X1 ch5

مران قوبـاع التوابع املميزة وتطبيقاا :الفصل اخلامس 1

ممة قد

يف الت

حتمااال

التوابع المولدة وتطبيقاتها التوابع المولدة

تجوال عشوائي: تطبيق

التوابع المميزة

التوابع المميزة لبعض المتحوالت العشوائية المتعارفة

قاتون األعداد الكبيرة، ومبرهنة النهاية المركزية

اتـتمرين

التوابع المولدة 1.

)لتكن : تعريف 1-1. )n na a ∈= ℕ إذا كان نصف قطر تقارب املتسلسلة . متتالية من األعداد احلقيقية أو العقدية

الصحيحة 0

nn

n

a s

∞

=) موجبا متاما أمسينا التابع ∑ )

0

aG na n

n

s G s a s

∞

== ولد التابع املصفر املعرف يف جوار ال، ֏∑

العالقة فيد وت. a للمتتالية( ) ( )0

!

na

n

Ga

n . aGانطالقا من التابع aحدود املتتالية جاعباسرت =

، اليت نعرفها من امل مع املتتاليات نفسها، وتعد اخلاصة التاليةيف كثري من األحيان يكون التعامل مع التوابع املولدة أسهل من التع . خواص التوابع املولدة من أهم دراستنا للمتسلسالت،

)لتكن املتتاليتان )n na a ∈= ℕ و( )n nb b ∈= ℕ ولتكن( )n nc c ∈= ℕ ة جداء التالف متتاليc a b= ∗ : املعرفة بالعالقات

0

,n

n k n k

k

n c a b −=

∀ ∈ = ∑ℕ

aمعرفا يف جوار الصفر وكان cGمعرفني يف جوار الصفر كان bGو aGفإذا كان التابعان املولدان b cG G G⋅ =.

)اء االحتمايل ى الفضمتحوال عشوائيا منقطعا عل X ليكن: تعريف 2-1. , , )Ω A P . ولنفرتض أنX يأخذ قيمه يفبأنه التابع املولد لتابع الكتلة االحتمالية Xعندئذ نعرف التابع املولد للمتحول العشوائي . ℕجمموعة األعداد الطبيعية

أي Xلمتحول العشوائي ل

( ) ( ) ( )0 0

( )k k XX X

k k

G s X k s p k s s

∞ ∞

= == = = =∑ ∑P E

أكرب أو يساوي الواحد، ألن املتسلسلة XGف اليت تعر الصحيحة الحظ أن نصف قطر تقارب املتسلسلة

( )0X

k

p k

∞

=)على القرص املغلق ومستمر معرف XGإن يف احلقيقة، . متقاربة ∑ )0,1D على القرص املفتوح حتليلي هو، و

( )0,1D ق بسهولة أن . على األقلونتحق ( ) ( ) ( )1 1 0 0X XG G X= = =Pو

أمثلة 3-1.

) حتقق، ℕمن mوجود لنفرتض .المتحول العشوائي الثابت ♠ ) 1X m= =P ن جند بسهولة أ عندئذ ( ) ( )X m

XG s s s= =E

التوابع املميزة وتطبيقاا :الفصل اخلامس 2 عمران قوبـا

ممة قد

يف الت

حتمااال

باحتمال 0ويأخذ القيمة p قدره باحتمال 1متحوال عشوائيا برنوليا يأخذ القيمة Xإذا كان : برنوليالمتحول ال ♠1q قدره p= ) كان − ) 1XG s p ps= − +.

)متحوال عشوائيا حدانيا توزيعه Xإذا كان : المتحول الحداني ♠ , )B n p كان

( )

0

(1 ) (1 )n

k k n k k nX n

k

G s C p p s p ps−

== − = − +∑

كان pمتحوال عشوائيا هندسيا وسيطه Xإذا كان : المتحول الهندسي ♠

( ) ( )( )

1

1

11 1

k kX

k

psG s p p s

p s

∞−

== − =

− −∑

نكا λمتحوال عشوائيا بواسونيا وسيطه Xإذا كان : المتحول البواسوني ♠

( )( )1

0!

kk s

X

k

G s e s ek

λ λλ∞

− −

== =∑

)لتكن : توطئة 4-1. )n na ∈ℕ متتالية من+ℝ ،نصف قطر تقارب املتسلسلة الصحيحةأن ولنفرتضnna x∑ أكرب أو

عندئذ يتحقق التكافؤ. يساوي الواحد(متقاربة ∑naاملتسلسلة ( النهاية ⇔)

01lim n

nnxa x

−

∞

=→ )موجودة ∑

إذ تتحقق يف + ∪ +∞ℝ املساواة01

0

lim nn nnx

n

a x a−

∞∞

=→ ==∑ ∑.

العزوم، ويف حتديد توابع الكتلة االحتمالية موع متحوالت عشوائية إن أهم تطبيقات التوابع املولدة هي يف حساب .مستقلة، وهذا ما سندرسه فيما يلي

)متحوال عشوائيا منقطعا على فضاء احتمايل X ليكن: مبرهنة 5-1. , , )Ω A Pيف ، ويأخذ قيمهℕ . وليكنXG التابع .X لمتحول العشوائياملولد ل

) توقع رياضي إذا وفقط إذا كانت النهاية Xلمتحول العشوائييكون ل 1. )1

lim Xt

G t−→

نرمز إليها بالرمز وعندها نتهيةم ′( )1XG ) تتحقق املساواةو ،′ ) ( )1XX G ′=E.

