MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ stat W/Met... · konieczność rozwiązywania równań, ... RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi” ... RÓWNAŃ – metoda siecznej cd

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Wykład – 2

Układy równań – metody analityczne

Metody numeryczne rozwiązywania równań liczbowych

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

0),...,,(

0),...,,(

0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxF

xxxF

xxxF

Układem równań nazywamy n równości, w których występuje na ogół n niewiadomych. Każdy układ równań daje się sprowadzić do postaci:



033904.1),,(

0989351.0)sin(),,(

0)ln(4411.61),,(

3213213

3213212

321

3

3

2

213211

21

xxxexxxF

xxxxxxF

xxxxxxxxxF

xx

Przykładowy układ równań



Układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej:

wektorowafunkcjaFFFF n ],...,[ 21

0)(

xF

chniewiadomywektorxxxx n ],...,[ 21

zerowywektor]0,...0,0[0


ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

Analityczne rozwiązanie układów jest możliwe w rzadkich przypadkach, gdy za pomocą różnych przekształceń można układ sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej 4.

Przykład: 2 2

1 2

2

1 1 2

13

2 3

x x

x x x

Wyznaczając z drugiego równania x2 i podstawiając do równania pierwszego otrzymujemy równanie 4 – tego stopnia:

4 3 2

1 1 1 14 4 10 6 4 0x x x x

Równanie to ma dwa pierwiastki rzeczywiste: x1,1=2 x1,2=-1.537

Podstawienie tych wartości do drugiego równania daje x2,1=3 x2,2=3.2616


ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH

Stosunkowo często w wielu zastosowaniach występują układy równań liniowych. Układy takie można rozwiązywać analitycznie za pomocą wielu metod.

Układ równań liniowych można zapisać następująco:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x w

a x a x a x w

a x a x a x w

Współczynniki liczbowe występujące po lewej stronie tworzą tzw. macierz główną układu. Liczby po prawej stronie tworzą tzw. wektor wyrazów wolnych.


ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH

Układ równań liniowych ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy, gdy wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.

Spośród wielu metod analitycznych rozwiązywania układów liniowych

przypominam metodę wyznacznikową Cramera:

Zgodnie z tą metodą rozwiązanie liniowego układu równań jest dane za pomocą wzorów:

1 21 2

det( )det( ) det( )....

det( ) det( ) det( )

nn

AA Ax x x

A A A

gdzie: A – macierz główna układu Ai – macierz główna, w której i - tą kolumnę zastąpiono wektorem wyrazów wolnych


Numeryczne metody rozwiązywania równań liczbowych

Bardzo często w praktycznych zastosowaniach występuje konieczność rozwiązywania równań, których nie można rozwiązać analitycznie. Są to równania algebraiczne stopnia wyższego niż 4 lub nawet proste równania, w których występują zależności funkcyjne. W takich przypadkach stosowane są metody przybliżone często nazywane numerycznymi.


Numeryczne metody rozwiązywania równań liczbowych

1. Uwagi ogólne 2. Błąd pierwiastka i równania 3. Metoda bisekcji 4. Metoda „regula falsi” 5. Metoda siecznej 6. Metoda Newtona (stycznej) 7. Metoda iteracji prostej 8. Numeryczne rozwiązywanie układów

równań

© Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł

NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ

,...,...,,}{ )()2()1()( ii xxxx

Numeryczne rozwiązywanie tego równania polega na konstrukcji ciągu liczbowego zbieżnego do szukanego pierwiastka:

Załóżmy że mamy do rozwiązania równanie:

)()( xGxF

xx i

i

)( )(

lim

)()( xGxF

szukany pierwiastek równania.

© Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 11


)()( ii

x xx

)()( )()()( iii

y xGxF

W związku z tym, że w praktyce zamiast granicy należy przyjąć konkretny, skończony wyraz ciągu, w metodach numerycznych dużą rolę odgrywa zagadnienie dokładności obliczeń lub też błędu pierwiastka lub równania. Błędem pierwiastka będziemy nazywać wartość absolutną różnicy rzeczywistego pierwiastka x* a konkretnym wyrazem xi ciągu liczbowego kończącym konstrukcję:

Błędem równania nazywamy wartość absolutną różnicy rzeczywistych wartości funkcji F i G w punkcie xi:



Pojęcia błędu pierwiastka i równania dla równania F(x)=0 można pokazać graficznie:

x

y

xi

x* F(xi)

y=F(x)

)()( ii

x xx

( ) ( )( )i i

y F x



Konstrukcję ciągu {xi} kończy się gdy błąd pierwiastka lub błąd równania (lub obydwu wartości) będzie mniejszy od z góry zadanej liczby dodatniej ε.

