Yersel ve Mimari Fotogrametri Çalımaları Ve Uygulamaabl.gtu.edu.tr/.../106_2010_2_518_74611106/.../yersel-ve-mimari-fotogrametridersnotlar.pdfYersel ve Mimari Fotogrametri Çalımalar

Gebze Teknik Üniversitesi Doç.Dr. Bahadır ERGÜN Yersel Ve Mimari Fotogrametri Dersi JFM 518

1

Yersel ve Mimari Fotogrametri Çalışmaları Ve Uygulama

Matematiği

Kullanım alanına göre fotogrametri:

1. Yersel ve mimari fotogrametri

Fotogrametrik çalışmalar

Lazer tarama çalışmaları

Endüstriyel çalışmalar

Deformasyon ölçmeleri ve özel uygulamalar

2. Hava Fotogrametrisi

şeklinde sınıflandırılabilir.

A)Yersel ve Mimari Fotogrametrik İşlem Adımları

Bir yersel fotogrametrik çalışmada olması gereken iki temel aşama vardır.

Ön Çalışma

1. Kamera donanımı kalibrasyonu

2. Ölçme donanımı kalibrasyonu

Uygulama Çalışması

1. Jeodezik altlık çalışması

2. Kontrol noktası tesisi ve ölçme çalışması

3. Resim çekimi

4. Değerlendirme (Fotogrametrik) çalışması

5. 3D cad çizimi çalışması

6. 3 boyutlu modelleme çalışması

Ön Çalışma:

Kameralar yapısal teknik özellikleri bakımından ikiye ayrılır:

1. Dijital kameralar

2. Analog kameralar


2

Kurşun bromür bazlı kimyasal solüsyonlu izdüşümle oluşturulan kameralara “analog

kameralar” denir.

CCD ve CMOS sensörlerine resim izdüşümü sağlayan kameralara “dijital kameralar” denir.

Bu kameralar fotogrametrik donanım açısından ikiye ayrılır.

1. Metrik kameralar

2. Metrik olmayan kameralar

Kalibrasyon işlemi üretim sırasında yapılmış ve kalibrasyon parametreleri bir raporla kamera

donanımına eklenmiş olan kameralardır. Bunun dışındaki tüm kameralara “metrik olmayan

kameralar” denir.

1- İç yöneltme parametreleri : x0, y0 : resim orta nokta koordinatları

ck : odak uzaklığı

2- Distorsiyon parametreleri : R, A1, A2, A3, A4

Her bir optik sistem oluşturulurken belirli bir hata ile üretilir. Optik sisteme gelen ışın belirli

bir açıyla kırılır. Bu optik sistem elemanlarının dökülmesi ve soğuması sırasında optik

sistemler %100 bir kırılma yapısı göstermez.

Şekil 1. Radyal distorsiyon Şekil 2. Radyal distorsiyonun resim

düzleminde gösterimi


3

(Radyal Distorsiyon)

Objektifin orta noktasının optik eksen ile buluşmaması sonucunda meydana gelen kayıklığa

“teğetsel distorsiyon hatası” denir. Çok küçük bir değerdir, ihmal edilebilir.

Beş parametreli bir polinom fonksiyonudur.

R (Sabit), A1, A2, A3, A4 (Değişken)

Kalibrasyonun Tanımı ve Amacı:

Kamera kalibrasyonu, kamera sistemini en iyi şekilde ifade eden parametrelerin bulunması

olarak ifade edilir. Bu parametreler bilindiği üzere resim çekme merkezin uzaklığı (odak

uzaklığı c), resim koordinat sistemi eksenlerinin yönleri ve dönüklükleri ile distorsiyon

parametreleridir. Aynı zamanda bir resim çekme makinesinin kalibrasyonu fotogrametrik

nokta belirleme işleminin tersi olarak da ifade edilebilir. Fotogrametrik nokta belirlemesinde

iç yöneltme elemanları bilinir ve cisim noktalarının koordinatları istenir. Kalibrasyonda ise

cisim noktalarının koordinatları bilinir ve iç yöneltme elemanları aranır.

Fotogrametride resim çekimi sırasında resim çekim makinesinin mercekleri fiziksel bir takım

özelliklere sahiptir. Optik izdüşüm merceklerin fiziksel yapısı ile ilgili olarak resim

düzleminin (merkezi izdüşüm düzlemi) değişik yerlerinde değişik etkilere sebep olur.

Merceklerin izdüşümdeki bu fiziksel etkilerine genel olarak distorsiyon adı verilir. Kamera

kalibrasyonu ile distorsiyonun resim koordinat sistemi olan resim düzlemine etkisi

belirlenerek kolinerite (doğrusallık) koşulunda doğru lineer transformasyon parametrelerinin

kullanılması sağlanır. Bu distorsiyon iki çeşit olabilir. Bunlar:

1. Radyal Distorsiyon

2. Teğetsel Distorsiyon

Radyal distorsiyon

Merceklerdeki açısal büyütme ile orantılı olarak merceğe aynı uzaklıktan ancak farklı açılara

sahip hedeflerden gelen ışık ışınlarının izdüşüm düzleminin önünde ya da arkasında

odaklanması sonucu oluşan görüntü ötelemesi şeklindeki distorsiyondur. İzdüşen ışık ışının

izdüşüm merkezinin (resim düzleminin) önünde ya da arkasında odaklanmasına göre

distorsiyon pozitif veya negatif olarak adlandırılır. Radyal mercek distorsiyonu matematiksel

olarak bir polinom fonksiyonu ile şu şekilde ifade edilir.


4

r =K1r3+K 2r

5+K3r

7 (1)

Bu açısal değişimin etkisinin resim koordinat sistemi içerisinde x ve y yönlerindeki

bileşenleri ise;

rx = r(x-x0)/r rx = r(x-x0)/r

(2)

Genelde distorsiyon fonksiyonu radyal elemanların özellikle de radyal fonksiyonun ilk

teriminin etkisi altındadır. Bir resmin gerçek koordinatları (u,v), distorsiyona uğramış

koordinatları (u’,v’) ve gerçek normalleştirilmiş resim koordinatları (x,y) olmak üzere bu

koordinatlar arasında şu bağıntılar yazılabilir.

u’ = u + k(u-u0)(x2+y

2) v’ = v + k(v-v0)(x

2+y

2) (3)

Distorsiyon merkezi ana noktayla aynıdır. Yukarıdaki değerler kalibrasyonla bulunarak

distorsiyon düzeltilebilir. Gerçekte düz çizgiler distorsiyon sonucunda resim üzerine

parabolik olarak izdüşer. (Şekil 3)

Şekil 3: (b), (a)’da gösterilen düz çizgilerin distorsiyon etkisiyle aldıkları durum


5

Şekil 4 : Çeşitli kamera lenslerine açısal distorsiyon etkisi

Geniş formatlı uzak mesafe kameraları (odak uzaklığı 150 mm olan kameralar için) mercek

gücüne bağlı distorsiyon değeri 10-20 mikron arasında değişir. (Şekil 4)

Teğetsel distorsiyon

Radyal distorsiyonun azaltılması, uygun büyütme ve filtreleme amacıyla resim çekme

makineleri, genelde değişik mercek yapılarının bir arada kullanılması ile oluşturulur ve

özellikle bu yapı seçilir. Bu çeşit resim çekme makinelerinde kullanılan çoklu mercek yapısını

oluşturan merceklerin optik eksenlerinin tam olarak aynı doğru üzerinde oluşmaması sebebi

ile mercek merkezleri aynı doğru üzerinde bulunmazlar.

Bu sebepten oluşan görüntü kayması yine resim düzleminin koordinat eksenlerine göre

bileşkeleri ile ifade edilecek olursa ;

x = P1(r2+2(x-xo)

2)+2P2(x-xo)(y-yo) (4)

y = P2(r2+2(y-yo)

2)+2P1(x-xo)(y-yo) (5)

elde edilir.


6

Resim Çekme Makinelerinin Kalibrasyon Yöntemleri:

Tamamen laboratuar şartlarında yapılan özel donanım kullanılarak, kullanılan kalibrasyon

alanı ile izdüşüm merkezi arasındaki uzaklığın kesin olarak bilindiği kalibrasyon çalışmasıdır.

(Not: Radyometrik kalibrasyonda her seferinde görüntünün aynı RGB değerlerinin elde

edilmesi sağlanır.)

Çalışma sırasındaki kalibrasyon, yersel uygulama sırasında yada bu çalışmadan hemen önce

üç boyutlu koordinat doğruluğu bilinen bir test alanında yapılan fotogrametrik kalibrasyon

çalışmasıdır. Geometrik Kalibrasyon:

Çekim sırasındaki kalibrasyon, Çalışma bölgesinde yapılır. Fotogrametrik resim çekimi ve

yöneltme için gerekli olan kontrol noktalarının, resim çekim merkezi koordinatlarının (dış

yöneltme parametreleri) değerlendirme aşamasında hesaplanabilmesi için gereğinden fazla

kontrol noktası kullanılarak, resim çekimi anında hedeflerin oluşturduğu çerçevenin

konumunun jeodezik yöntemlerle hassas bir şekilde tepit edilmesidir.