1أيا كانت 2. k≤ ل العشوائيفإن للمتحو ،( ) ( )1 1X X X k− − ضيا، إذا وفقط إذا كانت ريا توقعا ⋯+) النهاية ) ( )

1lim k

Xt

G t−→

) نرمز إليها وعندها، نتهيةم ) ( )1kXG، تحقق املساواة تو

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1kXX X X k G− − + =E ⋯

)الحظ أن الرمزين )1XG )و ′ )( ) 1kXG ما معىن يف حالة كون نصف قطر تقارب مربران ألن للمساوافاتني اللتني تعر

.1أكرب متاما من XGاملتسلسلة الصحيحة ) متحوال عشوائيا منقطعا على فضاء احتمايلX ليكن: مالحظة 6-1. , , )Ω A P يأخذ قيمه يف ،ℕ .لمتحول نفرتض أن ل

.يكما يل X عندئذ حيسب تباين. عزوما من املرتبة الثانية X العشوائي( ) ( ) ( ) ( )( )22var ( ( 1)) ( ) ( ( )) 1 1 1X X XX X X X X G G G′′ ′ ′= − + − = + −E E E

.معتمدا على التوابع املولدة 1-3.التوقع الرياضي وتباين كل من املتحوالت العشوائية اليت درست يف املثال لقارئ حيسب اونرتك


ممة قد

يف الت

حتمااال

)عني على فضاء احتمايل متحولني عشوائيني منقط Yو X ليكن: مبرهنة 7-1. , , )Ω A P يأخذان قيمهما يف ،ℕ . إذاX كانمستقلني عشوائيا، Yو Xكان Y X YG G G+ = ⋅.

,1 لتكن: نتيجة8-1. , nX X… متحوالت عشوائية منقطعة على فضاء احتمايل( , , )Ω A P ا مستقلة عشوائياولنفرتض أ ،

مث لنعرف. ℕ وتأخذ قيمها يف1

n

k

k

S X=

= عندئذ. ∑1 2 nS X X XG G G G= ⋅ ⋯.

أمثلة 9-1.

,1 لتكن , nX X… ،منها، مستقلة عشوائيا متحوالت عشوائية برنولية وسيط كل p .مث لنعرف1

n

k

k

T X=

= ا كان ـ مل ∑

) طى بالصيغةيع kX لمتحول العشوائيالتابع املولد ل )kX

G s q ps= لمتحول العشوائي، استنتجنا أن التابع املولد ل+T وه

( ) ( )

1( )

k

nn

T Xk

G s G s q ps=

= ∏ = + )ارة التابع املولد لتوزيع حداين وهذه هي عب , )B n p.

)هو 1T متحولني عشوائيني مستقلني عشوائيا، وكان توزيع 2Tو 1Tفإذا كان , )B n p 2وتوزيعT هو( , )B m p ، استنتجنا أن

( ) ( ) ( )1 2 1 2

( )n mT T T TG s G s G s q ps +

+ = ⋅ = + 1ملتحول العشوائي وعليه يتبع ا 2T T+ توزيعا حدانيا( , )B n m p+.

,1وكذلك إذا كانت , nX X… وسيط ، وكان مستقلة عشوائيا بواسونية متحوالت عشوائيةkX هوkλ . مث

نارفع1

n

k

k

T X=

= استنتجنا أن ∑

( ) ( )( ) ( )( )( )1

11 1exp 1k

k

n nns

T X kkk kG s G s e sλ λ−

== == ∏ = ∏ = −∑

1يتبع قانونا أسيا وسيطه Tإذن 2 nλ λ λ+ + +⋯.

)1 لتكن: مبرهنة 11-1. )n nX وهلا ℕ عشوائية، ولنفرتض أا مستقلة عشوائيا وتأخذ قيمها يفمتتالية من املتحوالت ال ≤ شوائيا عنومستقال ع ℕ متحوال عشوائيا يأخذ قيمه يف N مث ليكن. XG توزيع احتمايل مشرتك تابعه املولد

1( )n nX وأخريا لنعرف املتحول العشوائي . NG وتابعه املولد ≤1

N

k

k

S X=

= أي . ∑

1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) ( )NS X X X ωω ω ω ω ω∀ ∈ Ω = + + +⋯ )مع االصطالح ( ) 0S ω )حني يكون = ( ) 0N ω Sللمتحول العشوائي SG عندئذ يعطى التابع املولد. =

Sبالعالقة N XG G G= . Sنستنتج من العالقة السابقة ومن املساواة N X XG G G G′ ′ ′= . التالية Waldعالقة ⋅

( ) ( ) ( )S N X=E E E )ماثلة من العالقة ـ ونستنتج بامل )2S N X X N X XG G G G G G G′′ ′′ ′ ′ ′′= ⋅ + ⋅ أن

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2var var varS N X X N= +E E


ممة قد

يف الت

حتمااال

.خنتم هذه الفقرة بلمحة سريعة إىل التابع املولد املشرتك لعدد من املتحوالت العشوائية

)متحولني عشوائيني على الفضاء االحتمايل 2Xو 1X ليكن: تعريف 13-1. , , )Ω A P . ما يأخذان قيمهماولنفرتض أ)لثنائية العشوائية شرتك لاملولد امل ععندئذ نعرف التاب. ℕيف جمموعة األعداد الطبيعية )1 2,X X الصيغةب

( ) ( )1 2

1 22

, 1 2 1 2 1 21 2( , )

( , ) ,X X k mX X

k m

G s s s s X k X m s s∈

= = = =∑E P

ℕ

) شعاع عشوائيونعرف بأسلوب مماثل التابع املولد املشرتك ل )1 2, , nX X X….

