YAPI MALZEMES ĐI DERS Đ ŞEK ĐL DE ĞĐŞ TĐRME ve ÇEKME …kisi.deu.edu.tr/halit.yazici/YapiMALI/MALZEME-D4-CEKMEDAYANIMI.pdf · Bu ama çla deney örneklerinin alt ve üst

ŞŞEKEKĐĐL DEL DEĞĐŞĞĐŞTTĐĐRME RME ve ve ÇÇEKME DAYANIMIEKME DAYANIMI

Doç. Dr. Halit YAZICI

http://kisi.deu.edu.tr/halit.yazici/

YAPI MALZEMESYAPI MALZEMESĐĐ I DERSI DERSĐĐ

Dokuz Eylül Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümü

MALZEMELERMALZEMELERĐĐN N ŞŞEKEKĐĐL L DEDEĞĐŞĞĐŞTTĐĐRME RME ÖÖZELLZELLĐĐKLERKLERĐĐ

�� Bir malzemeye gerilme uygulandBir malzemeye gerilme uygulandığıığında nda şşekli deekli değğiişşir. ir. �� Gerilme kalkGerilme kalkıınca malzeme eski durumuna geliyor ise nca malzeme eski durumuna geliyor ise

elastik elastik şşekil deekil değğiişştirmeye, gelmiyor ise plastik tirmeye, gelmiyor ise plastik şşekil ekil dedeğğiişştirmeye utirmeye uğğramramışış denilir. denilir.

� Dış kuvvetlerin tesiri altında bulunan herhangi bir cismin şeklinde bazı değişiklikler olur. Çok küçük büyüklüklerde olan bu değişiklikler cismin boyut ve açılarında meydana gelir. Bu değerler ancak özel aletlerle ölçülebilir. Ölçüm teknikleri ve şekil değişimi-gerilme ilişkilerinin deneysel olarak incelenmesi ayrı bir bilim dalı(deneysel gerilme analizi) olarak gelişmiştir.

ŞŞEKEKĐĐL DEL DEĞĐŞĞĐŞTTĐĐRMERME�� DDışış kuvvetlerin tesiri altkuvvetlerin tesiri altıında bulunan herhangi bir cismin nda bulunan herhangi bir cismin şşeklinde eklinde

bazbazıı dedeğğiişşiklikler olur. iklikler olur.

�� ÖÖrnerneğğin, in, ııssıınnıın cisimlerde bir genlen cisimlerde bir genleşşme olume oluşşturduturduğğu bilinen bir u bilinen bir gergerççektir. Bu arada, ektir. Bu arada, ççimento kullanimento kullanıılarak yaplarak yapıılan yaplan yapıımalzemelerinde su miktarmalzemelerinde su miktarıında olabilecek bir azalma malzemede nda olabilecek bir azalma malzemede bbüüzzüülme "lme "rröötretre" ad" adıı verilen bir olaya yol averilen bir olaya yol aççar.ar.

�� Malzemelerdeki Malzemelerdeki şşekil deekil değğiişştirme yalntirme yalnıızca dzca dışış kuvvetlerin etkisi ile kuvvetlerin etkisi ile oluoluşşmaz. Bir takmaz. Bir takıım fiziksel ve kimyasal tesirler de cisimlerin m fiziksel ve kimyasal tesirler de cisimlerin şşekil ekil dedeğğiişşimine neden olabilir. imine neden olabilir.

�� AyrAyrııca ca ççevre etkisiyle yapevre etkisiyle yapıı malzemesi bmalzemesi büünyesinde kimyasal nyesinde kimyasal reaksiyonlar sonucunda bazreaksiyonlar sonucunda bazıı dedeğğiişşimler olabilir.imler olabilir.

ŞŞEKEKĐĐL DEL DEĞĐŞĞĐŞTTĐĐRMERME

�� ekil deekil değğiişştirme yaptirme yapıı mmüühendislihendisliğği baki bakıımmıından ndan ççok ok öönemli bir nemli bir kavramdkavramdıır. Br. Büüyyüüklklüüğğüünnüün bilinmesi n bilinmesi öözellikle zellikle hiperstatikhiperstatik (fazla ba(fazla bağğllıı) ) sistemlerin sistemlerin çöçözzüümmüü iiççin in ççok gereklidir.ok gereklidir.

�� AyrAyrııca betonarme gibi beton ve ca betonarme gibi beton ve ççelieliğğin ortaklain ortaklaşşa a ççalalışışttığıığımalzemelerde her iki cismin aynmalzemelerde her iki cismin aynıı miktarda miktarda şşekil deekil değğiişşimi yapmasimi yapmasııgerekmektedir. Bgerekmektedir. Bööyle bir durumun sayle bir durumun sağğlanabilmesi ancak her iki lanabilmesi ancak her iki malzemenin malzemenin şşekil deekil değğiişştirmelerini ayrtirmelerini ayrıı ayrayrıı incelemekle saincelemekle sağğlanabilir. lanabilir.

�� ekil deekil değğiişşimlerinin bilinmesi imlerinin bilinmesi öözellikle "tazellikle "taşışıma gma güüccüü" kavram" kavramıına na ggööre yapre yapıılan kesin hesaplar ilan kesin hesaplar iççin gereklidir.in gereklidir.

ŞŞEKEKĐĐL DEL DEĞĐŞĞĐŞTTĐĐRMERMEBOY DEĞİ�İMİ

�� Uzama miktarUzama miktarıı::

L1L0

01 LL∆L −=

�� Birim Birim şşekil deekil değğiişştirme:tirme:

0L

∆Lε =

0

01

L

)L(Lε

−=⇒

ŞŞEKEKĐĐL DEL DEĞĐŞĞĐŞTTĐĐRMERMEAÇI DEĞİ�İMİ

A D

CB

γγγγ γγγγ

B’ C’�� Dik aDik aççıı olan ADC aolan ADC aççııssıı, ,

kuvvet uygulamaskuvvet uygulamasıısonucunda 90sonucunda 90°°°°°°°°’’den den γγγγγγγγ aaççııssıı kadar fark eder. kadar fark eder.

�� Bu deBu değğiişşme miktarme miktarıına na "kayma a"kayma aççııssıı"" denir. denir.

�� Bu aBu aççıı genel olarak kgenel olarak küçüüçüktktüür ve radyan cinsinden r ve radyan cinsinden

CD

CC' )( tan == γγ

BASINBASINÇÇ DENEYDENEYĐĐ ve ve BASINBASINÇÇ DAYANIMIDAYANIMI


Yağpompası

Örnek

�� YYüükleme kleme ççererççevesine evesine --yyüüksekliksekliğği ayarlanabilir bir i ayarlanabilir bir üüst tabla ile st tabla ile oynar ve hareketli alt tabla arasoynar ve hareketli alt tabla arasıınana-- deney deney öörnerneğği yerlei yerleşştirilir. tirilir.

Oynar başlık

�� Alt tablanAlt tablanıın altn altıındaki pistonun silindirine bir pompa yardndaki pistonun silindirine bir pompa yardıımmııyla yla yayağğ basbasııllıır. r.

�� Bu amaBu amaççla deney la deney öörneklerinin alt ve rneklerinin alt ve üüst st tablaya temas eden ytablaya temas eden yüüzeylerine ezeylerine eşş dadağığıllıımlmlııgerilmeyi sagerilmeyi sağğlamak amaclamak amacııyla yla öözel bir zel bir karkarışıışımdan bamdan başşllıık dk döökküüllüür.r.


�� YaYağığın basn basııncncıı alt tablayalt tablayıı yukaryukarııyyöönde iterek nde iterek öörnerneğğin kin kıırrıılmaslmasıına na yol ayol aççar. ar.

�� Bu arada haznedeki basBu arada haznedeki basıınnçç kuvveti kuvveti bir bir dinanometredinanometre ile ile ööllçüçüllüür.r.

�� ÖÖrnerneğğe uygulanan gerilmenin e uygulanan gerilmenin üüniformniformdadağığılmaslmasıınnıın san sağğlanmaslanmasıı iiççin, in, öörnek rnek yyüüzeylerinin pzeylerinin püürrüüzlzlüü olmamasolmamasıı gerekir. gerekir.


�� Malzemenin yMalzemenin yüükk--şşekil ekil dedeğğiişştirme ilitirme ilişşkisi tespit kisi tespit edilmek istendiedilmek istendiğğinde yinde yüükleme kleme ssıırasrasıında mekanik nda mekanik komperatkomperatöörrveya dijital deformasyon veya dijital deformasyon ööllççerler kullanerler kullanııllıır. r.

Mekanik Mekanik komperatkomperatöörr

StrainStrain gaugegauge


A

P σ =

0L

∆Lε =


•• BETONUN BETONUN σσσσσσσσ--εεεεεεεε DAVRANIDAVRANI��II

σσσσσσσσ

εεεεεεεε


•• BETONUN fBETONUN f--εεεεεεεε DAVRANIDAVRANI��II

σσσσσσσσ c

σσσσσσσσ

εεεεεεεεεεεεεεεε00 εεεεεεεεbmbm

σσσσσσσσ c

3

ÇÇEKME DENEYEKME DENEYĐĐ ve ve ÇÇEKME DAYANIMIEKME DAYANIMI


�� ÇÇekme deneyi silindirik veya prizmatik ekme deneyi silindirik veya prizmatik ççubuklara eksen ubuklara eksen dodoğğrultusunda rultusunda ççekme kuvveti uygulamak suretiyle yapekme kuvveti uygulamak suretiyle yapııllıır. r.

