Ygs.lys.Pergel.geometri.k.a

YGS – LYS
‹stanbul / 2012
Bask› – Cilt
Ek–Bil Matbaac›l›k Tel: 0 (212) 423 87 15
ISBN
978 – 605 – 5214 – 15 – 9
Copyright © Ayd›n Bas›n Yay›n Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. fiti.
Bu kitab›n tamam›n›n ya da bir k›sm›n›n, kitab› yay›mlayan flirketin önceden izni olmaks›z›n elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kay›t sistemi ile ço¤alt›lmas›, yay›mlanmas› ve depolanmas› ya- sakt›r.

NOKTA
Herhangi bir büyüklü¤ü olmayan ve yer belirten bir geometrik terimdir. Kalemin ucunun kâ¤›t üzerinde b›rakt›¤› iz gibidir. Nokta, büyük harflerle adland›r›l›r.
DO⁄RU
Ayn› hizada bulunan, sonsuzdan gelip sonsuza giden noktalar kümesidir. Do¤ru, bir boyutludur. Yani sadece uzunlu¤u vard›r.
Ayn› do¤ru üzerinde bulunan noktalara do¤rudafl noktalar denir.
fiekilde A, B, C ve D noktalar› d do¤rusunun üze- rinde oldu¤undan do¤rudafl (do¤rusal) noktalard›r.
Bir nokta do¤runun üzerinde ise o do¤runun eleman›d›r.
Yukar›daki flekilde A ve C noktalar› d do¤rusunun eleman› iken B ve D noktalar› d do¤rusunun eleman› de¤ildir.
A, C ∈ d ve B, D ∉ d fleklinde gösterilir.
DO⁄RU PARÇASI
Bafllang›ç ve bitifli belli olan do¤rusal noktalar kü- mesidir.
[MN] ye M ve N noktalar› dâhildir. |MN|, do¤ru parças›n›n uzunlu¤unu gösterir.
IfiIN
Belli bir noktadan bafllay›p sonsuza giden do¤rusal noktalar kümesidir.
DÜZLEM
Enine ve boyuna sonsuza kadar uzay›p giden düz bir yüzeydir. Sonsuz tane do¤runun düzlemsel olarak bileflimidir. Düzlem, iki boyutludur. Yani uzunlu¤u ve geniflli¤i vard›r.
A noktas›, P düzleminin eleman›d›r.
B noktas›, P düzleminin eleman› de¤ildir.
UZAY
Tüm noktalar›n oluflturdu¤u en genifl kümeye uzay denir. Uzay, üç boyutludur.
Yukar›daki düzlem üzerinde verilenlere göre, afla¤›daki gösterimlerden hangisi yanl›flt›r?
A) [CD] B) [LK C) [KL
D) AB E) BA .
M N[MN] do¤ru parças›
d A
d
A noktas›
Nokta, do¤ru, do¤ru parças›, ›fl›n, düzlem ve uzay kavramlar›n› aç›klar.
TEMEL GEOMETR‹K KAVRAMLAR VE KOORD‹NAT GEOMETR‹YE G‹R‹fi
5
1.ÜN‹TE
G e o m e t r i K o n u
A n l a t › m l ›

Çözüm
LK ›fl›n›n›n do¤ru gösterimi [LK dir. Dolay›s›yla C seçene¤i yanl›flt›r.
Yan›t C
Yukar›daki flekle göre, afla¤›dakilerden hangisi yanl›flt›r?
A) [AB ∩ [CD = [CD B) [AB] ∪ [BC = [AB
C) [BA ∩ [CD = Ø D) [BA ∪ [BD = BC
E) AC ∩ [DC = [CA
Çözüm
A, B, C ve D seçenekleri do¤ru, E seçene¤i yan- l›flt›r.
Çünkü, AC do¤rusu do¤runun tümünü ifade eder ve bu do¤ru ile [DC ›fl›n›n›n kesiflim kümesi yine [DC ›fl›n›d›r.
Yan›t E
Çözüm
C seçene¤inde verilen gösterim bir ›fl›na aittir. [CD] ise do¤ru parças›n› ifade eder. Bu nedenle C seçene¤i do¤rudur.
Yan›t C
Yukar›da verilen küpte afla¤›dakilerden hangi- sine model olabilecek bir görüntü yoktur?
A) Do¤ru parças› B) Uzay
C) Düzlem D) Ifl›n
E) Efl do¤ru parças›
Çözüm
Küpün kendisi uzaya model olabilir.
Küpün ayr›tlar› efl do¤ru parçalar›d›r.
fiekilde sadece ›fl›na model olabilecek bir görüntü
yoktur.

r, n ∈ N, 0 ≤ r ≤ n olmak üzere n tane elemandan oluflturulacak r– li gruplar›n say›s›:
Herhangi üçü do¤rusal olmayan n tane nokta,
tane düzlem belirtir. (n ≥ 3)
Herhangi üçü do¤rusal olmayan n tane noktadan
tane do¤ru geçer.
n tane do¤runun kesiflmesiyle oluflan noktalar›n
say›s› en çok tanedir. Bir düzlem içindeki
farkl› n tane do¤ru, düzlemi en az (n + 1) en çok
bölgeye ay›r›r.
E) [MN]M N
A B C D
6

Düzlemde herhangi üçü do¤rusal olmayan 5 farkl› noktadan en fazla kaç do¤ru geçer?
Çözüm
‹ki noktadan bir do¤ru geçti¤inden n tane noktadan en fazla n nin 2 li kombinasyonu say›s›nca do¤ru geçer. O hâlde 5 farkl› noktadan en fazla,
C(5, 2) =
= 10 do¤ru geçer.
Öncelikle düzlemde; A, B, C, D, E olacak flekilde 5 farkl› nokta alal›m. Sonra, her iki noktadan bir do¤ru geçece¤inden bunlar› ikifler ikifler birlefltire- lim.
Yukar›daki do¤rular› sayd›¤›m›zda 10 farkl› do¤ru olufltu¤u görülür.
Yukar›da verilen do¤runun gösterimi afla¤›dakilerden hangisi olamaz?
A) d B) AC C) BC D) [AD E) BD
Çözüm
Yukar›da verilen flekil bir do¤rudur. D seçene¤indeki gösterim ›fl›nd›r.
Yan›t D
Çözüm
A ve E seçenekleri do¤ru modeli, C ve D seçenek- leri ›fl›n modelidir. Bu nedenle bu seçeneklere ait gösterimler yanl›flt›r. B seçene¤indeki gösterim ise do¤ru parças›na aittir.
Yan›t B
Yukar›daki düzlemde verilen A, B, C ve D noktalar›ndan en fazla kaç tane do¤ru geçer?
Çözüm
için do¤ru geçer.
A B

7

1. A ve B noktalar›ndan geçen do¤runun gösteri- mi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) [AB B) |AB| C) AB D) [AB] E) [BA
2. [AB gösteriminin do¤ru ifadesi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) AB do¤ru parças›
B) AB ›fl›n›
C) AB do¤rusu
E) AB düzlemi
3. Düzlemde farkl› 3 do¤ru en çok kaç noktada kesiflebilir?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 10
4. ABCD dikdörtgen
Yukar›daki verilen flekilde kaç tane farkl› do¤- ru parças› vard›r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
5.
Yukar›daki d do¤rusu üzerinde verilen noktalara göre, [MK ∩ [LP afla¤›dakilerden hangisidir?
A) KN B) {L, M} C) [KP] D) [KM] E) [LM]
6. fiekil, bir dikdört- genler prizmas›d›r.
Yukar›daki verilere göre, afla¤›daki noktalardan hangileri düzlemsel de¤ildir?
A) A, D, G, E B) H, E, F, G
C) A, H, C, F D) A, B, G, F
E) A, B, C, D .
7. 7 farkl› düzlem uzay› en az kaç bölgeye ay›r›r?

