Zadaci_kolokvij_2_NUM

Primjer. Za nosač prema slici konstantne fleksijske krutosti EI potrebno je primjenom metode konačnih elemenata izračunati pomake u čvorovima proračunskog modela te raspodjelu momenta savijanja. Provesti diskretizaciju s 3 jednaka osnovna gredna elementa. Zadano: , EI, L, 0q 20,20 0M q L= .

Lz

0q

x

M0

Nosač opterećen jednoliko kontinuirano

Proračunski model:

Ll l l

V1 3V 5V 7V

1 2 3 42V 4V 6V 8V

Proračunski model

Kao što se vidi na slici, svi stupnjevi slobode označeni su istim velikim slovom V i prikazani su vektorom

[ ]1 2 3 4 5 6 7 8T V V V V V V V V=V . (a)

Zadani su samo Dirichletovi i Neumannovi rubni uvjeti koji su ovdje rubni uvjeti pomaka.

1 7 8 0V V V= = = , 2 0R M= − . (b)

Stupnjevi slobode osnovnoga grednog elementa kojim je provedena diskretizacija, odnosno lokalni stupnjevi slobode, također se označuju istim malim slovom v kojemu su pridruženi indeksi od 1 do 4. Na taj je način vektor v jednak

[ ]1 2 3 4T v v v v=v . (c)

U skladu s (c), osnovni gredni element s pripadnim stupnjevima slobode prikazan je na slici

1v2 2

l1v v3

v4

Osnovni gredni element

Uvrštavanjem duljine elementa 3Ll = , dobiva se izraz za matricu krutosti

osnovnoga grednog elementa u obliku

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

324 54 324 54

54 12 54 6

324 54 324 54

54 6 54 12

L L L L

L L L LEI

L L L L

L L L L

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

k . (d)

Globalna matrica krutosti izračunava se zbrajanjem odgovarajućih elemenata matrice krutosti pojedinih konačnih elemenata u skladu s već opisanim postupkom.

Ovdje će se poradi boljeg razumijevanja najprije prikazati matrice krutosti pojedinih elemenata koje su svedene na red koji je jednak redu globalne matrice krutosti, odnosno ukupnom broju stupnjeva slobode proračunskog modela. Na taj način isti red matrica omogućuje njihovo zbrajanje koje se nakon toga provodi. Pritom se rabi tablica iz koje se vidi podudaranje lokalnih i globalnih stupnjeva slobode. Lokalni stupnjevi slobode, poradi jednostavnosti, označeni su rednim brojevima.

Lokalni i globalni stupnjevi slobode

globalni stupnjevi slobode

1V 2V 3V 4V 5V 6V 7V 8V

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4 elementi i stupnjevi slobode 3 1 2 3 4

Matrice krutosti elemenata 1, 2 i 3 u odnosu prema globalnim stupnjevima slobode:

3 2 3 2

2 2

3 2 3 21

2 2

324 54 324 54 0 0 0 0

54 12 54 6 0 0 0 0

324 54 324 54 0 0 0 0

54 6 54 12 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

L L L L

L L L L

L L L LEI

L L L L

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

0000

(e)

3 2 3 2

2 22

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

324 54 324 540 0 0 0

54 12 54 60 0 0 0

324 54 324 540 0 0 0

54 6 54 120 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

L L L L

L L L LEI

L L L L

L L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

00

00

(f)

3 2 33

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

324 54 324 540 0 0 0

54 12 54 60 0 0 0

324 54 324 540 0 0 0

54 6 54 120 0 0 0

L L L LEI

L L L L

L L L L

L L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

K 2

(g)

Čvorne sile poradi zadanog jednoliko kontinuiranog opterećenja za sve elemente su jednake. Za duljinu elementa 3l L= i konstantno kontinuirano opterećenje

, dobiva se 0( )zq x q=

01 16 108 6 108

TS

L Lq L ⎡ ⎤= −⎢⎣ ⎦F ⎥ . (h)

Da bi se mogao izračunati globalni vektor poradi opterećenja proračunskog modela, provest će se transformacija vektora pojedinih elemenata s obzirom na globalne stupnjeve slobode, pri čemu se također rabi tablica. Na taj način su za elemente 1, 2 i 3 vektori opterećenja jednaki:

SF

10

1 1 0 0 0 06 108 6 108

TS

L Lq L ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦R ,

20

1 10 0 0 06 108 6 108

TS

L Lq L ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦R , (i)

30

1 10 0 0 06 108 6 108

TS

L Lq L ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦R .

Zbrajanjem matrica (e), (f) i (g) te vektora čvornih sila u (i), izračunavaju se globalna matrica krutosti i globalni vektor proračunskog modela koji zajedno s globalnim stupnjevima slobode (a) čine globalnu jednadžbu konačnih elemenata. Ta jednadžba je sustav linearnih algebarskih jednadžbi:

3 2 3 2

2 2

3 2 3 3 2

2 2

3 2 3 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

324 54 324 54 0 0 0 0

54 12 54 6 0 0 0 0

324 54 648 324 540 0 0

54 6 24 54 60 0 0

324 54 648 324 540 0 0

54 6 24 54 60 0 0

324 54 324 540 0 0 0

54 6 54 120 0 0 0

L L L L

L L L L

L L L L L

L L L L LEI

L L L L L

L L L L L

L L L L

L L L L

⎡ − − −⎢⎢⎢ −⎢⎢− − −⎢⎢⎢−⎢

⎢⎢ − − −⎢⎢⎢ −⎢⎢

−

−⎣

1

2

3

40

5

6

7

8

16

108130

.13016

108

LVVVV

q LVVVV

L

⎤⎥ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎦

(j)

Nije teško uočiti da je globalna matrica K vrpčasta matrica, što pridonosi učinkovitosti postupka rješavanja sustava jednadžbi. Da bi se sustav jednadžbi (j) mogao riješiti, potrebno je uvrstiti zadane rubne uvjete. Nakon postavljanja rubnih uvjeta (b), dobiva se

21

22 3 3 2

3

420

5

3 2 3 6

72

8

1 0 0 0 0 0 0 0012 54 60 0 0 0 0

10854 648 324 540 0 0 0

6 24 54 60 0 0 0

324 54 6480 0 0 0 0

54 6 240 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

LVL L LV

L L L L VV

EI q LL L L LVVL L LVVL L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥

− − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

513013000

L⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

(k)

Rješenje sustava jednadžbi (k) jednako je

12

23

32

4 03

52

6

7

8

00,07083

0,012550,00620,0073

0,0297800

VV LV LV Lq LV LEIV LVV

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

V ⎥ . (l)

Ovdje izračunati stupnjevi slobode pomaci su i kutovi zakreta u čvorovima proračunskog modela. Izračunate vrijednosti u potpunosti se poklapaju s vrijednostima koje se dobivaju primjenom analitičkih metoda u mehanici deformabilnih tijela.

Na temelju tablice iz koje se vidi podudaranje lokalnih i globalnih stupnjeva slobode, određuju se vektori stupnjeva slobode elemenata 1, 2 i 3:

31 0

4

3

00,07083

0,012550,0062

LqLEIL

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

v ,

4

32 0

4

3

0,012550,0062

0,00730,02978

LLq

EI LL

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v ,

4

33 0

0,00730,02978

00

LLq

EI

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v . (m)

Raspodjela momenata savijanja:

( )1 20 0,09342 0,20946yM q xL= − + L ,

( )2 20 0,42768 0,17922yM q xL= − + L , (n)

( )3 20 0,757 0,0368yM q xL= − + L .