Bu yöntemde, reim çekim noktası ile resmi çekilen cisim arasındaki yatay mesafe ve kontrol

noktalarının birbirleriyle arasındaki derinlik oranı (space frame) yani hedeflerin oluşturduğu

şeklin hacimsel yapısı hassas bir şekilde belirlenmelidir ki bu ancak kullanılan kontrol

noktalarının üç boyutlu koorinatlarının doğruluğuna bağlı olacaktır.

Çekim sırasında kalibrasyon yönteminin matematik modeli ise yöneltmede kullanılan demet

dengelemesi işleminde resim çekim merkezi (iz düşüm merkezi) üç boyutlu koordinatlarının

yardımıyla iç yöneltme parametrelerinin dengelemeye bilinmeyen olarak katılması sonucu

artacak olan bilinmeyen sayısının doğruluğu, yüksek bir şekilde bilinen kontrol noktalarındaki

fazla resim koordinatları ölçümü sonucu örtebilmek ve resim çekim merkezi koordinatlarının

yüksek bir doğrulukla hesaplanması algoritmasıdır.

Resim çekimi işleminin kalibrasyon ile aynı zamanda yapılması ve proje ile zamana göre

sürekli olarak kalibrasyonun yenilenerek daha sağlıklı sonuçlar elde edilmesi bu yöntemin en

önemli avantajıdır. Dezavantaj olarak da resim çekimi ve arazi çalışmaları için gerekli olan

zaman ve kullanılacak olan jeodezik donanım- yazılımın fazla ve yeterli doğruluğu

verebilmesi gerekliliği gösterilebilir.

Bir test yüzeyi kullanılmadan uygulamadaki noktalar üzerinden yapılan kalibrasyondur.


7

Ödev: Kamera kalibrasyonunda kullanılan matematiksel yöntemler nelerdir?

(Ek parametrelerle demet dengelemesi ve direkt lineer transformasyonu açıklayınız.)

Çekim sırasında kalibrasyon yöntemi

Adından da anlaşılacağı gibi fotogrametrik resim çekimi ve yöneltme için gerekli olan kontrol

noktalarının, değerlendirme aşamasında resim çekim merkezi (izdüşüm merkezi)

koordinatlarının (dış yöneltme parametreleri) hesaplanabilmesi için gerektiğinden fazla

kontrol noktası kullanılması ve resim çekimi sırasında hedeflerin oluşturduğu çerçevenin

konumunun hassas bir şekilde klasik jeodezik ölçmeler ile tespit edilmesidir. Bu tip bir

kalibrasyon çalışmasında önemli olan hedeflerin oluşturduğu şeklin hacimsel yapısı, yani

resim çekim noktası ile resim çekilen obje arasındaki yatay uzunluk ve kontrol noktalarının

birbirleri ile aralarındaki derinlik oranının hassas bir şekilde belirlenmesi gerekmektedir ki bu

ancak kullanılan kontrol noktalarının üç boyutlu koordinatlarının doğruluğuna bağlı

olacaktır.[56]

Yöntemin matematik modeli ise yöneltme için kullanılan demet dengelemesi işleminde

resim çekim merkezi üç boyutlu koordinatlarının yardımı ile iç yöneltme parametrelerinin

dengelemeye bilinmeyen olarak katılması sonucu artacak olan bilinmeyen sayısının doğruluğu

yüksek bir şekilde bilinen kontrol noktalarındaki fazla resim koordinatı ölçmesi sonucu

örtebilmek ve resim çekim merkezi koordinatlarım yüksek bir doğrulukla hesaplama

algoritmasıdır.

Çekim sırasında kalibrasyonun en önemli avantajı çekim işleminin kalibrasyonun

yenilenerek daha sağlıklı sonuçlar elde edilmesidir. İkinci olarak ise çeşitli kameraların ve

hatta normal profesyonel kameraların bile bu şekilde fotogrametrik amaçlar ile

kullanılabilmesi bir avantaj olacak gösterilebilir.

Bu yöntemin en önemli dezavantajı ise fotoğraf çekimi ve arazi çalışması için gerekli olan

zaman ve kullanılacak jeodezik malzemenin fazla ve yeterli doğruluğu verebilmesi

gerekliliğidir.

Kendine özgü kalibrasyon yöntemi

Kendine özgü kalibrasyon yöntemi aslında çekim sırasında kalibrasyonun doğal bir

uzantısıdır. Kullanılan matematik model tamamen aynı olmasına karşın uygulanan yöntem

farklıdır. Bu yöntemde fotoğraf çekiminden önce resim çekme makinesi laboratuar

ortamında üç boyutlu, koordinatları yüksek doğrulukla bilinen bir test alanında ve yine


8

koordinatları test alanı ile aynı sistemde ve aynı doğrulukta bilinen noktalardan yapılan resim

çekimleri ile kalibre edilir. Yapılan kalibrasyon sonucunda hesaplanan iç yöneltme değerleri

mercek sisteminin distorsiyon değerlerini de içermektedir. Burada önemli olan daha

önceden mercek sistemleri oluşturulurken distorsiyon değerlerinin belirlenmesidir. Elde olan

bu değerler de demet dengelemesine yaklaşık değer olarak alınır. Ayrıca bu yöntemde cisim

uzayına ait etkili bir kontrol tekniğinin kullanılmasına gerek duyulmaması ve resim çekim

noktalarında tam olarak hedeflerden gelen ışınların kesişmesinin sağlanmasındaki

doğruluğun belirlenebilmesidir. Bu ise tamamen laboratuar ortamında sağlanabilen, resim

çekim merkezleri ve test alanının birbirleri arasındaki geometrik yapının doğru olarak

kurulabilmesi ile mümkündür.

Bu yöntemin avantajları ise, gerçekten doğruluğu yüksek bir kalibrasyon sonucu

sağlanmasıdır. Buna karşılık zaman ve laboratuar ortamı gerektirmesinden kaynaklanan

dezavantajlara sahiptir.

Geometrik özellikleri kullanarak kalibrasyon yöntemi

Bu yöntemi kendine özgü kalibrasyondan farklı yapan özellik, laboratuvar ortamında

hazırlanan ve bir doğru oluşturan kontrol noktalarının oluşturduğu düzleme tam olarak dik bir

düzlem üzerinde bulunan bir resim çekme merkezi kullanılması, bu şekilde mercek

sistemindeki radyal ve teğetsel distorsiyonların yüksek doğrulukla

belirlenebilmesidir. Bununla birlikte kamera sabiti ve ana noktanın koordinatları bu yöntem

ile belirlenemez ki bu yöntemin diğer kalibrasyon yöntemlerine olan gereksiniminin açık bir

kanıtıdır. Kalibrasyon yöntemleri içinde ise video kameraların kalibrasyonunda

kullanılabilmesi ve hızı en büyük avantajıdır.

Tüm bu anlatılan kalibrasyon yöntemleri aslında bütün fotogrametristlerin bildiği gibi,

resim çekim merkezinin üç boyutlu koordinatları (Xo,Yo,Zo) ile iç yöneltme elemanları

(xo,yo,zo) arasında güçlü bir geometrik korelasyon vardır. Bu sebeple uygulanan kalibrasyon

yöntemi ile öncelikle radyal ve teğetsel distorsiyon belirlendikten sonra kestirme yardımıyla

resmin izdüşüm merkezi koordinatları belirlenmeli ve demet dengelemesinin son adımında

da bu parametrelere ve iç yöneltmenin yaklaşık değerlerine bağlı olarak ana nokta

koordinatları ve kamera sabiti (odak uzaklığı) karesel ortalama hataları ile beraber

hesaplanmalıdır.


9

Lineer transformasyon ile kalibrasyon yöntemleri

Direkt Lineer Transformasyon Yöntemi;

Şekil 5: Resim koordinat sistemi ile cisim koordinat sistemi arasındaki geometrik ilişki

Şekil 5’de gösterilen resim koordinat sistemi ile cisim koordinat sistemi arasındaki ilişki

matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir.

)()()(

)()()(

033032031

0130120110

zzryyrxxr

zzryyrxxrduu

u

)()()(

)()()(

033032031

0230220210

zzryyrxxr

zzryyrxxrdvv

v

(6)

Burada,

uo,vo noktanın resim noktaları,

u,v ana noktanın resim koordinatları,

rij dönme matrisi elemanları,

x,y noktanın cisim koordinatları,

u, v birim dönüşümü katsayıları,

d ise ölçek faktörü dür.

(4.6) ’nın yeniden düzenlenmesiyle,

111109

4321

zLyLxL

LzLyLxLu


10

111109

8765

zLyLxL

LzLyLxLv (7)

Burada,

D

rdruL u 11310

1 D

rdruL u 12320

2 D

rdruL u 13330

3

D

zrurdyrurdxrurdL uuou 03301303201203111

4

)()()(

D

rdrvL v 21310

5 D

rdrvL v 22320

6 D

rdrvL v 23330

7

D

zrvrdyrvrdxrvrdL vvov 03302303202203121

8

)()()(

D

rL 31

9 D

rL 32

10 D

rL 33

11

)( 330320310 rzryrxD

uu

dd

vv

dd (8)

(7) ve (8) eşitliklerindeki L1,L2,L3,....,L11 katsayıları direk lineer transformasyon (DLT)

parametreleri olarak adlandırılır. Bunlar cisim uzayı referans düzlemi ile resim düzlemi

arasındaki ilişkiyi yansıtırlar.

a) Üç boyutlu DLT metodu;

Yukarıdaki (7) eşitliği 3 boyutlu DLT eşitliğidir. Fakat bu eşitlik kamera lenslerinin optik

distorsiyonlarından dolayı hatalar içermektedir. Bu hatalar dikkate alınırsa eşitlik aşağıdaki

gibi düzenlenir.

