g = jest łatwo mierzalne, a promień Ziemi jest znany, to równanie 10-8 moŜe

słuŜyć do obliczenia albo stałej grawitacjiG , albo do wyznaczenia masy Ziemi ZM w zaleŜności , która

wielkość jest znana. Newton obliczył wartość G na podstawie oszacowania masy Ziemi. Sto lat później

Cavendish wyznaczył stałą grawitacji mierząc siły działające między stosunkowo małymi kulami o znanych

masach. Nazwał on swoje doświadczenie „waŜeniem Ziemi”.

Cavendish uŜył przyrządów pokazanych na rysunku 10-6. Jego pomiary były później wielokrotnie

powtarzane z wieloma udoskoleniami. Jednak ze względu na słabość sił grawitacji wyniki pomiarów róŜniły się

za kaŜdym razem od siebie. Obecnie mimo stosowania bardzo czułych przyrządów dokładność pomiaru G

wynosi tylko 1/10000.

Wyprowadzenie praw Keplera.

Newton wykazał, Ŝe jeŜeli ciała takie jak planeta, czy kometa poruszają się wokół źródła sił grawitacyjnych (

tzn. proporcjonalnych do1/r2)takiego jak Słońce, to torem ich ruchu jest elipsa, parabola lub hiperbola. JeŜeli

ciało porusza się po orbicie

parabolicznej albo hiperbolicznej, to

zbliŜa się do Słońca i następnie oddala

się w nieskończoność. Orbity te nie są

orbitami zamkniętymi. Tylko orbity

eliptyczne są zamknięte. Tak więc,

pierwsze prawo Keplera jest

konsekwencją faktu, Ŝe na planety działa

Drut spręŜysty PołoŜenie równowagi

Równowaga

PołoŜenie 1

PołoŜenie 2

Rysunek 10-6 (a) Dwie małe kule kaŜda o masie m2 znajdują się na końcu lekkiego pręta przymocowanego do cienkiej spręŜystej nici. Dokładne pomiary pozwalają ustalić jaki jest wymagany moment siły aby obrócić pręt o określony kąt. Następnie umieszczane są dwie duŜe kule o masach m1 w pobliŜu małych kul i pręt obraca się o niewielki kąt θ. (b) Widok z góry. Następnie zmienia się połoŜenie duŜych kul tak jak jest to pokazane linią przerywaną – zajmują one połoŜenie z drugiej strony połoŜenia równowagi. W ten sposób moŜna zmierzyć kąt 2θ i w konsekwencji z większą dokładnością określić θ. Znając kąt θ i stałe skręcalności drutu moŜna obliczyć siły działające między kulami, a znając ich masy m1 i m2 łatwo juŜ znaleźć G. Caendish określił stała grawitacji G z dokładnością do 1% w stosunku do obecnie przyjętej wartości G danej równaniem 10-4.

Rysunek 10-7

Słońce

Planeta

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 111

siła grawitacyjna, która zgodnie z prawem grawitacji musi być proporcjonalna do 1/r2. Drugie prawo Keplera –

prawo równych pól wynika z faktu, Ŝe siły wywierane przez Słońce na planety są skierowane dokładnie w

kierunku Słońca. Siły takie nazywamy siłami centralnymi. Rysunek 10-7 przedstawia planetę poruszającą się

po orbicie eliptycznej wokół Słońca. W czasie dtplaneta przebywa drogę vdt i zakreśla powierzchnię

pokazaną na rysunku. Jak widać, jest to połowa równoległoboku o bokach utworzonych przez rr

i dtvr

,

którego powierzchnia jest równa dtvrrr× . W rezultacie pole powierzchni zakreślone przez promień wodzący

rr

w czasie dtwynosi :

dtvmrm21

dtvr21

dArrrr

×=×=

lub

Ldtm2

1dA= 10-9

gdzie vmrLrrr

×= jest momentem pędu planety względem Słońca. Zatem powierzchnia zakreślona w

ciągu czasu dt jest proporcjonalna do momentu pędu L . PoniewaŜ siła działająca na planetę leŜy wzdłuŜ linii

łączącej planetę ze Słońcem, to moment siły grawitacyjnej względem Słońca jest równy zero. A zatem moment

pędu jest zachowany, czyli L jest stałe. W rezultacie powierzchnia zakreślana przez planetę w danym czasie

musi być jednakowa dla wszystkich części orbity tej planety – co jest treścią drugiego prawa Keplera.

JeŜeli przyjąć, Ŝe planeta porusza się po okręgu, to łatwo udowodnić trzecie prawo Keplera. RozwaŜmy

planetę poruszającą się po okręgu o promieniu r z prędkością v wokół Słońca. Siła grawitacji powoduje, Ŝe

planeta doznaje przyspieszenia dośrodkowego r/v2. Z drugiego prawa dynamiki

amF p=

otrzymujemy:

r

vm

r

mGM 2

p2pS = 10-10

gdzie SM jest masą Słońca, a pm jest masą planety. Wyznaczmy 2v :

r

GMv S2 = 10-11

PoniewaŜ planeta pokonuje drogę r2π w czasieT , to jej prędkość jest równa:

T

r2v

π= 10-12

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 112

Podstawiając to do równania10-11 otrzymamy:

r

GM

T

r4v S

2

222 == π

lub

3

S

22 r

GM

4T

π= 10-13

Trzecie prawo Keplera

Równanie 10-13 jest takie samo jak równanie 10-2 ze stałą S2 GM/4C π= .

W przypadku bardziej ogólnym, kiedy planeta porusza się po elipsie dowód jest bardziej skomplikowany. W

tym przypadku promień r jest średnią odległością planety od Słońca i jest jednocześnie równy duŜej półosi

elipsy a .

10-3 Grawitacyjna energia potencjalna.

W pobliŜu powierzchni Ziemi siła grawitacji wywierana przez Ziemię na ciało jest stała, poniewaŜ odległość

do środka Ziemi hRr Z += jest praktycznie równa ZR ze względu na to, iŜ ZRh << . Energia

potencjalna ciała w pobliŜu powierzchni Ziemi wynosi ( ) mghRrmg Z =− , gdzie 0U = została

wybrana na powierzchni Ziemi ZRr = . Jednak kiedy znajdujemy się daleko od powierzchni Ziemi musimy

uwzględnić fakt, Ŝe siła grawitacyjna wywierana przez Ziemię nie jest stała, a maleje jak 2r/1 . Ogólna

definicja energii potencjalnej (Równanie 6-21b) ma postać

sdFdUrr

⋅−=

gdzie Fr

jest siłą zachowawczą działającą na cząstkę, a sdr

jest wektorem przemieszczenia cząstki. W

przypadku siły grawitacyjnej, która jest siłą centralną, daną równaniem 10-6 otrzymamy:

drr

mGMdr

r

mGMdrFsdFdU

2Z

2Z

r +=

−−=−=⋅−= rr 10-14

Całkując obustronnie to równanie otrzymujemy:

0Z U

r

mGMU +−= 10-15

gdzie 0U jest stałą całkowania.

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 113