XVII Межрегиональная олимпиада по математике и криптографии

XVII XVII Межрегиональная Межрегиональная олимпиада по математике олимпиада по математике

и криптографиии криптографии

18 ноября 2007 г.18 ноября 2007 г.

Задача №1Задача №1

Сообщение на русском языке состоит из 6 Сообщение на русском языке состоит из 6 строк. В каждой строке кроме последней строк. В каждой строке кроме последней ровно 18 букв (буквы в строках стоят точно ровно 18 букв (буквы в строках стоят точно друг под другом). Для зашифрования друг под другом). Для зашифрования сообщения каждую его букву заменили парой сообщения каждую его букву заменили парой цифр в соответствии с ее порядковым цифр в соответствии с ее порядковым номером в алфавите (А – на 01, Б – на 02, …, Я номером в алфавите (А – на 01, Б – на 02, …, Я –на 33). В результате получилась таблица –на 33). В результате получилась таблица цифр, в которой 36 столбцов. Затем эту цифр, в которой 36 столбцов. Затем эту таблицу разделили на вертикальные полосы: таблицу разделили на вертикальные полосы: по три столбца в каждой. После чего полосы по три столбца в каждой. После чего полосы переставили в неизвестном порядке переставили в неизвестном порядке

Задача №1 (продолжение)Задача №1 (продолжение)

Получили вот что:Получили вот что:316 001 190 014 013 150 171 240 120 131 105 614316 001 190 014 013 150 171 240 120 131 105 614

010 810 050 610 012 161 121 200 614 120 401 117010 810 050 610 012 161 121 200 614 120 401 117

619 501 172 327 171 041 061 221 010 033 801 016619 501 172 327 171 041 061 221 010 033 801 016

115 313 192 312 030 130 160 103 210 013 620 016115 313 192 312 030 130 160 103 210 013 620 016

512 060 061 250 061 825 16 103 310512 060 061 250 061 825 16 103 310

Какой текст был зашифрован?Какой текст был зашифрован?

Задача №1(решение)Задача №1(решение)

316 001 190 014 013 150 171 240 120 131 105 316 001 190 014 013 150 171 240 120 131 105 661414

010 010 8810 050 10 050 6610 012 161 121 200 10 012 161 121 200 6614 120 401 11714 120 401 117

6619 19 5501 172 327 171 041 061 221 010 033 01 172 327 171 041 061 221 010 033 8801 01601 016

115 313 192 312 030 130 160 103 210 013 620 016115 313 192 312 030 130 160 103 210 013 620 016

5512 060 061 250 061 12 060 061 250 061 8825 16 103 31025 16 103 310

На четных местах – 1,2,4,9,11,12 столбцы; на На четных местах – 1,2,4,9,11,12 столбцы; на нечетных – 3,5,6,7,8,10 столбцы.нечетных – 3,5,6,7,8,10 столбцы.

С учетом числа строк в каждом столбце, получаем С учетом числа строк в каждом столбце, получаем что последними были 10,2,7,4 или 10,4,7,2. что последними были 10,2,7,4 или 10,4,7,2. Подходит только второй вариант.Подходит только второй вариант.


Преобразуя пары цифр в буквы, Преобразуя пары цифр в буквы, получим:получим:

ЛИМПИАЛИМПИА

КЕИКРИКЕИКРИ

ВЯЩЕНАВЯЩЕНА

АЯКОВЛАЯКОВЛ

ОО


Подбирая по принципу Подбирая по принципу «читаемости» фрагментов слов, «читаемости» фрагментов слов, восстанавливаем расположение восстанавливаем расположение остальных столбцов.остальных столбцов.

Ответ: Семнадцатая олимпиада по Ответ: Семнадцатая олимпиада по математике и криптографии математике и криптографии посвящена столетию Ивана посвящена столетию Ивана Яковлевича Верченко.Яковлевича Верченко.


Пусть Пусть CCnn((aa,,bb)) = = abababab……abab – целое – целое число, десятичная запись которого число, десятичная запись которого образована образована nn–кратным –кратным повторением пары цифрповторением пары цифр aa и и bb, где , где aa≠0.≠0.

Выясните, при каких Выясните, при каких nn число число CCnn((aa,,bb)) делится на 21 при любых делится на 21 при любых значениях значениях aa и и bb..

