Rozwiązywanie Równań i Nierówności

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

ROZWIAZYWANIE RWNAN INIERWNOSCI

Jak wygladaja rwnania i nierwnosci wszyscy mniej wiecej wiemy, wiec nie bedziemy sietu bawic w definicje. Zamiast tego przypomnijmy, ze rozwiazanie rwnania/nierwnoscipowinno zawsze skadac sie z dwch etapw:

a) Przeksztacenie rwnania/nierwnosci do prostszej postaci, z ktrej da sie atwo od-czytac wszystkie mozliwe rozwiazania.

b) Sprawdzenie, ktre z rozwiazan przeksztaconego rwnania/nierwnosci sa tez roz-wiazaniami rwnania/nierwnosci, ktre mielismy rozwiazac.

W pierwszej chwili powyzsze dwa punkty moga budzic zdziwienie (pewnie nigdy nie roz-wiazywaliscie rwnania w dwch krokach), ale warto zdobyc sie na wysiek i zrozumiec teuwage, bo pozwala ona uniknac wielu bedw i nieporozumien przy rozwiazywaniu zadan.

Jezeli liczby sa rwne, to sa rwne

Przeksztacanie rwnan opiera sie na banalnym stwierdzeniu zawartym w tytule tego aka-pitu. Powiedzmy, ze chcemy rozwiazac rwnanie 2x 1 = 3. Robimy to tak: skoro 2x 1jest rwne 3, to jezeli wykonamy jakakolwiek operacje algebraiczna na obu tych liczbach naraz, to nadal beda rwne. Z tego wasnie powodu mozemy do tej rwnosci dodac, co tylkochcemy, mozemy ja pomnozyc przez co tylko chcemy, mozemy ja podniesc do kwadratu,mozemy zlogarytmowac (jezeli sa dodatnie) itd. Skoro wystartowalismy od liczb, ktre sarwne, po kazdej takiej operacji bedziemy miec liczby rwne. I to jest dokadnie przekszta-canie rwnan.

Przeksztacmy rwnanie 2x 1 = 3 tak, aby byo widac jakie jest jego rozwiazanie.2x 1 = 3 / + 12x = 4 / : 2x = 2.

Zwrcmy uwage, ze w pierwszym kroku dodalismy do obu stron 1 na og mwisie krtko, ze przenieslismy -1 na prawa strone. Tak wiec przenoszenie z jednejstrony rwnania na druga to nic innego, jak dodawanie do obu stron rwnania tejsamej liczby.

Zadajmy sobie teraz niezwykle wazne pytanie: skad wiemy, ze wyliczona w powyzszymprzykadzie wartosc x = 2 rzeczywiscie spenia rwnanie, ktre mielismy rozwiazac? Gu-pie pytanie? Niekoniecznie, co atwo zobaczyc na przykadach.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Przeksztacmy rwnanie x = 2 podnoszac je stronami do kwadratu. Mamy wiec

x2 = 4.

Zatem x = 2 lub x = 2. Oczywiscie tylko druga z tych liczb jest rozwiazaniemrwnania, od ktrego wystartowalismy.Wyjsciowa rwnosc moglismy przeksztacic jeszcze brutalniej, mozemy obie stronypomnozyc przez 0 i otrzymamy rwnanie 0 = 0, ktre jest spenione przez kazdaliczbe.

Rozwiazmy rwnanie 1 + q + q2 + q3 + q4 = 0.Ze wzoru na sume poczatkowych wyrazw ciagu geometrycznego mamy

1 q51 q = 0 / (1 q)

1 q5 = 0q5 = 1 q = 1.

atwo sprawdzic, ze q = 1 wcale nie jest rozwiazaniem wyjsciowego rwnania.

Rozwiazmy rwnanie 2 log x = 0.Na mocy dobrze znanego wzoru n log x = log xn, mozemy to rwnanie zapisac wpostaci

log x2 = 0.

Zatem x = 1 lub x = 1. Jednak tylko druga z tych liczb spenia wyjsciowe rw-nanie.

Po tych przykadach radze jeszcze raz przeczytac pierwszy akapit tego poradnika. Po-winno byc teraz jasne, ze przeksztacenie rwnania do prostszej postaci to tylko poowapracy.

Rwnowaznosc, a implikacja

Jednak w przypadku pierwszego przykadu: 2x 1 = 3 raczej nie mamy watpliwosci, zeotrzymane rozwiazanie x = 2 jest poprawne. Dlaczego tak jest? Ano dlatego, ze otrzyma-lismy je przeksztacajac rwnanie przy pomocy rwnowaznosci. Zeby dobrze zrozumiec oco chodzi, zapiszmy to przeksztacenie uzywajac znaczka implikacji

2x 1 = 3 2x = 4 x = 2.To co jest wazne, to ze kazda z tych strzaek mozna odwrcic. Zeby nie byo watpliwoscizapiszmy przeksztacenia odpowiadajace odwrceniu strzaek.

x = 2 / 22x = 4 / 12x 1 = 3.



Powyzszy rachunek jest sprawdzeniem, ze rzeczywiscie x = 2 spenia wyjsciowe rwnanie.Aby podkreslic, ze przeksztacamy rwnanie przy pomocy rwnowaznosci, zwykle zapisu-jemy miedzy kolejnymi krokami znak rwnowaznosci

2x 1 = 3 2x = 4 x = 2.Dla porwnania, zapiszmy przeksztacenia z drugiego z przykadw.

x = 2 x2 = 4 x = 2.Mamy tu dwie implikacje, ale tylko druga z nich jest rwnowaznoscia. Implikacji

x = 2 x2 = 4nie mozna odwrcic, tzn. nie jest prawda, ze z warunku x2 = 4 wynika, ze x = 2 (bo mozebyc tez x = 2). Dokadnie z tego powodu otrzymalismy faszywe rozwiazanie x = 2.

Nierwnosci

Na razie mwilismy tylko o rwnaniach, ale w przypadku nierwnosci sprawa jest jesz-cze powazniejsza. Powd jest taki, ze w przypadku rwnan zwykle rozwiazanie skada sietylko z kilku wartosci, i nawet jak nie jestesmy pewni czy wszystkie strzaki w naszychprzeksztaceniach mozna odwrcic, to ostatecznie zawsze mozemy posprawdzac otrzyma-ne rozwiazania (podstawiajac je do wyjsciowego rwnania).

W przypadku nierwnosci sprawa sie komplikuje, bo na og rozwiazaniem jest zbir,ktry ma nieskonczenie wiele elementw, wiec sprawdzanie metoda podstawiania nie wcho-dzi w rachube.

