DALAMBEROV PRINCIP ZA VEZANI MATERIJALNI SISTEM

Pri kretanju vezanog mat. sistema, kao i pri kretanju jedna vezane materijalne tačke moguće je dif. jed. kretanja vezanog mat. sistema formulisati pomoću Dalamberovog principa.

U tom slučaju treba se osloboditi veza, a umesto njih uvesti reakvije veza i svakoj tački materijalnog sistema treba pridodati odgovarajuću silu inercije.

rezultanta svih aktivnih sila koje deluju na tačku

rezultanta svih reakcija veza (spoljašnjih i unutr.)

odgovarajuća sila inercije tačke

Dalamberov princip za tačku:

ini i iF R F 0+ + =

r r ra

n n nin

i i ii 1 i 1 i 1

F R F 0= = =

+ + =∑ ∑ ∑r r ra

Za svaku tačku sistema moguće je napisati jednačinu ovog oblika i kada se saberu te jednačine dobija se:

RFr a

RRr

inRF

r

– glavni vektor svih aktivnih sila koje deluju na sistem ( );

– glavni vektor svih reakcija veza sistema (

);– glavni vektor sila inercije svih tačaka sistema (

).

Pri kretanju vezanog materijalnog sistema u svakom trenutku je vektorski zbir glavnih vektora aktivnih sila, reakcija veze i sila inercije jednak nuli.

n n nin

i i ii 1 i 1 i 1

F R F 0= = =

+ + =∑ ∑ ∑r r ra

n n nin

i i i ii 1 i 1 i 1

F R F 0 / r= = =

+ + = ×∑ ∑ ∑r r r ra

n n nin

i i i i i ii 1 i 1 i 1

r F r R r F 0= = =

× + × + × =∑ ∑ ∑r r rr r ra

( ) ( ) ( )inO R O R O RM F M R M F 0+ + =

r r r r r ra

glavni moment svih aktivnih sila u odnosu na pol O;

glavni moment reakcija spoljašnjih veza u odnosu na pol O;

glavni moment sila inercije tačke sistema u odnosu na pol O.

Pri kretanju vezanog materijalnog sistema u svakom trenutku je vektorski zbir glavnih momenata aktivnih sila, reakcija veza i sila inercije materijalnog sistema u odnosu na nepokretan pol jednak nuli.

inR R RF R F 0+ + =

r r ra

( ) ( ) ( )inO R O R O RM F M R M F 0+ + =

r r r r r ra

Ovde ulaze samo spoljašnje aktivne sile i reakcije spoljašnjih veza jer je vektorski zbir unutrašnjih sila i momenata unutrašnjih sila materijalnog sistema jednak nuli

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ini ix i

ini iy i

ini iz i

inOx i Ox i Ox i

inOy i Oy i Oy i

inOz i Oz i Oz i

X R X 0,

Y R Y 0,

Z R Z 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0.

+ + =

+ + =

+ + = + + =

+ + =

+ + =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

r r r

r r r

r r r

a

a

a

a

a

a

Dalamberov principu skalarnom obliku

Uzevši u obzir da je projekcija glavnog momenta u odnosu na tačku (pol) na osu koja prolazi kroz taj pol, jednaka momentu glavnog vektora za tu osu, dobijaju se jednačine Dalamberovog principa u sledećem obliku:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ini ix i

ini iy i

ini iz i

inx i x i x i

iny i y i y i

inz i z i z i

X R X 0,

Y R Y 0,

Z R Z 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0,

M F M R M F 0.

+ + =

+ + =

+ + = + + =

+ + =

+ + =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

r r r

r r r

r r r

a

a

a

a

a

a

Dalamberov princip se koristi za proučavanje kretanja materijalnih sistema, određivanje reakcija spoljašnjih veza.

U problemima gde je potrebno odrediti reakcije unutrašnjih veza potrebno je dati materijalni sistem rastaviti na delove da bi se unutrašnje sile u odnosu na izdvojene delove u analizu uvele kao spoljašnje nepoznate sile.