Izrazi (n) pokazuju da je raspodjela momenata savijanja duž pojedinih elemenata linearna, što se razlikuje od stvarne raspodjele koja je po paraboli drugog reda. Iz toga slijedi da je, za razliku od izračunavanja točnih vrijednosti pomaka i kutova zakreta u čvorovima elemenata, raspodjelu momenata savijanja u ovom slučaju moguće samo približno opisati. Na slici su numerički rezultati uspoređeni su s točnim analitičkim rješenjem.

Usporedba raspodjele momenata savijanja dobivena pomoću metode konačnih elemenata s analitičkim rješenjem

Bolje približavanje točnom rješenju moguće je postići diskretizacijom s više elemenata. Osim toga, točno rješenje moguće je dobiti primjenom grednih elemenata drugog reda koji omogućuju nelinearnu raspodjelu momenata savijanja.

Primjer 7.7. Laplaceovu diferencijalnu jednadžbu 2 2

2 2 0x yφ φ∂ ∂+ =

∂ ∂ potrebno je

riješiti metodom konačnih elemenata primjenom osnovnoga pravokutnog elementa. Jednadžba je zadana za područje 0 1, 0 1x y≤ ≤ ≤ ≤

( )0, 0yφ =

uz rubne uvjete , ( )1, 0yφ ( ) ( ),0 1 ( ),1 0x= ,

125

x x xφ − , φ = . Potrebno je: =

a) provesti diskretizaciju kompletnog područja s 4 jednaka elementa,

b) koristeći se simetrijom problema, diskretizirati polovinu razmatranog

područja ( 1 1, 0 12

x y≤ ≤ ≤ ≤ ) sa 2 jednaka elemenata.

Rezultate usporediti s analitičkim rješenjem koje je u obliku reda

3 31

4sin( )(( 1) 1)sh( (1 ))( , )sh( )

n

i

n x n yx yn n

π πφπ π

∞

=

− − −= −∑ .

x

y

1

1

Slika P7.7.1. Područje definicije Laplaceove jednadžbe

a) Diskretizacija s 4 jednaka elementa Proračunski model s numeriranim elementima i čvornim varijablama prikazan je na slici P7.7.2.

METODA KONAČNIH ELEMENATA

3 4

2

f1

41

2

5

3x

6

y

7 8 9

11

f f

f f f

f f f

1/2

1/2

Slika P7.7.2. Proračunski model

Vektor globalnih čvornih varijabli jednak je

[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9T ]φ φ φ φ φ φ φ φ φ=Φ , (a)

a Dirichletovi su rubni uvjeti

1 3 4 6 7 8 9 0φ φ φ φ φ φ φ= = = = = = = , 21 1,02 4

φ φ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

. (b)

Matrica koeficijenata osnovnog pravokutnog elementa jednaka je ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 216 2 2 2

2 2

a b a b a b b a

a b a b b a a b

ab a b b a a b a b

b a a b a b a b

⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − +⎣ ⎦

k

2

2

.

Uvrštavanjem 1 / 4a b= = u gornji izraz izračunava se matrica krutosti za svaki konačni element proračunskog modela

4 1 2 11 4 1 212 1 4 161 2 1 4

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢=⎢

⎥⎥− − −

⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

k . (c)

Matrice krutosti u lokalnomu koordinatnom sustavu svih elemenata su jednake, odnosno vrijedi relacija

1 2 3 4= = = =k k k k k . (d) Tablica poklapanja globalnih i lokalnih čvornih varijabli

126


Globalne čvorne varijable

1φ 2φ 3φ 4φ 5φ 6φ 7φ 8φ 9φ

KE 1 1 2 4 3 KE 2 1 2 4 3 KE 3 1 2 4 3

Lokalne čvorne varijable KE 4 1 2 4 3

Nakon tranformacije matrica krutosti, jednadžba konačnih elemenata može se napisati u obliku

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4 1 0 1 2 0 0 0 0 01 8 1 2 2 2 0 0 0

0 1 4 0 2 1 0 0 01 2 0 8 2 0 1 2 0

1 2 2 2 2 16 2 2 2 26

0 2 1 0 2 8 0 2 10 0 0 1 2 0 4 1 00 0 0 2 2 2 1 8 10 0 0 0 2 1 0 1 4

φφφφφφφφφ

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ =− − − − − − − −⎢ ⎥

− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

00000000

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (e)

Uvođenjem rubnih uvjeta (b), na već poznati način dobiva se sustav jednadžbi:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

01 0 0 0 0 0 0 0 010 1 0 0 0 0 0 0 04

0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0

8 10 0 0 0 0 0 0 03 12

0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0

φφφφφφφφφ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

. (f)

Ako se izostave redci i stupci koji odgovaraju poznatim vrijednostima zavisne varijable, preostaje samo jedna jednadžba s jednom nepoznanicom:

583 1φ =

12

, (g)

127


čije je rješenje jednako

5132

φ = . (h)

b) Diskretizacija sa 2 jednakih elementa Proračunski model koji predstavlja diskretizaciju desne polovine razmatranog područja prikazan je na slici P7.7.3.

x

1/2

ff

f

11/2

5

2ff1

4f3

6

y

1

2

Slika P7.7.3. Proračunski model

Vektor je globalnih čvornih varijabli

[ 1 2 3 4 5 6T ]φ φ φ φ φ φ=Φ , (k)

a Dirichletovi rubni uvjeti sada su jednaki

11 1,02 4

φ φ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )2 1,0 0φ φ= = , 4 5 6 0φ φ φ= = = . (l)

Na temelju simetrije, rubni su uvjeti za čvorove duž osi y'

( )0, 0yxφ∂

=∂

, (m)

što čini Neumannove rubne uvjete.

Matrice krutosti elemenata su jednake izrazu (c) jer su elementi jednakih mjera,

4 1 2 11 4 1 212 1 4 161 2 1 4

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

k . (n)

Podudaranje lokalnih i globalnih čvornih vrijednosti prikazano je tablicom P7.7.2.

128


Tablica P7.7.2. Globalne i lokalne čvorne varijable

globalne čvorne varijable 1φ 2φ 3φ 4φ 5φ 6φ

1 1 2 4 3 elementi i čvorne varijable 2 1 2 4 3

Na temelju podataka iz tablice i elemenata matrice krutosti (n) trensformiraju se u

1

4 1 1 2 0 01 4 2 1 0 01 2 4 1 0 012 1 1 4 0 06

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K ,

2

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 4 1 1 210 0 1 4 2 160 0 1 2 4 10 0 2 1 1 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

K .