�� Silindire basSilindire basıınnççllıı yayağğ sevk edilerek piston yukarsevk edilerek piston yukarıı itilir. Pistona itilir. Pistona babağğllıı bir bir ççererççeve yukareve yukarııya doya doğğru ru ççekilerek ekilerek ççererççeveye baeveye bağğllııççeneleri yukareneleri yukarıı ççeker. eker.

Hareketli çerçeve

Yağ pompasıDinamometre’ye

Sabit çerçeve

Örnek


�� ÇÇekme deneyi, malzemelerin ekseni doekme deneyi, malzemelerin ekseni doğğrultusunda rultusunda ççekmeye zorlandekmeye zorlandığıığı zaman gzaman gööstermistermişş olduolduğğu u davrandavranışışlarlarıı belirlemek ibelirlemek iççin yapin yapııllıır. r.

�� Bir malzeme ekseni doBir malzeme ekseni doğğrultusunda rultusunda ççekmeye ekmeye zorlandzorlandığıığında boyu uzarnda boyu uzar‚‚ kesiti daralkesiti daralıır. r.

�� Kuvvet uygulanmaya devam edilip plastik Kuvvet uygulanmaya devam edilip plastik deformasyon bdeformasyon böölgesine gelgesine geççilir ise malzemede bazilir ise malzemede bazııdedeğğiişşiklikler olduktan sonra kopma meydana gelir. iklikler olduktan sonra kopma meydana gelir.

A

P σ =

0L

∆Lε =


Çekme Kuvveti Altında Gerilme-Birim �ekil Değişimi Eğrileri

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

KopmaKopma

�� Gerilme, kuvvetin orijinal kesit Gerilme, kuvvetin orijinal kesit alanalanıına bna bööllüünmesi ile elde edilir.nmesi ile elde edilir.

0A

P σ =

�� Birim Birim şşekil deekil değğiişşimi ise kuvvet imi ise kuvvet uygulanmasuygulanmasıı ssıırasrasıında olunda oluşşan an ççubuk boy deubuk boy değğiişşiminin, kuvvet iminin, kuvvet uygulanmadan uygulanmadan öönceki ilk nceki ilk ççubuk ubuk boyuna bboyuna bööllüünmesi ile elde edilir. nmesi ile elde edilir.

0L

∆Lε =

�� ÇÇekme deneyi sekme deneyi sıırasrasıında kesit alannda kesit alanıı hep sabit kalhep sabit kalıır mr mıı??�� ÇÇekme deneyi sekme deneyi sıırasrasıında boy denda boy değğiişşimi sabit kalimi sabit kalıır mr mıı??�� GerGerççekte bu grafik gekte bu grafik göörrüüldldüüğğüü gibi midir?gibi midir?

GGöörrüünnüür r σσσσσσσσ--εεεεεεεε EEğğrisirisi



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

KopmaKopma

�� GGöörrüünnüür r σσσσσσσσ--εεεεεεεε EEğğrisi:risi:Gerilmeler kuvvetin asGerilmeler kuvvetin asııl alana l alana dedeğğil ilk alana bil ilk alana bööllüünmesi, birim nmesi, birim şşekil deekil değğiişşimleri ise, uygulanan imleri ise, uygulanan kuvvet ankuvvet anıındaki olundaki oluşşan geran gerççek ek boya bboya bööllüünmeyip ilk boya nmeyip ilk boya bbööllüünmesi ile elde edilir. nmesi ile elde edilir.

GGöörrüünnüür r σσσσσσσσ--εεεεεεεε EEğğrisirisi �� Bu yBu yüüzden gerzden gerççek ek σσσσσσσσ--εεεεεεεε EEğğrisi derisi değğildir.ildir.



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� Gerilmeler kuvvetin asGerilmeler kuvvetin asııl alana l alana dedeğğil ilk alana bil ilk alana bööllüünmesi, birim nmesi, birim şşekil deekil değğiişşimleri ise, uygulanan imleri ise, uygulanan kuvvet ankuvvet anıındaki olundaki oluşşan geran gerççek ek boya bboya bööllüünmeyip ilk boya nmeyip ilk boya bbööllüünmesi ile elde edilirnmesi ile elde edilir

GerGerççek ek σσσσσσσσ--εεεεεεεε EEğğrisirisi

KopmaKopma

�� ÖÖzellikle bzellikle büüyyüük gerilmelerde k gerilmelerde asasııl alan (l alan (AAii) ) orijinal alandan (orijinal alandan (AAoo) ) oldukoldukçça ka küçüüçüktktüürr ve ve öönemli farklnemli farklııllııklar gklar göösterir.sterir.



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� GerGerççek alan ek alan AAii, , PPii kuvveti altkuvveti altıındaki ndaki ççubuubuğğun kesit un kesit alanalanıınnıı ggööstermekte olup stermekte olup AiAi < < AoAo ddıır. r.

GerGerççek ek σσσσσσσσ--εεεεεεεε EEğğrisirisi

KopmaKopma

�� Bu nedenle gerBu nedenle gerççek gerilmeler, ek gerilmeler,

σσtt > > σσ olur. olur.



L0

A0

Li

Ai

L

∆Lε

0

=0

0i

L

)L(L −=

0

0

0

i

L

L -

L

L= 1 -

L

L

0

i=

1 - L

L

0

i=⇒ ε L

L1

0

i=+⇒ ε

) (1 L L 0i ε+=⇒



�� ÇÇubuubuğğun hacminde un hacminde öözellikle plastik zellikle plastik şşekil ekil dedeğğiişşimleri bimleri böölgesinde bir delgesinde bir değğiişşiklik olmadiklik olmadığıığından,ndan,

L0

A0

Li

Ai

i

0

0

i00ii

A

A

L

L veyaLALA =×=×

) (1 L L 0i ε+=⇒ olduğundan

) (1 A A i0 ε+=⇒ yazılabilir.



L0

A0

Li

Ai

i

it

A

P σ =

)(1

AP

0

i

ε+

=

)(1 σ t εσ +=⇒

GerGerççek gerilme ek gerilme



L0

A0

Li

Ai GerGerççek birim ek birim şşekil deekil değğiişşimiimi

1i

1ii

1

12

0

01t

L

LL

L

LL

L

LLε

−

−−++

−+

−= ⋯

0

i

L

L

tL

LLn

L

dLε

i

0

==⇒ ∫

idi ε)(1LL 0i += ε)Ln(1ε t +=


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

ÇELİĞİN σσσσ-εεεε DAVRANI�I

Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� E: Elastisite modE: Elastisite modüüllüü ((youngyoung modmodüüllüü))σσσσσσσσii

αα

εεεεεεεεii ε

σ E = )tan( α=

σσσσ = E . εεεε �� HookeHooke yasasyasasıı

Orantı sınırı: Orantı sınırı gerilmelerin birim şekil değişimlere orantılı olduğu bölgenin en büyük gerilme değeridir. Başlangıçtan eğriye teğet çizilerek, teğetten ilk sapmanın görüldüğü yerde orantısınırı gözlenir


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Akma Dayanımı - Malzemenin kalıcı şekil değişimi yapmaya başladığı gerilme değerine akma dayanımı denir. Gerilme bu değere erişince uzamaların artması için artık gerilmenin çoğalmasına gerek yoktur.

�� Diyagramdaki zikzaklDiyagramdaki zikzaklıı bböölgeye lgeye akma noktasakma noktasıı denilir.denilir.

�� belirli bir kalbelirli bir kalııccıı şşekil deekil değğiişştirmenin tirmenin meydana geldimeydana geldiğği duruma i duruma akma akma denilir. denilir.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� Bu sBu sıınnıırda malzeme irda malzeme iççinde binde büüyyüük k dedeğğiişşiklikler ve kaymalar olur.iklikler ve kaymalar olur.

�� Malzeme Malzeme ııssıınnıır ve deney r ve deney ççubuubuğğunun unun üüzerinde zerinde LLüüdersders--HartmannHartmann ççizgileri adizgileri adııverilen ve bverilen ve büüyyüüteteççle kolaylle kolaylııkla gkla göörrüülen bir len bir taktakıım m ççizgiler belirir izgiler belirir

�� ÇÇizgilerin izgilerin ççekme doekme doğğrultusuna grultusuna gööre ere eğğimi imi yaklayaklaşışık 45k 45°°°°°°°°’’dirdir. .


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� MMüühendislik ahendislik aççııssıından ndan öönem tanem taşışır, r, plastik davranplastik davranışıışın ban başşladladığıığınnıı belirtir. belirtir.

�� MMüühendislik dizaynhendislik dizaynıı ve hesaplarve hesaplarıında nda kullankullanııllıır.r.

�� Genellikle Genellikle ssüüneknek malzemelerin malzemelerin adlandadlandıırrıılmaslmasıında kullannda kullanııllıır.r.

