Wykład 3. Elementy teorii zniekszta ł ce ń odwzorowa ń kartograficznych

Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych

I forma kwadratowa powierzchniskala poszczególna, skala główna i elementarna skala zniekształceń odwzorowawczych elementarna skala zniekształceń długościskale parametryczneelementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego


I forma kwadratowa powierzchniRóżniczka funkcji wektorowej vurr ,

ma następującą postać

dvrdurrd vu

Element łuku na powierzchni opisanej równaniem vurr ,

ma postać 2222 2 GdvFdudvEdurdds

22 ,, vvuu rGrrFrE

2FEGrrH vu


Elementarny łuk na powierzchni kuli

sin,sincos,coscos RRRr

,2

,2

cos,cos,0, 2222 RHRGFRE

222222 cos dRdRds

Na powierzchni kuli opisanej równaniem

obliczamy współczynniki I formy kwadratowej

Elementarny łuk na powierzchni kuli ma postać


Elementarny łuk na powierzchni elipsoidy

Be

BeaZBe

LBaYBe

LBaXr22

2

2222 cos1

sin1,cos1

sincos,cos1

coscos

,2

,2

LB

BMNHBNGFME cos,cos,0, 222

222222 cos dLBNdBMds

Na powierzchni elipsoidy opisanej równaniem

obliczamy współczynniki I formy kwadratowej

Elementarny łuk na powierzchni elipsoidy ma postać


Skala poszczególna, skala główna i elementarna skala zniekształceń odwzorowawczych


Skala poszczególna, skala główna i elementarna skala zniekształceń odwzorowawczych

0p

Związek pomiędzy skalą poszczególną p, skalą główną i elementarną skalą zniekształceń odwzorowawczych

0 - skala główna odwzorowania, wyraża stosunek zmniejszenia wymiarów liniowych, pomniejszenie powierzchni oryginału (odwzorowanie przez podobieństwo), skala główna jest liczbą rzeczywistą przedstawianą w postaci

M1

0


Elementarna skala zniekształceń długościElementarna skala zniekształceń długości jest to stosunek odpowiadających sobie elementarnych łuków na powierzchni obrazu i na powierzchni oryginału

dsds'

gdzie:ds – element łuku na powierzchni oryginałuds’ – element łuku na powierzchni obrazu

Elementarna skala zniekształceń długości jest funkcją trzech zmiennych: współrzędnych (u,v) wyznaczających położenie punktu na powierzchni oryginału oraz kąta kierunkowego A elementu łuku ds na powierzchni oryginału

Avu ,,


Elementarna skala zniekształceń długości w postaci wektorowej oraz elementarne

zniekształcenie długościElementarną skalę zniekształceń długości można przedstawić w postaci wektorowej

rdrd

'

Elementarne zniekształcenie długości jest to odchylenie elementarnej skali zniekształceń długości od jedności

1z

gdzie

vurr ,''

dvrdurrd vu

dvrdurrd vu '''

vurr ,

jest różniczką funkcji

opisującej powierzchnię oryginału w odwzorowaniu kartograficznym

oraz jest różniczką funkcjiopisującej powierzchnię obrazu w odwzorowaniu kartograficznym


Elementarna skala zniekształceń długości w kierunku linii parametrycznych

2

22 '

dsds

222

222

''2''

2

dvGdudvFduEds

GdvFdudvEduds

22

22

2

22

2''2''

GdvFdudvEdudvGdudvFduE

dsds


Podstawiając do wzoru na skalę

elementarne łuki na powierzchni oryginału i powierzchni obrazu

otrzymujemy wzór na skalę w postaci


'u

EE

'v

GG

Obliczając skalę w kierunku południka v = const podstawiamy dv =0 otrzymujemy

Obliczając skalę w kierunku równoleżnika u = const podstawiamy du =0 otrzymujemy

Skale w kierunku linii parametrycznych noszą nazwę skal parametrycznych.



Dla powierzchni kuli skale parametryczne mają postać

RE '

cos

'RG

Dla elipsoidy skale parametryczne mają postać

ME

B'

BNG

L cos'


Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego

rdrd

'

Elementarną skalę zniekształceń długości ma postać


vurr ,''

dvrdurrd vu

dvrdurrd vu '''

vurr ,

Różniczki oraz funkcji

opisującej powierzchnię oryginału oraz funkcji

opisującej powierzchnię obrazu można przedstawić w postaci

dvrdvdurrd vu

'''

dvr

dvdurrd vu



Kąt kierunkowy A definiujemy następująco

rdrA u ,


Tangens kąta kierunkowego A ma postać

FdvEdu

Hdv

dvrrdur

dvrrdvrdurrdvrdurr

rdrrdr

Avuu

vu

vuu

vuu

u

u

2tan

EFAH

dvdu

cotstąd wyznaczamy

zastosowanie powyższego wzoru prowadzi do następujących postaci różniczek

AE

dvArFrEArHrd uvu sin'sin'''cos''

AE

dvArFrEArHrd uvu sinsincos



AA sincos 21

EHrFrE

Er uvu ''

,'

21


AEdvEHrdsin

stąd wyznaczamy moduł

Uwzględniając powyższe rozważania otrzymujemy następującą postać elementarnej skali długości

gdzie


Jeżeli na powierzchni oryginału mamy parametryzację ortogonalną (F=0) wektory 1 oraz 2 przyjmą postać

Gr

Er vu '

,'

21

są to wówczas skale parametryczne

GG

EE

vu',' 21



Kwadrat elementarnej skali zniekształceń długości można przedstawić w postaci

ARAQAP 222 sin2sincos

2221

21 ,,

RQP

gdzie

W przypadku parametryzacji ortogonalnej na powierzchni obrazu (F=0) otrzymujemy

GGR

EGFQ

EEP ',','


Documents

Wykład 3. Elementy teorii zniekszta ł ce ń odwzorowa ń kartograficznych