Rozwiazmy nierwnosc 2(x + 2)2 + x > 2 + (x + 1)2.Liczymy

2x2 + 8x + 8 + x > 2 + x2 + 2x + 1

x2 + 7x + 5 > 0 = 49 20 = 29

x1 =729

2, x2 =

7 +292

x (, 7

29

2

)(7 +29

2,+

).

Jakie mamy teraz szanse na sprawdzenie, ze liczby z otrzymanego zbioru rzeczy-wiscie speniaja wyjsciowa nierwnosc? Szczerze mwiac marne. W takiej sytuacjinie mamy wyjscia, musimy byc pewni, ze przeksztacenia byy rwnowaznosciami.

Co wolno, a czego nie wolno

Majac na uwadze powyzsze przykady powinno byc jasne, ze bardzo wazna jest umiejetnoscodrzniania przeksztacen, ktre sa rwnowaznosciami od przeksztacen, ktre sa tylko im-plikacjami. Zacznijmy od przeksztacen, ktre zawsze sa rwnowaznosciami:



a) proste operacje algebraiczne na jakichkolwiek skadnikach rwnania, w szczeglno-sci dodawanie, mnozenie, odejmowanie, dzielenie, potegowanie, pierwiastkowanie,stosowanie wzorw skrconego mnozenia, wymnazanie nawiasw, stosowanie tozsa-mosci trygonometrycznych (jezeli uwazamy na zera mianownikw);

b) dodanie do obu stron rwnania dowolnej liczby;

c) pomnozenie obu stron rwnania przez dowolna liczbe niezerowa;

d) podniesienie obu stron rwnania do nieparzystej potegi.

Do przeksztacen, ktre na og nie sa rwnowaznosciami naleza

a) podnoszenie rwnania stronami do parzystej potegi;

b) obustronne mnozenie rwnania przez 0;

c) stosowanie wzorw z logarytmami (jezeli jest w tych wzorach niewiadoma);

d) przykadanie do obu stron rwnosci wartosci bezwzglednej;

Jak to zapamietac? Oczywiscie najlepszy sposb to trening, ale oglna rada jest nastepuja-ca: wykonujac jakiekolwiek przeksztacenia rwnania, czy nierwnosci, cay czas miejmyz tyu gowy pytanie, czy zastosowane przeksztacenie mozna odwrcic. Powinno byc ja-sne, ze przy prostych przeksztaceniach zawsze da sie to zrobic, ale gdy podnosimy rwna-nie/nierwnosc do kwadratu, to powinna nam sie zapalic czerwona zarweczka.

Jak z implikacji zrobic rwnowaznosc

Mielismy przed chwila czarna liste zych przeksztacen, czy to oznacza, ze nie mozemy ichuzywac? Oczywiscie mozemy, a bardzo czesto wrecz musimy. W wielu przykadach jest tojedyny sposb na rozwiazanie rwnania, czy tez nierwnosci.

Problem implikacji w przeksztaceniach mozna rozwiazac na dwa sposoby.1. Mozna pogodzic sie z tym, ze przeksztacamy rwnanie/nierwnosc tylko przy pomocyimplikacji, a na koniec sprawdzic otrzymane rozwiazania. Metoda ta jest bardzo wygodnaw przypadku rwnan (szczeglnie logarytmicznych) przeksztacamy beztrosko rwnanie,a na koniec sprawdzamy otrzymane rozwiazania.

Rozwiazmy rwnanie

x + 1 = x 1.Musimy pozbyc sie pierwiastka, wiec podnosimy rwnanie stronami do kwadratu.

x + 1 = x2 2x + 10 = x2 3x = x(x 3)x = 0 x = 3.

atwo sprawdzic, ze tylko x = 3 jest rozwiazaniem wyjsciowego rwnania.



Rozwiazmy rwnanie log x+1x1 + logx1

2x+3 = 0.Gdybysmy chcieli rozwiazac to rwnanie przy pomocy rwnowaznosci, to musie-libysmy wyznaczyc jego dziedzine, a to jest bardzo nieprzyjemne zadanie (musimysprawdzic kiedy obydwa wyrazenia pod logarytmami sa dodatnie). Zamiast tegorozwiazujemy beztrosko, a na koniec sprawdzimy otrzymane rozwiazania.

logx + 1x 1 + log

x 12x + 3

= 0

log(

x + 1x 1

x 12x + 3

)= log 1

x + 12x + 3

= 1

x + 1 = 2x + 3 x = 2.No i sprawdzamy

logx + 1x 1 + log

x 12x + 3

= log13 + log

31 = log

(13 3)

= 0.

2. Powyzszy sposb bywa bardzo elegancki, ale jak juz pokazalismy w jednym z wczesniej-szych przykadw, potrafi byc cakowicie nieskuteczny w przypadku nierwnosci. Jedynewyjscie z takiej sytuacji to naozenie na poszukiwana niewiadoma dodatkowych zaozentak, aby zakazane przeksztacenia zamieniy sie w rwnowaznosci. W kolejnych podroz-dziaach omwimy rzne mozliwe sytuacje.

Dziedzina

Jezeli chcemy przeksztacac rwnanie/nierwnosc przy pomocy rwnowaznosci (tak abynie sprawdzac otrzymanych rozwiazan), musimy rozpoczac od ustalenia jaka jest jego dzie-dzina. Jest to niezwykle wazny krok, co ilustruja ponizsze przykady.

Rozwiazmy rwnanie

x 1 = 2x 1Obie strony sa dodatnie, wiec mozemy podniesc obie strony do kwadratu (i jest torwnowaznosc!).

x 1 = 2x 1 x = 0.Otrzymane rozwiazanie nie jest rozwiazaniem wyjsciowego rwnania (pomimo, zeprzeksztacalismy przy pomocy rwnowaznosci). Powd: nie sprawdzilismy dzie-dziny rwnania.

Rozwiazmy rwnanie log 2x = log(x 1).Logarytm jest rznowartosciowy, wiec mozemy puscic logarytmy.

2x = x 1 x = 1.Otrzymane rozwiazanie jest bedne (chociaz przeksztacenia sa rwnowaznoscia-mi). Powd? Nie sprawdzilismy dziedziny rwnania.



Podnoszenie do kwadratu

Zacznijmy od podnoszenia rwnia stronami do parzystej potegi (w szczeglnosci do kwa-dratu). Aby tego typu przeksztacenie byo rwnowaznoscia, musimy wiedziec, ze obie stro-ny maja ten sam znak (zeby z rwnosci a2n = b2n mozna byo wywnioskowac, ze a = b).Poniewaz zawsze mozna zmienic znak obu stron rwnania/nierwnosci (mnozac stronamiprzez -1), wystarczy zapamietac, ze podnoszenie do parzystej potegi jest rwnowaznosciajezeli obie strony sa nieujemne.