�� S220S220 akma dayanakma dayanıımmıı 220 220 MPaMPa olan inolan inşşaat aat ççelieliğğii


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Akmanın ilk başladığı noktaya

üst akma sınırı ( ReH )

Zikzakların sona erdiği en düşük nokta alt akma sınırı

akma sınırı ( ReL )

RReHeH

RReLeL

Akma dayanımı bazımalzemelerde örneğin yumuşak çelikte çok belirgindir.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

KopmaKopma

Akma bölgesinden sonra diyagramda tekrar bir yükselme görülür

Gerilmenin en büyük değeri

Çekme dayanımı ( Rm )

RRmm

Birim şekil değiştirmelerin artmasıancak gerilmelerin artmasıyla mümkün olur.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

KopmaKopma

Çekme dayanımı noktasına kadar malzeme homojen uzar. RRmm

Bu noktadan sonra kesiti daralarak (boyun verme) kopar.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

KopmaKopma

Hesaplarda akma dayanımı kadar fazla olmamasına rağmen kullanılır. RRmm

Çekme dayanımı, gevrek malzemeler için dayanım sınırıdır.

Çelik malzemeler bazı standartlarda çekme dayanım değerleri ile adlandırılırlar.

S220 = St37S220 = St37 �� akma dayanakma dayanıımmıı 220 220 MPaMPa�� ççekme dayanekme dayanıımmıı 37 37 kgfkgf/mm/mm22

olan inolan inşşaat aat ççelieliğğii



KopmaKopma

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

RRmm : : ÇÇekme dayanekme dayanıımmııRR

eHeH

ÜÜst

akm

a s

st a

kma

s ıınn ı

ı rr ıı

RReLe

L: A

lt ak

ma

s: A

lt ak

ma

s ıınn ı

ı rr ıı

RRmm

: : ÇÇ

ekm

e da

yan

ekm

e da

yan ıı

mmıı

RRmm

RReHeH

RReLeL

Birim Birim ��ekil deekil değğiişştirmetirme

Ger

ilme

Ger

ilme

Rm : Çekme dayamımı

ReH : Üst akma sınırı

ReL : Alt akma sınırı



KopmaKopma

σσσσσσσσ

εεεεεεεεBirim Birim ��ekil deekil değğiişştirmetirme

Ger

ilme

Ger

ilme

RRmm

Rm : Çekme dayamımıRReHeH

ReH : Üst akma sınırı

RReLeL

ReL : Alt akma sınırı



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Başlangıçta süreksiz akma gösteren sünek malzemelerde olduğu gibi birim şekil değiştirme kuvvetle orantılı olarak uzamaktadır.

Belirli bir noktada doğrusallık bozulmaktadır.

Bu nokta nasıl belirlenir?

KopmaKopma


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Akma noktası göstermeyen malzemelerde ise belirli bir şekil

değiştirmenin (εεεεp) meydana geldiği nokta akma sınırı olarak alınır

Genellikle 0.002 şekil değiştirmenin olduğu noktadan elastik bölgedeki doğruya paralel çizilir.

0.002

Eğriyi kestiği nokta akma sınırı olarak alınır.

εp

Re


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Rm

Gerilmenin en büyük değeri

Çekme dayanımı ( Rm )


σσσσσσσσ

εεεεεεεε


Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması

�� OrantOrantıı SSıınnıırrıı::

�� OrantOrantıı ssıınnıırrıı gerilmelerin birim gerilmelerin birim şşekil deekil değğiişşimlere orantimlere orantııllııolduolduğğu bu böölgenin en blgenin en büüyyüük k gerilme degerilme değğeridir. eridir.

�� BaBaşşlanglangııççtan etan eğğriye teriye teğğet et ççizilerek, teizilerek, teğğetten ilk etten ilk sapmansapmanıın gn göörrüüldldüüğğüü yerde yerde orantorantıı ssıınnıırrıı ggöözlenir. zlenir.

�� ÖÖllçüçüm duyarlm duyarlııllığıığına gna gööre re dedeğğiişşirir



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması

�� OrantOrantıı SSıınnıırrıı::

�� Bu bBu böölgede yaplgede yapıılan lan ööllççmeler meler ggööstermistermişştir ki boyuna tir ki boyuna uzayan uzayan ççubukta aynubukta aynıızamanda bir daralma zamanda bir daralma ggöörrüülmektedir. lmektedir.

b

e

ε

εν

−=

νννννννν : : PoissonPoisson OranOranıı. .



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması

�� PoissonPoisson OranOranıı::

�� ççelik malzemesi ielik malzemesi iççin in poissonpoissonoran 0.3 civaroran 0.3 civarıındadndadıır. r.

b

e

ε

εν

−=

�� BasBasıınnçç kuvveti uygulanmaskuvveti uygulanmasııhalinde, halinde, öörnekte enine rnekte enine genigenişşleme gleme göörrüüllüür.r.



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması

�� Elastik Limit:Elastik Limit:

�� KalKalııccıı şşekil deekil değğiişşimi imi bbıırakmadan malzemenin rakmadan malzemenin dayanabilecedayanabileceğği en fazla i en fazla gerilme degerilme değğeridir. eridir.

�� Bu deBu değğerin kesin olarak erin kesin olarak saptanabilmesi isaptanabilmesi iççin in öörnerneğğin in pepeşş pepeşşe devamle devamlıı yyüüklenip klenip boboşşaltaltıılmaslmasıı gerekir. gerekir.



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması

�� Akma DayanAkma Dayanıımmıı::

�� Malzemenin kalMalzemenin kalııccıı şşekil ekil dedeğğiişşimi yapmaya baimi yapmaya başşladladığıığıgerilme degerilme değğerine akma erine akma dayandayanıımmıı denir. denir.



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Orantı sınırı

Elastik limit

Akma dayanımı

0.002

Çekme dayanımı

Kopma dayanımı

Kopma uzaması

�� Kopma DayanKopma Dayanıımmıı::

�� KKıırrıılma (kopma) anlma (kopma) anıında nda uygulanan yuygulanan yüükküün orijinal n orijinal alana balana bööllüünmesi ile bulunan nmesi ile bulunan gerilmedir. gerilmedir.

�� Kopma dayanKopma dayanıımmıı, , ççekme ekme dayandayanıımmıından kndan küçüüçük k ggöörrüülmesine ralmesine rağğmen bu men bu kesit daralmaskesit daralmasıı olayolayıısonucu oldusonucu olduğğundan undan gergerççekte durum bekte durum bööyle yle dedeğğildir. ildir.



�� ekil Deekil Değğiişştirme sertletirme sertleşşmesimesi

�� ÇÇekme deneyi sekme deneyi sıırasrasıında nda elastik belastik böölgede kuvvet lgede kuvvet bbıırakrakııllıırsa; malzeme ilk rsa; malzeme ilk haline aynhaline aynıı dodoğğru ru üüzerinden geri dzerinden geri dööner.ner.

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� Malzeme Malzeme üüzerinde kalzerinde kalııccııdeformasyon kalmaz.deformasyon kalmaz.



�� ekil Deekil Değğiişştirme sertletirme sertleşşmesimesi�� Ancak plastik Ancak plastik

deformasyon bdeformasyon böölgesinde lgesinde kuvvet bkuvvet bıırakrakııllıırsa; rsa; malzeme kuvvetin malzeme kuvvetin bbıırakrakııldldığıığı noktadan elastik noktadan elastik dodoğğruya paralel ruya paralel şşekilde ekilde geri dgeri dööner.ner.

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� Apsisi kestiApsisi kestiğği nokta kadar i nokta kadar malzeme malzeme üüzerinde kalzerinde kalııccııdeformasyon kaldeformasyon kalıır.r.

εεεεεεεεpp




σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσ

εεεεεεεεBir defa çekilen metalin çekme

diyagramı

σσσσ1 kadar çekilip sonra tekrar

çekilen metalin çekme diyagramı








σσσσσσσσ

εεεεεεεεσσσσ3 kadar çekilip

sonra tekrar çekilen metalin

çekme diyagramı

�� Metale akma sMetale akma sıınnıırrıınnıın n üüzerinde gerilme zerinde gerilme uygulanmasuygulanmasıı durumunda durumunda dislokasyondislokasyon yoyoğğunluunluğğu u artar, dayanartar, dayanıım dem değğerleri artar, erleri artar, ssüüneklilinekliliğğii azalazalıır.r.

�� ÇÇekme iekme işşleminin tekrarlanmasleminin tekrarlanmasıı durumunda durumunda dislokasyondislokasyon yoyoğğunluunluğğunun artmasunun artmasıı devam devam edeceedeceğği ii iççin dayanin dayanıım dem değğerlerindeki arterlerindeki artışış ve ve ssüüneklilikneklilik dedeğğerindeki azalerindeki azalışış devam edecektir. devam edecektir.

�� Ancak bu iAncak bu işşlemlerin tekrarlanlemlerin tekrarlanışıışı esnasesnasıında nda ööyle bir yle bir noktaya gelinir ki; Metal bu gerilmenin noktaya gelinir ki; Metal bu gerilmenin üüzerinde zerinde plastik plastik şşekil deekil değğiişşimine uimine uğğratratıılamaz.lamaz.


