ZADACI ZA VEŽBANJE · 2020. 2. 1. · - ZADACI ZA VEŽBANJE – 1. Dat je prav valjak. Ako je poluprečnik valjka r = 0.6dm, visina H = 0.1m, izračunati: a) površinu osnog preseka,

Matematika za 8.razred; Treći pismeni zadatak – valjak;

Trajan Stanču

1

VALJAK

- ZADACI ZA VEŽBANJE –

1. Dat je prav valjak. Ako je poluprečnik valjka r = 0.6dm, visina H = 0.1m, izračunati:

a) površinu osnog preseka, Pop

b) površinu baze, B

v) površinu omotača, M

g) površinu valjka, P

d) zapreminu valjka, V

2. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a = 7cm, b = 4cm obrće oko stranice a, izračunati

a

b






3. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a= 7cm, b = 4cm obrće oko stranice b, izračunati

b

a







Trajan Stanču

2

4. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a= 8cm, b = 4cm obrće oko simetrale stranice a, izračunati:

a = 8cm

b = 4cm






5. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a = 7cm, b = 4cm obrće oko simetrale stranice b, izračunati:

a = 7cm

b = 4cm






6. Ako je prečnik osnove pravog valjka 2r = 1.6 dm, a visina H = 0.08m, izračunati:






7. Ako je zbir dužina prečnika i visine pravog valjka 14cm i 2r : H = 4:3, izračunati:

a) poluprečnik valjka, r

b) visinu valjka, H

v) površinu baze, B

g) površinu omotača, M

d) površinu valjka, P

đ) zapreminu valjka, V


Trajan Stanču

3

8. Dijagonala osnog preseka valjka zaklapa sa ravni osnove ugao od 30o. Ako je visina valjka, H = 4cm, izračunati:


b) površinu osnog preseka, Pop





9. Dat je prav valjak. Ako važi da je r : H = 3 : 5 i H − r = 4cm, izračunati:


b) visinu valjka, H





10. Dijagonala osnog preseka valjka zaklapa sa ravni osnove ugao od 60o. Ako je poluprečnik valjka r = 4cm, izračunati:

a) visinu valjka, H







a) visinu valjka, H







Trajan Stanču

4

12. Površina osnog preseka valjka je Pop = 48cm2. Ako je r : H = 3 : 8, izračunati:


b) visinu valjka, H





13. Ako je površina valjka P = 175πcm2 i razmera površina omotača i baze, M : B = 5 : 1, izračunati:

a) površinu baze, B

b) površinu omotača, M

v) poluprečnik valjka, r

g) visinu valjka, H

d) površinu osnog preseka, Pop


14. Ako kocku ivice a = 4cm napravljenu od drveta, tešemo tako da dobijemo najveći mogući prav valjak, izračunati:


b) površinu baze valjka, B

v) površinu omotača valjka, M



15. U pravilnu šestostranu prizmu, osnovne ivice a = 4cm, visine H = 6cm, upisan je valjak. Izračunati:






16. Oko pravilne šestostrane prizme, osnovne ivice a = 4cm, visine H = 6cm, opisan je valjak. Izračunati:







Trajan Stanču

5

17. Oko kocke osnovne ivice a = 4cm opisan je valjak. Izračunati:






18. U pravilnu trostranu prizmu osnovne ivice a = 6cm i visine H = 10cm, upisan je valjak. Izračunati:






19. Oko pravilne trostrane prizme osnovne ivice a = 6cm i visine H = 10cm, opisan je valjak. Izračunati:






20. Osnova prizme je jednakokraki trapez osnovica a = 8cm i b = 2cm. Visina valjka koja odgovara visini prizme

jednaka je kraku trapeza. Izračunati:

a) visinu valjka, H

b) visinu jednakokrakog trapeza, h


g) površinu baze valjka, B



Trajan Stanču

6

REŠENJA ZADATAKA:

1. Dat je prav valjak. Ako je poluprečnik valjka r = 0.6dm, visina H = 0.1m, izračunati:






REŠENJE:

a) r = 0.6dm = 6cm

Pop = 2rH = 2 ∙ 6 ∙ 10

→ Pop = 120cm2

b)

B = r2π = 62π = 36π cm2

v)

M = 2rπH = 12π ∙ 10

→ M = 120π cm2

g)

P = 2B + M = 2∙36π + 120π

→ P = 192π cm2

d)

V = B ∙ H = 36π∙ 10

→ V = 360π cm3


Trajan Stanču

7

2. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a = 7cm, b = 4cm obrće oko stranice a, izračunati

a

b






REŠENJE:

a) r = b = 4cm; H = a = 7cm;

Pop = 2rH = 2 ∙ 4 ∙ 7

→ Pop = 56cm2

b)

B = r2π = 42π = 16π cm2

v)

M = 2rπH = 2 ∙ 4𝜋 ∙ 7

→ M = 56π cm2

g)

P = 2B + M = 2∙16π + 56π

→ P = 88π cm2

d)

V = B ∙ H = 16π ∙ 7

→ V = 112π cm3


Trajan Stanču

8

3. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a= 7cm, b = 4cm obrće oko stranice b, izračunati:

b

a






REŠENJE:

a) r = a = 7cm; H = b = 4cm;

Pop = 2rH = 2∙ 7 ∙ 4

→ Pop = 56cm2

b)

B = r2π = 72π = 49π cm2

v)

M = 2rπH = 2 ∙ 7𝜋 ∙ 4

→ M = 56π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 49π + 56π

→ P = 154π cm2

d)

V = B ∙ H = 49π ∙ 4

→ V = 196π cm3


Trajan Stanču

9

4. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a= 8cm, b = 4cm obrće oko simetrale stranice a, izračunati:

a = 8cm

b = 4cm






REŠENJE:

a)

2r = a = 8cm → r = 4cm

H = b = 4cm

Pop = 2rH = 2 ∙ 4 ∙ 4

→ Pop = 32cm2

b)

B = r2π = 42π = 16π cm2

v)

M = 2rπH = 2 ∙ 4𝜋 ∙ 4

→ M = 32π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 16π + 32π

→ P = 64π cm2

d)

V = B ∙ H = 16π∙ 4

→ V = 64π cm3


Trajan Stanču

10

5. Za obrtno telo koje nastaje kada se pravugaonik stranica a = 7cm, b = 4cm obrće oko simetrale stranice b, izračunati:

a = 7cm

b = 4cm






REŠENJE:

a)

2r = b = 4cm → r = 2cm

H = a = 7cm

Pop = 2rH = 2 ∙ 2 ∙ 7

→ Pop = 28cm2

b)

B = r2π = 22π = 4π cm2

v)

M = 2rπH = 2 ∙ 2𝜋 ∙ 7

→ M = 28π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 4π + 28π

→ P = 36π cm2

d)

V = B ∙ H = 4π∙ 7

→ V = 28π cm3


Trajan Stanču

11

6. Ako je prečnik osnove pravog valjka 2r = 1.6 dm, a visina H = 0.08m, izračunati:






REŠENJE:

a)

Pop = 2rH = 16 ∙ 8

→ Pop = 128cm2

b)

B = r2π = 82π = 64π cm2

v)

M = 2rπH = 16𝜋 ∙ 8

→ M = 128π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 64π + 128π

→ P = 256π cm2

d)

V = B ∙ H = 64π ∙ 8

→ V = 512π cm3


Trajan Stanču

12

7. Ako je zbir dužina prečnika i visine pravog valjka 14cm i 2r : H = 4:3, izračunati:


b) visinu valjka, H





REŠENJE:

a)

2r + H = 14cm (1)

2r : H = 4:3

→ 6r = 4H / :4

→ 1.5r = H (2)