4 1 1 2 0 01 4 2 1 0 01 2 8 2 1 212 1 2 8 2 16

0 0 1 2 4 10 0 2 1 1 4

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −

=−

⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

K .

izračunava se globalna matrica krutosti proračunskog modela, pa je globalni sustav jednadžbi jednak

1

2

3

4

5

6

4 1 1 2 0 0 01 4 2 1 0 0 01 2 8 2 1 2 012 1 2 8 2 1 06

0 0 1 2 4 1 00 0 2 1 1 4 0

φφφφφφ

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢− − − − −

=⎢− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(o)

Uvođenjem rubnih uvjeta, sustav jednadžbi (o) transformira se u oblik

129


1

2

3

4

5

6

16 0 0 0 0 0 40 6 0 0 0 0 00 0 8 0 0 0 11

240 0 0 6 0 0600 0 0 0 6 000 0 0 0 0 60

φφφφφφ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(p)

čije je rješenje jednako

3132

φ = . (s)

Na temelju globalnog vektora čvornih varijabli (s), na način koji je opisan u prvom dijelu zadatka, određuju se vrijednosti čvornih varijabli koje su pridružene elementima od 1 do 6, a pomoću relacije (7.135) izračunvaju se vrijednosti u težištima pojedinih elemenata. Analogno prvom dijelu zadatka, numeričke vrijednosti usporedit će se s analitičkim vrijednostima koje se za koordinate težišta pojedinih elemenata u globalnomu koordinatnom sustavu x, y izračunavaju pomoću reda iz primjera 6.3.

3 31

4sin( )(( 1) 1)sh( (1 ))( , )sh( )

n

i

n x n yx yn n

π πφπ π

∞

=

− − −= −∑ . (t)

Usporedba s analitičkim rješenjem:

3 0,03125MKEφ =

3 0,051329aφ = Kao što se vidi iz tablice, rješenja dobivena pomoću 2 elemenata uz diskretizaciju polovine područja ista su kao i što je bio slučaj pri diskretizaciji s 4 elementa u prvomu dijelu zadatka. To je za očekivati jer je uvođenjem uvjeta simetrije opisan isti problem s manjim brojem čvorova.

130

Primjer 7.8. Potrebno je riješiti Poissonovu diferencijalnu jednadžbu ( )2 2

2 22 2 120xy x y

x yφ φ∂ ∂+ = +

∂ ∂

prema slici metodom konačnih elemenata. Problem diskretizirati s 4 osnovna pravokutna elementa. Rješenje usporediti s analitičkim rješenjem ( ) 3 3

a , 20 4 1x y x y xyφ 0= + + . Zadano: , 2, 1c d= =

Rubni uvjeti: ( ) ( ) ( ) ( )3 3,0 10, 2, 240 4 , ,1 60 4 , 0, 10x y y y x x xx y

yφ φφ φ∂ ∂= = + = +

∂ ∂=

b

a x

y

Slika P7.8.1. Područje definicije Poissonove diferencijalne jednadžbe

Proračunski model

2c/3

c

d

d/3

1f

4f1

2f

25f

2d/3

3f

6f

c/3

f7

3f8

4f9

Slika P7.6.2. Diskretizacija trokutnim konačnim elementima

Vektor čvornih varijabli

[ ]1 2 3 4 5 6 7 8 9T = Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ΦΦ .

Dirichletovi rubni uvjeti su:

1 2 3 4 710, 10, 10, 10, 10Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = . Za osnovni pravokutni element prema slici

a

4

1

3

b

2

x

y

a

b

matrica krutosti jednaka je

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 216 2 2 2

2 2

a b a b a b b a

a b a b b a a b

ab a b b a a b a b

b a a b a b a b

⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − +⎣ ⎦

k

2

2

Slika P7.5.3. Osnovni trokutni element

Tablica poklapanja globalnih i lokalnih čvornih varijabli

Globalne čvorne varijable 1Φ 2Φ 3Φ 4Φ 5Φ 6Φ 7Φ 8Φ 9Φ KE 1 1φ 2φ 4φ 3φ KE 2 1φ 2φ 4φ 3φ KE 3 1φ 2φ 4φ 3φ

Lokalne čvorne varijable

KE 4 1φ 2φ 4φ 3φ

2c/3

2d/3

x

y

1 2

34

Element 1, : 1k

0,6, 0,33 3c da b= = = =

1

10 2 5 7 10 2 5 79 9 9 9 12 12 12 122 10 7 5 2 10 7 5

1 9 9 9 9 12 12 12 122 5 7 10 2 5 7 10 269 9 9 9 9 12 12 12 12

7 5 2 107 5 2 1012 12 12 129 9 9 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

k ,

c/3

2d/3

x

y

1 2

34

Element 2 , : 2k

0,3, 0,36 3c da b= = = =

2

4 1 2 1 4 1 2 19 9 9 9 6 6 6 61 4 1 2 1 4 1 2

1 9 9 9 9 6 6 6 61 2 1 4 1 2 1 4 169 9 9 9 9 6 6 6 6

1 2 1 4 1 2 1 49 9 9 9 6 6 6 6

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k−

,

d/3

2c/3x

y

1 2

34

Element 3 , : 3k

0,6, 0,163 6c da b= = = =

3

34 14 17 31 34 14 17 3136 36 36 36 24 24 24 2414 34 31 17 14 34 31 17

1 36 36 36 36 24 24 24 242 1 17 31 34 14 17 31 34 1463 6 36 36 36 36 24 24 24 24

31 17 14 3431 17 14 3424 24 24 2436 36 36 36

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

k , d/

3

c/3

x

y

1 2

34

Element 4 , : 4k

0,3, 0,166 6c da b= = = =

4

10 2 5 712 12 12 122 10 7 5

12 12 12 125 7 10 2

12 12 12 127 5 2 10

12 12 12 12

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

k .

Vektor čvornih veličina uslijed ( ) ( )2 2, 120f x y xy x y= − + je

dTs

A

f A= ∫F N

1

2

3

4

d da b

Sa b

NN

f y xNN

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫F ,

Funkcije oblika konačnog elementa definirane su u lokalnom koordinatnom sustavu a fukncija f definirana je u globalnom koordinatnom sustavu. Stoga je potrebno sve te veličine svesti na isti koordinatni sustav. To se provodi prema slijedećoj slici

x

yy'

x'

A

B

Na gornjoj slici je globalni koordinatni sustav u kojem je definirana diferencijalna jedndažba, a je lokalni koordinatni sustav pojedinog konačnog elementa. Prema slici slijedi da je

Oxy' 'Ox y

' , 'x x A y y B= + = + , ' , 'x x A y y B= − = − .

Funkcija oblika definirana je u lokalnom koordinatnom sustavu prema 1N

( ) ( )(11', ' ' '

4N x y a x b y

ab= − − ) . Nakon uvođenja gornjih odnosa lokalnih i globalnih koordinata

dobiva se ( ) ( )( ) ( )( )11,

4N x y a x A b y B

ab= − − − − .

Slijede čvorne veličine uslijed ( ) ( )2 2, 120f x y xy x y= − +

( )1 2 2

0

2 2 1 13 3 3 3

2 2 1 13 3 3 31120 2 1 2 2 1 14

3 3 3 3 3 3

2 2 1 13 3 3 3

S

x y

x yxy x y

x y

x y

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠= − + ⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

F

4 23 3

0

128072951281d d

10240729

1024243

y x

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫ ,

( )2 2 2

0

1 5 1 13 3 3 3

1 5 1 13 3 3 31120 1 1 1 5 1 14

3 3 3 3 3 3

1 5 1 13 3 3 3

S

x y

x yxy x y

x y

x y

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠= − + ⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

F

6 23 3

43

2944243

12928729d d

8960243

18560729

y x

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫ ,

( )3 2 2

2

2 2 1 53 3 6 6

2 2 1 53 3 6 61120 2 1 2 2 1 54

3 6 3 3 6 6

2 2 1 53 3 6 6

S

x y

x yxy x y

x y

x y

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠= − + ⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

F

4 33 3

03

163

11360729d d

160081

5152729

y x

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫ ,

( )4 2 2

2

1 5 1 53 3 6 6

1 5 1 53 3 6 61120 1 1 1 5 1 54

3 6 3 3 6 6

1 5 1 53 3 6 6

S

x y

x yxy x y

x y

x y

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠= − + ⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

F

6 33 3

43 3

183407293209d d

310407297400243

y x

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫ .

Transformirani, vektori su i

SF

1

1280729512810

1024243

102407290000

S

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R , 2

02944243

129287290

18560729

8960243000

S

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R , 3

000163

113607290

5152729

1600810

S

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R , 4

0000

18340729320

90

7400243

31040729

S

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

R .

12807294480243

129287292320243

58500729

17600243

5152729

12200243

31040729

S

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

R

Transformiranje matrica krutosti pojedinih elemenata:

1

10 2 7 50 0 012 12 12 122 10 5 70 0 0

12 12 12 120 0 0 0 0 0 0 0 07 5 10 20 0 0

12 12 12 125 7 2 100 0 0

12 12 12 120 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

0 0

0 0

0 0

0 0

,

2

0 0 0 0 0 0 0 0 04 1 1 20 0 06 6 6 61 4 2 10 0 06 6 6 6

0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 4 10 0 06 6 6 62 1 1 40 0 06 6 6 6

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

0 0

0 0

0 0

0 0

,

3

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

34 14 31 170 0 0 0 024 24 24 2414 34 17 310 0 0 0 024 24 24 24

0 0 0 0 0 0 0 0 031 17 34 140 0 0 0 024 24 24 2417 31 14 340 0 0 0 024 24 24 24

0 0 0 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K ,

4

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

10 2 7 50 0 0 0 012 12 12 122 10 5 70 0 0 0 0

12 12 12 120 0 0 0 0 0 0 0 0

7 5 10 20 0 0 0 012 12 12 125 7 2 100 0 0 0 0

12 12 12 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

K .

Stvaranje globalne matrice krutosti

1 2 3 4= + + +K K K K K

10 2 7 50 0 0 012 12 12 122 18 1 5 9 2 0 0 0

12 12 6 12 12 61 4 2 10 0 0 06 6 6 6

7 5 54 18 31 170 012 12 24 24 24 245 9 2 18 90 17 45 50

12 12 6 24 24 24 24 122 1 18 5 70 0 0 06 6 12 12 12

31 17 34 140 0 0 0 024 24 24 2417 45 5 14 54 20 0 024 24 12 24 24 12

0 0

− −

− − − −

− − −

− − − −

= − − − − − −

− − − −

− −

− − −

K

0

0

0

5 7 2 100 0 012 12 12 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

,

Jednadžba proračunskog modela bez uvedenih rubnih uvjeta je

10 2 7 50 0 0 0 012 12 12 122 18 1 5 9 2 0 0 0

12 12 6 12 12 61 4 2 10 0 0 0 06 6 6 6

7 5 54 18 31 170 0 012 12 24 24 24 245 9 2 18 90 17 45 50

12 12 6 24 24 24 24 122 1 18 5 70 0 0 06 6 12 12 12

31 17 34 140 0 0 0 024 24 24 2417 45 5 14 54 20 0 024 24 12 24 24 12

0 0 0 0

− −

− − − −

− − −

− − − −

− − − − − −

− − − −

− −

− − −

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12807294480243

129287292320243

58500729

17600243

5152729

12200243

5 7 2 10 31040012 12 12 12 729

⎡⎡ ⎤ −⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ −⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ Φ⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦.

Nakon uvođenja Neumannovih rubnih uvjeta ( ) ( )3 32, 240 4 , ,1 60 4y y y x xx y

xφ φ∂ ∂= + =

∂ ∂+

KE 2:

( )23

2 3

0

02 03 82

3240 4 d327227203

0

b

y

y y yy

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫F ,

KE 4:

( )33

4 3

23

01 0

1 5383 27240 4 d2 88

3 3103

0

b

y

y y yy

⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫F ,

KE 4:

( )63

4 3

43

00 0

2 02 35260 4 d3 3

4 21523 272

3

b

x

x x x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫F ,

4

00 05380 5382727352 440883 332152 2152027 27

b

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

F

KE 3:

( )43

3 3

0

00 0

04 108860 4 d3 27

4 323 34

3

b

x

x x x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫F .

2

008300

27227000

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R , 3

000000

323

1088270

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R , 4

00000

538270

2152274403

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R .

desni vektor se mijenja u 12807294480243

109847292320243

58500729

10310243

2624729

16960243

75880729

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

.

Uvođenje Dirichletovih rubnih uvjeta 1 2 3 4 710, 10, 10, 10, 10Φ = Φ = Φ = Φ = Φ = .

10 2 7 50 0 0 0 012 12 12 122 18 1 5 9 2 0 0 0

12 12 6 12 12 61 4 2 10 0 0 0 06 6 6 6

7 5 54 18 31 170 0 012 12 24 24 24 245 9 2 18 90 17 45 50

12 12 6 24 24 24 24 122 1 18 5 70 0 0 06 6 12 12 12

31 17 34 140 0 0 0 024 24 24 2417 45 5 14 54 20 0 024 24 12 24 24 12

0 0 0 0

− −

− − − −

− − −

− − − −

− − − − − −

− − − −

− −

− − −

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12807294480243

109847292320243

58500729

10310243

2624729

16960243

5 7 2 10 75880012 12 12 12 729

⎡⎡ ⎤ −⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ −⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ Φ⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ ⎢ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦.

1 10Φ = 1 0 0 0 0 0 0 0 0

18 1 5 9 20 0 0 012 6 12 12 6

1 4 2 10 0 0 0 06 6 6 65 54 18 31 170 0 0 0

12 24 24 24 249 2 18 90 17 45 50 0

12 6 24 24 24 24 122 1 18 5 70 0 0 06 6 12 12 12

31 17 34 140 0 0 0 024 24 24 2417 45 5 14 54 20 0 024 24 12 24 24 12

5 7 2 100 0 0 0 012 12 12 12

⎡⎢

− − − −

− − −

− − −

− − − − −

− − − −

− −

− − −

− −⎣

1

2

3

4

5

6

7

8

9

104480 20243 1210984

7292320 70243 12

58500 50729 1210310

243262472916960

24375880729

⎡⎤⎢⎥⎢⎢ ⎥ − −⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥

Φ −⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥

− +⎢ ⎥ ⎢Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ − +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎣ ⎦ ⎢⎢ ⎥

⎢ −⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,

2 10Φ = 1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0

4 2 10 0 0 0 0 06 6 6

54 18 31 170 0 0 0 024 24 24 24

2 18 90 17 45 50 0 06 24 24 24 24 121 18 5 70 0 0 0 06 12 12 12

31 17 34 140 0 0 0 024 24 24 2417 45 5 14 54 20 0 024 24 12 24 24 12

5 7 2 100 0 0 0 012 12 12 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢

− −⎢⎢⎢ − −⎢⎢⎢ − − − −⎢⎢⎢ − − −⎢⎢

− −⎢⎢⎢

− − −⎢⎢⎢ − −⎢⎣ ⎦

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1010

10984 10729 6

2320 70 50243 12 12

58500 50 90729 12 1210310 20

243 6262472916960

24375880729

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥

− +⎢ ⎥⎥ Φ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ − + +⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎥ − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥Φ = ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ Φ − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎥ ⎣ ⎦