A B
CD E
8
Bölüm Kazan›m Testi

8. Bir düzlem içindeki n farkl› do¤ru, düzlemi en çok 56 bölgeye ay›rd›¤›na göre, n kaçt›r?
A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9
9.
fiekildeki verilere göre, [AB] ∩ [BC ifllemlerinin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?
A) [AB B) {B} C) {A, B} D) {A} E) [AB]
10.Paralel iki düzlemi, baflka paralel iki düzlem keserse uzay, kaç bölgeye ayr›l›r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
11. Kesiflimleri bir do¤ru olan üç farkl› düzlem, uzay› kaç bölgeye ay›r›r?
A) 6 B) 3 C) 4 D) 3 E) 2
12. Herhangi 3 ü do¤rusal olmayan, düzlemsel 5 nokta ile bunlar›n bulundu¤u düzlemin d›fl›nda bulunan alt›nc› bir nokta veriliyor.
Bu alt› nokta, kaç düzlem belirtir?
A) 16 B) 14 C) 12 D) 11 E) 8
13. Uzayda afla¤›dakilerden hangisi yanl›flt›r?
A) Ayn› do¤ruya dik olan düzlemler paraleldir.
B) Üç düzlem bir noktada kesiflebilir.
C) Paralel olan farkl› iki düzlem, uzay› 3 bölgeye ay›r›r.
D) Ayn› düzleme dik olan do¤rular paraleldir.
E) Bir noktadan eflit uzakl›kta bulunan noktalar kümesi, çember belirtir.
14. Herhangi üçü do¤rusal olmayan, 7 farkl› nokta, en çok kaç düzlem oluflturur?
A) 28 B) 32 C) 35 D) 42 E) 55
15. Düzlemde 3 tanesi paralel, di¤er 3 tanesi bir noktada kesiflen 6 do¤ru, en çok kaç farkl› noktada kesiflir?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
16. Düzlemde 4 tanesi do¤rusal olan, 6 farkl› nokta veriliyor.

9
Bölüm Kazan›m Testi
GEOMETR‹YE G‹R‹fi
KOORD‹NAT DO⁄RUSU
Bir do¤ru üzerinde bir bafllang›ç noktas› ve bir yön seçilip bütün reel say›lar›n konumlar› belirlenerek bir say› do¤rusu oluflturulur.
Bu say› do¤rusuna koordinat do¤rusu denir.
Koordinat do¤rusunda O noktas› orijin (bafllang›ç noktas›) dir.
B‹R NOKTANIN KOORD‹NATI
Koordinat do¤rusu üzerinde bir A noktas›na karfl›- l›k gelen reel say›ya o noktan›n koordinat› denir.
A noktas›n›n koordinat› A(k) fleklinde gösterilir.
Orijinin koordinat› O(0) d›r.
‹K‹ NOKTA ARASINDAK‹ UZAKLIK
‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k, bu noktalar›n koordinatlar› fark›n›n mutlak de¤erine eflittir.
Yukar›daki koordinat do¤rusu üzerinde A(a) ve B(b) noktalar› alal›m.
A ve B noktalar› aras›ndaki uzakl›k,
|AB| = |b – a| veya |AB| = |a – b| dir.
Efi DO⁄RU PARÇALARI
Uzunluklar› eflit olan do¤ru parçalar›na efl do¤ru parçalar› denir.
|AB| = |BC| oldu¤undan
[AB] ve [BC] do¤ru parçalar› efl do¤ru parçalar›d›r
ve [AB] ≡ [BC] fleklinde gösterilir.
B‹R DO⁄RU PARÇASININ ORTA
NOKTASI
B noktas›, [AC] do¤ru parças›n›n orta noktas›d›r.
A(a), B(b), C(c) ve |AB| = |BC| ise
B noktas›n›n koordinat›, b = dir.
Koordinat do¤rusu üzerinde K(4) ve L(–6) ve
T(x) olmak üzere, [KT] n›n orta noktas› L nok-
tas› oldu¤una göre, x de¤erini bulal›m.
Çözüm
–6 = ⇒ x = –16 olarak bulunur.

O d
O
10

Koordinat do¤rusu üzerinde A(–4), B(2) ve C(6) olmak üzere, [AB] n›n orta noktas› D(x), [AC] n›n orta noktas› E(y) oldu¤una göre, [DE] n›n
orta noktas›n›n koordinat›n› bulunuz.
Çözüm
E(y), [AC] n›n orta noktas› ise y = = 1 dir.
Buradan F(z), [DE] n›n orta noktas› olmak üzere
z = = 0 bulunur.
Uzunlu¤u 20 br olan [AB] B noktas›na 6 br uzak-
l›ktaki bir noktadan kesiliyor.
Buna göre [AB] n›n orta noktas›n›n koordinat›, kaç br de¤iflir?
Çözüm
|AC| = |CB| = 10 br dir.
[AB], D noktas›ndan kesilirse |AD| = 14 br olur.
[AD] n›n orta noktas› F olmak üzere,
|AF| = |FD| = 7 br dir.
Buna göre, |FC| = |AC| – |AF| = 10 – 7 = 3 br
bulunur.
Sonuç olarak C noktas›n›n koordinat› 3 br sola
kaym›flt›r.
ORANLARDA BÖLEN NOKTA
bir nokta olsun.
|AC| = λ . |CB|
c = olur.
C noktas› [AB] n› = λ oran›nda d›fltan bö-
len bir nokta olsun.
c = olur.
Koordinat do¤rusu üzerinde A(–6) ve B(14)noktalar› veriliyor.
[AB] n› = oran›nda içten bölen C nok-
tas›n›n koordinat› kaçt›r?

|AC| |CB|
|AC| |CB|
11

Çözüm
A(–6) ve B(14) noktalar› aras›ndaki uzakl›k 20 birimdir. C noktas› [AB]n› içten bölece¤ine göre [AB] n›n üzerindedir.
Soruda verilen orandan,
Oran orant›dan,
4k birimde Adan B ye 20 birim artarsa k birimde A dan C ye 5 birim artar
O hâlde C noktas›n›n koordinat› –6 + 5 = –1 olur.
Koordinat do¤rusu üzerinde A(–1) ve B(5) olmak üzere, [AB] n› 3|AC| = 2|AB| oran›nda d›fltan bölen C noktas›n›n koordinat› kaçt›r?
Çözüm
3|AC| = 2|AB| ve C noktas› [AB] n› d›fltan böldü¤ü- ne göre, C noktas› A n›n solunda olur.
|AC| = 2k ve |AB| = 3k diyelim.
Koordinat, B den A ya yani 5 ten –1 e 6 birim azal- m›flt›r.
Koordinat, 3k de 6 azalm›fl ise
2k de 4 azal›r.
O hâlde C noktas›n›n koordinat›, –1 – 4 = –5 olur.
Koordinat do¤rusu üzerinde A(–2) ve B(4) noktalar› veriliyor.
Buna göre, |AB| kaç birimdir?
Çözüm
r› veriliyor.
|AB| = 1 br oldu¤una göre, x in alabilece¤i de-
¤erler toplam› kaçt›r?
|x – (–6)| = 1 ⇒ |x + 6| = 1 dir. Buradan
x + 6 = 1 ve x + 6 = –1
x = –5 ve x = –7 olur.
x in alabilece¤i de¤erler toplam› –5 – 7 = –12 bu-
lunur.
noktalar› veriliyor.
B noktas› [AC] n›n orta noktas› oldu¤una göre,
x kaçt›r?
C( ) olmak üzere, = λ oldu¤una göre,
λ – 1 de¤erini bulunuz.
Çözüm
= =
Buradan λ = 1 oldu¤una göre, λ – 1 = 1 – 1 = 0
bulunur.
12