.ة التاليةلقارئ يتحقق صحة اخلاصة املهم انرتك

)متحولني عشوائيني على الفضاء االحتمايل 2Xو 1X ليكن: مبرهنة 14-1. , , )Ω A P . يأخذان قيمهما يفℕ . يكون ني عشوائيا إذا وفقط إذا كانمستقل 2Xو 1Xاملتحوالن العشوائيان

1 2 1 2, 1 2 1 2( , ) ( ) ( )X X X XG s s G s G s= ⋅

.يف جوار للصفر 2sو 1s مهما يكنوذلك

XG، ومن مث حيقق تابعها املولد ℕتأخذ دوما قيمها يف Xلقد تأملنا حىت اآلن متحوالت عشوائية : مالحظة 15-1.)املساواة )1 1XG تأخذ قيمها يف X، ولكن قد نتعرض مستقبال ملتحوالت عشوائية = ∪ +∞ℕ مع ،

( ) 0X = +∞ >P . يف هذه احلالة يتقارب التابع املولد( ) ( )XXG s s= E يف حالة| | 1s ، ويكون>

( ) ( ) ( )1

lim 1Xs

k

G s X k X−→ ∈

= = = − = +∞∑ P P

ℕ

!∞+اليت تساوي مجيعا Xوم بالطبع ال ميكننا يف هذه احلالة االستفادة من التوابع املميزة يف حساب عز

تجوال عشوائي: تطبيق 2.

)احتمايل ء يف فضا ), ,Ω A P ، نتأمل متتالية( )n nX ∗∈ℕ يا، واليت تأخذ القيمة من املتحوالت العشوائية املستقلة عشوائ1qباحتمال قدره −1والقيمة pباحتمال قدره +1 p= )مث نتأمل املتتالية .− )n nS ∈ℕ املعرفة كما يلي:

01

0, 1,n

n k

k

S n S X=

= ∀ ≥ = ∑

، O، انطلقت من nميثل موقع جزيئة يف اللحظة nSيف احلقيقة، . Oاليت متثل جتواال عشوائيا بسيطا يبدأ من نقطة األصل ، وذلك على حنو مستقل عن q، أو باالجتاه السالب باحتمال قدره pجتاه املوجب باحتمال قدره وهي يف كل حلظة تقفز باال

. القفزات السابقة

n

nS


ممة قد

يف الت

حتمااال

زيئة إىل نقطة األصل، ألنه بسبب االستقالل ما يهمنا عند دراسة هذا التجوال العشوائي هو اللحظات اليت تعود فيها اجلأول رجوع حلظةنبحث إذن عن توزيع .العشوائي، تعاود اجلزيئة بعد ذلك انطالقها يف نسخة مستقلة عشوائيا لما وقع قبل ذلك

.إىل املبدأ)لنعرف ) ( )0 0np n S= =P وهو احتمال أن تكون اجلزيئة يف نقطة األصلO عند اللحظةnولتكن ،

( ) ( )0 1 2 10, 0, , 0, 0n nf n S S S S−= ≠ ≠ ≠ =P … )مث لنعرف التابعني املولدين للمتتاليتني . Oحلظة أول رجوع إىل nأي احتمال أن تكون )( )0 np n ∈ℕ و( )( )0 nf n ∈ℕ

.كما يلي

( ) ( )0 00

n

n

F s f n s

∞

== )و ∑ ) ( )0 0

0

n

n

P s p n s

∞

== ∑

املعرف بالصيغة 0Tيف احلقيقة، إذا تأملنا املتحول العشوائي ( ) ( ) 0, min : 0kT k Sω ω ω∗∀ ∈ Ω = ∈ =ℕ

الحظنا أن 0 1 2 10, 0, , 0, 0n nT n S S S S−= = ≠ ≠ ≠ =…

)من مث و ) ( )0 0,n f n T n∀ ∈ = =Pℕ 0، إذنF 0هو التابع املولد لتابع الكتلة االحتمالية للمتحول العشوائيT ، أي

( ) ( ) ( )000,1 , Ts D F s s∀ ∈ = E

، يف اموعة يأخذ قيمه، من حيث املبدأ 0Tمع مالحظة أن ∪ +∞ℕ وأن احلدث ، 0T = ليس بالضرورة ∞+ .حدثا شبه مستحيل

.تتحقق اخلواص التاليةمع االحتفاظ بالرموز السابقة، : مبرهنة 1-2.[من sمهما تكن 1. )لدينا ف −1,1] ) ( ) ( )0 0 01P s P s F s= +.

[من sمهما تكن 2. )لدينا ف −1,1] )0 2

1

1 4P s

pqs=

−.

[من sمهما تكن 3. )يكن −1,1] ) 20 1 1 4F s pqs= − −.

.حنتفظ بالرموز السابقة: نتائج 2-2.)يعطى احتمال العودة إىل املبدأ بالصيغة 1. )0 1T p q< +∞ = − −P. .∞+هلذه اللحظة إذا كانت العودة إىل الصفر شبه أكيدة كان التوقع الرياضي 2. يكن ℕ∗من nمهما تكن 3.

( )0 2 1 0T n= − =P و( ) ( )0 21

22 1

nnnT n C pq

n= =

−P

التوابع المميزة 3.

ولتعميم مفهوم التوابع . ، مفيدة جدا ℕلقد وجدنا يف دراستنا السابقة أن التوابع املولدة ملتحول عشوائي، يأخذ قيمه يف tsات غري جمموعة األعداد الطبيعية، جنري تغيري املتحولاملولدة على متحوالت عشوائية تأخذ قيمها يف جمموع e= يف الصيغة

( ) ( )XXG s s= Eفنحصل على التعريف التايل ،.


