Slayt 1

YMT 222 SAYISAL ANALZ (Blm 3a)Prof. Dr. Asaf Varol

2012-2013 Bahar Dnemi12Dorusal (Lineer) Denklem SistemleriGR ()

Lineer Denklem: Sadece birinci derece bilinmeyenli olan denklemlerin gsterimidir.Lineer Denklem Sistemleri: Lineer denklemlere karlk birden fazla bilinmeyenli denklemler de vardr.3GR (2)(n+1) noktalar boyunca ilerleyen n dereceli bir polinomun katsaylarn bulmak istersek (n+1) denklemlerin bir lineer sistemi gsterilir. rnein x ve y noktalar boyunca ilerleyen 2. dereceden bir parabol iin denklem bulma;

(-1,0) ; (1,1) ; (2,-1) a0, a1 ve a2 bilinmeyen katsaylar iin aadaki denklemleri zebiliriz.

2. derecedeki bir polinom iin genel denklem her bir x ve y noktasnn deeri ile elde edilir.

4Durum rnei Demiryolu Aracnn Titreimi

5Newtonun 2. Kanununa gre her aracn kazanc-k1 x1 + k2 (x2 x1) = m1 a1-k2 (x2 x1) + k3 (x3 x2) = m2 a2 -k3 (x3 x2) = m3 a3Durum rnei Demiryolu Aracnn Titreimik1=k2=k3=k=10000 kg/s ve m= 2000 kg , m2=3000 kg ve m3= 1000 kgdir. Hepsinin ivmesi 1m/s olduu durumda her bir aracn konumunu belirleyiniz. Bu temsili deerler ile denklem ve kazan dzenlenirse; -2x1 + x2 = 0.2 x1 - 2x2 + x3 = 0.3 x2 - x3 = 0.1Bu zel form denklem sistemlerinin matris temsili iin ok uygundur. [A]{X} = {C}[A] katsaylarn matris gsterimi, {x} bilinmeyen vektr temsili, ( x1,x2,x3 ) ve {C} eitliin kar tarafndaki katsaylardr.

6Serbest cisim diyagram izilir ve x- ve y- ynlerinde kuvvetlerin toplam ayarlanarak sfra yaklatrlr ve aadaki denklem elde edilir; a ile:Fax + Fab cos45 + Fad cos30 = 0Fay + Fab sin45 + Fad sin30 = 0

b ile:-Fab cos45 + Fbc cos45 + 3 = 0-Fab sin45 Fbc sin45 Fbd = 0

Durum rneiBasit Bir Destek stne Uygulanan G7c ile:-Fcd cos30 Fbc cos45 = 0Fcy + Fcd sin30 + Fbc sin45 = 0d ile:-Fad cos30 + Fcd cos30 = 0Fbd Fad sin30 Fcd sin30 Durum rneiBasit Bir Destek stne Uygulanan G8

Denklem yeniden dzenlenirse;

Denklem organize biimde yeniden dzenlendiinde bu deerler bir matris formunda kolaylkla yerine koyulabilir.F1 =Fax, F2 = Fay, F3 = Fab, F4 =Fad, F5 = Fbc, F6 = Fbd, F7 = Fcd, ve F8 = FcyMatris denklemi aadaki gibi yazlabilir.[G]{F} = {L}G geometrik matris, F G vektr ve L yol vektrdr.

Durum rneiBasit Bir Destek stne Uygulanan G

9Denklem sistemi 8 bilinmeyen iin zlebilir. 8 bilinmeyenli denklemin zm 8 denklem yardmyla olur. Elbette bu istenilen bir i deildir. Bu yzden hesap ve zm algoritmalarn u an bu blmde bu grevi nispi kolaylatrma ile yerine getirebiliriz.Matris Cebirinin ncelenmesi10[A] 3*3 matrisi belirlera11a12a13[A] = aij =a21a22a23a31a32a33lk indeks i=1,2,3 satr saylarn belirtir ve 2. indeks j=1,2,3 stun saylar belirtir. Aii(a11, a22, a33 ) elemenlar kegen elemanlardr. Bu kegen elemanlarn stndeki elemanlar st kegen elemanlar altndakileri ise alt kegen elemanlar olarak adlandrlr.Alt kegen elemanlar 0 olduunda st gen matris st kegen elemanlar 0 olduunda alt gen matris olarak adlandrlr.Bir matris genellikle m satr ve n stun ile belirtilir.[A] = aij ; i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,nm=n eit olduunda kare matris olarak adlandrlr. Matrisin bykl n*m ile belirtilir.Matris Cebirinin ncelenmesi Toplama11ki matrisi toplayabilmek iin ayn byklkte olmalar gerekir. ki matrisin toplanabilmesi iin bu ilem elemanlarnn uygun olmas gerekir.[A] + [B] = [C]yaniaij + bij = cijrnein c11 = a11 + b11; c12 = a12 + b12; c21 = a21 + b21 vs.Matris Cebirinin ncelenmesi arpma1.matrisin stun says ile 2. matrisin satr says ayn olmas artyla iki matris arplabilir.[A]mxn [B]nxk = [C]mxkMatrisin arpm sonucu 2. matrisin stun says ile 1. matrisin satr saysyla ayn olduu grlr. ki matris arpmnda rakamlar aadaki denklem ile gsterir; aij bjk = cikToplam j indeksi zerinde ise nemli not : arpmda yerler deitirilemez.[A][B] [B][A]