Rozwiazmy raz jeszcze rwnanie

x + 1 = x 1, ale tym razem postarajmy sieje przeksztacac w sposb rwnowazny. Zaczynamy od dziedziny: D = 1,+).Chcemy podniesc obie strony do kwadratu. Aby tego typu przeksztacenie byorwnowaznoscia, musimy wiedziec, ze obie strony sa nieujemne. Lewa jest zawszenieujemna, wiec nie ma problemu. Jezeli prawa strona jest ujemna, czyli dla x < 1,to rwnanie jest na pewno sprzeczne (bo lewa strona jest nieujemna). Mozemy wieczaozyc, ze x > 1 i przy tym zaozeniu mozemy smiao podniesc rwnanie stronamido kwadratu.

x + 1 = x2 2x + 10 = x2 3x = x(x 3)x = 0 x = 3.

Pierwsze rozwiazanie nie spenia naszego zaozenia x > 1, zatem jedyne rozwiaza-nie to x = 3. Koniecznie trzeba tu podkreslic, ze nie ma potrzeby sprawdzania, czyx = 3 jest rozwiazaniem wyjsciowego rwnania. Po to po drodze martwilismy sieo rwnowaznosc, zeby tego uniknac.

Rozwiazmy nierwnosc |x + 3| < x.Dziedzina toR, wiec nie ma tu problemu. Prosty sposb pozbycia sie wartosci bez-wzglednej, to podniesienie nierwnosci stronami do kwadratu (bo |x|2 = x2). Wtym celu zakadamy, ze x > 0 (dla x < 0 nierwnosc jest sprzeczna).

(x + 3)2 < x2

6x < 9 x < 32

.

W poaczeniu z naszym zaozeniem x > 0 oznacza to, ze nierwnosc jest sprzeczna.



Tym razem rozwiazmy nierwnosc |x + 3| > x.Nierwnosc wyglada bardzo podobnie jak nierwnosc w poprzednim przykadzie,ale jest odrobine bardziej podchwytliwa. Ponownie chcemy podniesc ja stronamido kwadratu. Teraz jednak zaozenie x > 0 wcale nie jest automatyczne i musimysie temu dokadnie przyjrzec. Jezeli x < 0 to prawa strona jest ujemna, a lewaniedodatnia, zatem nierwnosc jest speniona. Pozostao rozpatrzyc przypadek x >0, a to robimy jak poprzednio.

(x + 3)2 > x2

6x > 9 x > 32

.

W poaczeniu z zaozeniem x > 0 daje to zbir 0,+). Do tego zbioru musimydodac jeszcze wczesniej otrzymany zbir (, 0) i widzimy, ze nierwnosc jestspeniona przez kazda liczbe rzeczywista.

Mnozenie stronami przez 0

Moze nie brzmi to powaznie, bo po co niby mnozyc stronami przez zero? No wiec czasamirobimy to niechcacy, gdy mnozymy przez wyrazenie zawierajace niewiadoma

Rozwiazmy rwnanie 1 + x + x2 + x3 + x4 = 0.Rwnanie wyglada na trudne, ale jestesmy sprytni i chcemy skorzystac ze wzoru

a5 b5 = (a b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4).Mnozymy je wiec stronami przez 1 x i mamy

1 x5 = 0 x = 1.Otrzymane rozwiazanie jest niepoprawne. Powd? Dla x = 1 mnozylismy rwna-nie stronami przez 0.Co zrobic, zeby to rozwiazanie byo poprawne? Jak zwykle mamy dwa wyjscia: al-bo sprawdzamy otrzymane rozwiazanie, albo jestesmy ostrozniejsi przy mnozeniustronami i zakadamy wtedy, ze q 6= 1 (a przypadek q = 1 sprawdzamy osobno).Tak czy inaczej otrzymujemy poprawne uzasadnienie, ze rwnanie jest sprzeczne.

Powyzszy przykad jest dosc nietypowy, o wiele powszechniejsza sytuacja jest mnozenieprzez mianowniki. W takim przypadku problem sam sie rozwiazuje jezeli tylko wyznaczy-my dziedzine rwnania/nierwnosci.

Rozwiazmy rwnanie x2x23x+2 = 0.Mnozymy rwnanie stronami przez x2 3x + 2 i mamy rozwiazanie x = 2. Czy jestto dobre rozwiazanie? Jak zwykle mamy dwa wyjscia: albo sprawdzamy podsta-wiajac, albo wyznaczamy dziedzine rwnania i okaze sie, ze mnozylismy stronamiprzez 0 (dla x = 2). Oba sposoby daja nam poprawne uzasadnienie, ze rwnaniejest sprzeczne.



Rozwiazmy rwnanie tg x1+tg x = 1.Liczymy

sin xcos x

1 + sin xcos x= 1

sin xcos x + sin x

= 1

sin x = cos x + sin x cos x = 0.I teraz zagadka, skad nam sie wzieo faszywe rozwiazanie? Z mnozenia przezsin x + cos x? Nie, to wyrazenie jest niezerowe dla cos x = 0. Faszywe rozwiazaniestworzylismy upraszczajac cos x w pietrowych uamkach. Wasnie wtedy zmienili-smy dziedzine rwnania mnozac licznik i mianownik duzego uamka przez 0 (dlacos x = 0). Jak zwykle, naprawic to mozemy na dwa sposoby, ale akurat tutaj o wie-le prosciej jest sprawdzic otrzymane rozwiazanie niz sprawdzac kiedy cos x 6= 0 isin x + cos x 6= 0.

Rozwiazmy jeszcze nierwnosc x2x3 > 0.Mamy nierwnosc, wiec chcemy zrobic to porzadnie, zeby miec pewnosc popraw-nosci otrzymanych rozwiazan. Dziedzina to R \ {3}. Przy tym zaozeniu mozemysmiao mnozyc przez mianownik (jest niezerowy). Poniewaz jednak nie wiemy jakima znak, to mnozymy przez jego kwadrat, ktry z pewnoscia jest dodatni. Dosta-jemy zwyka nierwnosc kwadratowa.

(x 2)(x 3) > 0.Jej rozwiazaniem jest zbir (, 2 3,+). Musimy jeszcze z tego zbioru wy-rzucic x = 3, bo nie nalezy do dziedziny.

Wzory z logarytmami

W przypadku stosowania wzorw z logarytmami sytuacja jest najbardziej podchwytliwa.W zasadzie kazdy, nawet najprostszy wzr zmienia dziedzine rwnania/nierwnosci, wiectrzeba bardzo ostroznie je stosowac.