−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥ ,

3 10Φ = 1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0

54 18 31 170 0 0 0 024 24 24 2418 90 17 45 50 0 0 024 24 24 24 12

18 5 70 0 0 0 0 012 12 12

31 17 34 140 0 0 0 024 24 24 2417 45 5 14 54 20 0 024 24 12 24 24 12

5 7 2 100 0 0 0 012 12 12 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢⎢

− −⎢⎢⎢ − − −⎢⎢⎢ − −⎢⎣ ⎦

1

2

3

4

5

6

7

8

9

101010

2320 70 50243 12 12

58500 50 90 20729 12 12 610310 20 10

243 6 6262472916960

24375880729

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Φ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + +Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Φ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ − + +⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ Φ⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎥

⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥

⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

,

4 10Φ =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0

90 17 45 50 0 0 0 024 24 24 12

18 5 70 0 0 0 0 012 12 12

17 34 140 0 0 0 0 024 24 2445 5 14 54 20 0 0 024 12 24 24 125 7 2 100 0 0 0 0

12 12 12 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

Φ⎢ ⎥ ⎡⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ

− − −⎢ ⎥Φ⎢ ⎥

⎢ ⎥ Φ− −⎢ ⎥Φ⎢ ⎥

⎢ ⎥ Φ−⎢ ⎥Φ⎢ ⎥

⎢ ⎥− − Φ⎣⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

10101010

58500 50 90 20 180729 12 12 6 24

10310 20 10243 6 62624 310729 2416960 170

243 2475880729

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− + + + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − +⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

7 10Φ =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0

90 45 50 0 0 0 0 024 24 12

18 5 70 0 0 0 0 012 12 12

0 0 0 0 0 0 1 0 045 5 54 20 0 0 0 024 12 24 125 7 2 100 0 0 0 0

12 12 12 12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ Φ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢Φ⎢ ⎥ ⎢− −⎢ ⎥ Φ⎢⎢ ⎥ ⎢Φ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ Φ⎢− −⎢ ⎥ ⎢Φ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

10101010

58500 50 90 20 180 170729 12 12 6 24 24

10310 20 10243 6 6

1016960 170 140

243 24 2475880

729

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− + + + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ = ⎢ ⎥⎥ − + +⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥− + −⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Izostavljanjem jednadžbi koje opisuju Dirichletove rubne uvjete dobiva se

5

6

8

9

29700 35090 45 50729 2424 24 12

10310 3018 5 70243 612 12 12

45 5 54 2 16960 3024 12 24 12 243 245 7 2 10 75880

12 12 12 12 729

⎡ ⎤⎡ ⎤ − +− − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − +− − ⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥

− − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Rješenje sustava jednadžbi je: 5

6

8

9

18,9212,5953,91

135,036

Φ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Analitičko rješenje je 5

6

8

9

27,662,7462,74178

Φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

1. Potrebno je postaviti sustav jednadžbi konačnih volumena za problem provođenja topline kroz homogenu pravokutnu ploču zadanu i opterećenu prema slici. Problem diskretizirati s 2 x 2 jednaka konačna volumena. Zadano: 340 W/kg , 1kg/m , 2 W/mK.q ρ α= = =

Rubni uvjeti su: ( )0, 200T y yx

α ∂=

∂, ( ),0 200T x x

yα ∂

=∂

, ( )2, 200 40T y y= − , T(x,1) = 100x - 10x2.

Diskretizirani model:

Jednadžba konačnog volumena

T T T Tx x y ye w n s

qy y x x ρλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ − Δ + Δ − Δ = − Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠V

KV 1:

2 1

1e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 3 1

0.5n

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 1 1200 200 0.25 252w

T yx α

∂⎛ ⎞ = = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠,

1 1200 200 0.5 502s

T xy α

⎛ ⎞∂= = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( ) 3 12 1

400.5 1 25 0.5 50 1 0.5 10.5 2

T TT T −− + − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

1 2 32.5 0.5 2 52.5T T T− + + = . KV 2:

2 2 2200 0.25 40 100.5 0.5 0.5

e

e

T T T TTx

− ⋅ − − −∂⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 4 2

0.5n

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 2 1

1w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠,

1 1200 200 1.5 1502s

T xy α

⎛ ⎞∂= = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )2 4 2 2 110 400.5 1 0.5 150 1 0.5 10.5 0.5 1 2

T T T T T− − −+ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

1 2 40.5 3.5 2 130T T T− + = . KV 3:

4 3

1e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠,

23 3100 0.5 10 0.5 47.5

0.25 0.25 0.25n

n

T T T TTy

⎛ ⎞ 3− ⋅ − ⋅ − −∂= = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

,

1 1200 200 0.75 752w

T yx α

∂⎛ ⎞ = = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 3 1

0.5s

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

4 3 3 3 147.5 400.5 1 75 0.5 1 0.5 11 0.25 0.5 2

T T T T T− − −+ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

1 3 42 6.5 0.5 162.5T T T− + = − . KV 4:

4 4 4200 40 110

0.5 0.5 0.5e

e

T T y T TTx

− − − −∂⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠,

24 4 4100 1.5 10 1.5 127.5

0.25 0.25 0.25n

n

T T T TTy

⎛ ⎞ − ⋅ − ⋅ − −∂= = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

,

4 3

1w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 4 2

0.5s

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

4 34 4 4 2110 127.5 400.5 1 0.5 1 0.5 10.5 0.25 1 0.5 2

T TT T T T−− − −+ − − ⋅ = − ⋅ ,

2 3 42 0.5 7.5 630T T T+ − = − .

1

2

3

4

2.5 0.5 2 0 52.50.5 3.5 0 2 1302 0 6.5 0.5 162.50 2 0.5 7.5 630

TTTT

− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2. Za gredu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je pomoću metode konačnih elemenata za proračunski model izvesti globalnu jednadžbu konačnih elemenata. Primijeniti osnovne gredne elemente. Problem diskretizirati s 3 jednaka elementa. Zadano: 0 , , konst.q L EI =

Proračunski model

3L/2l

21

V1 ll

V2

3

V3

4

V4

V5 V7

V6 V8

x

z

Osnovni gredni element

vv

1

l

2

v1

2

v3

4

x

z

Geometrijski rubni uvjeti su ( ) ( )0 0,w x w x L 0= = = = .

što vodi na 1 5 0V V= = .

Svi elementi imaju jednaku duljinu l = L/2.