�� Bir metalik malzemenin kopmadan Bir metalik malzemenin kopmadan enerji yutabilme yeteneenerji yutabilme yeteneğğini o ini o malzemenin malzemenin ççekme altekme altıında nda gerilme gerilme -- şşekil deekil değğiişşimi eimi eğğrisinin risinin altaltıında kalan alan temsil edebilir nda kalan alan temsil edebilir

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� BoyutlarBoyutlarıı (cm/cm x kg/cm(cm/cm x kg/cm22)=()=(kg.cmkg.cm/cm/cm33) olur. ) olur. �� Burada Burada kg.cmkg.cm enerji veya yapenerji veya yapıılan ilan işştir. tir. �� Bu nedenle enerji yutabilme kapasitesi birim hacme Bu nedenle enerji yutabilme kapasitesi birim hacme

ddüüşşen ien işş olmaktadolmaktadıır.r.

�� DDüüktilitektilite ((ssüüneklikneklik) ve Enerji Yutabilme kapasitesi) ve Enerji Yutabilme kapasitesi



�� Bir malzemenin dayanBir malzemenin dayanıımmıınnıın yn yüüksek olmasksek olmasıı veya veya ççok ok ddüüktilktilolmasolmasıı, o malzemenin enerji yutabilme kapasitesinin fazla , o malzemenin enerji yutabilme kapasitesinin fazla olduolduğğunu gunu gööstermez.stermez.

σσσσσσσσ

εεεεεεεεKurşun

Yumuşak çelik

Soğuk şekillendirilmiş sert çelik

�� ÖÖrnerneğğin, soin, soğğuk iuk işşlenmilenmişş ççelik elik yyüüksek dayanksek dayanıımlmlıı, kur, kurşşun un ççok ok ddüüktilktil olmalarolmalarıına karna karşışın n ikisi de, fazla enerji yutabilme ikisi de, fazla enerji yutabilme yeteneyeteneğğine sahip deine sahip değğildirler. ildirler.

Düktilite: yük altında şekil değiştirme kapasitesi


�� Malzeme Malzeme ççekme dayanekme dayanıımmıı noktasnoktasıına gelinceye kadar kuvvete na gelinceye kadar kuvvete babağğllıı olarak olarak şşekil deekil değğiişşimi yapar. imi yapar.

�� Enerji yutabilme kapasitesinin bu limit deEnerji yutabilme kapasitesinin bu limit değğerinden sonra erinden sonra malzeme dayanmalzeme dayanıımmıınnıı yitirir. yitirir.

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

Rm

Toplam enerji yutma kapasitesi

Malzeme dayanımını yitirinceye kadar enerji yutma kapasitesi



�� ToklukTokluk

�� Bir malzemenin plastik Bir malzemenin plastik şşekil deekil değğiişştirme esnastirme esnasıında enerji nda enerji absorbeabsorbeetme etme öözellizelliğğine ine tokluktokluk denilir. denilir.

σσσσσσσσ

εεεεεεεεKurşun

Yumuşak çelik

Soğuk şekillendirilmiş sert çelik �� ÇÇekme eekme eğğrisi altrisi altıında kalan nda kalan alan malzeme toklualan malzeme tokluğğunun bir unun bir ööllçüçüssüüddüür. Tokluk r. Tokluk malzemenin dayanmalzemenin dayanıımmıınnıı ve ve ssüüneklilinekliliğğiniini beraber beraber dedeğğerlendiren bir kavramderlendiren bir kavramdıır. r.

�� SSüüneklilinekliliğğii ((ddüüktilitesiktilitesi) y) yüüksek olan malzemenin tokluksek olan malzemenin tokluğğu, daha az u, daha az ssüüneknek olan bir malzemeye golan bir malzemeye gööre daha az olabilir. re daha az olabilir.


�� ÇÇekme Deneyi Numunesiekme Deneyi Numunesi

L0: Ölçüm Boyu

Đnce

ltil

miş

kes

it

Gerçek çap (d0)

Đnceltilmiş, deney uygulanan çap

�� TS 708TS 708Deneyler, Deneyler, ççelik elik ççubuklara haddeleme ubuklara haddeleme iişşlemi sonraslemi sonrasıında herhangi bir nda herhangi bir tornalama itornalama işşlemi yaplemi yapıılmadanlmadanuygulanmaluygulanmalııddıır. r.

�� YalnYalnıızca d = 32 mm ve zca d = 32 mm ve üüzerindeki zerindeki ççaplardaaplarda…………………………....tornalanarak deneye tabi tutulur. tornalanarak deneye tabi tutulur.



L0: Ölçüm Boyu

Đnce

ltil

miş

kes

it

Gerçek çap (d0)


�� TS 708TS 708Deneyler, Deneyler, ççelik elik ççubuklara haddeleme ubuklara haddeleme iişşlemi sonraslemi sonrasıında herhangi bir nda herhangi bir tornalama itornalama işşlemi yaplemi yapıılmadanlmadanuygulanmaluygulanmalııddıır. r.

�� YalnYalnıızca d = 32 mm ve zca d = 32 mm ve üüzerindeki zerindeki ççaplarda, aplarda, ssııcak haddeleme icak haddeleme işşlemi lemi yapyapıılmlmışış ççubuklarubuklariiççin in ççekme cihazekme cihazıınnıın kapasitesi n kapasitesi yetersiz ise numuneler d = 28 mm den yetersiz ise numuneler d = 28 mm den daha kdaha küçüüçük olmamakk olmamaküüzere cihaz kapasitesinin izin verdizere cihaz kapasitesinin izin verdiğği i en ben büüyyüük k ççaptaapta tornalanarak deneye tornalanarak deneye tabi tutulur. tabi tutulur.



L0: Ölçüm Boyu

Đnce

ltil

miş

kes

it

Gerçek çap (d0)


�� ÇÇekme deneyi numuneleri ekme deneyi numuneleri hazhazıırlanrlanıırken kopma uzamasrken kopma uzamasıınnııbelirlemek ibelirlemek iççin; in; ööllçüçüm boyu numunenin m boyu numunenin ççapapıına bana bağğllııolarak olarak LL00= 5d= 5d00 veya Lveya L00 =10d=10d00 alalıınnıır. r.

�� Numune Numune ççekme deneyine tabi tutulurekme deneyine tabi tutulur

�� Deney sonucunda Deney sonucunda σσσσσσσσ--εεεεεεεε eeğğrisi risi öönemli nemli noktalarnoktalarıı ile ile kopma uzamaskopma uzamasııbelirlenir.belirlenir.


�� Kopma UzamasKopma Uzamasıı

�� Numunenin koptuNumunenin koptuğğu zaman meydana gelen u zaman meydana gelen uzama miktaruzama miktarıınnıın ilk boya orann ilk boya oranıına kopma na kopma uzamasuzamasıı denilir denilir

L0 Ls

[ ]% 100L

LA

o

K∆=

[ ]% 100L

)L(LA

o

os −=


�� Kopma UzamasKopma Uzamasıı

�� Kopma uzamasKopma uzamasıı ve kopma bve kopma büüzzüülmesi lmesi malzemelerin malzemelerin ssüüneklilikneklilik öözelliklerinin zelliklerinin bir bir ööllçüçüssüüddüür. r.

L0 Ls

�� Kopmadan Kopmadan öönce belirli bir uzama nce belirli bir uzama ggöösteren (bazsteren (bazıı kaynaklar %5 kopma kaynaklar %5 kopma uzamasuzamasıı kabul etmektedir) kabul etmektedir) malzemelere malzemelere ssüüneknek malzeme,malzeme,ggööstermeyen malzemelere stermeyen malzemelere gevrek gevrek malzememalzeme denilmektedir.denilmektedir.


�� DDüüktilitektilite ve Enerji Yutabilme kapasitesive Enerji Yutabilme kapasitesi

�� Bir malzemenin kBir malzemenin kıırrıılmaya kadar gelmaya kadar geççici ici şşekil ekil dedeğğiişştirme yetenetirme yeteneğğine ine ddüüktilitektilite denir. denir.

L0 Ls

�� DDüüktilitektilite uzama ve alan azalmasuzama ve alan azalmasıınnıın n ööllçüçülmesi ile belirlenir. lmesi ile belirlenir.

�� Malzemenin kMalzemenin kıırrıılmadan uzayabilmesini lmadan uzayabilmesini ggööstermesi astermesi aççııssıından, ndan, ddüüktilitektilitemmüühendislik ahendislik aççııssıından ndan öönem tanem taşışır. r.

�� Metalik malzemelerin iMetalik malzemelerin işşlenebilmesi ilenebilmesi iççin in ddüüktilitektilite öözellizelliğği istenir. i istenir.

ELASTELASTĐĐSSĐĐTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

ε

σ E =


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� HookeHooke yasasyasasıı adadıı verilen bu baverilen bu bağığıntntııda da ççekme elastisite modekme elastisite modüüllüüne "ne "YoungYoungmodmodüüllüü" de denir. " de denir.

�� Genellikle basGenellikle basıınnçç halindekine ehalindekine eşşit it dedeğğerdedir. erdedir.

σσσσσσσσii

αα

εεεεεεεεii

ε

σ E =

�� HookeHooke yasasyasasıı yalnyalnıız elastik z elastik şşekil deekil değğiişşimi imi yapan malzemelerde geyapan malzemelerde geççerlidir. erlidir.