)(i

x

)(lub i

y

)(lub )()( i

y

i

x



0)( xF

0)()( 00 bFaF

Istnieje kilka metod przybliżonego (numerycznego) rozwiązywania równań z jedną niewiadomą. Tutaj zaprezentuję Państwu 5 takich metod. Wszystkie metody zostaną przedstawione w postaci algorytmów (przepisów) za pomocą kolejnych kroków.

1. Metoda połowienia przedziału (bisekcji)

Metodę stosujemy do równania postaci:

Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a0,b0], w którym funkcja F(x) ma na brzegach przedziału różne znaki czyli spełnia warunek:

Jeżeli funkcja F jest ciągła to wiemy wtedy że pierwiastek znajduje się w przedziale [a0,b0].



Krok 2° - Dzielimy przedział na pół tzn. zakładamy że pierwszym przybliżeniem pierwiastka jest środek przedziału:

22

000001

baabax


NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd.

):():(0)()(

):():(0)()(

011101

011101

bbxabFxF

aaxbaFxF

Krok 3° - Badamy znak funkcji F(x) w punkcie x1 i porównujemy ze znakami tej funkcji na brzegach przedziału. Porównanie to daje nam informację, w której połówce znajduje się szukany pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie znaki na brzegach są różne. Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury bierzemy odpowiednią połówkę. W tym celu środek przedziału podstawiamy jako brzeg b1 lub a1.



Krok 4° - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na pół i znajdujemy drugie przybliżenie pierwiastka x2. Następnie powtarzamy krok 3° itd. Powstaję w ten sposób typowa pętla numeryczna, którą przerywamy wtedy gdy osiągniemy żądaną dokładność obliczeń. Żądaną dokładność obliczeń na ogół określa się wybierają pewną dostatecznie małą dodatnią liczbę ε,

np. ε =10-6. Pętla kolejnych obliczeń zostaje przerwana, gdy

długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od zadanej dokładności, tzn.:

nnn xxab )(



W przypadku metody bisekcji można z góry określić liczbę kroków wymaganą do osiągnięcia żądanej dokładności. Konstrukcja metody prowadzi do wzoru:

00

2lgab

n



Graficzna ilustracja metody bisekcji:

x

y

a0 b0

x*

x1

F(b0)

F(a0)

y=F(x)

Metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, pod warunkiem znalezienia przedziału [a0,b0]

x2


NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi”

0)( xF

0)()( 00 bFaF

2. Metoda „regula falsi”


Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a0,b0], w którym znajduje się szukany pierwiastek x*. Funkcja F(x) ma wtedy na brzegach przedziału różne znaki czyli musi spełniać warunek:


NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi”

Krok 2° - Zakładamy, że w przedziale tym funkcja jest liniowa. Prowadzi to do następującego wzoru określającego pierwsze przybliżenie pierwiastka:

)()(

)()(

00

00001

aFbF

aFbbFax

Otrzymany punkt x1 dzieli pierwotny przedział na dwa na ogół nierówne podprzedziały. W jednym z tych podprzedziałów będzie się znajdował szukany pierwiastek.


NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE

RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd.

):():(0)()(

):():(0)()(

011101

011101

bbxabFxF

aaxbaFxF

Krok 3° - Obliczamy wartość funkcji F(x) w punkcie x1 a znak tej wartości porównujemy ze znakami tej funkcji na brzegach przedziału. Porównanie to daje nam informację, w którym podprzedziale znajduje się szukany pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie znaki na brzegach są różne. Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury wybieramy odpowiedni podprzedział. W tym celu obliczony punkt x1 podstawiamy jako brzeg b1 lub a1.




