Zaawansowane metody analizy sygnałów

Dr inż. Cezary Maj

Dr inż. Piotr Zając

Katedra Mikroelektroniki i Technik informatycznych PŁ

Rozmycie widma

Rozmycie widma polega na obserwacji niezerowych wartości dla częstotliwości innej niż faktyczna czestotliwość sygnału.

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

350

400FFT sygnalu

Częstotliwość próbkowania

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sygnal

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500FFT sygnalu

Fsin = 20HzProbek = 1000

Fprob = 500Hz

Fprob = 100Hz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sygnal

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

100

200

300

400

500

600FFT sygnalu

Liczba próbek

Fsin = 20HzFprob = 500Hz

probek = 50

Fprob = 25

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sygnal

0 50 100 150 200 2500

5

10

15

20

25FFT sygnalu

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sygnal

0 50 100 150 200 2500

2

4

6

8

10

12

14FFT sygnalu

Liczba próbek

Fsin = 20HzFprob = 500Hz

probek = 14

Fprob = 1002

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Sygnal

0 50 100 150 200 2500

1

2

3

4

5

6

7

8FFT sygnalu

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sygnal

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500FFT sygnalu

Skąd się bierze rozmycie

Okna czasowe

Funkcja służąca zmniejszeniu wpływu „niedopasowania” parametrów próbkowania.

Metoda okien czasowych polega na wymnożeniu sygnału cyfrowego przez okno czasowe.

Typy okien

Prostokatne Bartletta

Typy okien

Hanninga Hamminga

Typy okien

Blackmana Kaiseraparametryzowane

Parametry okien

Wpływ nałożenia okna

Szerokość listka głównego widma okna wpływa na rozróżnialność częstotliwościową DFT (jeżeli różnica częstotliwości dwóch składowych jest mniejsza od szerokości listka głównego, to odpowiadające im prążki zleją się w jeden wskutek rozmycia

widma.

Wysokość listków bocznych widma okna wpływa na rozróżnialność amplitudową DFT (jeżeli w sygnale występuje składowa o amplitudzie porównywalnej z amplitudą lisków

bocznych, to „utonie” ona w pofalowaniach widma.

Interpretacja nałożenia okna

W dziedzinie czasu nałożenie okna jest wymnożeniem każdej próbki sygnału przez

odpowiadająca jej wartość próbki okna

Interpretacja nałożenia okna

W dziedzinie częstotliwości widmo powstaje poprzez splot widma sygnału oraz okna.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500FFT sygnalu

Efekt końcowy

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.5

0

0.5

1Sygnal

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.5

0

0.5

1Sygnal + okno

0 50 100 150 200 2500

100

200

300

400FFT sygnalu

0 50 100 150 200 2500

100

200

300FFT sygnalu + okno

Szybka transformata Fouriera

Nakład obliczeniowy:

• 2N2 mnożeń• 2(N-1)2 sumowań

Możliwe sposoby optymalizacji:

• Lustro widma• Powtarzające się obliczenia

Idea FFT

Podział ciągu N-punktowego na dwa N/2-punktowe

• Oszczędność 2N2 2(N/2)2 2N2 /4 mnożeń• 2(N-1)2 2(N/2-1)2 2(N-2)2 /2 sumowań

Możliwe sposoby optymalizacji:

• Lustro widma• Powtarzające się obliczenia

Idea FFT

Idea FFT

FFT w praktyce

dekompozycja

FFT w praktyce

Obliczenie „motylkowe” – składanie DFT

FFT w praktyce

Pełny schemat blokowy

FFT w praktyce

FFT w praktyce

Aliasing

Nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie próbkowania wynikające z niespełnienia warunków twierdzenia Kotelnikowa-Shannona

Aliasing

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

0

1Probkowanie 320Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

0

1Probkowanie 60Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-1

0

1Probkowanie 17Hz

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

50

100FFT Fp=320

0 5 10 15 20 25 300

10

20FFT Fp=60

0 1 2 3 4 5 60

2

4FFT Fp=17

Filtr aliasingowy

Jak dobrać odpowiednią częstotliwość odcięcia?

Próbkowanie - problemy

Czy próbkowanie z częstotliwością spełniającą kryterium Nyquista jest wystarczające?

Powielanie widm

Próbkowanie - problemy

Oversampling

Zwiększenie częstotliwości próbkowania poprzez wstawienie odpowiedniej ilości zerowych próbek i ich interpolację.

Rekonstrukcja sygnału

Rekonstrukcja polega na wykonaniu operacji interpolacji.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Interpolacja zerowego rzedu

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.5

0

0.5

1Interpolacja liniowa

Rekonstrukcja sygnału

Idealna rekonstrukcja – przefiltrowanie przez idealny filtr

Rekonstrukcja sygnału

Idealny filtr – funkcja sinc

Rekonstrukcja sygnału

Wymnożenie widm jest równoznaczne ze splotem w dziedzinie czasu

Rekonstrukcja sygnału

Rekonstrukcja sygnału

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Sygnał i jego rekonstrukcja z próbek

Time [s]

Syg

nały