Rozwiazmy nierwnosc log2 x + log2(x + 1) < 1.Liczymy

log2 x(x + 1) < log2 2

x2 + x < 2 = 1 + 8 = 9x1 = 2, x2 = 1x (2, 1).

Tymczasem patrzac na nierwnosc widac goym okiem, ze x nie moze byc ujem-ny (bo jest pod logarytmem). W tym przykadzie problem mozna atwo rozwiazacliczac na poczatku dziedzine nierwnosci.



Co gorsza, mozliwe jest tu cakowicie nowe zjawisko, mianowicie beztroskie przeksztacaniemoze nie tylko dodawac faszywe rozwiazania, ale moze tez gubic prawidowe!

Rozwiazmy rwnanie log x2 = 1.Korzystajac ze wzoru log xn = n log x mamy

2 log x = 1 x =

10.

No i? No i zgubilismy rozwiazanie x = 10. Stao sie tak, bo stosujac wzrlog x2 = 2 log x znacznie zmniejszylismy dziedzine rwnania. Zauwazmy, ze tunic nie pomoze wyliczenie dziedziny rwnania na poczatku. Mamy w tej konkret-nej sytuacji dwa wyjscia: albo musimy ostrozniej stosowac wzr log xn = n log x,albo mozemy sie nauczyc wzoru log x2n = 2n log |x|, ktry jest prawdziwy o iletylko x 6= 0.

Rozwiazmy rwnanie log x12x1 = 0.Korzystajac ze wzoru na logarytm ilorazu mamy

log(x 1) log(2x 1) = 0log(x 1) = log(2x 1).

To rwnanie jest sprzeczne, bo po opuszczeniu logarytmw dostaniemy x = 0,ktre nie nalezy do dziedziny tego rwnania. Z drugiej strony, x = 0 jest rozwiaza-niem wyjsciowego rwnania, wiec zgubilismy je po drodze. Wyjscia sa dwa: albomusimy byc ostrozniejsi, albo musimy sie nauczyc wzoru, log xy = log |x|+ log |y|,ktry jest prawdziwy o ile tylko xy > 0 (co na og sprawdzamy wyznaczajac dzie-dzine rwnania).

Podstawianie

Podstawianie w rwnaniach i nierwnosciach to jedna z najpotezniejszych metod ich roz-wiazywania, jednak posugiwanie sie ta metoda wymaga odrobiny wprawy. Zwykle samimusimy wymyslic za co nalezy podstawic, zeby otrzymac prostsze rwnanie/nierwnosc.

Najpopularniejszy szkolny motyw z podstawianiem, to rwnania i nierwnosci dwu-kwadratowe. Sa to rwnania/nierwnosci, w ktrych niewiadoma wystepuje w wyrazeniupostaci

ax4 + bx2 + c.

Podstawiajac w tym rwnaniu t = x2 sprowadzamy sytuacje do zwykego rwnania/nierwnoscikwadratowej. No prawie zwykego, bo t = x2 > 0, wiec mamy mocno okrojona dziedzine.



Rozwiazmy nierwnosc x4 x2 6 < 0.Podstawiamy t = x2 i mamy nierwnosc

t2 t 6 < 0 = 1 + 24 = 25t1 = 2, t2 = 3t (2, 3).

Przypominamy sobie jednak, ze interesuja nas tylko nieujemne rozwiazania, wiecmamy t 0, 3). Daje to nam nierwnosc

x2 < 3 x (

3,

3).

Inne popularne przykady podstawien to podstawienia za funkcje trygonometryczne,wykadnicze lub logarytmiczne.

Rozwiazmy rwnanie sin2 x cos x + 1 = 0.Podstawiamy t = cos x.

1 cos2 x cos x + 1 = 0 / (1)t2 + t 2 = 0 = 1 + 8 = 9t = 2 t = 1.

Ze wzgledu na podstawienie t = cos x dziedzina naszego rwnania kwadratowegojest przedzia 1, 1 (zbir wartosci funkcji cosinus), wiec jedyny pierwiastek tot = 1. Stad cos x = 1, czyli x = 2kpi, k C.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1Warto pamietac, ze rozwiazaniem zarwno rwnania jak i nierwnosci jest zbir. Pod tymwzgledem rwnania nie rznia sie specjalnie od nierwnosci. Na og jest tak, ze rozwiaza-niem rwnania jest zbir skonczony, a nierwnosci przedzia (lub suma przedziaw), alenie jest to zadna regua.

Rozwiazmy rwnanie |x| = x.Jezeli x < 0 to rwnanie jest sprzeczne, a jezeli x > 0 to mamy rwnosc x = x,ktra spenia kazda liczba rzeczywista. Zatem rozwiazaniem tego rwnania jestzbir 0,+).



Rozwiazmy nierwnosc (x2 1)2 6 0.Kwadrat liczby jest zawsze nieujemny, wiec jedyna mozliwosc, aby powyzsza nie-rwnosc moga zachodzic to sytuacja, gdy lewa strona jest rwna 0. Mamy zatem

x2 1 = 0 x = 1.Tak wiec rozwiazaniem tej nierwnosci jest dwuelementowy zbir {1, 1}.

2

Rozwiazywanie rwnan jest jednym z niewielu rodzajw zadan, gdzie dosc atwo mozemysprawdzic poprawnosc otrzymanego rozwiazania.

Powiedzmy, ze mamy na maturze rozwiazac rwnanie 4x3 8x2 + 5x 1 = 0.Liczymy, liczymy, dzielimy wielomiany itd. Na koniec wychodza nam pierwiast-ki x = 1 oraz x = 12 . No i chcemy teraz sprawdzic poprawnosc tych dugasnychrachunkw. Czytamy je jeszcze raz? Jest to jakas metoda, ale o wiele prosciej jestpodstawic otrzymane rozwiazania do rwnania i sprawdzic czy wychodzi zero.Dodatkowa zaleta takiego sprawdzenia jest jego zupena niezaleznosc od naszychrachunkw. Zauwazenie pomyki w rachunkach moze byc bardzo trudne, a spraw-dzajac czy liczba jest pierwiastkiem mamy bardzo mao miejsca na pomyke.

3

Wiele razy pisalismy wyzej, ze wazne jest wyznaczanie dziedziny rwnania/nierwnosci.Sa jednak sytuacje, w ktrych jest jasne, ze rozwiazania beda nalezay do dziedziny i wtakich przykadach wyznaczanie dziedziny bywa strata czasu.

Rozwiazmy nierwnosc x2+2x

x2x20 > 0.Poniewaz licznik jest dodatni nierwnosc bedzie speniona dokadnie wtedy, gdymianownik bedzie dodatni.

x2 x 20 > 0 = 1 + 80 = 81x1 = 4, x2 = 5x (,4) (5,+).