ممة قد

يف الت

حتمااال

)متحوال عشوائيا يف فضاء احتمايل X ليكن: تعريف 1-3. , , )Ω A P . ل العشوائيعندئذ يكون املتحوtXe موجبا وميكننا بأنه التابع Xالتابع املولد لعزوم املتحول العشوائي من مث تعريف

( ) ( ): [0, ], tXX XM M t e→ +∞ = Eℝ

)الشرط للصفر يف جوار فمثال إذا حتقق. مماثلة خلواص التوابع املولدةيتمتع التابع املولد للعزوم خبواص )XM t < كان ،∞+( ) ( ), ( ) 0kkXk X M∀ ∈ =Eℕ

. »Xي املتحول العشوائ ولد لعزوماملتابع ال« XMتسمية وهي اخلاصة اليت تربر

ℝجزئية من Bمتحولني عشوائيني مستقلني عشوائيا، ووجدت جمموعة غري خالية Yو Xومن جهة أخرى، إذا كان ) حتقق )XM t < )و ∞+ )YM t < ، عندئذ تتحقق املساواة Bمن tمهما تكن ∞+

( ) ( ) ( ), X Y X Yt B M t M t M t+∀ ∈ = ⋅ لذلك . سيا وهو أن التكامل الذي يعرفها قد ال يكون منتهيا تعاين التوابع املولدة للعزوم، على فوائدها اجلمة، ضعفا أسا

.تم بصف آخر من التوابع اليت تتمتع باخلواص املفيدة نفسها وتتجاوز نقطة الضعف املذكورة

)متحوال عشوائيا يف فضاء احتمايل X ليكن: تعريف 2-3. , , )Ω A P .عندئذ نسمي التابع املعرف بالعالقة ( ) i: , ( )tX

X X t eϕ ϕ→ = Eℝ ℂ .Xاملميز للمتحول العشوائي التابع

ز ملتحوةاليل عشوائي باخلواص املهمة الت يتمتع التابع املمي.

)متحوال عشوائيا يف فضاء احتمايل Xيكن ل: مبرهنة 3-3. , , )Ω A P .وليكن Xϕ عندئذ تتحقق اخلواص . تابعه املميز .التالية

.1( )0 1Xϕ ) كان، ℝمن tو أيا كانت = ) 1X tϕ ≤.

.ℝمستمر بانتظام على Xϕالتابع 2.

:املرتاجحة Xϕ، حيقق التابع ℕ∗ من nأيا كانت 3.1 1

1 ,

( , , ) , ( , , ) , ( ) 0n nn n X p q p q

p q n

t t z z t t z zϕ≤ ≤

∀ ∈ ∀ ∈ − ≥∑… ℝ … ℂ

ϕ: متيـز املربهنة السابقة التوابع املميزة ملتحوالت عشوائية، أي يكون التابع →ℝ ℂ زا ملتحول عشوائي إذا وفقط إذا تابعا ممي .ولن نعرض برهانا عليها Bochnerحتمل هذه النتيجة اسم مربهنة 3-3.حقق خواص املربهنة

)متحوالت عشوائية يف فضاء احتمايل nXو⋯و 2Xو 1Xلتكن : مبرهنة4-3. , , )Ω A P .التنفرتض أن املتحو

1( )k k nX ≤ نضع و ،مستقلة عشوائيا ≥1

n

k

k

S X=

= عندئذ يكون ∑1 2 nS X X Xϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ ….

)متحوال عشوائيا يف فضاء احتمايل X ليكن: مبرهنة 5-3. , , )Ω A P . فيف حالة نعر( ),a b 2منℝ املتحول العشوائيY aX b= عندئذ .+

i, ( ) ( )btY Xt t e atϕ ϕ∀ ∈ = ⋅ℝ


ممة قد

يف الت

حتمااال

)متحولني عشوائيني يف فضاء احتمايل Yو X ليكن: توطئة 6-3. , , )Ω A P ولنفرتض أن ،( )Y < +∞E .تيحي لنا هذا تعريف التابع

( ) ( )i: , tXf f t Ye→ = Eℝ ℂ )، وإذا كان ℝ مستمرا بانتظام على fعندئذ يكون )YX < +∞E استنتجنا أنf 1ينتمي إىل الصفC وأن

( ) ( )i, i tXt f t YXe′∀ ∈ = Eℝ .ة للتوابع املميزةتالياخلاصة املهمة ال يف إثباتنا التوطئة السابقة فيدت)متحوال عشوائيا يف فضاء احتمايل X ليكن: مبرهنة 7-3. , , )Ω A Pولتكن ، n من∗ℕ .إذا كان

( )nX < +∞E زانتمى التابع املميXϕ إىل الصفnC على ℝوكان ، ( ) ( ) ( )i1,2, , , , ik k k tX

Xk n t t X eϕ∀ ∈ ∀ ∈ = E… ℝ

)متحوال عشوائيا يف فضاء احتمايل X ليكن : مبرهنة 8-3. , , )Ω A Pولتكن ، n من∗ℕ . إذا كان( )nX < +∞E كان هناك تابع:ε ∗ →ℝ ℂ قحيق

( ) ( )0

( )(i )

!

n kk n

X

k

Xt t t t

kϕ ε

== +∑ E مع

0lim ( ) 0h

hε→

=

)متحولني عشوائيني يف فضاء احتمايل Yو Xليكن: تعريف 9-3. , , )Ω A P .عندئذ نسمي التابع املعرف بالعالقة ( )2 i i

, ,: , ( , ) ( ) 1tX sYX Y X Y tX sYt s e eϕ ϕ ϕ +→ = ⋅ =Eℝ ℂ

) للثنائية العشوائيةالتابع املميز املشرتك ),X Y .