Krok 4° - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na dwie części za pomocą założenia liniowości i znajdujemy drugie przybliżenie pierwiastka x2. Wzór wynikający z tego założenia dla i – tego przybliżenia jest następujący:

)()(

)()(

11

1111

ii

iiiii

aFbF

aFbbFax




Następnie powtarzamy krok 3° itd. Pętla kolejnych obliczeń zostaje przerwana, gdy długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od zadanej dokładności, tzn.:

nnn xxab )(

W przypadku metody „regula falsi” nie można z góry określić liczby kroków koniecznych do osiągnięcia żądanej dokładności.



RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd. Graficzna ilustracja metody „regula falsi”:

x

y

a0 b0

x*

x1

F(b0)

F(a0)

y=F(x)

Metoda „regula falsi” podobnie jak metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, pod warunkiem znalezienia przedziału [a0,b0]

x2


NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda siecznej

0)( xF

3. Metoda siecznej


Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy dwie różne liczby a i b leżące w pobliżu szukanego pierwiastka x*.

Następnie obliczamy wartości funkcji F(a) i F(b). W zależności od tych wartości określamy dwa pierwsze przybliżenia x1 i x2:

):():()()(

):():()()(

21

21

axbxbFaF

bxaxbFaF


NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ –Metoda siecznej

Krok 2° - Na podstawie znajomości wartości funkcji w dwu poprzednich przybliżeniach obliczmy wartość kolejnego przybliżenia stosując wzór zakładający liniową postać funkcji (prowadzimy sieczną przez te punkty – stąd nazwa metody) :

)()(

)()(

12

1221

ii

iiiii

xFxF

xFxxFxx

Otrzymujemy w ten sposób ciąg kolejnych wartości pierwiastka x1,x2,…xi,…



RÓWNAŃ – metoda siecznej cd.

1 iii xx

W celu oszacowania dokładności na każdym etapie obliczamy wartość szacunkowego błędu :

Na ogół pętlę obliczeń przerywa się gdy:

i

Metoda siecznej może być rozbieżna tzn. kolejne błędy mogą wzrastać. W takim przypadku należy zmienić punkty startowe lub metodę.


x2 x1

29


RÓWNAŃ – metoda siecznej cd.

Graficzna ilustracja metody siecznej:

y

x

F(x1)

F(x2)

x3

x*

y=F(x)



RÓWNAŃ – Metoda Newtona (stycznej)

0)( xF

4. Metoda Newtona (stycznej)

Metoda ta jest bardzo znana i często stosowana.

Warunkiem stosowalności metody jest różniczkowalność funkcji F w pobliżu pierwiastka. Ponadto wartość pochodnej funkcji F musi być różna od zera. Oznacza to, że metoda nie nadaje się do równań, w których pierwiastek jest jednocześnie ekstremum lub punktem przegięcia.

Metodę stosujemy do równań w postaci:




Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość pierwiastka x1 oraz przyjmujemy że i=1

Krok 2° - Różniczkujemy funkcję F(x) i obliczamy pochodną F’(xi)

)('

)(1

i

iii

xF

xFxx

Krok 3° - Obliczamy przybliżenie następne xi+1 za pomocą wzoru iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego xi)

Istotą metody Newtona jest przyjęcie że funkcja ma w pobliżu pierwiastka przebieg liniowy zbliżony do stycznej jej wykresu w punkcie xi. Wzór powyższy wynika z tego założenia.




Krok 4° - Obliczamy różnicę |xi+1-xi| i porównujemy ją z zadaną dokładnością ε.

Krok 5° - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 3°. Obliczenia przerywamy po uzyskaniu zadanej dokładności.



RÓWNAŃ – Metoda Newtona cd. Graficzna ilustracja metody stycznej:

y

x x1

F(x1) x*

y=F(x)

)('

)()()('

1

112

21

11

xF

xFxx

xx

xFxF

Metoda Newtona może być rozbieżna. W takim przypadku należy albo poszukać nowego przybliżenia początkowego albo przekształcić równanie do innej postaci albo też zmienić metodę.

x2 x3



RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej

)(xfx

5. Metoda iteracji prostej Jest to najprostsza z istniejących metod numerycznych.

Metodę stosujemy do równań postaci:

Krok 1° - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość pierwiastka x1 oraz przyjmujemy że i=1

)(1 ii xfx

Krok 2° - Obliczamy przybliżenie następne xi+1 za pomocą wzoru iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego xi) będącego bezpośrednim zapisem równania:



RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej

Krok 3° - Obliczamy różnicę |xi+1-xi| i porównujemy ją z zadaną dokładnością ε.