Задача №2 (решение)Задача №2 (решение)

abab…ab = ab abab…ab = ab 0101…01 0101…01 a, b – a, b – любые, поэтому любые, поэтому n n должно должно

быть таким, что 0101..01 делится на быть таким, что 0101..01 делится на 2121

0101..01 делится на 30101..01 делится на 3 n n делится делится на 3на 3

Делимость на 7 обеспечена, т.к. Делимость на 7 обеспечена, т.к. 010101=7010101=714431443

Ответ: Ответ: n=3k, kn=3k, kNN..


Сообщение зашифровано следующим Сообщение зашифровано следующим образом. Над буквами сообщения образом. Над буквами сообщения надписывается числовая после-надписывается числовая после-довательность, образованная периоди-довательность, образованная периоди-ческим повторением шести цифр, ческим повторением шести цифр, образующих дату. Например, шестерка образующих дату. Например, шестерка 181107 отвечает дате 18 ноября 2007 181107 отвечает дате 18 ноября 2007 года. После этого буквы сообщения года. После этого буквы сообщения заменяются буквой алфавита, заменяются буквой алфавита, циклически отстоящей от нее справа на циклически отстоящей от нее справа на число букв, указанное цифрой над ней.число букв, указанное цифрой над ней.

Задача №3 (пример)Задача №3 (пример)

ОЛИМПИАДА…ОЛИМПИАДА…

181107181…181107181…

ПТЙНППБЛБ…ПТЙНППБЛБ…


Можно ли прочитать Можно ли прочитать зашифрованное таким образом зашифрованное таким образом сообщениесообщение

Т П И Ё Р Ж Е М А А С Ф С Г Ь О Г Х Ж Т П И Ё Р Ж Е М А А С Ф С Г Ь О Г Х Ж П НП Н,,

если неизвестна дата его если неизвестна дата его написания?написания?


В дате первая цифра – 0,1,2 или 3В дате первая цифра – 0,1,2 или 3 Третья – 0 или 1Третья – 0 или 1

Выпишем возможные буквыВыпишем возможные буквы


Т П И Ё Т П И Ё РР Ж Е М А А Ж Е М А А СС Ф С Г Ь О Ф С Г Ь О ГГ Х Ж П Н Х Ж П Н

С С ОО ЗЗ Е П Ё Д Е П Ё Д ЛЛ ЯЯ Я Р У Н Я Р У Н ВВ ЫЫ Н В Ф Ё Н В Ф Ё О МО М

Р Н Р Н ДД О Е Г К О Е Г К ЮЮ П Т П Б П Т П Б ММ Б У Е Н Б У Е Н

ПП М Г Н Д М Г Н Д ВВ Й Э О С Й Э О С ОО АА Л А Т Л А Т ДД М М

Л В М Г И Ь Н Р Л В М Г И Ь Н Р ЯЯ К Я С Л К Я С Л

К Б Л В З Ы М П К Б Л В З Ы М П ЮЮ Й Ю Р К Й Ю Р К

Й А К Б Ж Ъ Л О Й А К Б Ж Ъ Л О ЭЭ И Э П Й И Э П Й

И Я Й И Я Й АА Ё Щ К Ё Щ К НН ЬЬ З Ь З Ь ОО И И

З Ю Ч Я Е Ш Й М З Ю Ч Я Е Ш Й М ЫЫ Ж Ы Н З Ж Ы Н З

Ж Э З Ю Д Ч И Л Ж Э З Ю Д Ч И Л ЪЪ Ё Ъ М И Ё Ъ М И


Сообщение на русском языке, состоящем из 63 Сообщение на русском языке, состоящем из 63 букв и восклицательного знака, зашифровано с букв и восклицательного знака, зашифровано с использованием так называемой «поворотной использованием так называемой «поворотной решетки», которая представляет собой трафарет, решетки», которая представляет собой трафарет, изготовленный из квадратного листа клетчатой изготовленный из квадратного листа клетчатой бумаги 8 на 8. В трафарете вырезаны 16 клеток. бумаги 8 на 8. В трафарете вырезаны 16 клеток. Одна сторона трафарета помечена. При Одна сторона трафарета помечена. При наложении трафарета на чистый лист бумаги наложении трафарета на чистый лист бумаги четырьмя возможными способами (помеченной четырьмя возможными способами (помеченной стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы полностью покрывают всю площадь квадрата, полностью покрывают всю площадь квадрата, причем каждая клетка оказывается под вырезом причем каждая клетка оказывается под вырезом ровно один раз. ровно один раз.