1. Koordinat do¤rusu üzerinde bafllang›ç nokta-
s›na (orijine) uzakl›¤› 7 birim olan noktalar›n
kümesi, afla¤›dakilerden hangisidir?
D) {14, 7} E) {7, 14} .
2. Koordinat do¤rusu üzerinde,
noktalar› aras›ndaki uzakl›k kaç birimdir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
3. Koordinat do¤rusu üzerinde A(k) ve B(–3) noktala-
r› veriliyor.
|AB| = 5 birim oldu¤una göre, k nin alabilece¤i
de¤erler toplam› kaçt›r?
A) –10 B) –8 C) –6 D) –4 E) –2
4. Koordinat do¤rusu üzerinde A(–6) ve B(8) nok-
talar› aras›ndaki uzakl›k kaç birimdir?
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
5. Koordinat do¤rusu üzerinde A(4) noktas›na 2 birim uzakl›ktaki noktalar›n koordinatlar› toplam› kaçt›r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
6. Koordinat do¤rusu üzerinde verilen C(3) noktas›, [AB] n›n orta noktas›d›r.
A(–1) ve B(x) oldu¤una göre, x kaçt›r?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
7. Say› do¤rusu üzerinde E(4a – 5) ve F(a+ 20) noktalar› veriliyor.
[EF] n›n orta noktas› M(30) oldu¤una göre, |EF| kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. K = {x: |2x – 1| ≤ 7 ve x ∈ R} kümesi veriliyor.
Bu kümenin orta noktas› A(a) oldu¤una göre, a kaçt›r?
A B C D E) ) ) )− −
3 7
1 2
3 7
1 2
4 7
A B−
13
Bölüm Kazan›m Testi – 1

9.
Yukar›daki koordinat do¤rusu üzerinde verilen [CE], [AB] na efl oldu¤una göre, a kaçt›r?
A) –6 B) –5 C) –4 D) –3 E) –2
10. Koordinat do¤rusu üzerinde A(–6), B(2) ve C(x) noktalar› veriliyor.
C noktas›, A ve B noktalar›n›n aras›nda oldu- ¤una göre, x in alabilece¤i tam say› de¤erleri- nin toplam› kaçt›r?
A) –12 B) –14 C) –16 D) –18 E) –20
11. Say› do¤rusu üzerinde K(3a – 5), L(2a + 1) ve M(4a – 3) noktalar› veriliyor.
L noktas›, K ile M noktalar› aras›nda oldu¤una göre, a n›n alabilece¤i kaç farkl› tam say› de¤e- ri vard›r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12.
Yukar›daki koordinat do¤rusunda M, [KT] n›n ve L noktas› da [KM] n›n orta noktas›d›r.
|LT| = 12 birim oldu¤una göre, |KT| kaç birimdir?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
13. Say› do¤rusu üzerinde A(3), B(9) ve C(x) noktalar› veriliyor.
Buna göre, |x – 3| + |x – 9| ifadesinin en küçük de¤eri kaçt›r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14. Say› do¤rusu üzerinde A(–8) ve B(4) noktalar› veriliyor.
= 5 oran›nda [AB] n› içten bölen C nokta-
s›n›n koordinat› kaçt›r?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
15. Koordinat do¤rusu üzerinde A(0) ve B(9) noktalar› veriliyor.
= 4 oran›nda [AB] n› d›fltan bölen C nok-
tas›n›n koordinat› nedir?
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
16. Koordinat do¤rusu üzerinde, A(–2), B(5) ve P(x) noktalar› veriliyor.
P ∈ [AB] ve = ise x kaçt›r?
A) B) C) D) E)

A
a
E
3
D
2
C
1
B
0
14

1. Koordinat do¤rusu üzerinde A(x – 2), B(–2) ve C(4) noktalar› veriliyor.
|AB| = |BC| oldu¤una göre, x kaçt›r?
A) –3 B) –4 C) –5 D) –6 E) –8
2. Koordinat do¤rusu üzerinde,
A(5√ 2 – 2) ve B(5√ 2 + 2)
noktalar› aras›ndaki uzakl›k kaç birimdir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 5√ 2 E) 10√ 2
3. Koordinat do¤rusu üzerinde A(3), B(–5), C(–7) ve D(5) noktalar› veriliyor.
Buna göre, afla¤›dakilerden hangisi 1 e eflittir?
A) B) C)
veriliyor. C ∈ [AB] ve = olacak biçimde
bir C noktas› al›n›yor.
Buna göre, C noktas›n›n koordinat› kaçt›r?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5.
Yukar›daki say› do¤rusunda B, [AE] dn›n orta noktas›d›r ve |BD| = 1 br dir.
Buna göre, |DE| kaç br dir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. |x + 4| ≤ 6 aç›k önermesinin do¤ruluk kümesi- nin koordinat do¤rusu üzerindeki uzunlu¤u kaç br dir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
7. A(2), B(x) ve |AB| = 3 birimdir.
Buna göre, x in alabilece¤i de¤erler kümesi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) {3, 6} B) {–1, 5} C) {4, 5}
D) {2, 4} E) {3, 5} .
8. Koordinat do¤rusu üzerinde A(5), B(x+5), C(–4) ve D(2x – 1) noktalar› veriliyor.
[AC] ≡ [BD] oldu¤una göre, x in alabilece¤i de- ¤erler toplam› kaçt›r?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
A
–2
15

9.
|AB| = 2|BC| = 3|CD| dur.
Buna göre, x + y toplam› kaçt›r?
A) B) 2 C) 1 D) E) 3
10. Koordinat do¤rusunda A(–2), B(3), C(x) ve D(11)
|AB| = |CD| oldu¤una göre, x in alabilece¤i de-
A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22
11. Koordinat do¤rusu üzerinde A(–1), B(2) ve C(x)
A) –6 B) –5 C) –4 D) –3 E) –2
12.
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
13.
|RT| = x veriliyor.
|PR| = 17 birim oldu¤una göre, |PT| kaç birimdir?
A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26
14. 18 br uzunlu¤undaki [AB] A noktas›ndan 3 br, B
noktas›ndan 5 br uzakl›ktaki noktalardan kesiliyor.
Buna göre, yeni oluflan do¤ru parças›n›n orta noktas› ile [AB] n›n orta noktas› ara›sndaki uzakl›k kaç br dir?
A) B) 1 C) D) 2 E)
15.
Yukar›daki koordinat do¤rusunda |MK| = x + 2 ve |KN| = 3x – 1 oldu¤una göre, K noktas›n›n koordinat› kaçt›r?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
16.
A) –8 B) –7 C) –6 D) –5 E) –4
A(a) C(–2) B(b)
A
–5
D
y
B
x
C
1
16