Zauwazmy, ze w tym przykadzie nie miao sensu sprawdzanie kiedy mianownikjest rzny od zera, bo sprawdzalismy znacznie mocniejszy warunek, ze mianownikjest dodatni. Skoro jest dodatni to nie moze byc rwny zero.



Rozwiazmy nierwnosc log(x2 21) > 2.Nierwnosc jest rwnowazna nierwnosci

log(x2 21) > log 102x2 21 > 100 x (,11) (11,+).

Zauwazmy, ze tak naprawde rozwiazywalismy nierwnosc x2 21 > 100. A skoroto wyrazenie jest wieksze od 100, to oczywiscie jest dodatnie. W takiej sytuacji niejest nam do niczego potrzebna dokadna dziedzina nierwnosci.

4

Nawet, gdy dziedzina jest wazna, to czesto nie musimy jej dokadnie wyliczac, a wystarczyzapisac ja w postaci warunku, przy pomocy ktrego da sie sprawdzic otrzymane rozwiaza-nia.

Rozwiazmy rwnanie 2 tg x+13 tg x+2 = 1.W tym przykadzie dokadne wyliczenie dziedziny byoby trudniejsze niz samorozwiazanie rwnania. Dlatego zapiszmy krtko, ze musi byc cos x 6= 0 (zeby tan-gens mia sens), oraz tg x 6= 23 (zeby w mianowniku nie byo 0). Teraz rozwiazu-jemy rwnanie

2 tg x + 1 = 3 tg x + 2

1 = tg x x = pi4+ kpi, k C.

Pomimo, ze nie wyliczylismy dziedziny dokadnie (tzn. jaki jest to zbir), to widzi-my, ze otrzymane rozwiazanie do niej nalezy (skoro tangens jest rwny -1, to niemoze byc rwny 23 ).

5

Tak naprawde sa inne niebezpieczne operacje na rwnaniach, o ktrych jeszcze nie wspo-mnielismy. Pierwsza z nich to dzielenie przez 0. Oczywiscie wszyscy wiemy, ze nie wolnodzielic przez 0, ale czasami to 0 jest pewnym wyrazeniem z parametrem i mozna go nie za-uwazyc. Generalnie powinnismy sobie wyrobic nawyk, ze zawsze jak dzielimy rwnanie,to sprawdzamy, czy to, przez co dzielimy, nie jest przypadkiem rwne 0.



Rozwiazmy rwnanie (z parametrem) m+1m x 1 = m.Oczywiscie musi byc m 6= 0. Przeksztacamy (mnozymy obie strony przez mm+1 )

x mm + 1

=m2

m + 1

x =m2 + mm + 1

= m.

No i oczywiscie popenilismy po drodze gafe, bo dzielilismy przez 0 (mnozac przezwyrazenie z m + 1 w mianowniku). Przypadek m = 1 musimy rozpatrzyc osobnoi jak sie okaze otrzymamy wtedy rwnosc 0 = 0, ktra jest speniona przez kazdaliczbe rzeczywista.

Inne niebezpieczne operacje to logarytmowanie lub pierwiastkowanie stronami. W zasadziesa to rwnowaznosci, o ile tylko wiemy, ze obie strony rwnania/nierwnosci sa dodatnie.

Rozwiazmy nierwnosc x2 > x.Logarytmujemy nierwnosc stronami (logarytmem dziesietnym)

log x2 > log x2 log x > log xlog x > 0 x > 1.

No i zgubilismy cay przedzia rozwiazan (, 0). Wszystko przez to, ze logaryt-mowalismy x, ktry wcale nie musia byc dodatni. Aby naprawic nasze rozwiaza-nie, wystarczy na poczatku dopisac, ze dla x < 0 nierwnosc jest speniona (bolewa strona jest dodatnia, a prawa ujemna), a dla x = 0 sprzeczna.

6Omawiajac rzne niebezpieczenstwa zwiazane ze wzorami z logarytmami, nie wspomnie-lismy ani razu o najmniej lubianym wzorze, mianowicie o wzorze na zmiane podstawylogarytmu.

loga x =logb xlogb a

.

Jest ku temu dobry powd: obie strony tego wzoru (jako funkcje zmiennej x) maja taka samadziedzine. W tym sensie jest to najporzadniejszy wzr z logarytmami i mozemy go uzywaczupenie bezkarnie (przynajmniej dopki nie zacznie sie pojawiac niewiadoma w podstawielogarytmu).

7Czasami stosujemy w przeksztaceniach wzory, ktre sa obarczone dodatkowymi ogranicze-niami. Takie ograniczenia na og zmniejszaja dziedzine rozwazanego rwnania/nierwnosci.Typowe przykady to: wzory Vitea, wzr na sume kolejnych wyrazw ciagu geometrycznego(tez szeregu geometrycznego).



Rozwiazmy rwnanie 1 + x + x2 + x3 + = 4x28x14x4 .Z lewej strony mamy sume nieskonczonego ciagu geometrycznego. Ze wzoru nataka sume mamy

1x 1 =

4x2 8x 14x 4 / (4x 4)

4 = 4x2 8x 14x2 8x 5 = 0 = 64 + 80 = 144

x =8 12

8= 1

2 x = 8 + 12

8=

52

.

Poniewaz szereg geometryczny jest zbiezny tylko dla 1 > |q| = |x|, tylko pierwszez tych rozwiazan jest poprawne.

8

Nie pisalismy do tej pory o tym wyraznie, ale przeksztacajac nierwnosci musimy uwazacprzez co je mnozymy. Mnozac przez liczby ujemne musimy zmienic znak.

Niech f (x) = x1(x+1)(x3)(x+5) . Rwnanie f (x) = 0 mozemy bezkarnie pomnozyc

przez mianownik i otrzymujemy x = 1. Na koniec sprawdzamy tylko, czy nie byoto przypadkiem zero mianownika.Z nierwnoscia f (x) > 0 sprawa jest o wiele bardziej skomplikowana, bo nie wie-my jaki mianownik ma znak (oczywiscie zalezy on od wartosci x). Jedyne co mo-zemy zrobic, to pomnozyc przez kwadrat mianownika i sprowadzic te nierwnoscdo nierwnosci wielomianowej

(x 1)(x + 1)(x 3)(x + 5) > 0.

9

Podstawiajac w rwnaniach nalezy zachowac odrobine rozsadku. Trzeba pamietac, zebypodstawienie nie zmniejszao nam dziedziny wyjsciowego rwnania.