)1لقارئ يعرف بأسلوب مماثل التابع املميز لشعاع عشوائي اونرتك , , )nX X….

مستقلني عشوائيا يكون Yو Xأنه يف حالة كون 3-4.ينتج من املربهنة ( ) ( ) ( )2

,, , ( , )X Y X Yt s t s t sϕ ϕ ϕ∀ ∈ = ⋅ℝ

.، لذلك سنقبل املربهنة التالية دون إثباتدراستنايف احلقيقة، إن العكس صحيح أيضا، ولكن إثبات ذلك خيرج عن نطاق

)متحولني عشوائيني يف فضاء احتمايل Yو X ليكن: مبرهنة 10-3. , , )Ω A P . عندئذ يكونX وY نيمستقل عشوائيا إذا وفقط إذا حتقق الشرط

( ) ( ) ( )2,, , ( , )X Y X Yt s t s t sϕ ϕ ϕ∀ ∈ = ⋅ℝ

.خنتم هذه الفقرة مبربهنتني مهمتني تتعلقان بالتوابع املميزة، وتوضحان أمهية هذه التوابع

)متحولني عشوائيني يف فضاء احتمايل Yو X ليكن: مربهنة11-3. , , )Ω A P .لنيعندئذ يكون للمتحوX وY التوزيعXاالحتمايل نفسه إذا وفقط إذا كان هلما التابع املميز نفسه، أي Yϕ = ϕ .

)1وميكن تعميم هذه النتيجة على أشعة عشوائية، فيكون للشعاعني العشوائيني , , )nX X… 1 و( , , )nY Y… التوزيع االحتمايل نفسه إذا وفقط إذا كان

1 2 1 2, , , , , ,n nX X X Y Y Yϕ = ϕ… ….


ممة قد

يف الت

حتمااال

) لتكن: تعريف 12-3. , , )Ω A P فضاء احتماليا، ولنتأمل عليه متتالية( )n nX ∈ℕ وليكن . املتحوالت العشوائية منnF نقول إن املتتالية . Fمتحوال عشوائيا تابع توزيعه X وأخريا ليكن. nXلمتحول العشوائي تابع التوزيع االحتمايل ل

( )n nX ∈ℕ منتتقارب بالتوزيع X ونكتب- lim nn

X D X→∞

، إذا وفقط إذا حتقق الشرط =( ) ( )lim n

nF x F x

→∞ مستمرا عندها، أي Fيكون xعند كل نقطة =

( ) ( )( )- lim cont( ), limn nn n

X D X x F F x F x→∞ →∞

= ⇔ ∀ ∈ =

)تتقارب املتتالية : يف احلقيقة، يوجد تعريف مكافئ مفيد من الناحية العملية وينص على ما يلي )n nX ∈ℕ من املتحول بالتوزيع ، إذا وفقط إذا كانX العشوائي

( ( )) lim ( ( ))nn

f X f X→∞

=E E

f: واحملدود املستمر لتابع وذلك أيا كان ا →ℝ ℂ . لن نعرض إثبات تكافؤ هذين التعريفنيولكن.

، وسنجد الدور املهم الذي تؤديه التوابع املميزة يف دراسة التقارب بالتوزيع االحتمايل اليت سنقبل ا دون برهان تبني املربهنة التالية .كقانون األعداد الكبرية، والنهاية املركزية .هلا الحقا تطبيقات مهمة

) لتكن: مبرهنة 13-3. , , )Ω A P فضاء احتماليا، ولنتأمل عليه متتالية( )n nX ∈ℕ ليكن . من املتحوالت العشوائيةnF .التابع املميز له nϕأخريا ليكن ، و nX لمتحول العشوائيحتمايل لتابع التوزيع اال

)لنفرتض أن املتتالية 1. )n nX ∈ℕ تتقارب بالتوزيع حنو متحول عشوائي X ، زةعندئذ تتقارب متتالية التوابع املمي( )n nϕ ∈ℕ زببساطة حنو التابع املميXϕ.

) بالعكس، لنفرتض أن متتالية التوابع 2. )n nϕ ∈ℕ تتقارب ببساطة حنو تابع ϕ، ولنفرتض أنϕ 0مستمر عند .-، ويكون X التابع املميز ملتحول عشوائي ϕ عندئذ يكون التابع lim n

nX D X

→∞=.

التوابع المميزة لبعض المتحوالت العشوائية المتعارفة 4.

)عنصرا من Xfكان Xfمتحوال عشوائيا ذا كثافة احتمالية Xلنبدأ مبالحظة مفيدة، إذا كان )1L ℝ كان ، و( )2Xt tϕ π−֏ هو حتويل فورييه

Xf للتابعXf.

ذ يكونعندئ pمتحوال عشوائيا برنوليا وسيطه Xليكن : التوزيع البرنولي 1-4.( ) i i, ( )tX t

Xt t e q peϕ∀ ∈ = = +Eℝ 1qمع االصطالح املتعارف p= −.

)متحوال عشوائيا حدانيا توزيعه Xليكن : التوزيع الحداني 2-4. , )B n p عندئذ يكون

1q p= − :( ) i i i

0

, ( ) ( )n

tX k k n k tk t nX n

k

t t e C p q e q peϕ −

=∀ ∈ = = = +∑Eℝ


ممة قد

يف الت

حتمااال

]متحوال عشوائيا توزيعه منتظم على اال X ليكن: التوزيع المنتظم 3-4. , ]a b لمتحول العشوائيعندئذ يكون ل X

] لية معطاة بالعالقةكثافة احتما ],1

X a bfb a

=−

ومن مث ، 1

( )i i

i1, d

i ( )

btb ta

txX

a

e et t e x

b a t b aϕ

−∀ ∈ = =

− −∫ℝ

] هتوزيع Xتحولفعلى سبيل املثال التابع املميز مل ]( )1, 1− +U يعطى بالعالقة :( )sin

X

tt

tϕ =.