111109

4321

zLyLxL

LzLyLxLuu

111109

8765

zLyLxL

LzLyLxLvv (9)

Burada u ve v optik distorsiyon nedeniyle oluşan hatalardır.

Bu eşitliğin 3 boyutlu direkt lineer transformasyon (DLT) metodunda kullanılmasının 2 yolu

vardır. Bunlar;


11

Kamera kalibrasyonu

Ham koordinat hesaplaması

(9) eşitliği DLT parametreleri dikkate alınarak tekrar düzenlenecek olursa;

vzvyvxzyx

uzuyuxzyx

10000

00001

v

u

L

L

L

L

RrRRrRrRr

RrRRrRrRr

16

15

2

1

22642

22642

:.)2(

)2( (10)

Burada;

)2()( 22

1615

6

14

4

13

2

12 rLLrLrLrLu

)2()( 22

1615

6

14

4

13

2

12 rLLrLrLrLv

0uu

0vv

222r

111109 zLyLxLR (11)

(10) ve (11)’de gösterilen ek parametreler arasındaki L12,L13,L14 optik distorsiyonla ilgili,

L15,L16 ise merkezi distorsiyonla ilgili parametrelerdir (Walton 1981). Bu parametrelerin

kamera kalibrasyonuna dahil edilmesi isteğe bağlıdır.

Kalibrasyonda 16 parametreden daha az parametre kullanılması durumunda, (10)’daki

paremetreler matrisinden satırlar ve katsayılar matrisinden de kullanılmayan kolanlar çıkarılır.

(10) eşitliği DLT parametreleri (L1-L11) ve ek parametreler (L12-L16) ‘in bilinmeyen olarak

kabul edilmesine dayanır. Fakat (x,y,z) cisim koordinatları bilinmektedir. Bu durumda (x,y,z)

koordinatları önceden bilinen kontrol noktalarına ihtiyaç duyulmaktadır. Genelde kontrol

noktalarını biz işaretler ve çerçeve koyarız. Bu çerçeveye kalibrasyon çerçevesi veya kontrol

objeleri denilmektedir. Bu kontrol noktalarının aynı düzlemde bulunmamalarına dikkat


12

edilmelidir. Diğer bir deyişle kontrol noktaları arasında bir hacim oluşmalıdır. Oluşan bu

hacme kontrol hacmi adı verilir.

(10) eşitliğini n tane kontrol noktası için genişletip tekrar düzenleyecek olursak,

00

00

111111111

111111111

10000

00001

::

10000

00001

zvyvyvzyx

xuxuxuzyx

zvyvxvzyx

zuyuxuzyx

nnnnnnn

nnnnnnn

n

n

nnnnnnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnnnnnnn

v

u

v

u

L

L

L

L

RrRRrRrRr

RrRRrRrRr

RrRRrRrRr

RrRRrRrRr

::.

)2(

)2(

::

)2(

)2(

1

1

16

15

2

1

22642

22642

1

2

1

2

11111

6

111

4

111

2

11

1

2

1

2

11111

6

111

4

111

2

11

(12)

En küçük kareler yöntemi kullanılarak DLT parametrelerini ve ek parametreleri elde etmek

için, (12)’de denklem sayısının bilinmeyen sayısından büyük olması gerekmektedir. Her bir

kontrol noktası iki denklem sağlar ve (12)’i çözmek için gerekli olan minimum kontrol

noktası sayısı parametre sayısına bağlı olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Tablo 1: Parametre sayısına bağlı olarak gerekli olan minimum kontrol noktası sayısı

PARAMETRE

SAYISI

MİNİMUM KONTROL NOKTASI

SAYISI

11 6

12 6

14 7

16 8

(12)’deki katsayılar matrisinde 12. ve 16. kolonlar arsındaki tüm kolonlar L9,L10,L11‘in

fonksiyonu olan Ri ’yi içerir. Sonuç olarak bu sistemi direkt olarak çözmek mümkün değildir

ve iteratif yaklaşım kullanılmalıdır. Bu katsayılar matrisindeki Ri’yi hesaplamak için bir

önceki iterasyondan L9-L12 kullanılır ve (4.12) tekrar elde edilir. İterasyon bu şekilde devam

eder.


13

(12) basit olarak ,

X L = Y (13)

şeklinde ifade edilir. (4.13) dahada genişletilecek olursa,

)()(

)()()()(

)(

1

11

YXXXL

YXXXLXXXX

YXLXX

tt

tttt

tt

(14)

Burada ()t transpose ()

-1 ise ters matrisdir.

DLT parametrelerinin ve ek parametrelerin en küçük kareler tahmini (14) ‘te tanımlanan

matrisden elde edilir. Bu konu daha geniş olarak en küçük kareler metodunda açıklanacaktır.

(x,y,z) için (9)’un tekrar düzenlenmesiyle,

8

4

11710695

11310291

L

L

z

y

x

LLLLLL

LLLLLL (15)

Burada,

)2()(

)2()(

22

1615

6

14

4

13

2

12

22

1615

6

14

4

13

2

12

rLLrLrLrLv

rLLrLrLrLu

vv

uu

222

0

0

r

vv

uu

(16)

(4.15) ’in m (m>2) kamera sayısı için genişletilmesiyle,

)()(

8

)()(

4

)1()1(

8

)1()1(

4

)(

11

)()(

7

)(

10

)()(

6

)(

9

)()(

5

)(

11

)()(

3

)(

10

)()(

2

)(

9

)()(

1

)1(

11

)1()1(

7

)1(

10

)1()1(

6

)1(

9

)1()1(

5

)1(

11

)1()1(

3

)1(

10

)1()1(

2

)1(

9

)1()1(

1

:.:::

mm

mm

mmmmmmmmm

mmmmmmmmm

L

L

L

L

z

y

x

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

(17)


14

elde edilir.

(12) ve (13)‘te açıklanan en küçük kareler yöntemi uygulanarak cisim yüzeyindeki

işaretleyicilerin üç boyutlu koordinatları hesaplanabilir.

(8) eşitliğinden;

4030201 LzLyLxL

8070605 LzLyLxL

101101009 zLyLxL

1

8

4

0

0

0

11109

765

321

L

L

z

y

x

LLL

LLL

LLL

1

8

4

1

11109

765

321

0

0

0

L

L

LLL

LLL

LLL

z

y

x

(18)

eşitliği elde edilebilir. Yine benzer olarak (8)’den

2

2

33

2

32

2

312

2

11

2

10

2

9

11

Drrr

DLLL

0331332123111

2

33

2

32

2

31011310291 ))(())(())(( urrrrrrdrrruDLDLDLDLDLDL u

011710695 ))(())(())(( vDLDLDLDLDLDL

2

11

2

10

2

9

1131029111310291

2

0LLL

LLLLLLLLLLLLDu

2

11

2

10

2

9

1171069511710695

2

0LLL

LLLLLLLLLLLLDv (19)

Bu eşitlik R transformasyon matrisinin ortogonallik koşuluna dayanılarak türetilmiştir.

3

1j

ikkjijrr

3

1i

jkikijrr (20)


15

Burada j,k =1...3’ tür. (14) eşitliği ile en küçük kareler yöntemi deneysel hatalar nedeniyle

ortogonallik koşulunu otomatik olarak garantilemez. Bu durum DLT metodunun iç yöneltme

problemlerinden bir tanesidir. Değiştirilmiş DLT metodu bu problemin çözümünde

kullanılabilir.

Kosinüsler için (8)’i genişletecek olursak;

931 DLr 1032 DLr

1133 DLr

ud

LLuDr 19011

ud

LLuDr 210012

ud

LLuDr 311013

vd

LLvDr 590

21 vd

LLvDr 6100

22 vd

LLvDr 7110

23 (21)

elde edilir.

Tüm doğrultu kosinüslerini elde etmek için (21)’deki du ve dv’nin bilinmesi gerekmektedir.

(20) ve (21)’den;

1)()()(

2

2

3110

2

2100

2

190

22

13

2

12

2

11

ud

LLuLLuLLuDrrr

1)()()(

2

2

7110

2

6100

2

590

22

23

2

22

2

21

vd

LLvLLvLLvDrrr

2

3110

2

2100

2

190

22)()()( LLuLLuLLuDdu

2

7110

2

6100

2

590

22)()()( LLvLLvLLvDdv (22)

elde edilir.

Üç dönüklük açısını 9 doğrultu kosinüslerinden hesaplayabiliriz.

b) İki boyutlu DLT metodu;

İki boyutlu analiz yapılması durumunda cisim uzayı düzlemi referans düzleminden resim

referans düzlemine aktarma işlemi;

187

321

yLxL

LyLxLu


16

187

654

yLxL

LyLxLv (23)

eşitliğine indirgenir. Çünkü bu durumda daima z=0’dır. (23) eşitliği n kontrol noktası ve m

kamera sayısına göre genişletilecek olunursa;

n

n

nnnnnn

nnnnnn

v

u

v

u

L

L

L

L

yvxvyx

yuxuyx

yvxvyx

yuxuyx

::.