Rozwiazmy rwnanie x2 = 5.Podstawiamy x =

t i mamy rwnanie t = 5, zatem x =

5. Gdzie zgubilismy

drugie rozwiazanie? Podstawiajac x =

t zmniejszylismy dziedzine wyjsciowegorwnania do zbioru 0,+).

10

Szczeglnego komentarza wymagaja zadania na dowodzenie rwnosci i nierwnosci. W ta-kim przypadku metoda beztroskiego przeksztacania, a na koniec sprawdzenia wyniku nie



wchodzi w rachube i musimy starac sie uzywac tylko przeksztacen rznowartosciowych.Co wiecej, warto na koniec napisac, ze wszystkie przeksztacenia byy rwnowaznosciami imozna je przepisac od konca. Mozna tez je przepisac od konca czesto tak wasnie zapisujesie dowody w ksiazkach matematycznych i to jest powd, dla ktrego niewiele mozna ztych dowodw zrozumiec.

Udowodnijmy nierwnosc a + b > 2

ab.Przeksztacamy (zaczynamy od podniesienia stronami do kwadratu).

a2 + 2ab + b2 > 4aba2 2ab + b2 > 0(a b)2 > 0.

Otrzymalismy nierwnosc prawdziwa, co konczy dowd. Naprawde? To podstaw-my w udowodnionej nierwnosci a = b = 1. Zauwazmy, ze problem nie polegatu na dziedzinie nierwnosci! Problem polega na tym, ze uzasadnilismy tylko im-plikacje

(a + b > 2

ab) ((a b)2 > 0),a do dowodu potrzebna nam jest dokadnie implikacja przeciwna (musimy wy-startowac od czegos oczywistego i dojsc do tego, co mamy udowodnic). Gdy za-czniemy odwracac powyzsze przeksztacenia, bedzie jasne, ze pewnym momencierozumowanie sie zacina.

Tym razem udowodnijmy nierwnosc |a| + |b| > 2|ab|, ktra jak sie okaze jestprawdziwa.Jest jasne, ze nie ma problemu z dziedzina oraz obie strony nierwnosci sa dodat-nie, wiec mozemy nierwnosc podniesc stronami do kwadratu (i jest to rwnowaz-nosc!).

a2 + 2|ab|+ b2 > 4|ab|a2 2|ab|+ b2 > 0(|a| |b|)2 > 0.

Przeksztacenia byy rwnowaznosciami, wiec jest to kompletny dowd. Mozemygo zapisac od konca:

(|a| |b|)2 > 0 (|a|+ |b|)2 > 4|ab| |a|+ |b| > 2|ab|.

11

Inny, bardzo elegancki sposb dowodzenia nierwnosci to dowd nie wprost.



Udowodnijmy, ze 1x + x > 2 dla x > 0.Zazmy przeciwnie, ze 1x + x < 2. Mamy wtedy

1x+ x < 2 / x

1 + x2 < 2x

(x 1)2 < 0.Otrzymalismy sprzecznosc, co dowodzi wyjsciowej nierwnosci. Zauwazmy, zejest to bardzo elegancka metoda: nie ma potrzeby odwracania zadnych strzaek,wiec nie trzeba sie martwic rwnowaznosciami.

12

Popularny motyw wielu trudniejszych zadan z rwnaniami i nierwnosciami to suma nie-ujemnych skadnikw rwna 0. W takiej sytuacji wszystkie skadniki musza byc zerami.

Uzasadnijmy, ze jezeli a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca to a = b = c.Przenosimy wszystko na lewa strone i mnozymy stronami przez 2.

(a2 2ab + b2) + (b2 2bc + c2) + (c2 2ca + a2) = 0(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 = 0.

Liczby z lewej strony sa nieujemne, zatem musza byc zerami. Stad a = b = c.

Rozwiazmy nierwnosc x2 6 log cos x.Poniewaz cos x 6 1, prawa strona nierwnosci jest niedodatnia. Lewa natomiastjest nieujemna, zatem obie musza byc rwne 0. Mamy stad jedyne rozwiazanie:x = 0.

13

Ile pierwiastkw ma rwnanie (x 1)2 = 0?No wiec chyba 1. Chyba, bo mwiac o pierwiastkach wielomianw bardzo czesto wpro-wadza sie pojecie pierwiastkw wielokrotnych i w mysl tej terminologii x = 1 jest pier-wiastkiem dwukrotnym tego rwnania. Co gorsza, z pewnych powodw, czasami wygod-nie jest pierwiastek dwukrotny traktowac jak dwa rwne pierwiastki. Dokadnie z tego po-wodu (zeby uniknac nieporozumien) w tresciach zadan czesto wystepuje potworek jezyko-wy dwa rzne rozwiazania. Skoro rozwiazania sa dwa, to jak moga byc rwne? Moga, wopisanym przed chwila sensie.



Typowy przykad, gdy wygodnie jest myslec o dwch rwnych rozwiazaniach towzory Vitea.

x1 + x2 = ba , x1x2 =ca

dla rozwiazan rwnania kwadratowego ax2 + bx + c = 0. Przy opisanej konwen-cji pozostaja one prawdziwe rwniez w przypadku gdy = 0, czyli przypadkupierwiastka podwjnego (a wiec dwch rwnych :)).

14

Czytajac cay ten poradnik z rznymi radami dotyczacymi przeksztacania rwnan, moznaodniesc waznie, ze panuje w tym niezy baagan. Tego typu wrazenie w matematyce jestsygnaem, ze posugujemy sie niewasciwym jezykiem. A jaki jest wasciwy jezyk? jest tojezyk funkcji.Nalezy myslec tak: mamy rwnosc x = y. Przeksztacenie tej rwnosci polega na zastoso-waniu do obu stron pewnej funkcji f , czyli napisaniu rwnosci f (x) = f (y). Oczywisciemozemy to zrobic o ile x = y nalezy do dziedziny funkcji f (co moze nie byc oczywiste, gdyf (x) =

x lub f (x) = log x). Takie przeksztacenie daje nam implikacje:

(x = y) ( f (x) = f (y)).Pytanie czy prawdziwa jest tez implikacja odwrotna

( f (x) = f (y)) x = y?(Ktra jest nam potrzebna, jezeli chcemy miec pewnosc otrzymanych rozwiazan). To zalezyod funkcji f , a dokadniej, napisana przed chwila implikacja to definicja rznowartosciowo-sci funkcji f . Przeksztacenie jest wiec rwnowaznoscia dokadnie wtedy, gdy funkcja f jestrznowartosciowa.