12rnek 3.2.1Problem: Aada verilen matrisin arpmn bulunuz

1 -1 0[A] = aij =2 -2 13 0 -1

2 -2[C] = cik =7 -43 -3 zm:i=1, k=1c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1 * 2 + -1 * 0 + 0 * 3 = 2i=2,k=1c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 2 * 2 + -2 * 0 + 1 * 3 = 7i=3,k=1c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 3 * 2 + 0 * 0 + -1 * 3 = 3i=1,k=2c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 * -1 + -1 * 1 + 0 * 0 = -2i=2,k=2c12 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 2 * -1 + -2 * 1 + 1 * 0 = -4i=3,k=2c12 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 3 * -1 + 0 * 1 + -1 * 0 = -313Matrisin Transpoz ve DeterminantBir matrisin transpozu, [A]T matrisin stunlaryla satrlarnn yer deitirmesiyle elde edilir.

[B] = [A]T ; bij = ajiBir simetrik [A] matrisi iin; [A]T = [A].Bir matrisinin determinant u ekilde tanmlanr.

det[A] = (-1)i+j aijMinormatris j stun ve i satr balantsyla elde edilen orijinal matrisin rneidir. Eer 2 satr yer deitirirse bu determinant deiiklii iaretidir. En kk 2 ncil matris 2 * 2 dir ve determinant:

Eer Det [A] =0 ise, [A] matris tanmszdr ve sistemin tek zm yoktur.

14rnek E3.2.2 - Bir Matrisin Determinantn bulma

15Bir Matrisin Tersi ve zdei[A] matrisinin tersi [A]-1 olarak tanmldr.

[A][A]-1 = [I] = [A]-1[A][I] birim matris olarak adlandrlr. Bu matrisin kegen eleman 1 dier tm elemanlar 0 dr. rnein 4 * 4 tanmnl matris;

16Bir Matrisin Tersi17

Bir Matrisin Tersi18

Matris Cebirinin KurallarBirleme Kural([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C])

([A][B])[C] = [A]([B][C])Yerdeitirme Kural[A] + [B] = [B] + [A]

Datma Kural[A]([B]+[C]) = [A][B] + [A][C]

([A][B])T = [B]T [A]T([A] + [B])T =[A]T + [B]T

Tersi([A][B])-1 = [B]-1 [A]-1

(c=Sabit)(c[A]) -1 = [A]-1/cDeterminantdet([A][B]) = det[A]det[B]det([A]T) = det[A](c=Sabit)det(c[A]) = cn det[A] (n.derece)19Matris NormlarBir vektrn normu veya bir matris negatif olmayan saylardr. Bu saylar matris veya vektrn byklnn bir lmdr. Scaler saylarn bykl tam deerlerdir. nk bir skaler birden fazla vektr ve matrisi ierir. Vektrler ve matrisler iin normlar birden fazla yolla hesaplanabilir ve tanmlanabilir. Vektrn bykl elemanlarn karelerinin toplamnn karekk ile tanmlanr.rnein {v} = -1i + 2j -3k; v1 = -1, v2 = 2, v3 = -3 {V} =

Bu normlar Euclidian norm olarak bilinir.

Genellikle bir p normu tanmlanabilir.

20Matris Normlar (II)Dier yaygn kullanm normu uniform (tekbiimli) vektr norm olarak adlandrlr.

1 i n iinBenzer normlar n*n byklndeki bir [A] matrisi ile tanmlanr.

Frobenius norm:

Uniform matris normu (ya da satr-toplam normu):

for 1 i n

Stun normu (ya da stun-toplam normu):

for 1 j n

21rnek E3.2.3Problem: Aadaki matrisi 3 yaygn normlarla hesaplaynz.

zm: Tanmlamalarn kullanmyla elde edelim

Frobenius norm:{(1)2 + (2)2 + (3)2 + (-2)2 + (3)2 + (4)2 + (-1)2 + (-2)2 + (5)2 }1/2 = 8.54

Uniform matris normu:max{(1+2+1), (2+3+2), (3+4+5)} = max(4,7,12) = 12

Stun normu: max{(1+2+3), (2+3+4), (1+2+5)} = max(6,9,8) = 9

22Koul Saylar ve Koullandrlm SistemlerBir matrisin koul says A ile tanmlanr. Cond([A]) = Sembol matrisin bir normunu gsterir. Cebir matrisiyle gsterilebilir. Bir matrisin koul says genellikle 1 den byk ve eittir. Cond ([A]) = Eer bir matrisin koul says bykse ona kt art denilebilir. Denklem sistemlerinde kt art ieren sistem varsa zor zlrler. Bir saysal zmn bulunma denenmesinden nce bu sistemler ilk olarak nceden hazrlanmaldr. Kt artl sistemler iin katsaydaki kk bir deiiklik zmde byk bir deiiklie gtrr.