(2) → (1):

2r + 1.5r = 14cm

→ 3.5r = 14cm / :3.5

→ r = 4cm (3)

b)

(3) → (2):

1.5r = H

→ H = 1.5 ∙ 4cm

→ H = 6cm

v)

B = r2π = 42π = 16π cm2

g)

M = 2rπH = 8𝜋 ∙ 6

→ M = 48π cm2

d)

P = 2B + M = 2 ∙ 16π + 48π

→ P = 80π cm2

đ)

V = B ∙ H = 16π ∙ 6

→ V = 96π cm3


Trajan Stanču

13

8. Dijagonala osnog preseka valjka zaklapa sa ravni osnove ugao od 30o. Ako je visina valjka, H = 4cm, izračunati:







REŠENJE:

a) Posmatraćemo jednakostraničan trougao stranice 2H kod

koga je visina 2r:

D

30 30o o

60 60o o

D2r

H H

2r =2H√3

2 /∶ 2

→ r =H√3

2=

4√3

2

→ 𝐫 = 𝟐√𝟑𝐜𝐦

b)

Pop = 2rH

→ Pop = 2 ∙2√𝟑 ∙ 4

→ Pop = 16√𝟑 cm2

v)

B = r2π = (2√𝟑)2π = 12π cm2

g)

M = 2rπH = 4√3𝜋 ∙ 4

→ M = 16√𝟑π cm2

d)

P = 2B + M = 24π + 16√𝟑π

→ P = 8π ∙ (3 + 2√𝟑) cm2

đ)

V = B ∙ H = 12π∙ 4

→ V = 48π cm3


Trajan Stanču

14

9. Dat je prav valjak. Ako važi da je r : H = 3 : 5 i H − r = 4cm, izračunati:


b) visinu valjka, H





REŠENJE:

a)

H − r = 4cm (1)

r : H = 3:5

→ 5r = 3H / :3

→ 𝟓

𝟑∙ r = H (2)

(2) → (1):

5

3∙ r − r = 4cm

→ 2

3∙ r = 4cm

→ 2r = 12cm / :2

→ r = 6cm (3)

b)

(3) → (1):

H – r = 4cm

→ H – 6cm = 4cm / + 6cm

→ H = 10cm

v)

B = r2π = 62π = 36π cm2

g)

M = 2rπH = 2 ∙ 6𝜋 ∙ 10

→ M = 120π cm2

d)

P = 2B + M = 2 ∙ 36π + 120π

→ P = 192π cm2

đ)

V = B ∙ H = 36π ∙ 10

→ V = 360π cm3


Trajan Stanču

15


a) visinu valjka, H






REŠENJE:

a) Posmatraćemo jednakostraničan trougao stranice 4r kod

koga je visina H:

D

30 30o o

60 60o o

DH

2r 2r

H =4r√3

2=

4 ∙ 4√3

2

→ 𝐇 = 𝟖√𝟑𝐜𝐦

b)

Pop = 2rH

→ Pop = 2 ∙4∙ 8√𝟑

→ Pop = 64√𝟑 cm2

v)

B = r2π = 42π = 16π cm2

g)

M = 2rπH = 2 ∙ 4𝜋 ∙ 8√3

→ M = 64√𝟑π cm2

d)

P = 2B + M = 32π + 64√𝟑π

→ P = 32π ∙ (1 + 2√𝟑) cm2

đ)

V = B ∙ H = 16π ∙ 8√𝟑

→ V = 128√𝟑π cm3


Trajan Stanču

16


a) visinu valjka, H






REŠENJE:

a) Posmatraćemo jednakokrako – pravougli trougao:

D

2r

45o

H

𝐇 = 𝟐𝐫 = 𝟖𝐜𝐦

b)

Pop = 2rH

→ Pop = 2 ∙ 4∙ 8

→ Pop = 64cm2

v)

B = r2π = 42π = 16π cm2

g)