Krok 4° - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 2°. Obliczenia przerywamy po osiągnięciu zadanej dokładności.

Również metoda iteracji prostej dosyć często jest rozbieżna. W takim przypadku zmiana przybliżenia początkowego nic nie daje. Należy albo przekształcić równanie do innej postaci albo też zmienić metodę.


x2

36


RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej cd. Za pomocą ilustracji graficznej można pokazać przypadki, w których

metoda ta jest zbieżna lub rozbieżna. Rozpatrzmy najpierw funkcje rosnące.

x

y

y=f(x)

y=x

x*

f(x1)

f(x2)

x

y y=x

y=f(x)

f(x1)

f(x2)

Metoda zbieżna Metoda rozbieżna

x*

x1 x2 x3 x1 x3



RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej cd. A teraz funkcje malejące.

x

y

y=f(x)

y=x

x* x1

f(x1)

f(x2)

x

y y=x

y=f(x)

f(x1)

f(x2)

Metoda zbieżna

x2

Metoda rozbieżna

x3

x* x1 x2

x3



RÓWNAŃ – Metoda iteracji prostej cd.

1)(' xf

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna to można w prosty sposób określić zbieżność metody iteracji prostej. O zbieżności metody decyduje następujące twierdzenie: Jeżeli w pobliżu pierwiastka równania x=f(x) pochodna funkcji f spełnia warunek:

to metoda jest zbieżna. Jeżeli natomiast

1)(' xf

to metoda jest rozbieżna.


NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

Układy podobnie jak pojedyncze równania można rozwiązywać metodami analitycznymi (dokładnymi) lub numerycznymi (przybliżonymi). Analitycznie można rozwiązywać np. układy równań liniowych lub niektóre proste układy nieliniowe. W metodach numerycznych konstruuje się ciąg wektorów zbieżny do wektora pierwiastków niewiadomych. W związku z tym, że jest to ciąg wektorowy, charakter wektorowy ma również dokładność pierwiastka i dokładność równań.

])(,...,)(,)([],...,,[ )()(

2

)(

1

)()(

2

)(

1

)( i

n

iii

yn

i

y

i

y

i

y xFxFxF

],...,,[],...,,[ )()(

22

)(

11

)()(

2

)(

1

)( i

nn

iii

xn

i

x

i

x

i

x xxxxxx


NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

W celu stwierdzenia kiedy należy zakończyć konstrukcję ciągu rozwiązań konieczne jest znormalizowanie (czyli „zmierzenie”) powyższych wektorów. Najczęściej stosowane są dwie normy: jednostajna i średniokwadratowa. Stosowanie normy jednostajnej jest bardziej rygorystyczne niż normy średniokwadratowej, tzn. że norma jednostajna zazwyczaj prowadzi do dłuższych obliczeń.


NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

)(max1

j

nj

n

j

jn 1

2

2

1

Norma jednostajna:

Norma średniokwadratowa:

Rozważmy przykładowy wektor:

1.0)001.0,01.0,1.0max(

]001.0,01.0,1.0[

058026.0)001.001.01.0(3

1 222

2



Konstrukcja ciągu rozwiązań jest przerywana gdy norma wybranej dokładności (pierwiastka lub równania) staje się mniejsza lub równa zadanej dokładności obliczeń ε czyli:

)()( lub i

y

i

x

)( )()( i

y

i

x

albo



)(xfx

1. Metoda iteracji prostej. Aby zastosować tę metodę układ równań należy przekształcić do postaci:

W pierwszym kroku trzeba znaleźć pierwsze przybliżenie wektora niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych. Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy bezpośrednio za pomocą równania tzn.:

)( )1()( ii xfx

Metoda jest zbieżna gdy ciąg norm wektora dokładności jest zbieżny do zera. Na ogół jednak metoda iteracji prostej nie jest zbieżna.