كثافة احتمالية معطاة Xلمتحول العشوائيلعندئذ يكون λمتحوال عشوائيا أسيا وسيطه X ليكن: التوزيع األسي 4-4.) بالعالقة ) ( ), x

Xx f x e xλλ+

−∀ ∈ = ℝℝ ، أن ℝمن tومن مث جند، أيا كانت . 1

( ) ( )( )i

i i

0 00

d di i

t xtx x t x

X

x

et e e x e x

t t

λλ λ λ λ

ϕ λ λλ λ

+∞−∞ ∞− −

=

= = = = − −

∫ ∫

متحول عشوائي له تابع كثافة احتمالية معطى بالعالقة Xإن : توزيع كوشي 5-4.( )

2

1 1,

1Xx f x

xπ∀ ∈ = ⋅

+ℝ

نومن مث يكو

( )i

2

1d

1

tx

X

et x

xϕ

π

∞

−∞

=+∫

) جندو من نظرية الرواسب، ميكننا االستفادةحلساب هذا التكامل ), tXt t eϕ −∀ ∈ =ℝ.

أي له تابع كثافة احتمالية معطى بالعالقة .N(0,1)متحوال عشوائيا طبيعيا توزيعه Xليكن : التوزيع الطبيعي 6-4.( )

2 /21,

2x

Xf x eπ

−∀ ∈ = ⋅ℝ عندئذ يكون

( ) ( )21exp i d

22X

xt tx xϕπ

∞

−∞

= −∫

2مبكاملة التابع اهلولوموريف /2zz e

−Rو Rو −Rاملستطيل الذي رؤوسه هي النقاط طول حميط على ֏ it− و

R it− ) جند. ∞+تسعى إىل Rمث جبعل − )2 /2, t

Xt t eϕ−∀ ∈ =ℝ.

Yوحلساب التابع املميز للمتحول العشوائي Xσ µ= )2لتوزيع الذي يتبع ا + , )µ σN 3-5.نستفيد من املربهنة ( ) i 2 21

2, ( ) exp(i )tY Xt t e t t tµϕ ϕ σ µ σ∀ ∈ = = −ℝ

)متحوال عشوائيا توزيعه Xليكن : توزيع غاما 7-4. , )sλΓ .حتمالية معطى بالعالقةأي له تابع كثافة ا

( )( )

( )11, s s x

Xx f x x e xs

λλ ∗+

− −∀ ∈ = ⋅Γ ℝℝ 1

التحليل العقدي لنجد أن تقنياتومن جديد نستفيد من

( ) ( ),i

s

Xt tt

λϕ

λ∀ ∈ =

−ℝ


ممة قد

يف الت

حتمااال

ة المركزيةمبرهنة النهايقانون األعداد الكبيرة، و 5. .لتوابع املميزة وذلك اعتمادا على ا ماالتاصتني شهريتني يف نظرية االحتخ سنثبت فيما يلي )لتكن: مبرهنة 1-5. )n nX ∈ℕ متتالية من املتحوالت العشوائية املستقلة عشوائيا وذات التوزيع نفسه على فضاء احتمايل

( , , )Ω A P . نفرتض أن ( )1X < +∞E . املتحول العشوائينتأمل مث 1

n

n k

k

S X=

= عندئذ تتقارب . ∑

)املتتالية )1

1nn

Sn ≥

)املتحول العشوائي الثابت منبالتوزيع )1Xµ = E. أي

( )11- lim n

n

X XD X

n→∞

+ += E

⋯

) كنلت: مربهنة 2-5. )n nX ∈ℕ ذات التوزيع نفسه على فضاء احتمايل ، وائيا متتالية من املتحوالت العشوائية املستقلة عش( , , )Ω A P . ولنفرتض أن ( )1X < +∞E .عندئذ

( )( )1 210, lim 0n

n

X X XXnε ε

→∞

+ +∀ > − > =P E⋯

.عداد الكبرية الضعيفقانون األوتعرف هذه النتيجة باسم حتقق Nشبه مستحيلة P-توجد جمموعة الشروط نفسها يففينص على أنه قانون األعداد الكبرية القويأما

( ) ( ) ( )( )1 2

1\ , lim n

n

X X XXn

ω ω ωω

→∞

+ + +∀ ∈ Ω =N E⋯

م هذه النتيجةعلى إثباتا اآلن ولن نقد.

، ويأيت السؤال ماذا ميكننا القول عن الفرق ارتبة الكرب نفسه nµو nSلمقدارين يكون ل قيما كبرية nأخذ عندما تإذن nS nµ− 1ل لمتحو هذه السؤال عندما يكون ل عن؟ هناك إجابة رائعةX إذ يكون عندئذ ،عزم منتهه من املرتبة الثانية

nS لمقدارينل nµ− وn ل العشوائيرتبة الكرب نفسها، ويقرتب توزيع املتحوnS nnµ− من التوزيع الطبيعي وذلك

.هذا ما تنص عليه مربهنة النهاية املركزية التاليةو . 1Xتوزيع املتحول العشوائي مهما يكن

) لتكن: مبرهنة 3-5. )n nX ∈ℕ ايل ذات التوزيع نفسه على فضاء احتم،متتالية من املتحوالت العشوائية املستقلة عشوائيا( , , )Ω A P . 1 نفرتض أنX ق الشرطغري ثابت وحيق( )2

1X < +∞Eوليكن ، ( )1Xµ = E 2و

1var( ) 0Xσ = ليكن املتحول العشوائيو . <1

n

n kkS X

== تتاليةعندئذ تتقارب امل. ∑

( )1

n

n

S nnµ

σ ≥

ونكتب جتاوزا . N(0,1)توزيعه Zمتحول عشوائي طبيعي قياسي منبالتوزيع −

- lim (0,1)n

n

S nD

n

µ

σ→∞

−= N

) بل يكفي أن تكون املتحوالت العشوائية )n nX ∈ℕ مستقلة مثىن مثىن وهلا التوزيع نفسه.