M = 2rπH = 2 ∙ 4𝜋 ∙ 8

→ M = 64π cm2

d)

P = 2B + M = 32π + 64π

→ P = 96π cm2

đ)

V = B ∙ H = 16π∙ 8

→ V = 128π cm3


Trajan Stanču

17

12. Površina osnog preseka valjka je Pop = 48cm2. Ako je r : H = 3 : 8, izračunati:


b) visinu valjka, H





REŠENJE:

a)

Pop= 2rH = 48 cm2 / :2

→ r ∙ H = 24 cm2 (1)

r : H = 3 : 8

→ 3H = 8r / :3

→ H = 8

3∙ r (2)

(2) → (1):

r ∙8

3r = 24

8 ∙ r2 = 3 ∙ 24 = 72 /: 8

→ r2 = 9

→ r = 3cm (3)

b)

(3) → (1):

r ∙ H = 24cm

→ 3 ∙ H = 24

→ H = 8 cm

v)

B = r2π = 32π = 9π cm2

g)

M = 2rπH = 2 ∙ 3𝜋 ∙ 8

→ M = 48π cm2

d)

P = 2B + M = 2 ∙ 9π + 48π

→ P = 66π cm2

đ)

V = B ∙ H = 9π ∙ 8

→ V = 72π cm3


Trajan Stanču

18

13. Ako je površina valjka P = 175πcm2 i razmera površina omotača i baze, M : B = 5 : 1, izračunati:

a) površinu baze, B

b) površinu omotača, M


g) visinu valjka, H

d) površinu osnog preseka, Pop


REŠENJE:

a)

P = 2B + M = 175πcm2 (1)

M : B = 5 : 1

→ M = 5B (2)

(2) → (1):

P = 2B + M = 2B + 5B = 7B

→ 7B = 175πcm2 / :7

→ B = 25π cm2 (3)

b)

(3) → (2):

M = 5B = 5 ∙ 25π

→ M = 125π cm2

v)

B = r2π = 25π / :π

→ r2 = 25

→ r = 5cm

g)

M = 2rπH = 2 ∙ 5πH = 10πH = 125π / :π

→ 10 ∙ H = 125

→ H = 12.5cm

d)

Pop = 2r∙ H = 2 ∙ 5 ∙ 12.5

→ Pop = 125 cm2

đ)

V = B ∙ H = 25π ∙ 12.5

→ V = 312.5π cm3


Trajan Stanču

19

14. Ako kocku ivice a = 4cm napravljenu od drveta, tešemo tako da dobijemo najveći mogući prav valjak, izračunati:






REŠENJE:

a)

a = 4cm

r

𝐫 =𝒂

𝟐= 𝟐𝐜𝐦

b)

B = r2π = 22π = 4π cm2

v) H = a = 4cm

M = 2rπH = 2 ∙ 2𝜋 ∙ 4

→ M = 16π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 4π + 16π

→ P = 24π cm2

d)

V = B ∙ H = 4π ∙ 4

→ V = 16π cm3


Trajan Stanču

20

15. U pravilnu šestostranu prizmu, osnovne ivice a = 4cm, visine H = 6cm, upisan je valjak. Izračunati:






REŠENJE:

a)

𝐫 =𝒂√𝟑

𝟐= 𝟐√𝟑𝐜𝐦

b)

B = r2π = (𝟐√𝟑)2π = 12π cm2

v)

M = 2rπH = 2 ∙ 2√3𝜋 ∙ 6

→ M = 24√𝟑π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 12π + 24√3π

→ P = 24π ∙ (1 + √𝟑)cm2

d)

V = B ∙ H = 12π ∙ 6

→ V = 72π cm3


Trajan Stanču

21

16. Oko pravilne šestostrane prizme, osnovne ivice a = 4cm, visine H = 6cm, opisan je valjak. Izračunati:






REŠENJE:

a)

𝐫 = 𝒂 = 𝟒𝐜𝐦

b)