033904.1),,(

0989351.0)sin(),,(

0)ln(4411.61),,(

3213213

3213212

321

3

3

2

213211

21

xxxexxxF

xxxxxxF

xxxxxxxxxF

xx

Spróbujmy rozwiązać metodą iteracji prostej nasz przykładowy układ równań:

Za pomocą prostych przekształceń układ ten można doprowadzić do postaci:

3 2

2132132133

1

32132122

32

32111

)ln(4411.61),,(

)33904.1ln(),,(

)sin(

989351.0),,(

xxxxxxxxfx

x

xxxxxxfx

xxxxxfx



9.49.29.0 )0(

3

)0(

2

)0(

1 xxx

Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi:

Za pomocą wzorów określających postać iteracyjną układu można obliczyć kolejne wektory rozwiązania:

9993.49974.29955.0

0073.59644.29954.0

0029.59613.201177.1

9989.4066.30305.1

81399.415615.3990794.0

)5(

3

)5(

2

)5(

1

)4(

3

)4(

2

)4(

1

)3(

3

)3(

2

)3(

1

)2(

3

)2(

2

)2(

1

)1(

3

)1(

2

)1(

1

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Widzimy że metoda jest zbieżna a wektor rozwiązań wynosi: 0.50.30.1 321 xxx



0)(

xF

2. Metoda Newtona - Raphsona. Jest to adaptacja metody stycznej do układów równań. Metodę stosuje się do układu w postaci:

W pierwszym kroku trzeba znaleźć pierwsze przybliżenie wektora niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych. Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy za pomocą następującej procedury:



],...,,[ )()(

2

)(

1

)(

)()1()(

i

n

iii

iii gdziexx

- wektor przyrostów wyznaczany za pomocą układu równań liniowych w zapisie macierzowym:

)()(' )1()()1( iii xFxF

F’ oznacza macierz kwadratową pochodnych cząstkowych funkcji wektorowej F.



)()(

...)()(

......................................................................................................

)()(

...)()(

)()(

...)()(

)1()()1(

)(

2

2

)1()(

1

1

)1(

)1(

2

)()1(

2)(

2

2

)1(

2)(

1

1

)1(

2

)1(

1

)()1(

1)(

2

2

)1(

1)(

1

1

)1(

1

i

n

i

n

n

i

nii

nii

n

ii

n

n

ii

ii

i

ii

n

n

ii

ii

i

xFx

xF

x

xF

x

xF

xFx

xF

x

xF

x

xF

xFx

xF

x

xF

x

xF

Pełny zapis tego pomocniczego układu równań jest następujący:

Proces konstrukcji ciągu rozwiązań przerywamy gdy norma (średniokwadratowa lub jednostajna) wektora przyrostów osiągnie zadaną dokładność ε.

n

j

i

j

i

n 1

2)(

2

)( 1



Rozwiążmy za pomocą metody Newtona – Raphsona nasz przykładowy układ równań.

5.57.28.0 )0(

3

)0(

2

)0(

1 xxx

Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi:

Podstawiając te wartości do zasadniczego układu równań liniowych otrzymujemy wektor przyrostów Δ:

]422735.0,671782.0,323508.0[)1( Dodając odpowiednie przyrosty otrzymujemy poprawiony wektor rozwiązań:

07724.537178.312351.1 )1(

3

)1(

2

)1(

1 xxx



Podstawieniu nowych wartości prowadzi do drugiego wektora Δ:

]073858.0,17273.0,116344.0[)2( co daje kolejny wektor rozwiązań:

0034.519905.300716.1 )2(

3

)2(

2

)2(

1 xxxi dalej:

]002946.0,1583.0,01354.0[)3(

00044.50408.399362.0 )3(

3

)3(

2

)3(

1 xxx

]00044.0,03925.0,00585.0[)4(

00000.50015.399948.0 )4(

3

)4(

2

)4(

1 xxx

Widzimy, że w czwartej iteracji otrzymaliśmy dokładność rzędu jednej tysięcznej.


To na dzisiaj wystarczy…..

Dziękuję bardzo Państwu za uwagę !

Documents

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ stat W/Met... · konieczność rozwiązywania równań, ... RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi” ... RÓWNAŃ – metoda siecznej cd