17
DÜZLEMDE VEK
YÖNLÜ DO⁄RU PARÇASI
Uç noktalar›ndan biri bafllang›ç noktas›, di¤eri bitim noktas› olarak seçilen do¤ru parças›na yönlü do¤ru parças› denir.
AB
Bafllang›ç noktas› A, bitim noktas› B olan yönlü do¤ru parças›
AB olarak gösterilir.
Bununla birlikte, A ile B noktalar› aras›ndaki uzak- l›¤a, AB yönlü do¤ru parças›n›n uzunlu¤u denir. Ve
|KAB| ile gösterilir.
Bir yönlü do¤ru parças›n› üzerinde bulunduran do¤ruya tafl›y›c› (do¤rultu) denir.
fiekilde A bafllang›ç noktas›, B bitim noktas›, d ise tafl›y›c› do¤rudur.
Bir yönlü do¤ru parças›n›n belirlenmesi için,
yönünün,
bilinmesi gereklidir.
Bafllang›ç ve bitim noktas› A olan yönlü do¤ru par- ças› AA olarak gösterilir. Uzunlu¤u |
AA| = 0 olup yönü
ve tafl›y›c›s› belirsizdir.
Tafl›y›c›lar› ayn› veya birbirine paralel olan yönlü do¤ru parçalar›na paralel yönlü do¤ru parçalar› denir.
Yukar›da tafl›y›c› do¤rular› ayn› olan, birbirine paralel, AB ve
CD yönlü do¤ru parçalar› görülmektedir.
AB // CD dir.
Yukar›da tafl›y›c› do¤rular› farkl› ancak paralel olan d1 ve d2 üzerinde birbirine paralel
AB ve CD yön-
lü do¤ru parçalar› görülmektedir. AB // CD dir.
Tafl›y›c›lar› ayn› veya paralel olup yönleri ters olan yönlü do¤ru parçalar›na ters (z›t) yönlü do¤ru parça- lar› denir.
Yukar›da tafl›y›c› do¤rular› ayn›, yönleri ters olan, AB ve DC z›t yönlü do¤ru parçalar› görülmektedir.
Yukar›da tafl›y›c› do¤rular› farkl› ancak paralel olan d1 ve d2 üzerindeki yönleri ters
AB ve DC z›t yön-
lü do¤ru parçalar› görülmektedir.
Tafl›y›c›lar› ayn› veya paralel olup uzunluklar› ve yönleri ayn› olan yönlü do¤ru parçalar›na, efl yönlü do¤ru parçalar› denir.
AB ve
çalar› ise AB A CD olarak gösterilir.
Yukar›da tafl›y›c› do¤rular›, uzunluklar› ve yönleri ayn› olan,
AB ve
mektedir.
| AB| = |
Yönlü do¤ru parças› ve vektör kavramlar›n› aç›klar.
Vektörlerde toplama ve ç›karma ifllemlerini yapar.
‹ki vektörün aras›ndaki aç›y›, dik izdüflüm vek- törünü bulur ve uygulamalar yapar.

Yukar›da tafl›y›c› do¤rular› farkl› ancak paralel olan d1 ve d2 üzerindeki uzunluklar› ve yönleri ayn›
olan, efl do¤ru parçalar› görülmektedir.
| AB| = |
| AB| = |
AB dir.

riktir.
ba¤›nt› geçiflkendir.
Bu nedenle, efllik ba¤›nt›s› bir denklik ba¤›nt›s› olup üzerinde tan›mland›¤› kümeyi denklik s›n›flar›na ay›r›r.
VEKTÖR
Efl yönlü do¤ru parçalar›n›n kümesinde tan›mla- nan denklik ba¤›nt›s›n›n ay›rd›¤› denklik s›n›flar›n›n her birine bir vektör denir.
Vektörler a, b, u ... gibi harflerle gösterilir.
Buna göre, AB A CD A EF ise
a = { AB, CD, EF} olarak belirtilebilir.
Bafllang›ç ve bitim noktalar› ayn› olan vektörlere s›f›r vektörü denir. AA A BB A . . . A
0 olarak gösterilir.
AB| olarak
gösterilir. Uzunlu¤u 1 birim olan vektöre birim vektör denir.
VEKTÖRLERDE TOPLAMA ‹fiLEM‹ Paralelkenar Metodu
AB ve
oluflturularak AK olarak bulunur.
AB + AC = AK dür.
Çokgen Metodu
Çokgen metodunda iki veya daha fazla vektör uç uca getirilir, ilk vektörün bafllang›c› ile son vektörün bi- timini birlefltiren vektör, toplam vektörü olarak bulunur.
AB + BC = AC
AC toplam vektörüdür.
A
B
d1
C
D
d2
18

AB + BC + CD = AD
Düzlemde vektörler kümesi V ve a, b, c ∈ V olsun.
Her a ∈ V ve
b ∈ V olur.
Buna göre, vektörler kümesi toplama ifllemine gö- re kapal›d›r.
Her a ∈ V ve
a olur.
Buna göre, vektörler kümesinin toplama ifllemine göre de¤iflme özelli¤i vard›r.
Her a ∈ V,
b ∈ V ve
c ∈ V için
c ) dür.
Buna göre, vektörler kümesinde toplama iflleminin birleflme özelli¤i vard›r.
Her a ∈ V için
0 vektörüdür.
tersi –a dür.
Sonuç olarak, vektörler kümesi toplama ifllemine göre de¤iflmeli gruptur.
Vektörlerde Ç›karma ‹fllemi
AB – AC = AB + CA = CB dür.
Vektörün Bir Reel Say›yla Çarp›m›
Bir a vektörü ve k∈IR verilsin.
k > 0 ise
|k a | = |k| . |
D
19

ABCD dörtgeninde belirtilen vektörlerin topla-
m› nedir?
Buna göre, DC + CB + BA + DA = DA + DA
= 2 DA bulunur.
Çözüm
0 dür.
toplamlar› 0 dür.
K›saca bafllang›ç ve bitifl noktas› ayn› olan vektör-
ler 0 dür.
AD nü
AB ve
Çözüm
ADC üçgeninde AD = AC + CD olur.
Eflitlikler taraf tarafa topland›¤›nda
2 AD = AB + BD + AC + CD
– BD
GA + GB + GC
oldu¤undan
GD = bulunur.
C
A
B
E
D
C
A
B
D
20

ABC bir üçgen |CD| = 3|BD| oldu¤una göre, AD
nü AB ve AC türünden yaz›n›z.
Çözüm
ADC üçgeninde AD = AC + CD dür.
| CD| = 3|
BA ve
FE olur.
AF = BF – BA
= 2 FE – BA
lam›n› bulunuz.
Paralelkenar metoduna göre, CE + CD = CF bulunur.
Birim karelere ayr›lm›fl zeminde 2 AB – 2
AC nü
–2 AC = AE dür.
F E
21

VEKTÖRLER‹N ANAL‹T‹K ‹NCELENMES‹
Koordinat düzleminde bafllang›ç noktas› orijin olan vektörlere konum veya yer vektörü denir.
Bir yer vektörünün bitim noktas›, koordinat düzle- mindeki bir noktan›n koordinatlar›d›r. Dolay›s›yla yer vektörünün bitim noktas› ile bu noktan›n koordinatlar› aras›nda bire bir eflleme kurulabilir.
Koordinat düzleminde A(x1, y1), B(x2, y2) ve
K(a, b) olmak üzere; AB ne eflit ve bafllang›ç nok-
tas› orijin olan OK ne,
AB nün yer vektörü denir.
AB = OK → (x2 – x1, y2 – y1) = (a, b) ve
OK =
AB =
B –
A = (x2 – x1, y2 – y1) dir.
Koordinat düzleminde A(6, –1) ve B(2, 2) noktala- r› veriliyor. AB nün yer vektörünü bulunuz.
Çözüm
A(x1, y1) ve B(x2, y2) oldu¤unda AB = (x2 – x1, y2 – y1) oldu¤undan AB = (2 – 6, 2 – (–1))
= (–4, 3) bulunur.
Koordinat düzleminde A(5, 7) ve B(0, 3) noktalar› veriliyor. AB ve
BA vektörlerinin yer vektörlerini bulunuz.
Çözüm AB = (0 – 5, 3 – 7)
= (–5, –4) BA = (5 – 0, 7 – 3)
= (5, 4) bulunur. AB = –
Vektörlerin Uzunlu¤u (Normu
uzunlu¤u (normu) | OK| olarak gösterilir ve
| OK| = √ ƒ aƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ bƒ 2 dir.
Uç noktalar› A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan AB nün
uzunlu¤u,
| AB| = √ ƒ (xƒ 2ƒ ƒ –ƒ ƒ xƒ 1ƒ )ƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ (ƒ yƒ 2ƒ ƒ –ƒ ƒ yƒ 1ƒ )2 dir.
Koordinat düzleminde A(–2, 8) ve B(1, 12) noktalar› veriliyor.
Buna göre, AB nün uzunlu¤u kaç birimdir?
Çözüm
= (3, 4) tür.
= 5 birim bulunur.
y
B
xx2ax1O
b
y1
y2
A
K
22