23rnek E 3.3.1.Problem:Verilen matrisin koul saysn bulunuz [A] = [A]-1 = (1/56)

zm: Tek matris normu kullanm : = Max (4, 7, 12) = 12; = Max[(1/56) (36, 24, 18)] = 36/56 = 9/14

Cond ([A]) = (12)(9/14) = 54/7 Stun Normu Kullanm: = Max (6, 9, 8) = 9; = Max[(1/56) (40, 24, 14)] = 40/56 = 5/7Cond ([A]) = (9)(5/7) = 45/7

24Bir matrisin koulunu kontrol iin gzden geirme kurallarMatris lmnden sonra uygulama denemelerini izleme, [A] gibi geni elemanlarda her bir satr 1 dir.Eer kapal kegen elemanlarnn tam deerlerinin toplam ,ayr ayr her bir satr iin kegen elemanlarnn tam deerinden daha az ise bu matris muhtemelen iyi koullanmamtr. Not :Satrlarn ksmi eksende yer deitirmesi bir matrisin koul saysn deitirmez.

Eer det[A] 0. ise bu matris kt koullanmtr.

Eer [A]-1 in elemanlarnn ve varsa [A]-1 elemanlarnn sras bir dierinden bykse muhtemelen kt koullanmtr.

[I]* = [A] [A]-1; Eer [I]* , [I], zde matrisinden farkl zellikteyse matris muhtemelen kt koullanmtr.

[A]* = {[A]-1}-1 ; Eer [A]* orijinal [A] matris inde kapal deilse muhtemelen kt koulludur. 25rnek E 3.3.2.Problem: Verilen gsterimdesatrlar yer deitii zaman matrisin koul artnn yer deimediini gsterelim.

zm:imdi aadaki matrisi elde etmek iin satrlar deitirin.Matrisin tersinin doruluu arpmn kontrolyle gsterilir.[B][B]-1 = IFroberius normu kullanarak bulabiliriz ;cond([A]) = ||[A]||e||[A]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001cond([B]) = ||[B]||e||[B]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001

26Dorusal Sistemlerin zm iin Direk MetodlarGenelde yaygn olarak Direk Metot kullanlr. Bu metodu anahat prosdr veya algoritmas koullandrld zaman zebiliriz. Bu nedenle yaklak zm gelitirmede iterasyona ihtiya yoktur.

Cramers Metodu:

Bu metod liner bir denklemin zm metodundan ok kullansz ve masrafldr. n*n matrisin determinantnn hesaplanmas istenirse n bilinmeyen saysdr. Bu kural ;xi = det{[A]*}/det[A] i=1,2,3,...,niin(3.4.1) [A]* matrisin deiimidir ininci matris dier tarafndaki stunun deiimidir rnein {c}T = (c1,c2,c3, ...

27rnek E 3.4.1Problem: (3.1.4).denklem sistemin zmn bulunuzzm: lk olarak denklemin matris formunu yazmalyz [A]{X}={C}

x1 = a0 = det[A*]1/det[A]; x2 = a1 = det[A*]2/det[A]; x3 = a2 = det[A*]3/det[A]

Daha sonra det[A] = 6a0 = 8/6a1 = 3/6a2 = -5/6

28Blm 3a Sonu29ReferanslarCelik, Ismail, B., Introductory Numerical Methods for Engineering Applications, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. Numerical Methods, Algorithms and Applications, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458

Rao, Singiresu, S., Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., Numerical Methods Using MATLAB Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Varol, A., Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001http://math.uww.edu/faculty/mcfarlat/inverse.htm30rnein 5x + 2y = -13

x - 2y = 1

x ve y bilinmeyenlerden oluan lineer denklem sistemidir.Cebir kullanma liner forma indirgeyebilir. Sz edilen denklem sisteminin aadaki gibi olduunu dnrsek

5x2 + 2xy2 -13x = 0

x - y2 = 1

lk denklemi x ile bleriz ve y2 . yi z ye atarz. Sistem bir yukar indirgenir.

5x + 2z = 13

x - z = 1

Birbirine yayl bir arala balanan 3 demiryolu aracnn titreimi.

_1108199577.doc

k1

k2

k3

x1

x3

x2

m1

m2

m3

(Stun.

Satr i

(Gi1

1Gi2

2Gi3

3Gi4

4Gi5

5Gi6

6Gi7

7Gi8

8FiLi

110.707.8660000F10

201.707.50000F20

300-.7070.707000F3-3

400-.7070-.707-100F40

50000-.7070-.8660F50

60000.7070.51F60

7000-.86600.8660F70

8000-.501-.50F80