ممة قد

يف الت

حتمااال

اتـتمرين

من املتحوالت العشوائية التالية وعني جمموعة تقارب كل منها مث احسب توقع وتباين كل أوجد التوابع املولدة لكل 1. التمرين .منها يف حال وجوده

:معطى كما يلي احتمالية تلةكله تابع nX املتحول العشوائي 1.( ) 1, (1 ) , 0 1m n m

X n mm p m C p p p+ −∀ ∈ = − < <ℕ :معطى كما يلي احتمالية تلةكله تابع X املتحول العشوائي 2.

( )1

,( 1)Xm p m

m m∗∀ ∈ =

+ℕ

) وليكن. ℕيأخذ قيمه يف Xالتابع املولد ملتحول عشوائي منقطع G ليكن 2. التمرين )na X n= >P . أثبت أن)للمتتالية Tالتابع املولد )n na ∈ℕ ق العالقةحيق

( )( )1

1

G sT s

s

−=

−

)مث احسب )XE و( )var X بداللة التابعT.

يأخذ قيمه يف اموعة ا عشوائي متحوال Xليكن 3. التمرين 0,1, ,n… . ف األعداد ولنعر( )mm XS C= E . أثبت

أن 11

11

, ( ) ( 1)

, ( )

nm k k

n m m

m k

nm

n m k

k m

k X k C S

m S C X k

− −−

=

−−

=

∀ ∈ ≥ = −

∀ ∈ = ≥

∑

∑

P

P

ℕ

ℕ

) ميكن التعبري عن التابعني املولدين للمتتاليتني )nm mS ∈ℕ و( ( ))

nkX k ∈≥P ℕ لد للمتحوبداللة التابع املول .Xالعشوائي

هل ميكن أن يكون للمجموع توزيع منتظم ؟. منحازينمتماثلني و جنري جتربة إلقاء حجري نرد 4. التمرين

[ من pباحتمال Hإلقاء قطعة نقود يظهر الوجه جتربة يف 5. التمرين قدره باحتمال Tويظهر القفا ، 0,1]1q p= rGأوجد التابع املولد . Hوجها rعدد مرات إلقاء قطعة النقود، الالزم للحصول على rWليكن . −

)ابدأ بدراسة حالة (، rW لمتحول العشوائيل 1r . rW لمتحول العشوائيلمث أوجد تابع الكتلة االحتمالية . =[من pو ℕ∗من rيتبع قانونا حدانيا سالبا بوسيطني rWنقول يف هذه احلالة إن .rWأوجد توقع وتباين . 0,1]

)لتكن 6. التمرين )n nX ∗∈ℕ متتالية من متحوالت عشوائية منقطعة ومستقلة عشوائيا وهلا تابع الكتلة االحتمالية نفسه( )( )kf k ∗∈ℕ ،مع

( ) ] [(1 )

, , 0,1ln(1/ )

kpk f k p

k p∗ −

∀ ∈ = ∈ℕ

) عشوائيا عنبواسونيا مستقال عشوائيا متحوال N وليكن )n nX ∗∈ℕ وسيطهو µ حيققlnr pµ = أوجد . −

ملتحول العشوائيلقانون ا التابع املولد1

N

k

k

Y X=

= ∑ .


ممة قد

يف الت

حتمااال

[من ،pنفرتض أنه يوجد . ℕ متحولني عشوائيني مستقلني عشوائيا ويأخذان قيمهما يف Yو Xليكن 7. التمرين [0,1 ،)حيقق، يف حالة ),n k 2منℕ معk n≤املساواة ،

( ) (1 )k k n knX k X Y n C p p −= + = = −P

.يتبع توزيعا بواسونيا Yو X أثبت أن كال من h: ، وليكنℝ تافه من جماال غري Iليكن 8. التمرين I → ℝ أثبت أنه مهما يكن . تابعا حمدباµ منI يوجدλ من

ℝ حيقق , ( ) ( ) ( )x I h x h xµ λ µ∀ ∈ ≥ + −

وقابال للمكاملة، فلدينا Iمتحوال عشوائيا يأخذ قيمه يف Xمث استنتج أنه مهما يكن ( ) ( )( ) ( )h X h X≥E E )مرتاجحة Jensen(

)متحوال عشوائيا حيقق الشرط Xليكن 9. التمرين )rX < ∞E 1 مع r≤ . صحة املرتاجحة أثبت 1, ( ) ( )rrt X t X

t∗+∀ ∈ > ≤P Eℝ )مرتاجحة Markov(

)استنتج أنه إذا كان )2X < ∞E قت املرتاجحةحتق

2

var( ), ( ( ) )

XX Xε ε

ε∗+∀ ∈ − > ≤P Eℝ )مرتاجحة Chebychev(

املتحول العشوائي الذي Xوليكن .pعند كل إلقاء باحتمال يساوي Hنلقي قطعة نقود تكرارا، يظهر الوجه 10. التمرينوجها mميثل عدد الرميات الالزمة حىت حنصل ألول مرة على تتابع

m

HH H⋯1mمع التابع املولد احسب. ≤

. X، واحسب توقع وتباين املتحول العشوائي XGلالحتمال .أثبت تكافؤ اخلواص التالية. ℝ∗من λولتكن . Xϕمتحوال عشوائيا تابعه املميز X ليكن 11. التمرين

)أي . λعند 1يأخذ القيمة Xϕالتابع ) 1Xϕ λ =. .دورا λدوري ويقبل تابع Xϕالتابع 2πقيمه يف Xيأخذ املتحول العشوائي

λ ℤ . أي( )2 1X πλ∈ =P ℤ.