Koordinat düzleminde A(–a–2, b) ve B(4–a, 8+b) noktalar› veriliyor.
Buna göre, BA nün uzunlu¤u kaç birimdir?
Çözüm BA =
= (–a – 2 – 4 + a, b – 8 – b)
= (–6, –8) dir. BA nün normu
| BA| = √ ƒ (ƒ –ƒ 6ƒ )ƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ (ƒ –ƒ 8ƒ )2
= 10 birim bulunur.
Vektörlerin Eflitli¤i
Koordinat düzleminde yönü, do¤rultusu ve uzunlu¤u ayn› olan vektörlerin yer vektörleri de ayn›d›r. A = (x1, y1) ve
B = (x2, y2) olmak üzere,
A =
Koordinat düzleminde A = (–5, b) ve
B = (a+1, 8)
Çözüm A =
a = –6
Koordinat düzleminde K = (k – p, 4 – k) ve
P = (10, 2k – 5)
Çözüm K =
P oldu¤undan (k – p, 4 – k) = (10, 2k – 5) tir.
4 – k = 2k – 5
p = –7 bulunur.
‹ki Vektörün Toplam›
B = ( x2, y2)
B = (x1 + x2, y1 + y2)
olarak bulunur.
b = ( x2, y2) ve
manlar› olsun.
a +
b = ( x1 + x2, y1 + y2) vektörü de düzlemde bir
vektör oldu¤undan vektörler kümesi toplama ifllemine göre kapal›d›r.
Her a, b ∈ V için
a +
b =
b +
toplama ifllemine göre de¤iflme özelli¤i vard›r.
Her a, b, c ∈ V için
( a +
b ) +
c =
a + (
b +


Her a ∈ V için
de toplama iflleminin birim (etkisiz) eleman› 0 = (0, 0) vektörüdür.
Her a ∈ V için
‹ki Vektörün Fark›
B = ( x2, y2)
vektörlerinin fark› A –
olarak bulunur.
B = (1, 7)
vektörleri veriliyor. A +
= (–5, 17) A –
= (–7, 3) bulunur.
B = (–1, –7)
= (5, 12)
B| = √ ƒ 5ƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ 1ƒ 2ƒ 2
= 13 birim bulunur.
KP = (2, –2)
Çözüm KP =
Koordinat düzleminde A(3, 6) ve B(5, –4) noktala- r› ile
C = (11, 2) veriliyor.
Çözüm BA = (3 – 5, 6 – (–4)) = (–2, 10) BA +
C = (–2 + 11, 10 + 2) = (9, 12)
| BA +
C| = √ ƒ 9ƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ 1ƒ 2ƒ 2
= ¬ 225 = 15 birim bulunur.
Koordinat düzleminde A(1, 1), B(–2, 4), C(0, 2) ve D(3, 7) noktalar› veriliyor. AC – DB nü bulunuz.
Çözüm AC =
= (–1, 1) DB =
= (–5, –3) AC – DB = (–1, 1) – (–5, –3)
= (–1 – (–5), 1 – (–3))
24

Koordinat düzlemin- de
C(6, 0) ise AB + OC nü bulunuz.
Çözüm AB = (–3 – 0, 0 – 8) = (–3, –8) OC = (6, 0) olaca¤›ndan AB + OC = (–3 + 6, –8 + 0) = (3, –8) bulunur.
Koordinat düzleminde |AO| = 6 birim B(8, 2 3)
ise, BA nü bulunuz.
Çözüm
Uzunlu¤u 6 birim olan OA x ekseniyle 60° lik aç›
yapt›¤›ndan OA =
BA =
A –
= (–11, √ 3) bulunur.
R S Ç A = (x1, y1) ve k∈IR veriliyor.
k. A = k(x1, y1) = (kx1, ky1) dir.
Bununla birlikte,
A ayn› do¤rultuda ve ayn› yönde.
k < 0 ise A ile k
A ayn› do¤rultuda ancak z›t yönde-
dir.
Vektörlerin Reel Say›yla Bölümü
A = (x1, y1) ve s›f›rdan farkl› k reel say›s› veriliyor.
Koordinat düzleminde A=(6, –2) ve
B = (1, 3) vek-
Çözüm
= (–5, 5)
= (–15, 15) bulunur.
PK = (0, 3)
P nü bulunuz.
= (9 – 0, 5 – 3)
= (18, 10) – (27, 6)
= (18 – 27, 10 – 6)

A
C
25

Çözüm
2 B = (–5, 2) – (1, 0)
2 B = (–6, 2)
= (–4, 1)
| AB| = √ ƒ (ƒ –ƒ 4ƒ )ƒ 2 ƒ +ƒ ƒ 12
= √ ƒ 1ƒ 7 birim bulunur.
Paralel Vektörler
B = ( x2, y2)
B = (–2, 6)
Çözüm
A //
P =(–1, k)
Çözüm
K //
P ⇒
k =
Koordinat düzleminde A(0, 5) ve B(–3, m) noktala- r› ile
K = (9, 1) veriliyor.
Çözüm
= (–3, m – 5)
m = bulunur.
Koordinat düzleminde A(–a, 3), B(6, 1), C(–4, 0) ve D(2a+1, 2) noktalar› veriliyor. DA // BC ise a kaçt›r?
Çözüm DA = (–a – 2a – 1, 3 – 2)
= (–3a – 1, 1) BC = (–4 – 6, 0 – 1)
= (–10, –1)
DA // BC ⇒
26

Dik Vektörler
B = ( x2, y2)
vektörleri veriliyor. A ⊥
B = (–6,
Çözüm A ⊥
–12 + 3a – 3 = 0
a = 5 bulunur.
Koordinat sisteminde A(7, 2) ve B(–1, 1) noktala- r›yla
C = (m–5, –3m) veriliyor.
BA ⊥
Çözüm BA = (7 – (–1), 2 – 1)
= (8, 1) dir. BA ⊥
8m – 40 – 3m = 0
B = (3m–1, 2)
A //
Çözüm
A //
B ⇒
–4n = 0
Çözüm
Belirtilen noktalar›n koordinatlar› A(0, –3), B(6, 0), C(–3, 1) ve D(4, m) oldu¤undan, AB = (6–0, 0–(–3))
= (6, 3) CD = (4–(–3), m–1)
= (7, m–1) dir.
B = (6, 3b+3)
vektörleri veriliyor. A ⊥
B ve 3a + b = 23 ise a.b çarp›m› kaçt›r?
Çözüm A ⊥
–6a + 6b + 6 = 0
a – b = 1 olur.