1000

0001

::

1000

0001

1

1

8

7

2

1

111111

111111

(24)

ve

)()(

6

)()(

3

)1()1(

6

)1()1(

3

)(

8

)()(

5

)(

7

)()(

4

)(

8

)()(

2

)(

7

)()(

1

)1(

8

)1()1(

5

)1(

8

)1()1(

2

)1(

7

)1()1(

1

:.:

mm

mm

mmmmmm

mmmmmm

vL

uL

vL

uL

y

x

LvLLvL

LuLLuL

LvL

LuLLuL

(25)

eşitlikleri elde edilir.

İki boyutlu kamera kalibrasyon işleminin çözümü için en az 4 kontrol noktası ve 1 kamera

gerekmektedir.

c) Kalibrasyon hatası

(12)’ye dayanan normal sayıdaki DLT ve ek parametreleri belirlemek için iteratif yaklaşım

kullanılır. Kamera kalibrasyonu üç boyutlu kamera kalibrasyonundaki 11,12,14 ve 16.

parametrelerle gerçekleştirilebilir (iterasyon limiti 20’dir.) 5. iterasyondan sonraki her bir

iterasyon, hesaplanan parametreler (17) kullanılarak kontrol noktalarının cisim uzayı

düzlemindeki koordinatlarının tekrar elde etmek için resim koordinatlarına uygulanır. Kontrol

noktalarının cisim koordinatlarının artık hataları ölçülen ve tekrar elde edilen

koordinatlarından hesaplanır. Maksimum sayıdaki parametre kontrol noktası sayısına

dayanarak hesaplanır ve 11,12...16 parametreleri için belli aralıklarda kalibrasyon

gerçekleştirilir.

Yapılan deneylerle DLT metodu için şu önemli sonuçlar elde edilmiştir.


17

1. Kontrol nesnesi hareket alanını kaplamak için yeterince geniş olmalıdır. Eğer oldukça

küçükse koordinat tahmini için tehlikeli durum vardır ve sonuçta doğru olmayan

koordinatlar hesaplanır.

2. Kamera kalibrasyonu esnasında bir kez kayıt yapıldığında kamera ayarları

değiştirilmemelidir.

3. Mümkün olduğunca çok sayıda kontrol noktası kullanılmalı ve bu kontrol noktaları

kontrol alanı içinde mümkün olduğunca düzenli olarak dağıtılmalıdır. Bu şekilde sistemin

serbestliği artırılacak ve sonuçta kalibrasyon duyarlığı artacaktır.

4. Karmaşık hareketlerin analizinde sistemin duyarlığını artırmak için mümkün olduğunca

fazla kamera kullanılmalıdır. Ancak kameraların karşılıklı olarak birbirlerine bakacak

şekilde yerleştirilmesinden kaçınılmalı veya en azından bu durumla karşılaşıldığında bu

kamera kombinasyonu koordinat hesaplamasında kullanılmamalıdır.

5. Kontrol cisimleri eksenlerin hareketi ile olan ilişkisinin iyi olması için özellikle hizalı

şekilde kurulmalıdır. Eğer yatay ekseni üç boyut analizinde hizalamak zor ise en azından z

ekseni dik konumda tutulmalıdır.

Ağırlıkların dikkate alınmasıyla en küçük kareler yöntemi

DLT metodunda yer alan gerçek en küçük kareler metodu algoritması eşitlik (14)’te

gösterilenden daha karmaşıktır. Klasik en küçük kareler yöntemi daha kararlı kök kümeleri

elde etmek için ağırlıkları içermektedir. DLT metodundaki (13) ve (14) no’lu eşitlikler;

XL=Y

WXL=WL

)()(

)()()()(

)(

1

11

WYXWXXL

WYXWXXLWXXWXX

WYXLWXX

tt

tttt

tt

(26)

olarak genişletilebilir. Buradaki W ortogonal ağırlık matrisi olup,


18

n

n

W

W

W

W

W

0.00

0.00

.....

0000

0000

1

2

1

(27)

n ise sistemde yer alan eşitlik sayısıdır.

Kamera kalibrasyonunda (26)’da gösterilen X,Y ve L matrisleri;

00

00

111111111

111111111

10000

00001

::

10000

00001

zvyvyvzyx

xuxuxuzyx

zvyvxvzyx

zuyuxuzyx

X

nnnnnnn

nnnnnnn

nnnnnnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnnnnnnn

RrRRrRrRr

RrRRrRrRr

RrRRrRrRr

RrRRrRrRr

)2(

)2(

::

)2(

)2(

22642

22642

1

2

1

2

11111

6

111

4

111

2

11

1

2

1

2

11111

6

111

4

111

2

11

16

15

2

1

:

L

L

L

L

L

n

n

v

u

v

u

Y :

1

1

( 28)

‘dir.

0uu

0vv

222r

111109 zLyLxLR (29)


19

DLT metodundaki (10) eşitliğinin (x,y,z) için tekrar düzenlenmesiyle, u ve v koordinatlarının

içerdiği rasgele hatalar;

uRzuLLyuLLxuLLuU 11310291

vRzvLLyvLLxvLLvv 11710695 (30)

şeklindedir. Burada, uu, vv en küçük kareler tahminin içerdiği rasgele hatalardır ve

)2()( 22

1615

6

14

4

13

2

12 rLLrLrLrLu

)2()( 22

1615

6

14

4

13

2

12 rLLrLrLrLv (31)

bağımsız oldukları varsayılırsa,

)()()()()( 22

113

22

102

22

91

22 zuLLyuLLxuLLuu

)()()()()( 22

117

22

106

22

95

22 zvLLyvLLxvLLvv (4.32)

elde edilir. Burada, 2( uu) ve

2 ( vv) u,v koordinat hesabının varyanslarıdır.

2(u) ve

2(v)

resim koordinatlarının varyanslarıdır. Kontrol noktalarının sayısallaştırılmasıyla 2(u) ve

2(v) belirlenebilir.

2(x),

2(y) ve

2(z) ise cisim koordinatlarının varyansları olup

kalibrasyonu yapan kişi tarafından verilir.

Varyansın iki tarafta da ağırlıklı olarak kullanılması yaygın bir uygulamadır.

)(

10.00

0)(

1.00

.....

000)(

10

0000)(

1

2

2

1

2

1

2

n

n

v

u

v

u

W (33)

(26), (28) ve (33) kullanılarak iteratif yaklaşımla kalibrasyon gerçekleştirilir. Yaygın olarak

kullanılan bu yaklaşım şu şekilde gerçekleştirilir.


20

1. İlk iterasyonda (31)’deki R hesaplanamaz. Çünkü L9, L10 ve L11 mevcut değildir. Ana

nokta koordinatları (uo,vo) da mevcut değildirler. Sonuçta 11 tane DLT parametresiyle

standart DLT metodu kullanılabilir. Özdeşlik matrisi ağırlık matrisi olarak kullanılır.

2. İkinci iterasyonda bir önceki iterasyondan elde edilen L9, L10 ve L11 kullanılarak R

hesaplanır. (uo,vo)’da önceki iterasyondan elde edilen L’lere dayanılarak elde edilir. Bu

işlem için DLT metodundaki (19) kullanılır. , ve r hesaplanır. Normal eşitlik (26)’de

gösterildi. L1 ...L16 için sistem çözülür.

3. Bu işlemler ;

a) Tüm L’ler yeterince birbirine yaklaşıncaya kadar,

b) Karesel ortalama hata (MSE) yeterince birbirine yaklaşıncaya kadar devam eder.

Her iki durumda da yaklaşım kontrolü için bir tolerans değeri belirlenmelidir. Ana nokta

koordinatları daha sonra işaretleyici koordinatlarının hesaplanmasında kullanmak için

kaydedilir.

Parametrelerin varyans-kovaryans matrisleri;

12 .)( WXXMSEL t

62n

WYXLWYYMSE

ttt

(34)

olarak yazılabilir. Burada MSE en küçük kareler yaklaşımında ortalama standart hatadır.

Kontrol noktası iki eşitliği sağladığında ortalama standart hata (MSE) için serbestlik derecesi

(34)’te gösterildiği gibi 2n-16‘dır. Parametrelerin varyans-kovaryans matrisi (11x11)

boyutunda simetrik kare matristir.

),(),(.),(),(

),(),(.),(),(

....

),(),(.),(),(

),(),(.),(),(

)(

11111011211111

11101010210110

112102222

111101211

2

LLLLLLLL

LLLLLLLL

LLLLLLLL

LLLLLLLL

L (35)

Matrisdeki köşegen elemanlar varyanslar diğerleri ise kovaryanslardır.

İşaretleyici konumunun hesaplanmasında (1) ‘deki X,Y ve L matrisleri;


21

)(

11

)()(

7

)(

10

)()(

6

)(

9

)()(

5

)(

11

)()(

3

)(

10

)()(

2

)(

9

)()(

1

)1(

11

)1()1(

7

)1(

10

)1()1(

6

)1(

9

)1()1(

5

)1(

11

)1()1(

3

)1(

10

)1()1(

2

)1(

9

)1()1(

1

:::

mmmmmmmmm

mmmmmmmmm

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

X

z

y

x

L

)()(

8

)()(

4

)1()1(

8

)1()1(

4

:

mm

mm

L

L

L

L

Y (36)

)2()(

)2()(

22

1615

6

14

4

13

2

12

22

1615

6

14

4

13

2

12

rLLrLrLrLv

rLLrLrLrLu

vv

uu

222

0

0

r

vv

uu

(37)

Bu problemin çözümü için (26) kullanılır. Ağırlık matrisi (32)’dekine benzer olmasına

rağmen ağırlıkların hesaplama yöntemi (31) ’dekinden farklıdır. L’ler için DLT metodunun

tekrar düzenlenmesiyle u,v koordinatlarının içerdiği rastgele hatalar için ,

uRuzLuyLuxLLzLyLxLuu 111094321

vRvzLvyLvxLLzLyLxLvv 111098765 (38)

elde edilir.