Tablica podudaranja stupnjeva slobode konačnih elemenata s globalnim stupnjevima slobode

Globalni stupnjevi slobode 1V 2V 3V 4V 5V 6V 7V 8V KE 1 1 2 3 4

KE 2 1 2 3 4

konačni elementi i njihovi lokalni stupnjevi slobode

KE3 1 2 3 4

Matrica krutosti konačnog elementa 1:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−−−

=

llll

llll

llll

llll

EI y

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

1k ,

koja je nakon uvrštavanja l = L/2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

⋅

=

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

EI y

24462246

4681246812

22462446

4681246812

22

2323

22

2323

1k

Budući su svi elementi jednake duljine i savojne krutosti, matrice krutosti su im jednake u lokalnim stupnjevima slobode. Pomoću tablice podudaranja, matricu krutosti prvog elementa transformiramo u globalne stupnjeve slobode

3 2 3 2

2 2

3 2 3 21

2 2

96 24 96 24 0 0 0 0

24 8 24 4 0 0 0 0

96 24 96 24 0 0 0 0

24 4 24 8 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

L L L L

L L L L

L L L LEI

L L L L

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

Matrica krutosti konačnog elementa 2 transformirana u globalne stupnjeve slobode je

3 2 3 2

2 22

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

96 24 96 240 0 0 0

24 8 24 40 0 0 0

96 24 96 240 0 0 0

24 4 24 80 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

L L L L

L L L LEI

L L L L

L L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

Matrica krutosti konačnog elementa 3 transformirana u globalne stupnjeve slobode je

3 2 3 23

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

96 24 96 240 0 0 0

24 8 24 40 0 0 0

96 24 96 240 0 0 0

24 4 24 80 0 0 0

L L L LEI

L L L L

L L L L

L L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

K

Zbrajanjem ovih matrica krutosti dobivamo globalnu matricu krutosti

3 2 3 2

2 2

3 2 3 3 2 2 3 2

2 2 2 2

3 2 3 3 2 2 3

2 2 2 2

3 2 3

96 24 96 24 0 0 0

24 8 24 4 0 0 0

96 24 96 96 24 24 96 24 0 0

24 4 24 24 8 8 24 4 0 0

96 24 96 96 24 24 96 240 0

24 4 24 24 8 8 24 40 0

96 24 96 20 0 0 0

L L L L

L L L L

L L L L L L L L

L L L L L L L LEI

L L L L L L L

L L L L L L L L

L L L

− − −

−

− + − − −

− − +=

− + − + −

− − + +

−

K

2

0

0

L−

2

2 2

4

24 4 24 80 0 0 0

L

L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦L

Vektor čvornih sila uslijed za prvi element određen je prema ( )zq x

Tz

0

dl

S q x= ∫F N ,

Matrica funkcija oblika jednaka je

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2 232231lx

lx

lx

lx

lx

lxx

lx

lxN .

2 3

2 3

2 3

21

02 30

2 3

2 3

2

3 21

2

d3 2

l

S

x xl l

x xxl l q x

x xl lx xl l

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫F ,

22

10 0

2 2

42

4812

2 4

12 48

S

Ll

Ll

q ql L

l L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F .

Vektor transformiran u globalne stupnjeve slobode glasi 1SF

2

120

4

48

4

480000

S

L

L

L

q L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

Analogno za KE 2 i KE 3

22

20 0

2 2

42

4812

2 4

12 48

S

Ll

Ll

q ql L

l L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F ,

2

20

2

00

4

48

4

4800

S

L

L

qL

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

22

30 0

2 2

42

4812

2 4

12 48

S

Ll

Ll

q ql L

l L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F , 30 2

2

0000

4

48

4

48

S

L

qL

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R .

Zbrajanjem 1 2, i 3

s sR R R s

dobivamo vektor čvornih sila za proračunski model

2

2 2

0

2 2

2

4

48

4 4

48 48

4 4

48 48

4

48

S

L

L

L L

L L

L L

L L

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥

2

0

2

4

48

20

20

4

48

S

L

L

L

qL

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢q ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

R

Globalni sustav jednadžbi glasi

RKV =

3 2 3 2

2 2

3 2 3 3 2 2 3 2

2 2 2 2

3 2 3 3 2 2 3 2

2 2 2 2

3 2 3

96 24 96 24 0 0 0 0

24 8 24 4 0 0 0 0

96 24 96 96 24 24 96 24 0 0

24 4 24 24 8 8 24 4 0 0

96 24 96 96 24 24 96 240 0

24 4 24 24 8 8 24 40 0

96 24 96 240 0 0 0

L L L L

L L L L

L L L L L L L L

L L L L L L L LEI

L L L L L L L L

L L L L L L L L

L L L L

− − −

−

− + − − −

− − +

− + − + − −

− − + +

−

2

1

1

2

20

3

3

4

4

2 2

2 2

4

48

20

20

4

24 4 24 8 480 0 0 0

L

Lw

Lw

qw L

wL

L

L L L L

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Uvođenjem osnovnih (Dirichlet-ovih) rubnih uvjeta globalna jednadžba konačnih elemenata je

22

2 3 2 1

2

20

32 2

4

42 3 2 2

2

8 24 4 0 0 0

4824 192 240 0 0

24 16 40 0 0 024 4 16 24 4 00

24 96 24 40 0 0

4 24 8 480 0 0

LL L L

LL L Lw

L L LEI q

L L L L L w L

L L L L

L L L

ϕ

ϕϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

3. Za štap pravokutnog poprečnog presjeka opterećenog na uvijanje potrebno je pomoću metode konačnih elemenata izračunati posmično naprezanje u točki (3d/8, 3c/8). Primijeniti osnovne pravokutne elemente. Problem diskretizirati s 2 elementa. Napomena: koristite simetriju problema. Zadano: c, d=0,5c, GJ

c

y

d x

Diferencijalna jednadžba koja opisuje problem

2 2

2 2 2x yψ ψ∂ ∂

+ = −∂ ∂

Proračunski (diskretizirani) model

c/2

d/2

xc/4

y1 y2 3y

y4 5y 6y1 2

Tablica poklapanja globalnih čvornih parametara i onih pojedinih konačnih elemenata

Globalni čvorni parametri 1 2 3 4 5 6

KE 1 1 2 4 3 KE 2 1 2 4 3

Za uvijanje štapova neokruglog presjeka vrijedi da je St'Venant-ova funkcija naprezanja jedanaka nuli na slobodnim plohama. Iz ovoga mogu se napisati Dirichletovi rubni uvjeti za diskretizirani model:

3 4 5 60, 0, 0, 0ψ ψ ψ ψ= = = = . Za osnovni pravokutni element prema slici matrica krutosti jednaka je

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 216 2 2 2

2 2

a b a b a b b a

a b a b b a a b

ab a b b a a b a b

b a a b a b a b

⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − +⎣ ⎦

k

2

2

KE 1: Mjere konačnog elementa 1 su prema slici: / 8, / 4a c b d= = . Uvođenjem zadanog omjera stranica presjeka dobiva se matrica krutosti jednaka za oba elementa:

/ 4, / 4a d b d= = . 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 216 16 16 16 16 16 16 16

2 2 216 16 16 16 16 16 16 161

6 2 2 24 4 16 16 16 16 16 16 16 16

2 216 16 16 16 16 16

d d d d d d d d

d d d d d d d d

d d d d d d d d d d

d d d d d d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

k

2

2 2

216 16d d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞

+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

,

1

4 1 2 11 4 1 212 1 4 161 2 1 4

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

k .

Vektor čvornih opterećenja uslijed „ f “ iz diferencijalne jednadžbe izračunava se prema

1

2

3

4

d da b

Sa b

NN

f y xNN

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫F .

Formulacija ovog končnog elementa je izvedena prema parcijalnoj diferencijalnoj jednadžbi oblika

2 2 2

2 2;i i

f fx x x yφ φ φ∂ ∂ ∂

− = + = −∂ ∂ ∂ ∂

.

Usporedbom ove i diferencijalne jedndžbe koja opisuje uvijanje štapova neokruglog presjeka, vidljivo je da je „ f “ jednako 2! Pomoću ovog možemo izračunati

( )( )( )( )( )( )( )( )

21

1112 d184

4 4 1

a b

Sa b

a x b ya x b y dy xd d a x b ya x b y

− −

⎡ ⎤− −

d

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫F .

Pomoću tablice poklapanja globalnih čvornih parametara i onih konačnog elementa transformiramo matricu krutosti i vektor čvornih opterećenja

1

4 1 0 1 2 01 4 0 2 1 0

0 0 0 0 0 011 2 0 4 1 062 1 0 1 4 0

0 0 0 0 0 0

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

K , 2

1

1101810

Sa

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R .

Za konačni element 2 matrica krutosti i vektor čvornih opterećenja su isti pa su transformirani u globalne čvorne parametre

2

0 0 0 0 0 00 4 1 0 1 20 1 4 0 2 110 0 0 0 0 060 1 2 0 4 10 2 1 0 1 4

⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

− − −⎣ ⎦

K , 2

2

0110811

Sa

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R .

Zbrajanjem ovih transformiranih matrica krutosti dobivamo globalnu matricu krutosti

4 1 0 0 0 11 8 1 2 2 2

0 1 4 1 2 010 2 1 4 1 062 2 2 1 4 11 2 0 0 1 4

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

K , 2

1211821

Sa

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F .

Od rubnih uvjeta postoje samo Dirichletovi jer su na ravnini simetrije Neumannovi rubni uvjeti jednaki 0 pa nakon uvođenja tih r.u. jednadžbe konačnih elemenata su

21

2

4 1 11 8 28

aψψ

− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡=⎢ ⎥

⎤⎢ ⎥ ⎢− ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎦

.

Rješenje je

1 2

2

156227

124

aψψ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Posmično naprezanje u bilo kojoj točci presjeka ima dvije komponente, izx zyτ τ koje izračunavamo prema

zx Gyψτ ϑ∂

=∂

, zy Gxψτ ϑ∂

= −∂

.

Za funkciju naprezanja vrijedi ( ),x yψ ψ= , a po konačnom elementu je

( ) 1 1 2 2 3 3 4 4,x y N N N Nψ ψ ψ ψ ψ= + + + . Derivacije su

( ) 31 2 41 2 3, NN N Nx y

x x x x 4xψ ψ ψ ψ ψ∂∂ ∂ ∂∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

,

( ) 31 2 41 2 3, NN N Nx y

y y y y 4yψ ψ ψ ψ ψ∂∂ ∂ ∂∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Točka (3b/8, 3a/8) je unutar KE 1, za koji su čvorni parametri prema tablici poklapanja

1 2

156227

12400

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ .

Deriviranjem funkcija oblika jer su pridružene čvornim parametrima različitim od 0

dobivamo vrijednosti derivacije

1 i N N2

i x yψ ψ∂ ∂∂ ∂

u zadanoj točki

3 3,8 8

0.015b a

axψ∂

= −∂

, 3 3,8 8

0.4506b a

ayψ∂

= −∂

.

Posmično naprezanje u zadanoj točki je 0.45060.015

G aϑ−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

τ .

1. Za gredu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je koristeći Rayleigh-Ritz-ovu metodu odrediti progib na mjestu djelovanja sile F i raspodjelu momenata savijanja. Za funkciju progiba pretpostaviti jednu od ponuđenih:

1. 21 2( )w x a x a x= + 3 , 2.

1 22( ) sinw x a x aLπ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Zadano: 0 0, , 2 , konst.q L F q L EI= =

○Geometrijski rubni uvjeti:

d( 0) 0, ( 0) 0, ( )dww x x w x L 0x

= = = = = = .

1. 2 31 2( )w x a x a x= + : 1 20 0 0a a= + zadovoljeno, 1 20 2 0 3 0a a= + zadovoljeno,

zadovoljeno samo za 21 20 a L a L= + 3 L1 2a a= − .

2. 1 2

2( ) sinw x a x aLπ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠:

120 sin 0aLπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠2a+ zadovoljava,

12 20 cosaL Lπ π⎛≠ ⎜

⎝ ⎠0⎞⎟ ne zadovoljava!

Odabrana funkcija je pod 1. oblika ( )2 3 3

2 2 2( )w x a Lx a x a x Lx= − + = − 2 Funkcional za zadanu gredu je

[ ]22

2230 0

1 d2 dx

L L

LzwEI dx q wdx F

⎛ ⎞Π = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ w

( )( ) ( ) ( )2

3 2 3 222 0 2 230 0

1 6 22

L L

LxEI a x L dx q a x Lx dx Fa x LxL

⎡ ⎤Π = − − − − −⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 2 4 3 3 20 222 2 030 0

1 36 24 4 22

L L

Lq aEIa x xL L dx x Lx dx a q L x Lx

L⎡ ⎤Π = − + − − − −⎣ ⎦∫ ∫

3 23 2 5 42 2 0 2

2 2 020 03

1 236 24 4 22 3 2 5 4 3 3

L L

L

q ax x x x L LEIa L xL L a q L LL

2⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Π = − + − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )5 5 3 3

2 3 3 3 0 22 2

1 812 12 4 22 5 4

q a L L L LEIa L L L a q LL

⎛ ⎞ ⎛Π = − + − − − −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝0

427 9

⎞⎟⎠

4 42 3 0 2 2 0

282

20 27q a L a q LEIa LΠ = + +

2

0a∂Π

=∂

4 43 0 0

284 0

20 27q L q LEIa L + + =

02

1874 27 20

q LaEI

⋅= −

⋅ ⋅ ⋅

20

1187

4 27 20q La

EI⋅

=⋅ ⋅ ⋅

22 30 0187 187( )

4 27 20 4 27 20q L q Lw x x x

EI EI⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

2 340187( )

2160q L x xw x

EI L L⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 34 40 0187 1872 2 2( )

3 2160 3 3 2160 27q L q LLw

EI EI⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

4

Moment savijanja: 2

2

ddy

wM EIx

= − .

4 20 0

2 3

187 1872 6( ) 2 62160 2160y

q L q Lx xM xL L L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦.

2. Za gredu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je koristeći metodu konačnih razlika odrediti moment savijanja u točki x = L. Problem diskretizirati s n=5 jednako razmaknutih čvorova. Zadano: 0 0, , , konst.q L F q L EI= =

○Geometrijski rubni uvjeti: d( 0) 0, ( 0) 0, ( ) 0, ( 2 ) 0dww x x w x L w x Lx

= = = = = = = = .

○Prirodni rubni uvjeti: 5( 2 )M x L M 0= = = .

Čvorovi konačnih razlika:

24 2L Lx∆ = =

Diferencijske jednadžbe po čvorovima: Čvor 2:

( )iiii Fxwww

3

2147 ∆=+− ++ EI

( ) FEIxwww

3

432 47 ∆=+− , , 0 0 03F q L q x q x= + ∆ = ∆

( )40

2 47 3q x

w wEI∆

+ =

Čvor 4:

( )iiii Fxwww

3

2145 ∆=+− ++ EI

( )3

4 25x

w w FEI∆

+ = , , 0 0 03F q L q x q x= + ∆ = ∆

( )4

4 2 05 3x

w w qEI∆

+ =

Rješenje jednadžbi je ( ) ( )4 4

0 02 4

6 9,16 17 16 17

q x q xw w

EI EI∆ ∆

= =⋅ ⋅

Moment savijanja na mjestu x=L jednak je prema ( )2

11 2x

wwwEIM iiii ∆

+−−= +−

40

22 3 43 02 2

6 92 1516 17 16 17

682 2

q Lw w w EIM EI EI q L

L L

⎛ ⎞+⎜ ⎟− + ⋅ ⋅⎝ ⎠= − = − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Za homogenu pravokutnu ploču zadanu i opterećenu prema slici potrebno je koristeći metodu konačnih volumena postaviti sustav jednadžbi. Problem diskretizirati s 2x2 konačna volumena. Zadano: 40 , 1 , 2 .q ρ λ= = =

Rubni uvjeti su: ( )0, 200T y yx

λ ∂ =∂

, ( ),0 200T x xy

λ ∂ =∂

, ( )2, 200 40T y y= − , T(x,1) = 100x - 10x2.