27

Koordinat sisteminde K = (–8, 2),
P = (a, 3) ve
P ve
rimdir?
Çözüm
K //
P ⇒ =
b = –4 olur. PL =
= (11, –7)
| PL| = √ ƒ 1ƒ 1ƒ 2ƒ ƒ +ƒ (ƒ –ƒ 7ƒ )2
= √ ƒ 1ƒ 2ƒ 1ƒ +ƒ 4ƒ 9
= √ ƒ 1ƒ 70 birim bulunur.
Birim Vektör
Koordinat sisteminde e1 = (1, 0) ve
e2= (0, 1) vek-
fiekildeki yatay birim vektörü e1 veya
i ile, düfley
Bununla birlikte, A = ( x1, y1) ile ayn› do¤rultulu ve
ayn› yönlü birim vektör u1 = d›r.
A vektörü ile ayn› do¤rultulu ancak z›t yönlü olan
birim vektör u2 = – dur.
n› do¤rultuda ve yönde olan birim vektör nedir?
Çözüm
| A| = √ ƒ 3ƒ 2ƒ +ƒ (ƒ –ƒ 4ƒ )2
= 5 birim
rultuda ve z›t yönde olan birim vektör nedir?
Çözüm
| A| = ¬ƒ 42 ƒ +ƒ ƒ (ƒ –ƒ 2ƒ )2
= 2√ 5 birim A ile z›t yönlü olan birim vektör
u = – = –
= bulunur.

e2
e1
2
3
–8
a
28

Çözüm AB = (4 – (–2), 5 – 2) = (6, 3)
| AB| = √ ƒ 6ƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ 3ƒ 2 = 3√ 5 birim
Birim vektör u = = = bulunur.
Koordinat sisteminde K = nün birim
vektör olabilmesi için a n›n alabilece¤i de¤erlerin çarp›m› kaçt›r?
Çözüm
| K| =
Bu de¤erlerin çarp›m› bulunur.
Koordinat sisteminde x ekseniyle pozitif yön- de 45° lik aç› yapan birim vektör nedir?
Çözüm
Koordinat sisteminde x ekseniyle 45° lik aç› yapan birim vektör, u = OA dür.
| u | = 1 birim oldu¤undan AOH ikizkenar dik üçge-
ninde |AH| = |OH| = birim ve u =
bulunur.
Koordinat sisteminde 2x – y = 4 denklemli do¤ruya paralel olan birim vektörleri bulunuz.
Çözüm
2x – y = 4 do¤rusunun e¤imi 2 oldu¤undan bu do¤ruya paralel olan birim vektör
u = (k, 2k) biçi-
u1 = ve
u2 = bulunur.
Koordinat sisteminde 4x – 3y = 12 denklemli do¤ruya dik olan birim vektörleri bulunuz.
Çözüm
4x – 3y = 12 do¤rusunun e¤imi oldu¤undan bu
do¤ruya dik olan birim vektörler u = (4k, –3k) biçi- mindedir.
| u| = √ ƒ (ƒ 4ƒ kƒ )ƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ (ƒ –ƒ 3ƒ kƒ )2 = 1
25k2 = 1
e2=(0, 1)
Tüm vektörler e1 ve
yaz›labilir.
a = x
e1 + y
e2 biçi-
A
| A|
29

Koordinat sisteminde A(–2, 5) ve B(1, 4) noktalar› veriliyor. AB nün standart taban vektörleriyle yaz›l›fl›n›
bulunuz.
Bu vektörün standart taban vektörleriyle yaz›l›fl›, AB = 3
e1 –
Çözüm A =
e1 – 6
B = (1 – 4, –6 – 2) = (–3, –8) olur.
| BA| = √ ƒ (ƒ –ƒ 3ƒ )2ƒ ƒ +ƒ (ƒ –ƒ 8ƒ )2 = √ 73 birim bulunur.
Vektörlerin Lineer (Do¤rusal Bileflimi
Koordinat sisteminde A ve
B iki vektör ve
B ne
A ve
B vek-
A = (1, 1) ve
Çözüm
A + n
B olsun.
(3, 7) = (m – n, m + 3n)
Buna göre, K nün
A +
K = (2, 1) ve
Çözüm
K + n
P olsun.
(5, 11) = (2m + n, m – 8n)
Buna göre, A = 3
B ve
Çözüm A = (7, 12),
B = (6, 1) ve
C = (–1, 2) dir.
B + n
C olsun.
(7, 12) = (6m – n, m + 2n)
Buna göre, A = 2
P=(1 ,2 )

− =
+ =

= = .
+ =
− =

= = − .

− =
+ =

= =
30

Çözüm
P vektörlerinin line-
Buna göre,
kümesi K ile
dir.
m ve n de¤iflkenlerine verilen de¤erlerle A küme- sinde sonsuz tane vektör bulunur.
Lineer Ba¤›ml› ve Lineer Ba¤›ms›z Vektörler
Koordinat sisteminde s›f›rdan farkl› A ve
B vektör-
leri veriliyor.
B =
0 eflitli¤ini sa¤layan en az biri s›f›rdan
farkl› m ve n reel say›lar› varsa A ve
B vektörlerine li-
m A + n
0 eflitli¤ini sa¤layan yaln›z m = n = 0
de¤erleri varsa A ve
B vektörlerine lineer ba¤›ms›z
vektörler denir.
lel, lineer ba¤›ms›z ise birbirine paralel de¤ildir.
Koordinat sisteminde A = (–3, a) ve
B = (12, 8)
Çözüm
A //
B ⇒ =
a = –2 bulunur.

BA ile K lineer ba¤›ml› vektörler ise k kaçt›r?
Çözüm BA = (4 – 0, 1 – 5)
= (4, –4) BA ile
BA //
K ⇒
A = (–2, 3) –
B = (6, 1)
K = (8, 2) –
L = (–12, –3)
C = (–1, 4) –
D = (3, 12)
P = (0, 5) –
T = (2, 10)
A ve
için lineer ba¤›ms›zd›r.
K ve
ba¤›ml›d›r.
P ve

a
8
–3
12
y1
y2
x1
x2
31

Vektörlerin ‹ç (Skaler Çarp›m›
Koordinat sisteminde A = ( x1, y1) ve
B = ( x2, y2)
‹fllemine Öklid iç çarp›m› veya skaler çarp›m denir.
Öklid iç çarp›m iflleminin özellikleri:

sahiptir.

A ≥ 0 oldu¤undan ifllem, pozitif tan›ml›l›k
özelli¤ine sahiptir.
B = (2, 4)
vektörleri veriliyor. A .
Çözüm A .
B = (3, –3)
Çözüm A .
24 – 3m = 9
m = 5 bulunur.
B = (–m, 2)
B = –12 ise
Çözüm A ·
–5m + 2m = –12
B = (–4, 2) olaca¤›ndan
AB =
B –
= (–9, –2)
| AB| = √ ƒ (ƒ –ƒ 9ƒ )2ƒ ƒ +ƒ (ƒ –ƒ 2ƒ )2
= ¬ 85 birim bulunur.
Koordinat sisteminde K(9, –2), P(1, 1), L(0, 4) ve T(–2, 3) noktalar› veriliyor. KL · PT iç çarp›m› kaçt›r?
Çözüm KL = (0 – 9, 4 – (–2))
= (–9, 6) PT = (–2 – 1, 3 – 1)
= (–3, 2) KL · PT = (–9).(–3) + 6.2
= 27 + 12 = 39 bulunur.
P = (0, –4)
sonucu kaçt›r?
32