�� Kil, bakKil, bakıır, kurr, kurşşun gibi kolay un gibi kolay şşekillendirilen, ekillendirilen, plastik plastik şşekil deekil değğiişşimi yapan malzemelerde, imi yapan malzemelerde, ççok dok düüşşüük bir elastiklik limiti sonunda k bir elastiklik limiti sonunda malzemede akma gmalzemede akma göörrüüllüür. r.

�� Bu durum eBu durum eğğilme iilme iççin de sin de sööz konusudur. z konusudur.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� MMüühendislik ahendislik aççııssıından, malzemenin ndan, malzemenin şşekil ekil dedeğğiişşimlerine elastik karimlerine elastik karşışı koymaskoymasıınnııggöösterdisterdiğğinden, inden, E'ninE'nin öönemi nemi ççok bok büüyyüüktktüürr

σσσσσσσσii

αα

εεεεεεεεii

ε

σ E =

�� ççelieliğğin elastisite modin elastisite modüüllüü 2.1 x 102.1 x 1055 MPaMPa, , alalüüminyum 'un 0.7 x 10minyum 'un 0.7 x 1055 MPaMPa’’dirdir. .

�� Bu durumda Bu durumda ççelik, alelik, alüüminyumdan 3 misli minyumdan 3 misli rijittirrijittirveya aynveya aynıı yyüükküü tataşışıyan aynyan aynıı boyutlardaki bir boyutlardaki bir ççelik elik ççubuk, bir alubuk, bir alüüminyum minyum ççubuubuğğun un üçüçte biri te biri kadar uzayacaktkadar uzayacaktıır. r.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσii

αα

εεεεεεεεii

ε

σ E =

0.15 – 0.224 000 – 18 00010 000 – 45 000Beton

0.3325 30070 000Alüminyum

0.1750 000110 000Font

0.2681 000210 000Çelik

PoissonOranı

Kayma Modülü(G) MPa

Elastisite Modülü(E) MPaMalzeme

�� BazBazıı YapYapıı Malzemelerinin Tipik Mekanik Malzemelerinin Tipik Mekanik ÖÖzelliklerizellikleri


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� OrantOrantııllııllıık bk böölgesinde HOOKE yasaslgesinde HOOKE yasasıı gegeççerli olduerli olduğğuna guna gööre re σσ = E.= E.εε babağığıntntııssıı gegeççerlidir. erlidir.

�� Ancak deAncak değğiişşik nedenlerle, deney verileri ile elde edilen deik nedenlerle, deney verileri ile elde edilen değğerler erler farklfarklııllııklar gklar göösterebilir.sterebilir.

E.ε σ =


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� Koordinat merkezinden geKoordinat merkezinden geççen ve deney sonuen ve deney sonuççlarlarıına na ggööre yerlere yerleşştirilen noktalardan en yaktirilen noktalardan en yakıın n şşekilde geekilde geççen en dodoğğrunun erunun eğğimi malzemenin imi malzemenin elastisite modelastisite modüüllüüolacaktolacaktıır.r.

E.ε σ =


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσii

εεεεεεεεii

σσσσσσσσifif

�� Deneylerde Deneylerde σσ = = σσii olunca, olunca, εε = = εεiiolarak bulunsun. olarak bulunsun.

�� DenklemdeDenklemde εε yerine yerine εεii konulunca konulunca

σσ = = σσifif dedeğğerini alserini alsıın.n.

E.ε σ =

�� EE’’ninnin bilindibilindiğği varsayi varsayıımmııyla bayla bağığıntntıı,,

σσifif =E.=E.εεii şşeklinde yazeklinde yazıılabilir.labilir.

�� Deneylerde bulunan Deneylerde bulunan σσii ve ve εεii dedeğğerlerine gerlerine gööre re oluoluşşturulacak bu kareler toplamturulacak bu kareler toplamıınnıın den değğeri en az olacak eri en az olacak

şşekilde E saptanacak olursa, ekilde E saptanacak olursa, σσ -- εε diyagramdiyagramıınnııbelirleyen noktalara en yakbelirleyen noktalara en yakıın bir don bir doğğru geru geççirilmiirilmişş olur.olur.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσii

εεεεεεεεii


�� AynAynıı nokta inokta iççin deney sonucu ile in deney sonucu ile babağığıntntıınnıın verdin verdiğği dei değğer araser arasıındaki ndaki farkfarkıın karesi,n karesi,

E.ε σ =

( ) ( )22

iiifi Eεσσσ −=−

�� TanTanıımdaki mdaki σσii ve ve εεii dedeğğerleri deney sonuerleri deney sonuççlarlarıı olduolduğğuna guna gööre re sabit desabit değğerlerdir. Bu nedenle yukarerlerdir. Bu nedenle yukarııdaki tandaki tanıımmıın minimum n minimum olmasolmasıı E'ninE'nin alacaalacağığı dedeğğere baere bağğllııddıır. r.

�� E'ninE'nin F(E)'yi minimum yapan deF(E)'yi minimum yapan değğerini bulmak ierini bulmak iççin, bu in, bu fonksiyonun fonksiyonun E'yeE'ye ggööre tre tüürevi alrevi alıınnııp sp sııffııra era eşşitlenir.itlenir.


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσii

εεεεεεεεii


�� Bu farklarBu farklarıın karelerinin toplamn karelerinin toplamııF(E) ile gF(E) ile göösterilsin.sterilsin.

E.ε σ =

( ) ( )2

ii EεσEF ∑ −=


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σσσσσσσσii

εεεεεεεεii


E.ε σ = ( ) ( )2

ii EεσEF ∑ −=

( ) ( )∑ +−=222 2 iiii EEEF εεσσ

( ) ∑ ∑ ∑+−=222 2 iiii EEEF εεσσ

�� bu ifadenin bu ifadenin E'yeE'ye ggööre tre tüürevi alrevi alıınnııp sp sııffııra era eşşitlenince,itlenince,

( ) ∑ ∑ =+−=′ 022 2

iii EEF εεσ

∑∑

=2

i

iiE

ε

εσ


σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� Ancak bu deAncak bu değğeri kullanarak eri kullanarak ççizilen izilen

σσ--εε dodoğğrusu orijinden gerusu orijinden geççmeyebilir. meyebilir. ∑∑

=2

i

iiE

ε

εσ

ε

σ

σ′σ′σ′σ′σ′σ′σ′σ′

ε′ε′ε′ε′ε′ε′ε′ε′

�� Bu durumu gBu durumu gööz z öönnüüne ne alarak yalnalarak yalnıız orantz orantıı ssıınnıırrııaltaltıındaki deney verilerini ndaki deney verilerini hesaba katarak elastisite hesaba katarak elastisite modmodüüllüünnüü hesaplamak hesaplamak mmüümkmküündndüür.r.

�� Eksen kaydEksen kaydıırma yaprma yapııllıır.r.


ε

σ



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

�� OrantOrantııllııllıık bk böölgesinde yaplgesinde yapıılan lan ööllçüçüm m saysayııssıı ““nn”” olsun. olsun.

�� Bu Bu ““nn”” saysayııda gerilme ve birim da gerilme ve birim şşekil ekil dedeğğiişştirmelerin ortalama detirmelerin ortalama değğerleri.erleri.

εσile gile göösterilsin.sterilsin.

n

σσσort∑

==n

εεεort∑

==


�� Koordinat merkezi eksenleri Koordinat merkezi eksenleri paralel kalacak paralel kalacak şşekilde, ekilde,

σσσσσσσσortort-- εεεεεεεεortort olanolan

noktaya tanoktaya taşışınnıırsa rsa HookeHookeyasasyasasıı şşööyle yazyle yazıılabilir : labilir :

( )εεEσσ −=−

σσσσσσσσ

εεεεεεεε

ε

σ


ε′ε′ε′ε′ε′ε′ε′ε′σσ −

εε −

σ

ε


ε

σ



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σ

�� Deneysel olarakDeneysel olarak εε==εεii olunca olunca σσ, , σσii dedeğğerini alserini alsıın. n.

( )εεσσ −=− iif E

( )εεEσσ −=−σσσσσσσσifif

εεεεεεεεii��εε ==εεii dedeğğeri yukareri yukarııdaki ifadede daki ifadede

yerine konulunca yerine konulunca σσ = = σσifif dedeğğerini erini alsalsıın.n.

σσσσσσσσii


ε

σ



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σ

�� ifadesinde yeni eksen takifadesinde yeni eksen takıımmıında, nda, dodoğğrunun noktalardan mrunun noktalardan müümkmküün n olduolduğğu kadar yaku kadar yakıınnıından ndan gegeççebilmesini saebilmesini sağğlamak ilamak iççin, in, ordinatlar arasordinatlar arasıındaki farklarndaki farklarıın n karelerinin toplamkarelerinin toplamıınnıın minimum n minimum olmasolmasıı sasağğlanmallanmalııddıır. r.