)1 ولتكن .1عددا طبيعيا أكرب متاما من bليكن 12. التمرين )n nX والت العشوائية املستقلة عشوائيا واليت متتالية من املتح ≤ا يف اموعة تأخذ قيمه 0,1, , 1b∆ = نفرتض أن هلذه املتحوالت العشوائية تابع الكثافة االحتمالية . …−

): نفسه وهو معرف بالعالقة )11

,k X kb

∀ ∈ ∆ = =P.

املتحول العشوائي أثبت أن 1

nn

n

XY

b

∞

== .[0,1]توزيعا منتظما يف اال يتبع ∑

أثبت أن . X التابع املميز ملتحول عشوائي ϕليكن 13. التمرين( )( ) ( )( )

1, Re 1 Re 1 2

4t t tϕ ϕ∀ ∈ − ≥ −ℝ

واستنتج أن ( )( ) ( )( )

1, 1 2 1

8t t tϕ ϕ∀ ∈ − ≤ −ℝ

)أثبت أن . fالتابع املميز ملتحول عشوائي ذي كثافة احتمالية ϕليكن 14. التمرين )lim 0t

tϕ→±∞

=.


ممة قد

يف الت

حتمااال

)، ونكتب cتوزيع كوشي بوسيط يتبع X عشوائيالتحول امل إن نقول 15. التمرين )X cL

≍C تابع له إذا وفقط كان

) : احتمالية معطى بالعالقة ةكثاف )2 2

1, X

cx f x

x cπ∀ ∈ = ⋅

+ℝ.

.cكوشي بوسيط توزيع توزيعه X ملتحول عشوائي Xϕأوجد التابع املميز 1.

.أوجد توزيع جمموع متحولني عشوائيني كوشيني مستقلني عشوائيا 2.

∗من α، وليكن cكوشي بوسيط توزيع له متحوال عشوائيا Xليكن 3.+ℝ . أثبت أنXα يتبع توزيعا كوشيا بوسيط

cα. ,0)2متحولني عشوائيني مستقلني عشوائيا وهلما توزيعان طبيعيان Tو Zليكن 4. )σN 0)2و, )σ′N على الرتتيب .

Zأثبت أن U

T .يتبع توزيعا كوشيا =

لمتحولني نفرتض أيضا أن ل. متحولني عشوائيني غري ثابتني مستقلني عشوائيا وهلما التوزيع نفسه Yو Xليكن 5.)أيا كان ه التوزيع نفسه وأن −Xو Xالعشوائيني ),α β من( )2+ℝ لمتحولني العشوائينيل كان X Yα β+

)و )Xα β+ أثبت أن . التوزيع نفسهX يتبع توزيعا كوشيا. )و 2ϕو 2ϕو ϕأثبت أن كال من . X التابع املميز ملتحول عشوائي ϕليكن 16. التمرين )Re ϕ زهو أيضا تابع ممي

.ملتحول عشوائي

وتباين 0 متحولني عشوائيني مستقلني عشوائيا ومتماثلي التوزيع هلما توقع رياضي يساوي Yو X ليكن 17. التمرينUائينينفرتض أن املتحولني العشو . 1يساوي X Y= Vو + X Y= أثبت أن . مستقالن عشوائيا −

لمتحول ل ϕبع املميز ميكن أن نبدأ بإثبات أن التا(.توزيعا طبيعيا قياسيا يتبعان Yو X املتحولني العشوائيني) حيقق املساواة X العشوائي ) ( )( ) ( )3( , 2t t t tϕ ϕ ϕ∀ ∈ = −ℝ.

)1 لتكن 18. التمرين )n nX 0,1]يت تقبل توزيعا منتظما على اال متتالية من املتحوالت العشوائية املستقلة عشوائيا وال ≤ ] .)1maxليكن , , )n nM X X= - ، أثبت أن … lim (1 )n

nD n M Y

→∞− =.

.) حتتاج إىل التوابع املميزةال(. 1توزيعا أسيا وسيطه يساوي يتبع Yو

:أثبت صحة ما يلي. ℝ+من xلتكن 19. التمرين

2 2

2

0

2

0

22 exp( /2)d

1exp( /2)d

! 2

n x nn x n

x

n kn n

k

xk

nn

k n x n

C u u

ne u u

k

π

π

+−

−→∞

≤ ≤

−→∞

≤ ≤ + −∞

→ −

→ −

∑ ∫

∑ ∫

)1 لتكن 20. التمرين )n nX nX نفرتض أن . متتالية من املتحوالت العشوائية ≤ )نيا اا حد يتبع توزيع ), /B n nλ . أثبت أن)1 املتتالية )n nX .متحول عشوائي بواسوين منالتوزيع بتقارب ت ≤

)1 لتكن 21. التمرين )n nX يتبع توزيعا هندسيا وسيطه nX نفرتض أن . متتالية من املتحوالت العشوائية ≤n

λ . أثبت أن

)املتتالية )1

n

n

X

n ≥ . يمتحول عشوائي أس منالتوزيع بتتقارب

Documents

X1 ch5