Da bi mogao da se primeni Dalamberov princip potrebno je izračunati glavni vektor i glavni moment sila inercije za različite oblike kretanja krutog tela.

ODREĐIVANJE GLAVNOG VEKTORA I GLAVNOG MOMENTA SILA INERCIJE KRUTOG TELA

Svođenje sila inercije tačaka krutog tela na glavni vektor i glavni momentsila inercije se izvodi kao u statici, tako što se u telu izabere proizvoljna tačka (centar) i redukuju se sve sile inercije na nju. U dinamici se za centar obično uzima težište tela.

GLAVNI VEKTOR SILA INERCIJE

n nin inR i i i

i 1 i 1F F m

= == = −∑ ∑

r r ra

n

C i ii 1

2n n

i i C i i C2i 1 i 1

1r m rm

dm r mr / m mdt

=

= =

=

= ⇒ =

∑

∑ ∑

r r

r r r ra a

inR CF m= −

r ra

Glavni vektor sila inercije krutog tela pri proizvoljnom kretanju krutog tela jednak je proizvodu mase tela i ubrzanja težišta krutog tela, a usmeren je u suprotnom smeru od smera ubrzanja težišta tela.

gde je:−m – masa krutog tela,

– ubrzanje središta tela.Car

vektor položaja centra mase sistema:

GLAVNI MOMENT SILA INERCIJE

( ) ( )n n n

in in in inC R C i i i i i i C

i 1 i 1 i 1M F M F r F r m M

= = == = × = − × =∑ ∑ ∑

r r r r r rr r ra

– vektor položaja svih tačaka krutog tela u odnosu na težišteirr

Translatorno kretanje krutog tela

Glavni vektor sila inercije kod translatornog kretanja krutog tela

inR CF m= −

r ra

n ninC i i i i i i C C

i 1 i 1M r m m r mr 0

= == − × = − × = − × =∑ ∑

r r r rr r ra a a

Glavni moment sila inercije kod translatornog kretanja krutog tela

Vektori ubrzanja svih tačaka krutog tela kod translacije su jednaki među sobom − C=r ria a

Vektor položaja težišta tela u odnosu na težište C tela je jednak nuli Cr 0=r

Pri translatornom kretanju krutog tela, sile inercije tačaka tela svode se na rezultantusa napadnom tačkom u težištu tela, koja je jednaka je proizvodu mase tela i ubrzanja težišta tela i usmerena je suprotno od ubrzanja.

Ravno kretanje krutog tela

Neka telo ima ravan materijalne simetrije i u njoj se odabere proizvoljna tačku O za redukcionu tačku. Glavni moment sila inercije u odnosu na redukcionu tačku O je:

Glavni vektor sila inercije kod ravnog kretanja krutog tela inR CF m= −

r ra

Glavni moment sila inercije kod ravnog kretanja krutog tela

( )n n n

in in inO O i i i i i i

i 1 i 1 i 1M M F r F r m

= = == = × = − ×∑ ∑ ∑

r r r rr r ra

ubrzanje tačke kod ravnog kretanja2i O i ir r= + ε × − ω

r r rr ra a

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )i i i i i i

in 2O i i i O i i

inO i i i O i i i

r r r r r

M F r m r r

M F m r m r r

ε× =ε ⋅ − ⋅ε

= − × + ε × − ω =

= − × − × ε ×r r r r r r r r

r r r r r rr

r r r r r rr

a

a0 2

i

2i i i

r

m r r=

=ε

+ × ωr

r r1442443

0

( )in 2O i O i i i iM F m r m r= × − ε

r r r rra

Sumiranjem svih jednačina za svaku česticu tela:

( ) ( )Oz

n n n nin in 2 2O O i O i i i i O i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1I

M M F m r m r m r m r= = = =

= = × − ε = × − ε∑ ∑ ∑ ∑r r r r r r rr r

123a a

inO O i C OzM m r I= × − ε

r r rra

vektor položaja težišta krutog tela C u odnosu na izabrani pol – tačku On

2i i Oz

i 1m r I

==∑

Crr

– akisijalni moment inercije tela za osu z koja prolazi kroz pol O ravne figure, a upravna je na ravan kretanja.