( )εεσσ −=− iif Eσσσσσσσσifif

εεεεεεεεii

�� AynAynıı εεii dedeğğerine ait erine ait dodoğğrunun ordinatrunun ordinatıı ile ile deneyde bulunan ordinatdeneyde bulunan ordinatıın n farkfarkıınnıın karesin karesi

σσσσσσσσii

( ) ( )[ ]2σσσσ −−− iif

σσ −if

σσ −i


ε

σ



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σ

( )εεσσ −=− iif E

σσσσσσσσiiσσσσσσσσifif

εεεεεεεεii

( ) ( )[ ]2σσσσ −−− iif

σσ −if

σσ −i �� İİfadesinde fadesinde

�� Yerine konursa farklarYerine konursa farklarıın karesi n karesi aaşşaağığıdaki gibi olur.daki gibi olur.

( ) ( )[ ]2σσεε −−− iiE

�� Karelerin toplamKarelerin toplamıınnıın n ifade eden denklem:ifade eden denklem: ( ) ( ) ( )[ ]2

∑ −−−= σσεε iiEEF


ε

σ



σσσσσσσσ

εεεεεεεε

σ

σσσσσσσσiiσσσσσσσσifif

εεεεεεεεii

σσ −if

σσ −i

( ) ( ) ( )[ ]2


�� bu ifadenin bu ifadenin E'yeE'ye ggööre tre tüürevi revi alalıınnııp sp sııffııra era eşşitlenince,itlenince,

( ) 0=′ EF

�� Bu ifadeyi en kBu ifadeyi en küçüüçük yapan E k yapan E dedeğğeri bulunur.eri bulunur.

ELASTELASTĐĐSSĐĐTE MODTE MODÜÜLLÜÜσ

( ) ( ) ( )[ ]2


( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]∑ −+−−−−=2

iii

2

i2

σσσσεε2EεεEEF

( ) ( ) ( )( )∑ ∑ +−−−−= 0σσεε2EεεEEF ii

2

i2

( ) ( )( )∑ ∑ +−−−−= 0σσεε2εεE2F(E)' ii

2

i

0F(E)'= ( ) ( )( )∑ ∑ =−−−−⇒ 0σσεε2εεE2 ii

2

i


0F(E)'= ( ) ( )( )∑ ∑ =−−−−⇒ 0σσεε2εεE2 ii

2

i

( ) ( )( )∑ ∑ −−=− σσεε2εεE2 ii

2

i

( )( )( )∑

∑−

−−=

2

i

ii

εε

σσεεE


( )( )( )∑

∑−

−−=

2

i

ii

εε

σσεεE

( )( )( )∑

∑+−

+−−=

2

i

2

i

iiii

εεε2ε

σ.εσ.εσ.εσ.εE

( )∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑

+−

+−−=

2

i

2

i

iiii

εεε2ε

σ.εσ.εσ.εσ.εE


( )∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑

+−

+−−=

2

i

2

i

iiii

εεε2ε

σ.εε.σσ.εσ.εE

( )∑∑

+−

++−=

222

i

ii

εn.ε2n.ε

σ.εn.ε.σn.σ.εn.σεE

∑ = εn.ε i

( )22εn.ε∑ =

∑ = σn.σi ∑ = σ.εn.σ.ε

( )∑∑

−

+=

22

i

ii

εn.ε

σ.εn..σεE


( )∑∑

−

−=

22

i

ii

εn.ε

σ.εn..σεE

��En kEn küçüüçük kareler yk kareler yööntemine gntemine gööre re Elastisite modElastisite modüüllüünnüün bulunun bulunuşşuu

�� Bu yBu yööntemle bir dontemle bir doğğrunun erunun eğğimi bulunmaktadimi bulunmaktadıır.r.


�� SaySayıısal sal ÖÖrnekrnek (1)(1)

�� Yandaki tabloda 12 mm Yandaki tabloda 12 mm ççaplaplıı, 12 cm , 12 cm ööllçüçüm boyundaki bir m boyundaki bir ççelik donatelik donatııüüzerinde elastik bzerinde elastik böölgede yaplgede yapıılan lan ççekme ekme deneyi verileri (uygulanan kuvvet deneyi verileri (uygulanan kuvvet ––uzama) bulunmaktaduzama) bulunmaktadıır.r.

84,417988

76,214007

50,411986

36,49135

26,67514

19,65023

16,83702

11,21801

∆∆∆∆L (10-3 mm)

Pi(kgf)Veri No

�� En kEn küçüüçük kareler yk kareler yööntemini kullanarak ntemini kullanarak bu malzemenin elastisite modbu malzemenin elastisite modüüllüünnüübulunuz.bulunuz.

ÖRNEKLER

ÖRNEK 2:

Bir çelik örneğinin çekme deneyi sonucu σ-ε diyagramıaşağıdaki şekilde görüldüğü gibi koordinatları verilen doğru parçaları ile simgelenmektedir.

NOKTA NOKTA ÖZELLĐĞĐ

ABSĐS ORDĐNAT (kg/mm2)

A ORANTI SINIRI

1,2x10-3 24

B AKMA DAYANIMI

? 30

C ÇEKME DAYANIMI

230x10-3 44

D KOPMA DAYANIMI

280x10-3 32


�� SaySayıısal sal ÖÖrnekrnek (2)(2)σσσσσσσσ ((kgfkgf/mm/mm22))

AA

BBCC

DD

2424

3030

4444

1.21.2 230230 280280

NoktaNokta

A: orantA: orantıı ssıınnıırrıı

B: Akma dayan: Akma dayanıımmıı

C: C: ÇÇekme dayanekme dayanıımmıı

D: Kopma DayanD: Kopma Dayanıımmıı

apsisiapsisi

1.2 1.2 ××(10(10--33))

?

230 230 ××(10(10--33))

280 280 ××(10(10--33))

Ordinatı

24 24

30

4444

3232

3232

a) a) SSööz konusu z konusu öörnerneğğin elastisite in elastisite modmodüüllüünnüü hesaplayhesaplayıınnıız.z.

εεεεεεεε ××××××××(10(10--33))

b) b) %0.2 birim uzama ilkesine g%0.2 birim uzama ilkesine gööre re akma dayanakma dayanıımmıına karna karşışıllıık k gelen birim uzama miktargelen birim uzama miktarıınnııhesaplayhesaplayıınnıız.z.

c) c) ÇÇelieliğğin birim hacmine karin birim hacmine karşışıllıık k gelen enerji yutabilme gelen enerji yutabilme kapasitesi hangi limite ulakapasitesi hangi limite ulaşışırsa rsa ççelik elik öörnerneğği dayani dayanıımmıınnıı yitirir?yitirir?


σσσσσσσσ ((kgfkgf/mm/mm22))

AA

BBCC

DD

2424

3030

4444

1.21.2 230230 280280

NoktaNokta





apsisiapsisi

1.2 1.2 ××(10(10--33))

?

230 230 ××(10(10--33))

280 280 ××(10(10--33))

Ordinatı

24 24

30

4444

3232

3232

d) d) Bu Bu ççeliktemeliktem yapyapıılmlmışış 44××××××××16 mm 16 mm en kesitinde ve 280 cm en kesitinde ve 280 cm uzunluuzunluğğundaki bir undaki bir ççubuk ubuk etkilendietkilendiğği i ekseneleksenel ççekme ekme kuvveti altkuvveti altıında 350 mm nda 350 mm uzamuzamışışttıır. Bu r. Bu ççubuk kaubuk kaçç kgfkgf’’liklikyyüük altk altıındadndadıır?r?

εεεεεεεε ××××××××(10(10--33)) e) e) ÇÇubuubuğğun 2400 un 2400 kgfkgf’’liklik yyüük k altaltıındaki kesit boyutlarndaki kesit boyutlarıı ne ne olmuolmuşştur?tur?

f) f) Bu kuvvet altBu kuvvet altıındaki ndaki poissonpoissonoranoranıı nedir?nedir?



σσσσσσσσ ((kgfkgf/mm/mm22))

AA

BBCC

DD

2424

3030

4444

1.21.2 230230 280280

NoktaNokta





apsisiapsisi

1.2 1.2 ××(10(10--33))

?

230 230 ××(10(10--33))

280 280 ××(10(10--33))

Ordinatı

24 24

30

4444

3232

3232 g) g) B gerilmenin (37.52 B gerilmenin (37.52 kgfkgf/mm/mm22) ) kaldkaldıırrıılmaslmasıı halinde halinde ççubuubuğğun un son boyu ne olur? son boyu ne olur?

εεεεεεεε ××××××××(10(10--33))h) h) P=2.4 t altP=2.4 t altıındaki gerndaki gerççek ek

gerilme ve gergerilme ve gerççek birim ek birim uzama nedir?uzama nedir?


BAZI CBAZI CĐĐSSĐĐMLERMLERĐĐN N ÇÇEKME ve EKME ve BASINBASINÇÇ DAYANIMI DAYANIMI ÖÖZELLZELLĐĐKLERKLERĐĐ

�� Bu aBu aşşamada malzeme iamada malzeme içç yapyapııssıında nda atomlar arasatomlar arasıı babağğlar kopar ve lar kopar ve kalkalııccıı (plastik) (plastik) şşekil deekil değğiişşimleri imleri ggöörrüüllüür. r.