Буквы сообщения построчно сверху Буквы сообщения построчно сверху вниз и слева направо вписываются в вниз и слева направо вписываются в вырезы трафарета (пробелы между вырезы трафарета (пробелы между словами игнорируются). После словами игнорируются). После заполнения всех вырезов буквами заполнения всех вырезов буквами сообщения трафарет располагается в сообщения трафарет располагается в следующем положении и т.д. следующем положении и т.д. Результат зашифрования сообщения Результат зашифрования сообщения представлен на рисунке. Найдите представлен на рисунке. Найдите исходное сообщениеисходное сообщение



Задача №4 (ответ)Задача №4 (ответ)

смещениетрафаретсмещениетрафарет авшифреповоротнаавшифреповоротна ярешеткапозволяеярешеткапозволяе тпрочитатьтекст!тпрочитатьтекст!

Смещение трафарета в шифре Смещение трафарета в шифре поворотная решетка позволяет поворотная решетка позволяет прочитать текст!прочитать текст!


В здании находится восемь серверов. В здании находится восемь серверов. Они расположены в вершинах куба. Эти Они расположены в вершинах куба. Эти серверы объединены в сеть, причем два серверы объединены в сеть, причем два сервера соединены линией связи сервера соединены линией связи "напрямую" в том и только том случае, "напрямую" в том и только том случае, когда они соответствуют двум когда они соответствуют двум соседним вершинам куба. Кроме того, соседним вершинам куба. Кроме того, два из этих серверов соединены два из этих серверов соединены дополнительно по радиоканалу.дополнительно по радиоканалу.


Какое наименьшее число Какое наименьшее число основных линий связи придется основных линий связи придется вывести из строя вывести из строя злоумышленнику, для того что бы злоумышленнику, для того что бы потерялась связность сети (т.е. потерялась связность сети (т.е. станет невозможно доставить станет невозможно доставить информацию с одного из серверов информацию с одного из серверов на другой, даже через серверы-на другой, даже через серверы-посредники)посредники)


Удаление ребер должно «разбить» Удаление ребер должно «разбить» сеть на три компоненты.сеть на три компоненты.

Удалив 5 ребер, это легко сделать.Удалив 5 ребер, это легко сделать. Обоснование, что 4 ребрами Обоснование, что 4 ребрами

обойтись нельзя проводится обойтись нельзя проводится перебором по минимальному числу перебором по минимальному числу вершин в компоненте. Оно равно 1 вершин в компоненте. Оно равно 1 или 2.или 2.


Разложить на простые множители Разложить на простые множители число 3число 32020+3+344+1, если известно, что +1, если известно, что оно делится на 167.оно делится на 167.


x=3x=344

xx55+x+1= x+x+1= x55+x+1+x+x+1+x44-x-x44+x+x33-x-x33+x+x22-x-x22 = =

=x=x5 5 +x+x44+x+x33+x+x2 2 +x+1-x+x+1-x44-x-x33-x-x22==

=x=x33(x(x22+x+1)+x+x+1)+x22+x+1-x+x+1-x22(x(x22+x+1)=+x+1)=

=(x=(x22+x+1)(x+x+1)(x33-x-x22 +1) +1) xx22+x+1=3+x+1=388+3+344+1+1 == 3388+2+23344+1-3+1-344 = =

=(3=(344+1)+1)22-3-344=91=9173=773=713137373


xx33-x-x22 +1=x(x +1=x(x22+x+1)+x+3+x+1)+x+3 x+3=84=7x+3=84=71212 xx22+x+1 +x+1 на 7 делитсяна 7 делится xx33-x-x22 +1=x +1=x77131373+773+712=12=

=7=7(3(34413 13 73+12)=773+12)=7167167449.449.

Ответ: 7Ответ: 72213137373167167449.449.

www.cryptolymp.ruwww.cryptolymp.ru

Documents

XVII Межрегиональная олимпиада по математике и криптографии