Burada,

ji

jijiu LLUUu,

22 ),()()(

ji

jijiv LLVVv,

22 ),()()( (39)

u u ve v v nun varyansları ,


22

111109 zLyLxLR (40)

Burada, )( uu ve )( vv

resim koordinatlarının (u & v), i&j = 1…11 varyansları, (Li, Li)

ise parametrelerin varyans-kovaryanslarıdır.

vz

vy

vx

z

y

x

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

uz

uy

ux

z

y

x

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

1

0

0

0

0

.

0

0

0

0

1

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(41)

(40)’ da L1 .... L11 lerin birbirleriyle bağımlı oldukları varsayılarak ham koordinat

hesaplamasındaki ağırlık matrisi,

)(

10.00

0)(

1.00

.....

000)(

10

0000)(

1

)(2

)(2

)1(2

)1(2

m

m

v

u

v

u

W (42)

Burada m kamera sayısıdır.

(26), (27) ve (42) kullanılarak iteratif yaklaşım sistemin çözümü için kullanılır.

1. İlk iterasyonda özdeşlik matrisi (26) ağırlıklı matris olarak kullanılır. x,y ve z için sistem

çözülür.

2. İkinci iterasyonda sistemi çözmeden önce ağırlık vektörü (42) hesaplanır. Ağırlıkların

hesaplanmasında önceki iterasyonda bulunan x,y,z kullanılır.


23

3. x,y,z yeterince birbirine yaklaşınca iterasyon durdurulur. Bunuın için özel tolerans değeri

belirlenir.

Çift düzlem yöntemi

Bir tür DLT metodudur. Bu metod iki boyutlu DLT metoduna dayanır ve iki paralel kontrol

düzlemini içerir (Şekil 6).

Şekil 6: Çift düzlemlerin gösterimi

Şekilde M noktası işaretleyici noktasıdır. Bu işaretleyici noktası bakış çizgisinin her iki

kontrol düzleminden geçmesi için kamera ile gözlenir. P1 ve P2 noktaları M noktasının kontrol

düzlemlerindeki izdüşüm noktalarıdır. Her iki düzlemde de görünecek şekilde kontrol

noktaları yerleştirilerek kamera kalibre edilir ve P1 ve P2 noktalarının [y1, z1] ve [y2, z2] iki

boyutlu koordinatları 2 boyutlu DLT metoduna göre hesaplanır. İki düzlemde de x1 ve x2

koordinatları bilinir.

Bu üç nokta arasında kolinerite koşulu uygulanarak;

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx (43)

veya


24

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

12

1

12

1

zz

zz

xx

xx

))(())(( 121121 xxyyyyxx

))(())(( 121121 xxzzzzxx

)()()()( 1211211212 xxyyyxyxxxyy

)()()()( 1211211212 xxzzzxzxxxzz

)()(

)()(.

)(0

0)(

121121

121121

1212

1212

xxzzzx

xxyyyx

z

y

x

xxzz

xxyy (44)

eşitlikleri elde edilir.

(44) eşitliğinde de görüldüğü gibi her bir kamera iki denklem sağladığından, işaretleyicinin

x,y,z koordinatlarını hesaplamak için en az iki kamera gerekmektedir (Şekil.7). (44) eşitliği n

kamera için genişletilecek olursak;

)()(

)()(

)()(

)()(

.

)(0

0)(

:::

)(0

0)(

)(

1

)(

2

)(

1

)(

1

)(

2

)(

1

)(

1

)(

2

)(

1

)(

1

)(

2

)(

1

)1(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

1

)1(

2

)1(

1

)(

1

)(

2

)(

1

)(

2

)(

1

)(

2

)(

1

)(

2

)1(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

2

)1(

1

)1(

2

nnnnnn

nnnnnn

nnnn

nnnn

xxzzzx

xxyyyx

xxzzzx

xxyyyx

z

y

x

xxzz

yxyy

xxzz

xxyy

(45)


25

Şekil.7: Çift kamera ile çift düzlem yönteminin gerçekleştirilmesi

Bu (45) eşitliği en küçük kareler yaklaşımı kullanılarak çözülebilir.

Ölçme Yöntemi

DLT metodunda kamera kalibrasyon doğruluğu, cisim uzay düzlem koordinatlarının

doğruluğu veya kontrol noktalarının iki boyutlu cisim koordinatları ve hesaplama hatalarıyla

bulunur. Kontrol noktaları normal olarak sabit bir kalibrasyon çerçevesinde düzenlenmiştir.

Kullanılmak istenen kontrol alanının boyutu temel olarak kalibrasyon çerçevesinin boyutuyla

sınırlandırılmıştır. Kontrol alanı dışındaki cisim uzay koordinatlarını tekrar elde etmek

mümkündür. DLT algoritmasının temel problemlerinden dolayı önceden tahmin etme yöntemi

tavsiye edilmez.

Geniş kontrol alanı gerektiği zaman normal sabit çerçeve yaklaşımı sonuç vermez. Buna

alternatif olarak ölçme yöntemi önerilmiştir. Bu metot için alan direkleri kullanılır. Alan

direklerinin numara ve boyutlarının değiştirilmesiyle farklı boyutlarda kontrol alanı

oluşturulabilir. Kontrol alanı şekli önceden düzenlenmediğinde, her zaman kontrol

noktalarının cisim uzay koordinatlarını hesaplamak gerekmez. Direklerin yatay açısal


26

konumlarının ve direkler üzerinde işaretlenen kontrol noktalarının da düşey açısal konumunun

ölçülmesi gerekir. Kontrol noktalarının cisim uzayı koordinatları açısal verilerden hesaplanır.

Ölçme metodunun sağladığı avantajlar şunlardır.

1. Yüksek esneklik: Direklerin yerlerinin, boyutlarının ve numaralarının serbestçe

değiştirilmesi mümkündür.

2. Geniş kontrol alanı: Geniş kontrol alanı oluşturmak mümkündür. Bu özellikle video

fotoğraflarının sürüklenmesi işleminde önemlidir.

3. Basit eksen hizalaması: İki direk (orijin ve X direği) kullanarak eksen yönünün

belirlenmesi oldukça kolaydır.

4. Kolay hesaplama: Kontrol noktaları direkler üzerinde tamamen işaretlendiğinde onların

hesaplanması kolaylaşır.

5. Kolay işleme tarzı: Direklerin taşınması, toplanması veya çıkarılması oldukça kolaydır.

6. Esnek yazılım desteği: Ölçme programında açı ölçmelerinin tekrarlanması, kayıp nokta

işlemi, eksen hizalanması gibi kullanışlı seçenekleri içermesi

Ölçme yönteminin aynı zamanda bazı dezavantajları bulunmaktadır. Bunlar;

1. Kontrol noktalarının cisim uzayı koordinatları her deney için hesaplanmalıdır.

2. Direklerin kontrol noktalarının açısal konumlarının ölçülmesinde teodolit kullanılmalıdır.

Cisim uzay koordinatlarının doğruluğu açı doğruluğuna bağlı olduğundan teodolit

dikkatlice tutulmalıdır.

3. Kontrol noktaları kontrol alanı içinde düzenli olarak dağılmayabilirler.

Kontrol noktalarının koordinatları şu varsayımlara dayanılarak hesaplanır.

1. Tüm direkler dikey olarak kurulmalı,

2. Komşu noktalar arasındaki mesafe sabit olmalı,

3. Kontrol noktalarının düşey açısal konumları Z koordinatlarının hesaplamasında

kullanılırken direklerin yatay açısal konumları kontrol noktalarının (X,Y) koordinatlarının

hesaplanmasında kullanılır.

Direk üzerinde işaretlenen kontrol noktalarının düşey açısal konumlarından, direğin

yükseklik-mesafe faktörleri hesaplanabilir. Herhangi iki nokta kombinasyonu için şu ilişki

elde edilir


27

B) Yersel ve Mimari Fotogrametride Uygulama Çalışması

Jeodezik Altlık Çalışması

Lokal ya da bağlı bir poligon ağı tesis edilerek yer noktaları koordinatlandırılmalıdır.

Örneğin cami rölevesi çalışmasında kapalı poligon ağı oluşturularak cami içerisindeki

noktalar ağa bağlanıp X,Y,Z koordinatları bütün poligon noktalarına verilmelidir. Bu işlem şu

sırada olmalıdır:

Lokal ya da bağlı bir poligon ağı tesis edilir.

Poligon ağı jeodezik ölçüleri yapılır.

Her noktaya 3 boyutlu koordinat verilir.

Hesaplamalar yapılır.

Her bir rölevesi çıkarılacak cepheyi bağımsız olarak ele alarak üzerlerine kontrol noktaları

tesis edilir. Kontrol noktası sayısı resim çekme yöntemine göre belirlenir.