Ukoliko se za centar redukcije usvoji tažište C tela onda je Cr 0=r

inC Cz CzM I I= −ε = − ϕ

r r r&& spreg sila koji leži u ravni materijalne simetrije

Obrtanje kretanje krutog tela oko nepomične ose

Glavni vektor sila inercije je

inR CF m 0= − =

r ra

U slučaju obrtnog kretanja tela oko nepokretne ose, pri čemu telo ima ravan materijalne simetrije, na koju je obrtna osa normalna i prolazi kroz težište tela C:

pa se sile inercije tačaka tela svode na spreg sila koji leži u ravni materijalne simetrije i čiji je glavni moment:

inC CzM I= − ε

r r

PRINCIP VIRTUALNOG POMERANJA MATERIJALNOG SISTEMA

PRINCIP VIRTUALNOG POMERANJA MATERIJALNOG SISTEMA

Kretanje vazanog materijalnog sistema ne može biti proizvoljno jer veze dozvoljavaju samo određena pomeranja sistema. Za vazani neslobodni materijalni sistem uvodi se pojam virtualnog ili mogućeg pomeranja sistema.Virtualno ili moguće pomeranje materijalnog sistema naziva se svako zamišljeno beskonačno malo pomarenje tačaka sistema koje u datom trenutku dopuštaju veze kojima je podvrgnut sistem ili drugim rečima virtualno (moguće) pomeranje je svako zamišljeno beskonačno malo pomeranje tačaka sistema koje bi te tačke mogle da izvrše u datom trenutku, ne narušavajući veze.

Virtualno ili moguće pomeranje je gometrijski pojamjer to pomeranje ne zavisi od dejstva sila na sistem, već samo od karaktera veza kojima je podvrgnut sistem.

rδ r

Ako se poluga zaokrene za neki mali ugao δϕ, tačke A i B se pomere u neke nove položaje prelazeći luk δsA i δsB.

– vektor beskonačno malog pomeranja tačke – virtualnog pomeranja

OAsδ δϕ= – dužina luka

r sδ δ=r

r s Tδ δ=rr

Intenzitet vektora virtualnog pomeranja tačke Mi

jednak je luku trajektorije koji može da opiše tačka Mipri virtualnom pomeranju

isδ

RAD SILA NA VIRTUALNIM POMERANJIMA

Neka je rezultanta svih sila koje deluju na proizvoljnu tačku Mi vezanog materijalnog sistema. Rad te sile na virtualnom pomeranju te tačke izračunaće se po analogiji sa elementarnim radom te sile na stvarnom pomeranju te tačke:

( )cos ,= ⋅ =r rr r

i i i i i i iA F r F s F rδ δ δ δ

.i ir sδ δ=r

Sumiranjem tih jednačina za svaku tačku sistema dobija se rad sila na virtualnim (mogućim) pomeranjima sistema, koji se zove virtualni ili mogući rad.

( )1 1 1

cos , .= = =

= = ⋅ =∑ ∑ ∑r rr rn n n

i i i i i i ii i i

A A F r F s F rδ δ δ δ δ

iFr

IDEALNE VEZE

Dejstvo veza se svodi na dejstvo nekih sila koje se nazivaju reakcije veza. Reakcije veza nisu poznate sile već se određuju pošto se prethodno odredi kretanje sistema. Zbog toga se sve spoljašnje sile koje deluju na vezani materijalni sistem dele na aktivne sile i reakcije veza, pri čemu se veze dele na idealne i realne.

Idealne veze se definišu pomoću virtualnog rada. Idealne veze nazivaju se takve veze, za koje je zbir elementarnih radova svih sila reakcija veza na svakomvirtualnom pomeranju jednaku nuli.