Koordinat sistemindeki bir ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezi G dir.
A(4, –1), B(2, 0) ve G(1, –3) ise AG . GC iç çarp›-
m› kaçt›r?
= (–4, –5) AG · GC = (–3)·(–4) + (–2).(–5)
= 12 + 10
= 22 bulunur.
Çözüm
( A +
B)2 = (
A +
B) . (
A +
B)
A .
B + |
B
| A+ B|2 = 65
Koordinat sisteminde 0° ≤ α ≤ 180° olmak üzere, A ve
B vektörleri aras›ndaki aç› α olsun.
< A ,
B > =
A ·
B = |
A| · |
r›ndaki aç› 0° dir.
Vektörler ayn› do¤rultulu ancak z›t yönlü ise arala-
r›ndaki aç› 180° dir.
Ayr›ca, vektörler aras›ndaki aç› 90° oldu¤unda
cos90° = 0 olaca¤›ndan, A ⊥
B ⇒
A .
3
33

Koordinat sisteminde A = (3, –5) ile
B = (10, 6)
Çözüm A .
= 30 – 30 = 0 A .
90° dir.
B=(2 ,4 )
Çözüm A .
B= 1 · 2 + (–2) · 4 = –6
| A| = √ ƒ 1ƒ 2 ƒ +ƒ (ƒ –ƒ 2ƒ )2 = √ 5 birim
| B| = √ ƒ 2ƒ 2 ƒ +ƒ ƒ 42 = 2√ 5 birim
Vektörler aras›ndaki aç› α olsun. A .
B= |
A| . |
cosα = – bulunur.
P = (2,–2 3)
Çözüm
K ·
= 2√ 3
| K| = √ ƒ 0ƒ 2 ƒ +ƒ (ƒ –ƒ 1ƒ )2
= 1 birim
| P| = √ ƒ 2ƒ 2 ƒ +ƒ (ƒ –ƒ 2ƒ √ ƒ 3ƒ )2
= 4 birim
P= |
K| . |
cosα = ⇒ α = 30° bulunur.
B = ( 1 , – 3)
Çözüm
B vektörleri
x ekseniyle 45° ve 60° lik aç›lar yapaca¤›ndan vektörler aras›ndaki aç› 45°+60°=105° bulunur.
ABC bir üçgen
|AB| = 5 birim
|BC| = 6 birim
|AC| = 2 birim
kaçt›r?
| BC|2 = |
AB|2 + |
2 AB . AC = 29 – 36
AB . AC = – bulunur.
ABC dik üçgen
kaçt›r?
–√ 3
1
√ 3
2
3
5
34

Çözüm
ABC 9 – 12 – 15 özel kenarl› dik üçgen oldu¤undan |AB| = 9 birimdir. AB ile
AC vektörleri aras›ndaki aç›n›n kosinüsü,
cosÂ = = olur.
= 9 · 15 ·
= 81 bulunur.
kaçt›r?
cos^B = dur.
= 7 · | BC| ·
= 49 bulunur.
Yukar›daki verilere göre, A H . ( BC + AC) iç çar-
p›m› kaçt›r?
ABC dik üçgende Öklid ve Pisagor ba¤›nt›lar›yla
|AH| = 4 birim, |AC| = 2√ 5 birim bulunur.
fiekilde [AH] ⊥ [BC] ⇒ AH · BC = 0 d›r.
AH ile
cos(HÂC) = tir.
= 0 + | AH| · | AC| · cos(HÂC)
= 4 · 2√ 5 ·
|AD| = |DB|
kaçt›r?
Buna göre, CD · AC = | CD| · | AC| · cos(180° – α)
= 5 · 6 ·
= –18 bulunur.
3
5
3
5
9
15
35

36
ABC eflkenar üçgen
|BC| = 8 birim
kaçt›r?
Çözüm BA ile AC vektörlerinin bafllang›ç noktalar› bir ara-
ya getirildi¤inde aralar›ndaki aç› 120° olur.
Buna göre, BA . AC = | BA| · | AC| . cos120°
= 8 . 8 .
= –32 bulunur.
kaçt›r?
= |DA| . 8 .
= 24 bulunur.
kaçt›r?
cosα = = tir.
Çözüm OA = (0, 5) BC = (0 – 6, –2 – 0)
= (–6, –2) dir. OA . BC = 0. (–6) + 5.(–2)
= –10 bulunur.
A 5
O B
6 x
C –2
α
A
B 8 C

ABCD dikdörtgen
|AE| = |ED|
|DF| = |FC|
kaçt›r?
Çözüm
ABCD dikdörtgeni, koordinat sistemine yerlefltiril- di¤inde A(0, 6) ve C(10, 0) olur.
|AE| = |ED| ⇒ E(5, 6)
BF = (10, 3) oldu¤undan
BE · BF = 5 . 10 + 6 . 3
= 68 bulunur.
Yukar›daki verilere göre, LA . LB iç çarp›m›
kaçt›r?
cosα = = olur. Buna göre,
= 4√ 2 · 4√ 3 · = 32 bulunur.
Dik ‹zdüflüm
Koordinat sisteminde izdüflüm bir vektörün baflka bir vektör üzerine yans›mas› olarak ifade edilebilir.
Yukar›daki flekilde A nün
B üzerindeki dik izdü-
flüm vektörü K vektörüdür.
K vektörünün uzunlu¤u
Koordinat sisteminde A = (7, –2) nün
B = (3, 4) üzerindeki dik izdüflüm vektörünün uzunlu¤u kaç birimdir?
B
| B|
K = ·|
K|
F
37

Çözüm
| K|= = = = birim bulu-
B=(2,–1)
Çözüm
| K| = = = = 3√ 5 birim
Schwartz Eflitsizli¤i
–| a ·
b | ≤
a ·
b ≤ |
a | · |
b |
Çemberin Vektörel Denklemi
Koordinat sisteminde merkezi M(a, b), yar›- çap› r olan çember üzerindeki bir nokta P(x, y) ise çemberin vektörel denklemi,
| MP|2 = r2 dir.
MP = (x – a, y – b) olaca¤›ndan vektörel denklemi verilen çemberin standart denklemi,
| MP|2 =
(x–a)2 + (y–b)2 = r2 bulunur.
Koordinat sisteminde merkezi M(–6, 1) ve yar›- çap› 4 birim olan çemberin vektörel ve standart denklemi nedir?
Çözüm
vektörel denklem
Çemberin standart denklemi,
(x+6)2 + (y–1)2 = 16 bulunur.
R2 de A(3, –2), B(1, 0) noktalar› ve u = (1, 4) vek-
törü veriliyor.
Buna göre, XAB, uY öklid iç çarp›m›n›n sonucu-
nu bulal›m.
B –
A
XAB, uY = –2.1 + 2.4
XAB, uY = –2 + 8 ⇒ XAB,
uY = 6 bulunur.
aç›n›n kosinüs de¤erini bulal›m.
Çözüm
b vektörlerinin uzunluklar›n› bulal›m.
| a| = √ ƒ 3ƒ 2 ƒ +ƒ ƒ 1ƒ 12 = ¬ 130 birim
| b| = √ ƒƒ (ƒ –ƒ 7ƒ )ƒ 2ƒ ƒ +ƒ ƒ 92 = ¬ 130 birim
cosα = =
= = bulunur.
A· B
A· B
| B|
38

1. Düzlemde KP + PN – TN ifadesinin efliti afla¤›-
dakilerden hangisidir?
A) AB – AC = CB
C) AB = 2.
E) AB // CD ⇒
Yukar›daki flekilde belirtilen vektörlerin topla- m› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 0 B)
GB ve
A) B)
AB ve
AC tü-
A) B)
C) D)
Yukar›daki verilere göre, EF vektörünün efliti afla¤›dakilerden hangisidir?
A) B) BA + CB C)
BA + CD
E) FA + ED .
7. Analitik düzlemde A, B, C, D ve E ard›fl›k do¤- rusal noktalar olmak üzere |AB| = 1 birim, |BC| = 6 birim, |CD| = 4 birim ve |DE| = 2 birim ise afla¤›dakilerden hangisi yanl›flt›r?
A) 2. AB = DE B)
BC =
CD
39

