Tudtad? – 6. Ezt a kérdést azért tesszük fel, mert lehet, hogy erre még nem gondoltál. Most tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra Itt egy P térbeli pont megadását szemlélhetjük, egy térbeli koordináta - rendszerben, az ( x, y, z ) derékszögű, és az ( r, φ, ϑ ) térbeli polárkoordinátákkal. A közöttük fennálló összefüggések felírása az 1. ábra alapján az alábbiak szerint történhet:

xy

xy

xy

x r cos ,

y r sin ,

z r ctg ;

= ⋅ ϕ

= ⋅ ϕ = ⋅ ϑ

( 1 )

továbbá

xyr r sin ,= ⋅ ϑ ( 2 )

így ( 1 ) és ( 2 ) - vel:

2

x r sin cos ,

y r sin sin ,

z r cos .

= ⋅ ϑ⋅ ϕ = ⋅ ϑ⋅ ϕ = ⋅ ϑ

( 3 )

Még fennállnak a

0 r ,

0 360 ,

0 180

≤ ≤ ∞ ≤ ϕ ≤ ≤ ϑ ≤

ο

ο

( 4 )

kapcsolatok is. A szakirodalomban – pl.: [ 1 ] – felhívják a figyelmet bizonyos koordinátafelületekre, melyek ( 3 ) - ból úgy adódnak, hogy valamely koordinátá(ka)t rögzítjük. 1.) 0 konst.ϕ = ϕ = ( * )

Ezt az esetet a 2. / S ábra szemlélteti.

2. ábra A megfelelő egyenletek ( 3 ) és ( * ) - gal:

3

0

0

x r sin cos ,

y r sin sin ,

z r cos .

= ⋅ ϑ⋅ ϕ = ⋅ ϑ⋅ ϕ = ⋅ ϑ

( 5 )

( 5 ) egy olyan függőleges síkot ír le, amely átmegy az O ponton.

2.) 0r r konst.= = ( ** )

Ezt az esetet a 2. / G ábra szemlélteti. A megfelelő egyenletek ( 3 ) és ( ** ) - gal:

0

0

0

x r sin cos ,

y r sin sin ,

z r cos .

= ⋅ ϑ⋅ ϕ = ⋅ ϑ⋅ ϕ = ⋅ ϑ

( 6 )

( 6 ) egy O középpontú, r0 sugarú gömb egyenletrendszere.

3.) 0 konst.ϑ = ϑ = ( *** )

Ezt az esetet a 3. / K ábra szemlélteti.

3. ábra

4

A megfelelő egyenletek ( 3 ) és ( *** ) - gal:

0

0

0

x r sin cos ,

y r sin sin ,

z r cos .

= ⋅ ϑ ⋅ ϕ = ⋅ ϑ ⋅ ϕ = ⋅ ϑ

( 7 )

( 7 ) egy O csúcsú, ϑ0 félnyílásszögű, függőleges tengelyű körkúpot ír le.

4.) xy xy0r r konst.= = ( **** )

Ezt az esetet a 3. / H ábra szemlélteti. A megfelelő egyenletek ( 1 ) és ( **** ) - gal:

xy0

xy0

xy0

x r cos ,

y r sin ,

z r ctg .

= ⋅ ϕ

= ⋅ ϕ = ⋅ ϑ

( 8 )

( 8 ) egy O középpontú, rxy0 alapkör - sugarú, függőleges tengelyű körhengert ír le. Megjegyzések: M1. Az itt tárgyalt felületek általánosabb megfelelőinek képletei esetleg másként festenek. Éppen ezért érdekesek az itt vázoltak, mert a fenti speciális esetekben a ( 3 ) képletalak érvényes rájuk. A 4. esetben ez azzal a kiegészítéssel igaz, hogy ( 2 ) sze -rint

( )xy0 0r r sin = ⋅ ϑ ( 9 )

vagyis az r és ϑ koordináták ( 9 ) szerinti kombinációja állandó értékű. Így ( 8 ) és ( 9 ) - cel:

( )( )( )

0

0

0

x r sin cos ,

y r sin sin ,

z r sin ctg .

= ⋅ ϑ ⋅ ϕ= ⋅ ϑ ⋅ ϕ = ⋅ ϑ ⋅ ϑ

( 10 )

M2. A 2. / G ábrán első pillantásra talán nem egyértelmű, hogy a P pont egy gömb felszínén, és nem a belsejében található. Amennyiben az Olvasó szerint valóban ez a helyzet, úgy rajzolja meg a saját ábra - verzióját, további gömbi körök bevonásával.

5

Irodalom: [ 1 ] – HÜTTE – A mérnöki tudományok kézikönyve Springer Hungarica, Budapest, 1993.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. március 30.