Resim Çekimi

Yersel mimari fotogrametride iki resim çekme yöntemi vardır. Bunlardan biri ya da ikisi

birlikte kullanılabilir.

1. Şerit Geometri İle Resim Çekimi

Arka arkaya doğrusal olarak belli bir bindirme oranı (%60-70) ile yapılan resim çekimidir.

Şekil 8: Şerit geometri ile resim çekimi


28

2. Konvergent Geometri İle Resim Çekimi

Resimler arasında %100 örtü oranı ile bağımsız noktalardan yapılan resim çekimidir. Resim

çekme işleminde amaç objenin geometrik özelliklerini en uygun resim çekme yöntemi

kullanılarak modellemek ve minimum resimle az hata yapmaktır.

Bir cephe için 4 resim varsa 4x6 = 24 tane bilinmeyen vardır. Demet dengelemesi

yapılabilmesi için 32 tane ölçü yapılmalıdır. Belirlenen kontrol noktalarına (X,Y,Z)

koordinatları verilmelidir. İki resim çekim yöntemi arasındaki fark bindirme oranıdır.

%60-70 şerit geometri

%100 konvergent geometri

Uygulamada çoğunlukla konvergent geometri kullanılır.

Şekil 9: Konvergent çekim durumunda resim çekimi


29

C) Fotogrametrik Yöneltme

Koordinat Sistemleri

Şekil 10 (a): Düşey resimler için (Hava Fotogrametrisi)

(b): Yatay eksenli resim çekimleri için (Yersel Fotogrametri)

x’

Resim ana noktası

Resim (Kor.Sistemi)

Orta nokta bulucuları

Resim orta noktası

xo

j

i

Y’

O xw

y

z

M

P’

k

yo

x’p

y’p

H

c

x’

xo

i

Z’

xw

y

P’

k

yo

x’p

y’p

z

c

H’

O

j


30

Fotogrametrik İzdüşümünün Matematik Temelleri

Fotogrametrik izdüşüm genel anlamda projektif izdüşümler içinde merkezi izdüşüm

bağıntıları olan kolinearite (eş doğrusallık) ve koplenearite (eş düzlemlilik) koşullarını

oluşturan lineer bağıntılar matematik temeller olarak kullanılır (Şekil 11).

Şekil 11: Resim ve cisim koordinat eksenleri arasindaki genel bağıntılar

Fotogrametrik izdüşümün tanımı gereği Pi , P’i ve O noktaları bir doğru (izdüşüm doğrusu,

ışık ışını) üzerinde bulunması gerekmektedir. (kolinearite, doğrusallık koşulu) Bu da

iiiOi uXXX o. (46)

şeklinde tanımlanır. Burada ölçek katsayısıdır. iu vektörü

Oi XX vektör farkına eşit

olup (x’’’

, y’’’

, z’’’

) sisteminde gösterilimi için dönüşüm yapılması gerekir. Bu dönüşümde

O (X0, Y0, Z0)

z z΄΄΄ x

y΄΄΄

ui= xi-x0

x΄΄΄

x0 c

x0 y0N΄

-(Zi-Z0)

Xp =Xi -Xo

Xo

Y0

y

N

Yy Zi

Xi

Xi-Xo Yi-Y0

Zy

Xy

P’

y

Py

X0


31

).(o

D xxu ii (47)

biçiminde D dönüşüm matrisi ile gerçekleşir. D matrisi 3x3 boyutunda olup, elde edilişi ve

elemanlarının özelliği ileride anlatılacaktır. Yukarıdaki dönüşümün bileşenlere ayrılarak

yazılması ile

c

yy

xx

D

z

y

x

oi

oi

'''

'''

'''

(48)

Bu eşitlik kolinearite koşulunda yerine konulursa

iiiOi uXXX o

. (49)

veya bileşenlerine ayrılarak yazılırsa

c

yy

xx

D

ZZ

YY

XX

oi

oi

i

oi

oi

oi

(50)

veya D matrisi elemanları genel gösterimi ile

321

3

2

1

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

D

aaa

T

T

T

ve orta nokta ile ana noktanın çakıştığı varsayılırsa , xo = yo = 0 basitleştirmesiyle

c

y

x

aXX i

i

T

ioi 1 (51a)

c

y

x

aYY i

i

T

ioi 2 (51b)

c

y

x

aZZ i

i

T

ioi 3 (51c)

veya ölçek çarpanının yok edilmesi ile


32

cayaxa

cayaxa

ZZ

XX

ii

ii

oi

oi

333231

131211 (52a)

cayaxa

cayaxa

ZZ

YY

ii

ii

oi

oi

333231

232221 (52b)

temel bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı genel biçimi ile

)(.oiii xxXX D

o (53)

olup bu kolinearite koşulunun sol yanına resim koordinatları getirilecek olursa, T

DD1

olduğundan (ortogonal matris)

)(.1

oi

T

i

i xxXX Do

(54)

elde edilir. Bu bağıntıda da xo = yo = 0 olduğu kabul edilerek

oi

oi

oi

T

i

i

i

ZZ

YY

XX

D

c

y

x1

(55)

Buradan λi elimine edilerek

)()()(

)()()(.

033023013

031021011

ZZaYYaXXa

ZZaYYaXXacx

iii

iiii (56a)

)()()(

)()()(.

033023013

032022012

ZZaYYaXXa

ZZaYYaXXacy

iii

iiii (56b)

elde edilir.

Dönme Matrisinin Elemanlarının Belirlenmesi

Resim Koordinatlarının Cisim Koordinatlarından Elde Edilmesi

Resim ve resim koordinat sistemi (x,y,z ) yerel (cisim) koordinat sistemı (X,Y,Z) ye

dolayısıyla (x''',y''',z''') yardımcı sisteme dönük durumdadır. Bu durumda (x''',y''',z''') sistemi

adım adım döndürülerek eğik olan (x,y,z) sistemine dönüştürülecektir. Bu dönüşüm her iki

sistemin merkezinin de izdüşüm merkezinde olduğu yani x0=y0=z0 = x'''=y'''=z'''=0 olduğu

kabul edilmiştir.


33

1.) Birinci Dönme: x''' –ekseni etrafında dönmesi (x'',y'',z'') sistemine geçiş

11

11

11

11

11

11

111

111

111

cossin0

sincos0

001

z

y

x

D

z

y

x

z

y

xT

(57)

2.) İkinci Dönme: y'' ekseni etrafında (x',y',z') sistemine geçiş

1

1

1

1

1

1

11

11

11

cos0sin

010

sin0cos

z

y

x

D

z

y

x

z

y

xT

(58)

3.) Üçüncü Dönme: z' ekseni etrafında dönmesi (x,y,z) sistemine geçiş

z

y

x

D

z

y

x

z

y

xT

100

0cossin

0sincos

1

1

1

(59)

4.) Toplam Dönme: (x''',y''',z''') sisteminden (x,y,z) sistemine geçiş

z

y

x

DDD

z

y

x

DD

z

y

x

D

z

y

xTTTTTT

1

1

1

11

11

11

111

111

111

(60)

D = Ortogonal matris

TTTTDDDD


34

333231

232221

131211

coscossinsinsincossinsincossincos

cossincoscossinsinsinsincoscossinsin

sinsincoscoscos

100

0cossin

0sincos

coscossinsincos

cossincossinsin

sin0cos

100

0cossin

0sincos

cos0sin

010

sin0cos

cossin0

sincos0

001

aaa

aaa

aaa

cso

DT

elde edilir.

Bu dönüşüm matrisi (54) kapalı biçimi, (56a ve b) de açık biçimiyle tanımlandığı üzere resim

koordinatlarını cisim koordinatları cinsinden tanımlamada kullanılmaktadır.

Cisim Koordinatlarının Resim Koordinatları Cinsinden Elde Edilmesi

Ayrıca (53) de kapalı biçiminde, (52a ve b) açık şekli ile tanımlanan D matrisinin

elemanlarının belirlenebilmesi için birbirini izleyen - ,- ,- dönmeleri ile (x''',y''',z''') resim

koordinat sistemine paralel olan (X''',Y''',Z''') yardımcı cisim koordinat sisteminin (X,Y,Z)

sistemine paralel konumuna getirilmesi gerekir. Daha önceki dönme matrisi oluşturduğumuz

gibi burada da;

a) (X''',Y''',Z''') sistemini, z'' ekseni etrafında - kadar döndürülerek (X'',Y'',Z'') sistemine

dönüşüm

11

11

11

111

111

111

Z

Y

X

D

Z

Y

X

100

0cossin

0sincos

D (61)


35

b) (X'',Y'',Z'') sistemini, y'' ekseni etrafında - kadar döndürülerek (X',Y',Z') sistemine

dönüşüm

1

1

1

11

11

11

Z

Y

X

D

Z

Y

X

cos0sin

010

sin0cos

D (62)

c) (X',Y',Z') sistemini, x'' ekseni etrafında - kadar döndürülerek (X,Y,Z) sistemine dönüşüm

Z

Y

X

D

Z

Y

X

1

1

1

cossin0

sincos0

001

D (63)

Üç dönmenin ard arda uygulanması ile (X''',Y''',Z''') sisteminden (X,Y,Z) sistemine geçiş

Z

Y

X

D

Z

Y

X

DDD

Z

Y

X

DD

Z

Y

X

D

Z

Y

XTTTTTT

1

1

1

11

11

11

111

111

111

(64)

DDDD

coscoscossinsin

cossinsinsincossinsinsincoscoscossin

cossincossinsinsinsincoscossincoscos

cossin0

sincos0

001

cos0sin

sinsincoscossin

sincossincoscos

cossin0

sincos0

001

cos0sin

010

sin0cos

100

0cossin

0sincos

D

D ve D matrisleri ortogonal matrisler olup elemanları;


36

333231

232221

131211

1

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

DD

AAA

AAA

AAA

DT

dır.