B = r2π = 42π = 16π cm2

v)

M = 2rπH = 2 ∙ 4𝜋 ∙ 6

→ M = 48π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 16π + 48π

→ P = 80π cm2

d)

V = B ∙ H = 16π ∙ 6

→ V = 96π cm3


Trajan Stanču

22

17. Oko kocke osnovne ivice a = 4cm opisan je valjak. Izračunati:






REŠENJE:

a)

r

𝐫 =𝒂√𝟐

𝟐= 𝟐√𝟐𝐜𝐦

b)

B = r2π = (𝟐√𝟐)2π = 8π cm2

v) H = a = 4cm

M = 2rπH = 2 ∙ 2√2𝜋 ∙ 4

→ M = 16√𝟐 π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 8π + 16√2 π

→ P = 16π ∙ (𝟏 + √𝟐) cm2

d)

V = B ∙ H = 8π ∙ 4

→ V = 32π cm3


Trajan Stanču

23

18. U pravilnu trostranu prizmu osnovne ivice a = 6cm i visine H = 10cm, upisan je valjak. Izračunati:






REŠENJE:

a)

𝐫 =𝟏

𝟑∙

𝒂√𝟑

𝟐=

𝒂√𝟑

𝟔

→ 𝐫 =𝟔√𝟑

𝟔= √𝟑𝐜𝐦

b)

B = r2π = (√𝟑)2π = 3π cm2

v)

M = 2rπH = 2√3𝜋 ∙ 10

→ M = 20√𝟑 π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 3π + 20√3 π

→ P = 2π ∙ (𝟑 + 𝟏𝟎√𝟑) cm2

d)

V = B ∙ H = 3π ∙ 10

→ V = 30π cm3


Trajan Stanču

24

19. Oko pravilne trostrane prizme osnovne ivice a = 6cm i visine H = 10cm, opisan je valjak. Izračunati:






REŠENJE:

a)

𝐫 =𝟐

𝟑∙

𝒂√𝟑

𝟐=

𝒂√𝟑

𝟑

𝐫 =𝟔√𝟑

𝟑= 𝟐√𝟑𝐜𝐦

b)

B = r2π = (𝟐√𝟑)2π = 12π cm2

v)

M = 2rπH = 2 ∙ 2√3𝜋 ∙ 10

→ M = 40√𝟑 π cm2

g)

P = 2B + M = 2 ∙ 12π + 40√3 π

→ P = 8π ∙ (𝟑 + 𝟓√𝟑) cm2

d)

V = B ∙ H = 12π ∙ 10

→ V = 120π cm3


Trajan Stanču

25

20. Osnova prizme je jednakokraki trapez osnovica a = 8cm i b = 2cm. Visina valjka koja odgovara visini prizme

jednaka je kraku trapeza. Izračunati:

a) visinu valjka, H

b) visinu jednakokrakog trapeza, h


g) površinu baze valjka, B


REŠENJE:

a) Ako pogledamo bazu, vidimo da je trapez tangentni

četvorougao (može da se upiše krug u njega) pa sledi da je:

a+ b = 2c

→ 8 + 2 = 2c

→ c = 5cm

→ H = c = 5cm (visina valjka jednaka je kraku trapeza)

b)

h2 = 𝑐2 − (𝑎 − 𝑏

2)

2

→ h2 = 25 – 9

→ h2 = 16

→ h = 4cm

c)

𝐫 =𝐡

𝟐= 𝟐𝐜𝐦

d)

B = r2π = 4πcm2

e)

V = B ∙ H = 4π ∙ 5

→ V = 20π cm3

Documents

ZADACI ZA VEŽBANJE · 2020. 2. 1. · - ZADACI ZA VEŽBANJE – 1. Dat je prav valjak. Ako je poluprečnik valjka r = 0.6dm, visina H = 0.1m, izračunati: a) površinu osnog preseka,