Zobaczmy jak jezyk funkcji wyglada w przypadku konkretnych przeksztacen:

a) Dodawanie liczby a do obu stron rwnania: mamy f (x) = x + a. Funkcja tajest zawsze rznowartosciowa.

b) Mnozenie obu stron rwnania przez liczbe a: mamy f (x) = ax. Funkcja jestrznowartosciowa o ile tylko a 6= 0.

c) Podnoszenie rwnia stronami do kwadratu: mamy f (x) = x2. Aby miec funk-cje rznowartosciowa musimy dziedzine funkcji obciac do jednego z prze-dziaw (, 0 lub 0,+).

I tak dalej. Widac, ze jezyk funkcji bardzo porzadkuje te zagmatwana sytuacje.



15Poprzedni tip dobrze wyjasnia problem przeksztacania rwnan. A jak jest z nierwnoscia-mi?Podobnie, tylko ze w przypadku nierwnosci interesuja nas implikacje

(x > y) ( f (x) > f (y))(x > y) ( f (x) < f (y))

oraz implikacje odwrotne. Wybr, ktra z powyzszych implikacji mamy zastosowac prze-ksztacajac nierwnosc to dokadnie pytanie o to, czy funkcja f jest rosnaca, czy malejaca.W obu przypadkach implikacje odwrotne mamy za darmo, bo funkcja monotoniczna jestrznowartosciowa.

Przesledzmy rzne przykady przeksztacen nierwnosci.

a) Dodawanie liczby a do obu stron nierwnosci: mamy f (x) = x + a. Funkcjata jest zawsze rosnaca (nie zmieniamy znaku nierwnosci).

b) Mnozenie obu stron nierwnosci przez liczbe a: mamy f (x) = ax. Funkcja jestrosnaca dla a > 0 (nie zmieniamy znaku) oraz malejaca dla a < 0 zmieniamyznak.

c) Podnoszenie nierwnosci stronami do kwadratu: mamy f (x) = x2. Funk-cja malejaca na przedziale (, 0 (zatem zmieniamy znak, gdy obie stronynierwnosci sa ujemne) oraz rosnaca na przedziale 0,+) (nie zmieniamyznaku, gdy obie strony sa dodatnie).

d) Logarytmowanie nierwnosci stronami: mamy f (x) = loga x. Funkcja jestmalejaca dla a < 1 oraz rosnaca dla a > 1.

i tak dalej.

16Czasami, szczeglnie w zadaniach konkursowych, mamy podana dodatkowa informacjeograniczajaca dziedzine rozwiazywanego rwnania. Typowy przykad to tzw. rwnaniadiofantyczne, czyli rwnania , w ktrych niewiadome sa liczbami cakowitymi (lub wy-miernymi).

Wyznaczmy wszystkie liczby cakowite speniajace rwnanie xy = x + y.Mozemy to rwnanie zapisac w postaci:

xy x y + 1 = 1(x 1)(y 1) = 1.

Skoro iloczyn dwch liczb cakowitych ma dawac 1, to obie musza byc rwne -1lub 1. Otrzymujemy stad dwa rozwiazania (x, y) = (0, 0) lub (x, y) = (2, 2).Zauwazmy, ze ograniczenie dziedziny rwnania do liczb cakowitych byo niezwy-kle istotne. Bez tego zaozenia atwo znalezc nieskonczenie wiele rozwiazan: wy-starczy podstawic jakikolwiek y i wyliczyc x.



17

Mozna tez zmieniac dziedzine rwnania w druga strone, na wiekszy zbir. A jaki zbir jestwiekszy niz liczby rzeczywiste? W szkole sie o tym nie uczy, ale nastepny w kolejce to zbirliczb zespolonych. Wsrd tych liczb jest jedna bardzo specjalna liczba oznaczana literka i.Ma ona te wasnosc, ze i2 = 1. Jest jeszcze wiele innych rodzajw liczb: kwaterniony,oktaniony, liczby Cayleya, liczby hiperrzeczywiste, liczby porzadkowe.

Pod wieloma wzgledami matematyka bardzo sie upraszcza, gdy przechodzimy od liczbrzeczywistych do zespolonych. Np. kazdy wielomian stopnia n ma dokadnie n pierwiast-kw zespolonych (liczac z krotnosciami). Pozostajac w swiecie liczb rzeczywistych widzimytylko te z nich, ktre sa rzeczywiste. W tym sensie mamy bardzo ograniczone horyzonty.

Jakie sa rozwiazania zespolone rwnania x3 = 1?Jezeli juz uwierzymy, ze jest liczba o wasnosci i2 = 1 to pierwiastkami tymi sax = 1 oraz x = 12

3

2 i. Trudno uwierzyc? To sprawdzmy!(1

2

32

i

)3=

(18+ 3 1

4

32

i + 3 12 3

4i2 +

3

38

i3)

= (

18+

3

38

i 98 3

38

i

)= 1.

18

Pewnie nigdy nie zwrciliscie na to uwagi, ale znaczek rwnosci = miewa rzne znaczeniaw zaleznosci od kontekstu w jakim jest uzyty. Np. piszac wzr

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

mamy na mysli rwnosc speniona przez kazda liczbe x (a wiec tozsamosc). Jezeli natomiastnapiszemy

(x + 2)2 = x2 + 3,to juz zaczynamy to traktowac jak rwnanie, czyli raczej myslimy, ze istnieje liczba (roz-wiazanie tego rwnania), ktra sprawia, ze ta rwnosc jest prawdziwa. Gdybysmy chcieli tenasze odczucia sprecyzowac, to bysmy musieli z przodu tych rwnosci dopisac kwantyfika-tory, w pierwszym przypadku oglny (dla kazdego x), a w drugim przypadku szczegowy(istnieje x). Poniewaz jednak logika wyparowaa ze szkoy, nie bedziemy tego tematu drazyc.

Zamiast tego, mozemy myslec jeszcze inaczej, mianowicie ze pierwsza rwnosc to rw-nosc funkcji (czyli jest speniona dla wszystkich x), a druga rwnosc to rwnosc dwch liczb(dla pewnej wartosci x). Czasami uzywa sie nawet specjalnego znaczka na podkreslenie,ze mamy do czynienia z rwnoscia funkcji. Zapis f (x) g(x) czyta sie f jest tozsama z gi oznacza on rwnosc dwch funkcji f i g. Nie jest to jednak zbyt popularna notacja (chocbywa bardzo wygodna), wiec traktujecie to raczej jak ciekawostke.



Z rwnosciax + 3 = x + b

wynika, ze x = b3a1 (o ile a 6= 1), a z tozsamosci (rwnosci funkcji)ax + 3 x + b

wynika, ze a = 1 i b = 3 (wielomiany sa rwne gdy maja rwne wspczynniki).