Bir ortogonal dönüşüm (dönme) nin bir vektörünün uygunluğunun değişmez olduğu özelliği

bulunmaktadır.

Yani herhangi bir x vektörü için

xDDxxDxDxxxxTTTTT

.)( T111T111

Burada ,

D DT=E veya D

T=D

-1 (65)

Olduğundan bu özellik sağlanmaktadır.

Ortogonal olan DT= (aij) veya D = (Aij) matrislerinde

Her satır veya her sütunun kendisi ile iç çarpımı 1’e eşittir.

a112 +a12

2 +a13

2 =1 a11

2 +a21

2 +a31

2 =1

a212 +a22

2 +a23

2 =1 a12

2 +a12

2 +a32

2 =1 (66a)

a312 +a32

2 +a33

2 =1 a13

2 +a23

2 +a33

2 =1

Farklı satır veya sütunlardan oluşturulan iç çarpım 0’a eşittir.

a11 a21 + a12 a22 + a13 a23 = 0 a11 a21 + a12 a22 + a13 a23 = 0

a11 a31 + a12 a32 + a13 a33 = 0 a11 a13 + a21 a23 + a31 a33 = 0 (66b)

a21 a31 + a22 a32 + a23 a33 = 0 a12 a13 + a22 a23 + a32 a33 = 0

Her eleman kendi alt determinantına eşittir.

a11 = a22 a33 – a23 a32 a23 = a31 a12 – a12 a32

a12 = a23 a31 – a21 a33 a31 = a12 a23 – a13 a22

a13 = a21 a32 – a22 a31 a32 = a21 a13 – a11 a23 (66c)

a21 = a32 a13 – a12 a33 a33 = a11 a22 – a12 a21

a22 = a11 a33 – a13 a31

Bu 21 adet ortagonalite koşulu arasında (lineer olmayan) 15 bağımlılık bulunmakta olup, 6

adet bağımsız koşul yazılabilir. Fotogrametride son zamanlarda sayısal hesaplamalara

uygunluğu nedeniyle Cayley – Rodrigues Matrisi kullanılmaktadır.


37

222

222

222

4

11

2

1

2

12

1

4

11

2

12

1

2

1

4

11

1

cbabcaacb

bcacbaabc

acbabccba

kR

222

4

11 cbak

görüldüğü gibi R matrisinin elamanları üç bağımsız a, b, c parametresinin fonksiyonudur.

Çarpım yaparak bu matrisinin ( 66a,b,c ) ortogonalite koşulları sağladığı görülebilir. a , b, c

parametreleri ile arasında,

2tan2a

2tan2b ,

2tan2c

bağıntısı veya küçük dönmeler için ; cba ,, olduğu görülür.

Özetlenecek olursa,

Cisim ve resim noktası arasındaki bağıntı,

)()()(

)()()(

333231

131211

ooo

ooo

o

o

zzayyaxxa

zzayyaxxa

ZZ

XX (67a)

)()()(

)()()(

333231

232221

ooo

ooo

o

o

zzayyaxxa

zzayyaxxa

ZZ

YY (67b)

biçiminde olup bu denklem çifti her P (X,Y,Z) cisim noktası ile onun izdüşümü olan P

(x,y,z) resim noktası için yazılabilir. Bu denkleme esas olan dönüşüm formullerinde birinci,

ikinci, da üçüncü dönme olarak alınmıştır. Bu tanım ile;

a11 = Cos Cos

a12 = -Cos Sin

a13 = Sin

a21 = Sin Sin Cos Cos Sin

a22 = -Sin Sin Sin Cos Cos (67c)

a23 = -Sin Cos

a31 = -Cos Sin Cos Sin Sin

a32 = Cos Sin Sin Sin Cos

a33 = Cos Cos

z-z0 = c dir.


38

Resim noktası p’(x,y,z) ile ona karşılık gelen cisim noktası P (X,Y,Z) arasındaki bağıntı ise;

)()()(

)()()(

333231

131211

ooo

ooo

o

o

ZZAYYAXXA

ZZAYYAXXA

zz

xx (68a)

)()()(

)()()(

333231

232221

ooo

ooo

o

o

ZZAYYAXXA

ZZAYYAXXA

zz

yy (68b)

A11 = a11 = Cos Cos

A12 = a21 = Sin Sin Cos Cos Sin

A13 = a31 = -Cos Sin Cos Sin Sin

A21 = a12 = -Cos Sin

A22 = a22 = -Sin Sin Sin Cos Cos

A23 = a32 = Cos Sin Sin Sin Cos

A31 = a13 = Sin

A32 = a23 = -Sin Cos

A33 = a33 = Cos Cos

Bu iki dönüşüm sırasında karşılaşılabilecek özel durumlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Tablo 2: Dönüşümlerde özel durumlar

a11= A11 = Cos Cos

a21 =A12 = Sin Sin Cos Cos Sin

a31 =A13 = -Cos Sin Cos Sin Sin

a12 =A21 = -Cos Sin

a22 =A22 = -Sin Sin Sin Cos Cos

a32 =A23 = Cos Sin Sin Sin Cos

a13 =A31 = Sin

a23 =A32 = -Sin Cos

a33 =A33 = Cos Cos


39

İlk adım, resim çekme makinesi iç yöneltme parametrelerinin (ana nokta uzunluğu ve ana

nokta koordinatları) belirlenmesidir.

İkinci adım, dış yöneltme adımıdır. Burada X0, Y0, Z0 koordinatlarına sahip istasyon

noktasından dönüklük değerleri ile çekilen resimlerin cisim uzay koordinat

sistemindeki koordinatlarının hesaplanması amaçlanır.

Cisim uzay koordinat sistemi, noktaları X, Y, Z cisim koordinatlarını, resim koordinat sistemi

x, y, z resim koordinatlarını gösteren sağ el kartezyen koordinat sistemleridir (Şekil 12).

Şekil 12: Yersel fotogrametrik koordinat sistemi

Xp(0,0,0)

Y

Z

y

X0

Y0

Yp

O

Pc

Z0

Zp

X

x


40

Resim ve cisim uzay koordinat sitemleri arası açısal ilişkiler, koordinat eksenleri arası

doğrultu kosinüslerinin oluşturduğu (3X3) ortogonal dönüşüm matrisi ile belirlenir.

X eksen doğrultusunda dönüklük matrisi:

1 0 0

D = 0 Cos Sin

0 -Sin Cos (69)

Y eksen doğrultusunda dönüklük matrisi:

Cos 1 -Sin

D = 0 1 0 (70)

Sin 0 Cos

Z eksen doğrultusunda dönüklük matrisi:

Cos Sin 0

D = -Sin Cos 0

0 0 1 (71)

Toplam dönüklük matrisi:

a11 a12 a13

D= a21 a22 a23

a31 a32 a33 (72)

a11=Cos Cos

a12=Sin .Sin .Cos +Cos .Sin


41

a13= -Cos .Sin .Cos +Sin .Sin

a21= -Cos .Sin

a22= -Sin .Sin .Sin +Cos .Cos (73)

a23=Cos .Sin .Sin +Sin .Cos

a31=Sin

a32= -Sin .Cos

a33=Cos .Cos

olur.

Resim koordinat sisteminde p noktasının konumunu belirleyen resim vektörü,

xp-x0

P= yp-yo

0 –c olur. (74)

Burada x0,y0 ana nokta koordinatları

c odak uzaklığıdır.

Resim çekme makinesi sonsuza odaklanmadıkça ana nokta uzaklığı, odak uzaklığa eşit

değildir. Bu durumda ana nokta uzunluk değeri, odak uzaklığından f kadar sapma değerine

sahiptir.

c = f + f (75)

Cisim uzay koordinat sisteminde P noktasının konum vektörü,

Xp- X0

P= Yp- Y0

Zp- Z0 olur. (76)


42

Kolinearite eşitliğine göre, p resim ve P cisim vektörleri arası fiziksel durum,

P= k.D.P (77)

xp- x0 Xp- X0

yp- y0 = k.D. Yp- Y0 (78)

0 – c Zp- Z0

şeklinde ifade edilir.

Resim koordinatlarının bilinen değerler olması durumunda cisim koordinatları,

1

P= . DT.p (79)

k

Xp- X0

1 xp- x0

Yp- Y0 = DT . yp- y0 (80)

Zp- Z0 k -c

k ölçek faktörünün, kolinearite eşitliklerinde her bir ışın için ayrı ayrı belirlenmesi

gerekmektedir. Bu durumda oluşan matematiksel ifadelerden k ölçek faktörünün etkisi yok

edilirse,

a11(X-X0) + a12(Y-Y0) + a13(Z-Z0)

f1= x- x0 + c. (81)

a31(X-X0) + a32(Y-Y0) + a33(Z-Z0)

a21(X-X0) + a22(Y-Y0) + a23(Z-Z0)

f2= y-y0 + c. (82)

a31(X-X0) + a32(Y-Y0) + a33(Z-Z0)

fonksiyonel ifadeleri yazılır.