ÇÇEKME ve BASINEKME ve BASINÇÇ DAYANIMIDAYANIMI

YAPI YAPI ÇÇELELİĞİİĞİ StSt--I S220 I S220

σ

ε

çekme

basınç

�� DDüüşşüük gerilmelerde k gerilmelerde HookeHookeyasasyasasıına uyan bir dona uyan bir doğğrusal rusal davrandavranışış ggöösteren orantsteren orantııllııllıık k bböölgesi vardlgesi vardıır. Sonra bir akma r. Sonra bir akma bböölgesine girerek bir kesit lgesine girerek bir kesit daralmasdaralmasıı ggöözlenir. zlenir.

�� YumuYumuşşak yapak yapıı ççelieliğğinde akma inde akma dayandayanıımmıı 220 220 MPaMPa, , ççekme ekme dayandayanıımmıı 370 370 MPaMPa civarcivarıındadndadıır.r.


YAPI YAPI ÇÇELELİĞİİĞİ StSt--I S220 I S220

σ

ε

çekme

basınç

�� ArdArdıından komndan komşşu atomlarla yeni u atomlarla yeni babağğlar kurarak malzeme ylar kurarak malzeme yüük k tataşışımaya devam eder ve maya devam eder ve bbüüttüünlnlüüğğüünnüü korur. korur. Bu bBu böölgeye peklelgeye pekleşşme bme böölgesi lgesi denir. Ydenir. Yüükküün artn artıımmıı ssüürdrdüürrüüllüünce nce malzeme boyun vererek kopar. malzeme boyun vererek kopar.


BRONZ BRONZ

σ

ε

çekme

basınç

�� ÇÇelieliğğe benzer davrane benzer davranışış ggöösterir, sterir, oldukoldukçça belirgin bir akma a belirgin bir akma bböölgesinden sonra kopar.lgesinden sonra kopar.


FONT FONT –– DDÖÖKME DEMKME DEMİİRR

σ

ε

çekme

basınç

�� Gevrek bir malzeme olduGevrek bir malzeme olduğğundan, undan, bbüüyyüük k şşekil deekil değğiişştirmeler tirmeler ggööstermeden kopar veya ezilir. stermeden kopar veya ezilir.

�� BasBasıınnçç dayandayanıımmıı ççekme ekme dayandayanıımmıınnıın dn döört katrt katıı olup, fontun olup, fontun σσ--εε davrandavranışıışı HookeHooke yasasyasasıına iyi na iyi uymaz.uymaz.


BETONBETON

σ

ε

çekme

basınç

�� İİnnşşaat Maat Müühendislihendisliğğinin inin ççok ok öönemli nemli olan bu malzemesi de gevrek olan bu malzemesi de gevrek davrandavranışış ggöösterir. sterir.

�� ÇÇekme dayanekme dayanıımmıı, bas, basıınnççdayandayanıımmıınnıın onda biri n onda biri civarcivarıındadndadıır. Bu nedenle yapr. Bu nedenle yapıılarda larda yalnyalnıız basz basıınca nca ççalalışışttıırrııllıır.r.


DODOĞĞAL TAAL TA�� -- MERMERMERMER

σ

ε

çekme

basınç

�� Bunlar da betona benzer davranBunlar da betona benzer davranışışggöösterirler. sterirler.

�� ÇÇekme dayanekme dayanıımlarmlarıı basbasıınnççdayandayanıımlarmlarıınnıın 1/20 ile 1/40n 1/20 ile 1/40’’ıımertebesindedir.mertebesindedir.


AHAH��APAP

σ

ε

çekme

basınç

�� AnizotropikAnizotropik bir malzemedir. bir malzemedir. Lifler doLifler doğğrultusu ile liflere dik rultusu ile liflere dik dodoğğrultudaki mekanik rultudaki mekanik öözellikleri zellikleri farklfarklııddıır. r.

�� BasBasıınnçç halinde lifler halinde lifler dodoğğrultusundaki dayanrultusundaki dayanıım, liflere m, liflere dik dodik doğğrultudakinin yedi katrultudakinin yedi katıı, , ççekme halinde 20ekme halinde 20--30 kat30 katııddıır. r.

�� ÇÇekme dayanekme dayanıımmıı, bas, basıınnççdayandayanıımmıından bndan büüyyüüktktüür.r.


DERDERİİ

σ

ε

çekme�� Daha Daha ççok ok ççekme elemanekme elemanıı olarak olarak

kullankullanııllıır.r.

�� KarKarışıışık ik içç yapyapııssıı olan bu cismin olan bu cismin σσ--εε diyagramdiyagramıı artan eartan eğğimi imi nedeniyle ilginnedeniyle ilginççtir.tir.


�� BunlarBunlarıın dn dışıışında, nda, kurkurşşun, asfalt, zift, kilun, asfalt, zift, kil gibi gibi malzemelerin hemen himalzemelerin hemen hiçç bir elastik bir elastik öözellikleri yoktur.zellikleri yoktur.

�� YYüük altk altıında almnda almışış olduklarolduklarıı şşekilleri, yekilleri, yüük kalktk kalktııktan ktan sonra da muhafaza eden plastiklerdir.sonra da muhafaza eden plastiklerdir.

KESME DENEYKESME DENEYĐĐ ve ve KESME DAYANIMIKESME DAYANIMI

KESME DAYANIMIKESME DAYANIMI

�� Bir eksene gBir eksene gööre birbirine zre birbirine zııt ve t ve aralararalarıında nda ççok kok küçüüçük uzaklk uzaklıık k bulunan iki kuvvetin malzemeye bulunan iki kuvvetin malzemeye etkimesi sonucu malzemede etkimesi sonucu malzemede kesme gerilmeleri ve kesme gerilmeleri ve şşekil ekil dedeğğiişşimleri gimleri göörrüüllüür. r.


T

A D

CB

T

E E’

CB

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ A

T γ =


�� Bu deneyde yalnBu deneyde yalnıızca azca aççıılarda larda dedeğğiişşiklikler olur. Ayriklikler olur. Ayrııca saptanmasca saptanmasıı en en zor ve en az bilinen dayanzor ve en az bilinen dayanıımdmdıır. r.


A

T γ =

A D

CB B’ C’T

�� Basit kayma halini deneylerle Basit kayma halini deneylerle gergerççekleekleşştirebilmek tirebilmek ççok zordur. ok zordur. ÇüÇünknküüeeğğilme, delme ve silme, delme ve süürtrtüünme etkisini yok nme etkisini yok edebilmek olanaksedebilmek olanaksıız gibidir. z gibidir.

�� ÇÇeeşşitli deney yitli deney yööntemlerinin farklntemlerinin farklıısaksakııncalarncalarıı vardvardıır r

KESME DAYANIMIKESME DAYANIMIKESME DAYANIMIKESME DAYANIMI

�� ÇÇeeşşitli deney yitli deney yööntemlerinin farklntemlerinin farklıı saksakııncalarncalarıı vardvardıır r

T

T/2 T/2

A B

A′ B′

Örnek

A

A

C

T

KESME DAYANIMIKESME DAYANIMIKESME DAYANIMIKESME DAYANIMI

�� Bir cisimde Bir cisimde ççekme ve basekme ve basıınnçç halinde gerilmeler ile birim halinde gerilmeler ile birim şşekil deekil değğiişştirmeler arastirmeler arasıında bir orantnda bir orantıı var ise, bvar ise, bööyle bir cisim yle bir cisim basit kayma halinde de aynbasit kayma halinde de aynıı öözellizelliğğe sahip olabilir.e sahip olabilir.

ττττττττ

γγγγγγγγ

ττττττττii

αα

γγγγγγγγii

Gγ

τ ==( )αtan

�� Buradaki orantBuradaki orantııllııllıık sabiti olan G k sabiti olan G katsaykatsayııssıına kayma modna kayma modüüllüüdenilmektedir. denilmektedir.

KESME DAYANIMIKESME DAYANIMI�� G ve E arasG ve E arasıında da nda da şşööyle bir bayle bir bağığıntntıı vardvardıır:r:

( )ν12

EG

+=

�� Burada, Burada, PoissonPoisson oranoranııddıır (Basr (Basıınnçç ve ve ççekme durumlarekme durumlarıı iiççin in oranoranıınnıın en eşşit olduit olduğğu varsayu varsayıılmlmışışttıır).r).

�� BazBazıı malzemelerde Elastisite modmalzemelerde Elastisite modüülleri lleri ççekme ve basekme ve basıınnççhalleri ihalleri iççin ein eşşit deit değğildir. ildir.

( )

++

=

bç E

1

E

1ν1

1G

KESME DAYANIMIKESME DAYANIMI�� Kayma modKayma modüüllüü dedeğğerleri, genellikle elastisite moderleri, genellikle elastisite modüüllüü

dedeğğerlerinin % 40'erlerinin % 40'ıı civarcivarıındadndadıır.r.

�� Kesme deneylerini saf kesme gerilmesi yaratabilmenin Kesme deneylerini saf kesme gerilmesi yaratabilmenin zorluzorluğğu nedeniyle, kesme gerilmesi durumu burulma u nedeniyle, kesme gerilmesi durumu burulma deneyleri ile dolayldeneyleri ile dolaylıı olarak gerolarak gerççekleekleşştirilir.tirilir.