19Znaczek tozsamosci jest uzywany jeszcze w innym kontekscie, mianowicie jezeli liczbya, b, c sa cakowite to zapis

a b (mod c)oznacza, ze liczby a i b daja te sama reszte przy dzieleniu przez c (rwnosc te czytamy aprzystaje do b modulo c).

Uzywajac opisanej notacji zapisy

a 1 (mod 2)b 0 (mod 2)c 0 (mod 10)d 2 (mod 5)e f (mod 2)

oznaczaja kolejno: a jest liczba nieparzysta, b jest liczba parzysta, c dzieli sie przez10, d daje reszte 2 przy dzieleniu przez 5 (czyli d 2 dzieli sie przez 5), e i f sa tejsamej parzystosci (obie parzyste lub obie nieparzyste).

Tego rodzaju rwnosci nosza nazwe kongruencji i bywaja bardzo uzyteczne przy badaniupodzielnosci liczb cakowitych. Mozna pokazac, ze kongruencje, podobnie jak zwyke rw-nosci, mozna do siebie dodawac oraz przez siebie mnozyc.

Uzasadnijmy, ze kwadrat liczby cakowitej zawsze daje reszte 0 lub 1 przy dzieleniuprzez 4 (a wiec nigdy nie daje reszty 2, ani 3).Jezeli n = 2k jest liczba parzysta, to n2 = 4k dzieli sie przez 4. Jezeli natomiastn = 2k + 1 jest liczba nieparzysta to mamy (liczymy modulo 4)

n2 (2k + 1)2 4k2 + 4k + 1 0 + 0 + 1 1 (mod 4).Zatem reszta w tym przypadku jest rwna 1.

Jaka jest reszta z dzielenia przez 3 liczby 253?Liczymy modulo 3.

253 2 252 2 (

22)26 2 426 2 126 2 (mod 3).

Zatem 253 daje reszte 2 przy dzieleniu przez 3 (zatem 253 2 dzieli sie przez 3).Materia pobrany z serwisu www.zadania.info

20


20W zadaniach szkolnych na og mamy do czynienia z rwnaniami i nierwnosciami licz-bowymi, co oznacza, ze poszukiwane niewiadome maja byc liczbami. W oglnosci jednakrozwaza sie wiele innych rwnan, w ktrych niewiadome moga byc przerznymi obiektami,np. wektorami (rwnania wektorowe), funkcjami (rwnania funkcyjne, rwnania rznicz-kowe, rwnania cakowe), macierzami (rwnania macierzowe), zmiennymi losowymi/rozkadamiprawdopodobienstwa (rwnania stochastyczne) itd.

Wyznaczmy wszystkie funkcje rzeczywiste speniajace dla x, y Rwarunek f (x +y)2 > f (x)2 + f (y)2.Podstawiajac w tej rwnosci x = y = 0 mamy

f (0)2 > 2 f (0)2 0 > f (0)2 f (0) = 0.Jezeli teraz podstawimy y = x to mamy

f (0)2 > f (x)2 + f (x)2 0 = f (0)2 > f (x)2 + f (x)2.Poniewaz suma kwadratw moze byc niedodatnia tylko wtedy, gdy skadniki sazerowe, otrzymujemy stad f (x) = 0.

Rozwiazania rwnania funkcyjnego f (x) = f (x) nazywamy funkcjami niepa-rzystymi i oczywiscie jest ich mnstwo.

21Bardzo silnym narzedziem przy analizie rwnan i nierwnosci sa pochodne.

Sprawdzmy ile rozwiazan ma rwnanie 3x4 2x3 log 2 = 0.Rwnanie nie wyglada zbyt atrakcyjnie (na pewno nie ma pierwiastkw wymier-nych), ale nie mamy go rozwiazywac, tylko sprawdzic ile ma rozwiazan. Rozwaz-my funkcje

f (x) = 3x4 2x3 log 2.Liczymy jej pochodna

f (x) = 12x3 6x2 = 6x2(2x 1).Widac, ze w punkcie x = 0 mamy punkt przegiecia (pochodna nie zmienia znaku),a w punkcie x = 12 minimum lokalne (pochodna zmienia znak z na +). Zatem wpunkcie x = 12 funkcja ma minimum globalne. Sprawdzmy ile ono wynosi

f(

12

)=

316 1

4 log 2 = 3 4

16 log 2 < 0.

Zatem dane rwnanie bedzie miao dokadnie dwa rozwiazania: jedno na lewo odx = 12 , a drugie na prawo (bo funkcja jest malejaca na lewo od x =

12 i rosnaca na

prawo od tego punktu.)



Udowodnijmy, ze dla x > 0 prawdziwa jest nierwnosc: x > 1 + ln x.Rozwazmy funkcje

f (x) = x 1 ln x.Liczymy jej pochodna

f (x) = 1 1x=

x 1x

.

Widac, ze pochodna przechodzac przez x = 1 zmienia znak z na +, wiec wpunkcie tym jest minimum lokalne funkcji f . Jest wiec to jednoczesnie minimumglobalne (bo na lewo od tego punktu funkcja jest malejaca, a na prawo rosnaca).Liczymy ile ono wynosi

f (1) = 1 1 ln 1 = 0.Zatem f (x) > 0.

22

W zastosowaniach praktycznych na og nie sa nam potrzebne dokadne rozwiazania rw-nan, ale zazwyczaj wystarcza nam algorytm otrzymywania rozwiazan z dowolna dokad-noscia. Jest wiele bardzo efektywnych takich algorytmw, opiszemy jeden z najprostszych.

Powiedzmy, ze chcemy wyliczyc bardzo dokadna wartosc pierwiastka rwnania0 = f (x) = x5 x 7 (rwnanie to ma tylko jeden pierwiastek).W pierwszym kroku szukamy jakiegokolwiek przedziau, w ktrym jest szuka-ny przez nas pierwiastek. Poniewaz f (1) = 7 i f (2) = 23, za taki przedziamozemy wziac 1, 2. W takim razie znamy juz pierwiastek z dokadnoscia do 1(jest miedzy 1 a 2). W nastepnym kroku zastepujemy jeden z koncw przedzia-u jego srodkiem. Ktry koniec? To zalezy od wartosci funkcji w srodku. Policzmy,f (1, 5) 0, 1 < 0. Zatem pierwiastek jest w przedziale 1, 5; 2. W ten sposb zna-my juz pierwiastek z dokadnoscia do 12 . I tak dalej. Poniewaz funkcja wykadnicza1

2n niezwykle szybko maleje, juz po kilku krokach otrzymamy bardzo dokadneprzyblizenie poszukiwanego pierwiastka.


Documents

Rozwiązywanie Równań i Nierówności