( )1 1

cos , 0,= =

⋅ = =∑ ∑r rr rn n

i i i i i ii i

R r R s F rδ δ δ

Na osnovu definicije idealne veze preko virtualnog rada sledi da je reakcija Ri idealne veze koja dejstvuje na i – tu tačku sistema, upravna na vektoru virtualnog pomeranja Idealnih veza u stvarnosti nema i reakcije svake površi ili linije sastavljena je iz normalne komponente i tangecijalnekoja se naziva sila trenja pri klizanju i koja je suprotnog smera od mogućeg pomeranja

Pri rešavanju mnogih dianamičkih problema može se trenje pri kretanju tačke ili tela zanemariti i onda se u analizu uvode samo idealne veze.

.irδ r

Nr Fµ

r

.irδ r

0.A N r F r F rµ µδ δ δ δ= ⋅ + ⋅ = − <r rr r r

Lagranžeov princip virtualnih pomeranja

Ovaj princip izražava potrebne i dovoljne uslove za ravnotežu svakog materijalnog sistema:

Za ravnotežu sila u svakoj tački materijalnih sistema podvrgnutih idealnim vezama, potrebno je i dovoljno da zbir radova svih aktivni sila, koje deluju na sistem, na svakom mogućem virtualnom pomeranju sistema, bude jednak nuli.

10.

== ⋅ =∑

r rna

i ii

A F rδ δ

Dokaz:Ako je sistem u ravnoteži, svaka tačka tog sistema mora biti u ravnoteži. Ako se proizvoljna tačka Mi oslobodi veza onda na tu tačku deluje rezultanta aktivnih sila i reakcije idealnih veza , pa je uslov ravnoteže tačke:

aiFr

iRr

0. / /+ = ⋅ ∑r r rai i iF R rδ

( )1 1

0.= =

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =∑ ∑ ∑r r rr r rn n

a ai i i i i i i

i iF R r F r R rδ δ δ

Kako su veze idealne

10.

na

i ii

F rδ=

⋅ =∑r r

A Bs , s ,δ = δθ δ = δθa bn n

i i i ii 1 i 1

A A F cos s 0.= =

δ = δ = α δ =∑ ∑ Pcos Qsin 0θ δθ − θ δθ =a b

Virtualnim kretanjem se zove zamišljeno, veoma malo i od vremena nezavisno, dakle čisto geometrijsko kretanje sistema, koje njegove veze dopuštaju.

Virtualnim radom se meri dejstvo sila i spregova na promeni položaja tela u prostoru.Kada veze dozvoljavaju neka mala zamišljena pomeranja tačaka sistema, onda se napadne tačke sila koje deluju na mehanizam pomeraju, a sile vrše rad na tim pomeranjima. Pri proučavanju ovakvih sistema pretpostavlja se da nema trenja u zglobovima, u osloncima, kao i da su svi delovi sistema kruti. Takve veze se nazivaju idealnim vezama, a sistemi idealnim sistemima. U tom slučaju rad vrše samo aktivne sile na virtualnim pomeranjima njihovih napadnih tačaka, a da bi sistem bio u ravnoteži potrebno je da je ukupan rad svih aktivnih sila na odgovarajućim virtualnim pomeranjima sistema bude jednak nuli. Ovo je čuveni Lagranž-Dalamberov princip virtualnog radai:pri ravnoteži sistema krutih tela, zbir svih virtualnih radova aktivnih sila i aktivnih spregova jednak je nuli.

n n

i i i ii 1 i 1

A A F cos s 0.= =

δ = δ = α δ =∑ ∑

PtgQ

θ =ab

Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti moment ukljestenja u B, kao i moment savijanja u D

Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti vertikalnu komponentu reakcije veze u A, kao i moment krute veze u G. F1=90kN, F2=50kN, M1=40kNm, M2=20kNm, a=2m.

Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti moment uklještenja u C, kao i reakciju u A.

Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti silu u štapu CD, kao i reakciju veze u B.

1 2

1 1 10 30 30 2 4

10 5

ω = ω

δ = ⇒ ⋅ ω − ω + ω

⇒ =∑ o

i B

B

A 5 2 dt cos dt V dt=0 V . kN