43

D) Ürünler

Ortofoto (Rödresman)

Geometrik niteliği çizgi harita düzeyinde olan fotografik üründür.

Genellikle bu haritaların üzerine eş yükselti eğrileri de çizilmiştir.

Diferansiyel Rödresman: Tüm fotograf alanının toptan rödresmanı yerine küçük parçalar

halinde rödresmanı yapılırsa yükseklikten ileri gelen hatalar kaldırılmış olur. Bunun için ilgili

alanın Z bilgisine ihtiyaç vardır. Bu bilgiler varsa mevcut haritalardan ya da SYM’den

sağlanabilir. Yahut stereo değerlendirme aletinden ölçerek alınabilir.

Ortofoto ilkesi: Stereo değerlendirme aletinde stereo mdel sistematik bir biçimde taranarak

yükseklik bilgisi elde edilir. Ortofoto birimi ise bu yükseklik bilgilerini kullanarak parça parça

rödresman işlemini gerçekleştirir. Geometrik anlamda bu işlem, ilgili fotografın dış yöneltme

elemanlarının kullanılarak izdüşüm uzaklığını değiştirerek diferansiyel alanlarda plan

ölçeğine uygun bir projektif görüntüyü yeniden elde etmektir.

Fotograftaki deformasyon her bir grid noktasının yerde karşılığı olan noktalarının

hesaplanmasıyla elde edilir.Noktadaki deformasyon için noktanın görüntü koordinatları (ζ,η)

ve yer koordinatları (X,Y) kullanılarak elde edilir. Diferansiyel düşeye çevirmede sonuç ürün

deforme olmuş gridin, kare gride dönüştüğü ortofotodur.

İç ve dış yöneltme elemanları, nesne noktalarının fotografa dönüştürülmesi için gereklidir. Dış

yöneltme elemanları ışın demetiyle blok dengelemeyle elde edilirler.

Eş yükselti eğrisine sahip ortofotolara sık sık gereksinim duyulmaktadır. Düzensiz alanlarda

eş yükselti eğrilerinin enterpolasyonu için bir bilgisayar programı yoksa, eş yükselti eğrileri

mutlak yöneltilmiş modelde elde edilirler. Bu işlem sırasında eşyükselti eğrileri boyunca

noktaların yer koordinatları belirli aralıklarla kaydedilir. Bu veri daha sonra XY gridinin

ortofoto için gerekli yükseklik değerlerini enterpole etmek için kulklanılır.

Eğer ortoftonun kapsadığı alana ilişkin topografik harita mevcutsa haritadaki eş yükseklik

eğrileri uygun bir aletle sayısallaştırılabilir.


44

Dijital Ortofotonun Kullanımı

1. Her pixel dahi düşeye çevrilebilir. Anologta ise aletin teknik özellikleriyle sınırlıdır.

2. Ortofoto mozaik elde etmek için tüm orto fotolar mozaik halinde birleştirilmelidir.

Tüm ortofotolar belirli bir projeksiyonda olduklarından geometrik olarak herhangi bir

problem ile karşılaşılmamaktadır. Ancak ortofotoların parlaklık değerleri farklı

olduğundan ortaya çıkan problem analitik yöntemde sadece uçuş planıyla giderilirken,

dijital foto’da böyle bir sınırlama yoktur. Vektör veriler ekranda hemen görüntülenir.

Tarama pixel boyutu, fotograf ölçeğine ve sonuç ortofoto ölçeği arasındaki oran bağlıdır. En

iyi yöntem fotograf ölçeğinden sonuç ortofoto ölçeğine kaç kez büyütülecek ise o oranı 240

dpi kez fazla pixel duyarlılığıyla taramaktır. Örneğin; 5 kex büyütmek için 5*240=1200 dpi

veya daha hassas tarama gerekir.

Görüntü sayısal ise ortofoto üretimi için;

1. Ortofotonun kapladığı alana ait SYM,

2. Kamera kalibrasyon verileri,

3. Yer kontrol noktalarının koordinatları ya da fotogrametrik nirengi sonuçları gereklidir.

Stereo görüntülemeye olanak tanıyan ve bir CAD yazılımı yardımıyla stereo modeller

üzerinden değerlendirmeye elverişli yazılımlardır (Softcopy yazılımlar). Otomatik ya manuel

olarak toplanan SYM stereo modeller üzerinde editlenebilir. Topografya uygulamaları için

geliştirilmiş yazılımlardır.

Genelde görüntü geliştirmeye olanaklarıyla ortaya çıkmaktadırlar. Stereo görüntüleme

olanakları yoktur. Hazır SYM varsa ortofoto üretimi için idealdir.

Sayısal Ortofoto Üretimi İçin;

Birinci adımda; geometrik parametrelerin hesaplanması için orta nokta bulucuları ve

görüntüdeki kontrol noktaları operatör tarafından belirlenir. İkinci adımda; düşeye çevrilir.

Üçüncü adımda dengeleme için gereken tüm veriler değerlendirilmiş ve vektör formda sabit

dosyalar dosyası olarak saklanmaktadır.


45

Düşeye Çevirme Yöntemleri:

1. Pixel Pixel: Ortofotodaki her pixelin konumu ve merkezi görüntüde belirlenir.

Noktaların arazi koordinatları ve yükseklikleri SYM’den enterpolasyon ile bulunur.

Görüntü koordinatları kolinerite denklemleri yardımıyla arazi koordinatlarından

bulunur. Pixel koordinatlarıysa görüntü koordinatlarından afin dönüşümüyle elde

edilir.

2. Raster Yöntemi: Arazi üzerine kare grid yerleştirilir ve düğüm noktaları yükseklikleri

hesaplanır. Dayanak noktalarından bir raster ağın düğüm noktalarına geçişte hiçbir

bilgi kaybı olmamalıdır. Bu yüzden nokta yoğunluğu dayanak noktasından fazla

seçilir.

3. Üçgenleme: Arazi yapısını gösteren çizgiler ve arazinin kırık çizgileri üzerinde

bulunan dayanak noktalarının yüksekliği hesaplanır.

Sayısal ortofotonun kalitesine etki eden en önemli faktör dpğruluğudur. Burada doğruluk

fotoğraf ölçeğine ve yer kontrol noktalarının kalitesine bağlıdır. Doğruluk çok büyük oranda

SYM üzerine yerleştirilecek kontrol noktalarının kalitesine ve düşeye çevirmede kullanılacak

SYM doğruluğuna bağlıdır.

Otomatik Ölçmeler

Analog fotogrametride operatör iç yöneltme yaparken çerçeve işaretlerinin koordinatını

ölçmekte, ardından karşılıklı yöneltme yapılarak model ve kolan bağlama noktaları

seçilmekte ve daha sonra diğer modelde bulunmaktadır. Yapılan bir diğer işte yer kontrol

noktalarının bulunmasıdır. Sayısal fotogrametride çerçeve işaretleri otomatik bulunabilir.

Farklı kameralarda bu çerçeve işaretleri farklı konumlarda ve farklı biçimlerde olabilir.

Bunlar tanımlanmak şartıyla, korelasyon algoritmasıyla ve kolay bir şekilde otomatik olarak

koordinatları bulunabilir. Karşılıklı yöneltmede otomasyona elverişlidir. Fotografların uygun

yerinden alınacak çevresiyle iyi kontrast oluşturan gri kümelerin diğer fotografta karşılığı

bulunur. Burada yine korelasyon algoritması kullanılır. Bu işlemler hiyerarşik bir düzen

içinde görüntü piramidi algoritmasıyla yapılır. Önce görüntü piramidinin en üst düzeyinde

çalışılır. Bu düzeyde yalnız çok genel özellikler yakalanabilir.Çok ayrıntılı özellikler ise çok

küçük boyutlu pixel düzeyinde bulunabilir. Otomatik ölçme algoritmaları temelde korelasyon

katsayısı tekniğine dayanır. Bununla ilgili konular sayısal fotogrametri derslerinde ayrıntılı

anlatılacaktır.


46

Kaynaklar

Kraus, K., 1997. Photogrammetry Volume I-II, Dümmlers Verlag, Germany

Atkinson K.B., 1996. Close Range Photogrammetry and Machine Vision, : Whittles

Publishing, Scotland.

Luhmann T., 2000. Nahbereichsphotogrammetrie : Grundlagen, Methoden und

Anwendungen, Wichmann, Germany.

Altan, M.O., 1974. Stereo ve Monokomparatörlerin Blok Triyangülasyonundaki

Rolü ve Kadastro Fotogrametrisine Uygulama, Doktora Tezi, İ.T.Ü İnşaat Fakültesi,

İstanbul.

Toz G., 1985. Yersel Fotogrametride Analog, Analog-Analitik ve Analitik

Değerlendirme Yöntemlerinin Yapı Konstrüksiyon Deneylerinde Uygulama

Olanakları, Doktora Tezi, İ.T.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul

Documents

Yersel ve Mimari Fotogrametri Çalımaları Ve Uygulamaabl.gtu.edu.tr/.../106_2010_2_518_74611106/.../yersel-ve-mimari-fotogrametridersnotlar.pdfYersel ve Mimari Fotogrametri Çalımalar