8. Analitik düzlemde A = (5, –2) nün standart bi-
rim vektörü cinsinden ifadesi afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 3 e1 – 2
9. Koordinat sisteminde A(2, –5) ve B(3, 1) noktalar› veriliyor.
AB nün yer vektörü afla¤›dakilerden hangisidir?
A) (1, 4) B) (1, 6) C) (–1, –2)
D) (4, –2) E) (4, 6) .
10. Analitik düzlemde, a = (4,2) ve b = (3,9)
vektörleri veriliyor.
lerden hangisidir?
D) (10,6) E) (12,9) .
11.
Koordinat sisteminde A noktas›n›n apsisi 10, B noktas›n›n ordinat› –6 ise
AB vektörü afla¤›da-
D) (5, –6) E) (–10, 6) .
12. Dik koordinat siste-
| A| = 6 birimdir.
hangisidir?
D) (3√ 3, 3) E) (–3, 3√ 3) .
13. Koordinat sisteminde A(1, –9), B(0, 3) ve C(6, 2)
D) (17, 8) E) (–17, 8) .
14. Koordinat sisteminde A = (–4, 6) ve
BA = (–5, –1)
Buna göre, B nün normu kaç birimdir?
A) 3√ 5 B) 5√ 2 C) 3√ 6 D) 8 E) 10
15. Analitik düzlemde A ve
B vektörleri veriliyor.
| B| = 5 birim ise |
B| kaç birimdir?
A) ¬ 61 B) 5√ 2 C) 7 D) 3√ 5 E) ¬ 41
6 60°
40

1. Koordinat sisteminde A = (k–4, 2) ve
B = (–k, 8)
vektörleri veriliyor. A +
dir?
D) (–2, 10) E) (8, –10) .
2. Koordinat sisteminde B = (7, –1) ve
BA = (1, 6)
den hangisidir?
D) (–1, 4) E) (1, 4) .
3. Koordinat sisteminde K=(2m, –6) ile
P=(4+3m, 2)
D) (4, –20) E) (–8, –2)
4.
Koordinat sisteminde belirtilen noktalara göre, OA + OB toplam vektörü afla¤›dakilerden han-
gisidir?
D) (7, 1) E) (9, 2) .
5.
Koordinat sisteminde verilen noktalara göre, AB + CD toplam vektörü afla¤›dakilerden han-
gisidir?
D) (5, –1) E) (10, –2) .
6.
Yukar›daki birimkarelerden oluflan flekilde AB + BC + BE vektörü afla¤›dakilerden hangisi-
ne eflittir?
B afla¤›dakilerden hangisidir?
D) (11, 8) E) (14, 7) .
x
y
x
A
O
y
5
–2
4
2
B
41

8. Koordinat sisteminde A = (–a, 3) ve
B = (1, 12)
vektörleri veriliyor. A //
A) –4 B) –2 C) – D) – E)
9. Koordinat sisteminde A = (8, 2a–1) ve
B = (–4, a)
vektörleri veriliyor. A //
A) B) 2 C) D) 6 E) 8
10. Koordinat sisteminde KL = (3,5),
LM = (1,2),
D) (8,15) E)(9,15) .
e1 – k
A) –18 B) –12 C) –2 D) 24 E) 30
12. Koordinat sisteminde A(–2, 10), B(m, 1) ve C(6, –1) noktalar› veriliyor. AB // CA ise m kaçt›r?
A) –10 B) – C) D) E) 5
13.
t›¤› aç› 45° ve OK // PL ise m kaçt›r?
A) 8 B) C) 10 D) 11 E) 13
14.
15. M = (1, 3) ve
N = (3,–3) vektörleri aras›ndaki
aç›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 60 B) 75 C) 90 D) 105 E) 12
13
2
25
4
m
–6
P
4
3
L
45°
K
y
50
11
23
8
23
2
5
2
1
4
2
5
1
4
1
2
42

B = (b–2, 8)
A) –4 B) C) 3 D) 4 E)
2. Koordinat sisteminde K(0, –5) ve P(2, 1) noktalar› ile L = (–3, m) vektörü veriliyor. KP ⊥
L ise m kaçt›r?
A) 6 B) 2 C) D) 1 E) –1
3. Koordinat sisteminde A(2, 0), B(10, 6), C(m, 1) ve D(2, 5) noktalar› veriliyor. AB ⊥ DC ise
CD nün uzunlu¤u kaç birimdir?
A) 3 B) ¬ 13 C) 4 D) 5 E) 3√ 3
4.
A) 2 B) C) 3 D) 4 E) 5
5. Koordinat sisteminde A = (a, –3),
B = (6, 9) ve
A) 18 B) 15 C) 9 D) 3 E) –6
6. Koordinat sisteminde, K = 6
e1 – 6
A) 0 B) 3 C) D) 5 E) 8
7. Koordinat sisteminde A = (3–m, 2) ve
B = (12, –4) vektörleri lineer ba¤›ml› ise m kaç-
t›r?
A) –9 B) –6 C) 1 D) 3 E) 9
8. Koordinat sisteminde,
P = (–2, –3m)
A) B) C) D) 4 E) 11
2
1
2
5
11
3
11
9
2
5
2
x
8
m
3
2
9
2
1
2
43

44
9. Koordinat sisteminde afla¤›daki vektör çiftle- rinden hangisi lineer ba¤›ml›d›r?
A) (5, –2); (1, 1) B) (–3, 1); (6, –2)
C) (1, 7); (–2, 7) D) (4, –2); (–2, 4)
E) (8, 2); (3, –6) .
B = (1, –2)
B vektörlerinin
A) (3, –6) B) (–1, 2) C) (–7, 14)
D) (4, –8) E) (5, 8) .
11. Koordinat sisteminde A(k, –6), B(1, 8) ve C(1–k, 4) noktalar› veriliyor. AC ile
B vektörleri bir düzlem oluflturamad›kla-
r›na göre, k kaçt›r?
A) 12 B) 8 C) 6 D) – E) –
12. Koordinat sisteminde,
e1 +
e2
vektörleri bir düzlem oluflturduklar›na göre, m afla¤›dakilerden hangisi olamaz?
A) –12 B) –10 C) – D) – E) –
13. ABCD diktörtgen, IAEI = 2 br
IFBI = 3 br
IADI = 5 br
IBEI = 6 br
oldu¤una göre, DE . DF iç çarp›m› kaçt›r?
A)12 B)18 C)26 D)30 E)34
14. ABC eflkenar üçgen
oldu¤una göre, ⟨ AB, CE ⟩ iç çarp›m› kaçt›r?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20
15. a ve
| a|= 6 birim |
a . (
b –

3
4
3
5
4
12
7
1
8
1
16

1.
ayn› yönlü olan birim vektör afla¤›dakilerden hangisidir?
A) B) C)
2. Koordinat sisteminde A = nün birim
vektör olabilmesi için k nin alabilece¤i de¤erlerin çarp›m› kaçt›r?
A) – B) – C) D) E)
3. Koordinat sisteminde A = (2, –4) ile ayn› do¤-
rultuda ve yönde olan birim vektör afla¤›dakilerden hangisidir?
A) B) C)
4. Koordinat sisteminde A = (6, 8) ile ayn› do¤rul-
tuda ve z›t yönlü olan birim vektör afla¤›dakilerden hangisidir?
A) B) C)
B = (3, 5) ile
vektörlerinin lineer bileflimi olarak yaz›l›fl› afla- ¤›dakilerde

Documents

Ygs.lys.Pergel.geometri.k.a