P

P

A

B

B′′′′rx

θθθθ

γγγγ

L

L

x

AB

BB .' θγ ==

EEĞĐĞĐLME DENEYLME DENEYĐĐ ve ve EEĞĐĞĐLME DAYANIMILME DAYANIMI


�� LaboratuvardaLaboratuvarda yapyapıılan elan eğğilme dayanilme dayanıımmıı belirleme deneyleri belirleme deneyleri standartlara gstandartlara gööre iki grupta toplanabilir: re iki grupta toplanabilir:

�� 4 Nokta e4 Nokta eğğilme deneyi ilme deneyi �� 3 Nokta e3 Nokta eğğilme deneyi ilme deneyi


P/2

P/2

+

-T P′′′′/2

P′′′′/2

0+

-T

P′′′′L/6 P′′′′L/6

+ + +M

PL/4

+ +M

P

L/2 L/2

L

P′′′′/2 P′′′′/2

L/3 L/3

L

L/3

� Eğilmeden evvelki kesitler kuvvet uygulandıktan sonra da düzlemliğini korur (BERNOUILLE-NAVIER hipotezi).

� Kesitler eğilme oluştuktan sonra da kirişeksenine dik kalmaktadırlar.

1 2I II

M N

A B

C D

P Q

h

b

G

1 2

M′

N′

A B

C′

D′P′ Q′

II′

I′θy

x z

σm

in

σma

x

M M

� Eğilme durumunda çubuk liflerinin boylarının değişmesine sebep olan gerilmeler çubuk eksenine dik doğrultudaki normal gerilmelerdir (şekilde üst liflerde basınç alt liflerde çekme). Kirişin eğilme neticesinde meydana gelen şekil değişimlerinin çok küçük olması nedeniyle, eksene paralel liflerin bir daire yayı üzerinde olduğu kabul edilebilir. Kiriş ekseni eğilmeden sonra r yarıçapına sahip bir daire yayı şeklini alır

rEI

M

dx

yd−=

2

2

yI

M

zz

.=σ

maxy

IW =

W

M=maxσ


P/2

P/2

+

-T

PL/4

+ +M

P

L/2 L/2

L

�� Tekil yTekil yüüklemeli deneylerde aklemeli deneylerde aççııklklıık k boyunca tek noktada (aboyunca tek noktada (aççııklklıık ortask ortasıı, , yyüükleme noktaskleme noktasıı) maksimum moment ) maksimum moment oluoluşşur ve o noktada kesme kuvveti de ur ve o noktada kesme kuvveti de dedeğğer deer değğiişştirmektedir. tirmektedir.

�� DolayDolayııssıı ile saf eile saf eğğilme durumundan silme durumundan sööz z edilemez. edilemez.

�� EEğğilme deneylerinde sadece eilme deneylerinde sadece eğğilme etkisi ilme etkisi inceleneceinceleneceğğinden iki noktadan yinden iki noktadan yüüklemeli klemeli ikinci deney yikinci deney yööntemi daha santemi daha sağğllııklklıısonusonuççlar vermektedir.lar vermektedir.


�� İİki noktadan yki noktadan yüüklemeli deneylerde klemeli deneylerde maksimum moment belirli bir aralmaksimum moment belirli bir aralııkta kta dedeğğer almaktader almaktadıır. r.

�� Bu aralBu aralııkta kesme kuvveti skta kesme kuvveti sııffıırdrdıır. Bir r. Bir babaşşka deyika deyişşle, salt ele, salt eğğilme hali silme hali sööz z konusudur. konusudur.

P′′′′/2

P′′′′/2

0+

-T

P′′′′L/6 P′′′′L/6

+ + +M

P′′′′/2 P′′′′/2

L/3 L/3

L

L/3

ÖÖRNEK RNEK ŞŞEKLEKLĐĐ ve BOYUTLARIve BOYUTLARI

�� ÇÇelik gibi metalik malzemelerde malzeme homojen kabul edilebilir.elik gibi metalik malzemelerde malzeme homojen kabul edilebilir.Bu yBu yüüzden kesit alanzden kesit alanıı bbüüyyüüse de dayanse de dayanıımmıı (gerilme) de(gerilme) değğiişşmez. mez.

ΦΦΦΦ8ΦΦΦΦ10ΦΦΦΦ12

ΦΦΦΦ14ΦΦΦΦ16

�� ÖÖrnerneğğin yandaki inin yandaki inşşaat aat ççelikleri elikleri S420 S420 ççelieliğğidir. idir.

�� Buna gBuna gööre akma dayanre akma dayanıımlarmlarıı420 420 MPaMPa’’ddıırr..

�� ΦΦΦΦΦΦΦΦ8 i8 iççin akma anin akma anıındaki ndaki

24200kgf/cm420MPaσ Gerilme ==

kgf 32970.50244200AσPYük =×=×=

�� ΦΦΦΦΦΦΦΦ16 i16 iççin akma anin akma anıındaki ndaki 24200kgf/cm420MPaσ Gerilme ==

kgf 43882.0094200AσPYük =×=×=

�� ΦΦΦΦΦΦΦΦ50 i50 iççin in

kgf 42528PYük =


�� Beton gibi kompozit malzemelerde ise kBeton gibi kompozit malzemelerde ise kıırrıılma dayanlma dayanıımmıın en n en zayzayııf olduf olduğğu nokta veya noktalardan bau nokta veya noktalardan başşlar ve devam eder. lar ve devam eder.

�� Malzemenin zorlanan kesit alanMalzemenin zorlanan kesit alanıı bbüüyyüüddüükkççe en zaye en zayııf nokta f nokta veya bveya böölge bulunma olaslge bulunma olasııllığıığı ve miktarve miktarıı artar. artar.

�� Bu yBu yüüzden malzemenin zorlanan kesit alanzden malzemenin zorlanan kesit alanıı bbüüyyüüddüükkççe e malzemenin dayanmalzemenin dayanıımmıı ddüüşşer.er.Bir baBir başşka deyika deyişşle; malzemenin boyutlarle; malzemenin boyutlarıı bbüüyyüüddüükkççe e dayandayanıımmıı ddüüşşer.er.


•ÖRNEK ŞEKLĐ VE BOYUTLARI

STANDART SĐLĐNDĐR15X30 cm

h/d ORANI=2.0

�� Daha kDaha küçüüçük boyutlu k boyutlu malzemenin basmalzemenin basıınnççdayandayanıımmıı daha bdaha büüyyüük k olacaktolacaktıır.r.

�� AyrAyrııca ca öörnek krnek küüp p olursa dayanolursa dayanıımmııdaha ydaha yüüksek ksek olacaktolacaktıır. r. (narinlik (narinlik etkisinden dolayetkisinden dolayıı))

15 cm AYRITLI

KÜP



15 veya 20 cm AYRITLI KÜP

BOYUT ETKBOYUT ETKĐĐSSĐĐ ::

ÖÖRNEK :RNEK :BABAĞĞIL DAYANIM (%) :IL DAYANIM (%) :

10 cm10 cm

120120

15 cm15 cm

100100

20 cm20 cm

9090



15 veya 20 cm AYRITLI KÜP

ŞŞEKEKĐĐL ETKL ETKĐĐSSĐĐ ::

ŞŞEKEKĐĐL :L :

BABAĞĞIL DAYANIM (%) :IL DAYANIM (%) :

NARNARĐĐNLNLĐĐK (h/a) :K (h/a) :

PLAKPLAK

140140--200200

0.50.5

KKÜÜPP

100100

1.01.0

PRPRĐĐZMAZMA

7575--9595

2.02.0



C30/37

Đkisi de aynıbeton ile üretilmiş

28 günlük Basınç dayanımı

30 Mpa olanStandart silindir

28 günlük Basınç dayanımı

37 Mpa olan15 cm ayrıtlı küp

�� 3 nokta e3 nokta eğğilme deneyi ile alilme deneyi ile alıınan sonunan sonuççlar 4 nokta elar 4 nokta eğğilme ilme

deneyindekine gdeneyindekine gööre daha yre daha yüüksektirksektir


�� 4 Nokta e4 Nokta eğğilme deneyi ilme deneyi �� 3 Nokta e3 Nokta eğğilme deneyi ilme deneyi

�� Hangi deney yHangi deney yöönteminde enteminde eğğilme dayanilme dayanıımmıı daha ddaha düüşşüük k ççııkar?kar?

�� Hangi deney yHangi deney yööntemi daha gntemi daha güüvenilirdir?venilirdir?

ŞŞEKEKĐĐL DEL DEĞĐŞĞĐŞTTĐĐRME RME ve ve ÇÇEKME DAYANIMIEKME DAYANIMI

Doç. Dr. Halit YAZICI

http://kisi.deu.edu.tr/halit.yazici/

YAPI MALZEMESYAPI MALZEMESĐĐ I DERSI DERSĐĐ

Dokuz Eylül Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümü

Documents

YAPI MALZEMES ĐI DERS Đ ŞEK ĐL DE ĞĐŞ TĐRME ve ÇEKME …kisi.deu.edu.tr/halit.yazici/YapiMALI/MALZEME-D4-CEKMEDAYANIMI.pdf · Bu ama çla deney örneklerinin alt ve üst