Podjela ploče na konačne volumene

Jednadžba konačnog elementa


qy y x x ρλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ − ∆ + ∆ − ∆ = − ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠V

KV 1:

2 1

1e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 3 1

0.5n

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 1 1200 200 0.25 252w

T yx λ

∂⎛ ⎞ = = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠,

1 1200 200 0.5 502s

T xy λ

⎛ ⎞∂= = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( ) 3 12 1

400.5 1 25 0.5 50 1 0.5 10.5 2

T TT T −− + − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

1 2 32.5 0.5 2 52.5T T T− + + = . KV 2:

2 2 2200 0.25 40 10

0.5 0.5 0.5e

e

T T T TTx

− ⋅ − − −∂⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 4 2

0.5n

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 2 1

1w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠,

1 1200 200 1.5 1502s

T xy λ

⎛ ⎞∂= = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )2 4 2 2 110 400.5 1 0.5 150 1 0.5 10.5 0.5 1 2

T T T T T− − −+ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

1 2 40.5 3.5 2 130T T T− + = . KV 3:

4 3

1e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠,

23 3100 0.5 10 0.5 47.5

0.25 0.25 0.25n

n

T T T TTy

⎛ ⎞ 3− ⋅ − ⋅ − −∂= = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

,

1 1200 200 0.75 752w

T yx λ

∂⎛ ⎞ = = ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 3 1

0.5s

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

4 3 3 3 147.5 400.5 1 75 0.5 1 0.5 11 0.25 0.5 2

T T T T T− − −+ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

1 3 42 6.5 0.5 162.5T T T− + = − . KV 4:

4 4 4200 40 110

0.5 0.5 0.5e

e

T T y T TTx

− − − −∂⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, ⎛ ⎞⎜ ⎟ ,

4 3

1w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 4 2

0.5s

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

24 4 4100 1.5 10 1.5 127.5

0.25 0.25 0.25n

n

T T T TTy

− ⋅ − ⋅ − −∂= = =

∂⎝ ⎠

4 34 4 4 2110 127.5 400.5 1 0.5 1 0.5 10.5 0.25 1 0.5 2

T TT T T T−− − −+ − − ⋅ = − ⋅ ,

2 3 42 0.5 7.5 630T T T+ − = − .

1

2

3

4

2.5 0.5 2 0 52.50.5 3.5 0 2 1302 0 6.5 0.5 162.50 2 0.5 7.5 630

TTTT

− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4. Za gredu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je pomoću metode konačnih elemenata za proračunski model izvesti globalnu jednadžbu konačnih elemenata. Primijeniti osnovne gredne elemente. Problem diskretizirati s 3 elementa. Zadano: 0 , , konst.q L EI =

Podjela grede na konačne elemente s pripadnim stupnjevima slobode (proračunski model)

Stupnjevi slobode konačnih elemenata

Geometrijski rubni uvjeti su

( ) ( )0 0, 0w x w x L= = = = . što vodi na

1 3 0w w= = .

Svi elementi imaju jednaku duljinu l = L/2.

Tablica podudaranja stupnjeva slobode konačnih elemenata s globalnim stupnjevima slobode

. Matrica krutosti konačnog elementa 1:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−−−

=

llll

llll

llll

llll

EI y

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

1k ,


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

⋅

=

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

EI y

24462246

4681246812

22462446

4681246812

22

2323

22

2323

1k

Pomoću tablice podudaranja, matricu krutosti prvog elementa transformiramo u globalne stupnjeve slobode

3 2 3 2

2 2

3 2 3 21

2 2

96 24 96 24

24 8 24 4

96 24 96 24

24 4 24 8

L L L L

L L L L

L L L LEI

L L L L

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k

Matrica krutosti konačnog elementa 2 je brojčano identična onoj prvog elementa, a transformirana u globalne stupnjeve slobode je

3 2 3 2

2 22

3 2 3 2

2 2

96 24 96 24

24 8 24 4

96 24 96 24

24 4 24 8

L L L L

L L L LEI

L L L L

L L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k


3 2 33

2 2

3 2 3 2

2 2

96 24 96 24

24 8 24 4

96 24 96 24

24 4 24 8

L L L LEI

L L L L

L L L L

L L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

k 2

Zbrajanjem ovih matrica krutosti dobivamo globalnu matricu krutosti

3 2 3 2

2 2

3 2 3 3 2 2 3 2

2 2 2 2

3 2 3 3 2 2 3 2

2 2 2 2

3 2 3

2 2

96 24 96 24

24 8 24 4

96 24 96 96 24 24 96 24

24 4 24 24 8 8 24 4

96 24 96 96 24 24 96 24

24 4 24 24 8 8 24 4

96 24 96 24

24 4 24 8

L L L L

L L L L

L L L L L L L L

L L L L L L L LEI

L L L L L L L

L L L L L L L L

L L L

L L L

⎡ − − −⎢⎢−

− + − − −

− − +=

− + − + −

− − + +

−

−⎣

K

⎤⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

2

L

L

L

−

Vektor čvornih sila za prvi element određen je prema T

z0

dl

S q x= ∫F N ,


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2 232231lx

lx

lx

lx

lx

lxx

lx

lxN .

2 3

2 3

2 3

21

02 30

2 3

2 3

2

3 21

2

d3 2

l

S

x xl l

x xxl l q x

x xl lx xl l

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫F ,

22

10 0

2 2

42

4812

2 4

12 48

S

Ll

Ll

q ql L

l L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F .


2

120

4

48

4

48

S g

L

L

L

q L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

Analogno za KE 2 i KE 3

22

20 0

2 2

42

4812

2 4

12 48

S

Ll

Ll

q ql L

l L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F ,

2

20

2

4

48

4

48

S g

L

L

qL

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

22

30 0

2 2

42

4812

2 4

12 48

S

Ll

Ll

q ql L

l L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F , 30

2

2

4

48

4

48

S g

L

qL

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F .

Zbrajanjem 1 2 3, i s g s g s gF F F dobivamo vektor čvornih sila za proračunski model

48q

L L⎢ ⎥= ⎢F

2

2 2

0

2 2

2

4

48

4 4

48

4 4

48 48

4

48

S

L

L

L L

L L

L L

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎥+⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

0

2

4

48

20

20

4

48

S

L

L

L

qL

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

Globalni sustav jednadžbi glasi

RKV =

3 2 3 2

2 2

1

3 2 3 3 2 1

2

2 22

3 2 3 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

96 24 96 24

24 8 24 4

96 24 192 96 240

24 4 16 24 40

96 24 192 96 240

24 4 16 24 40

96 24 96 24

24 4 24 8

L L L L

L L L L w

L L L L Lw

L L L L LEI

L L L L L

L L L L L

L L L L

L L L L

ϕ

ϕ

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

2

03

3

4

4

2

4

48

20

20

4

48

L

L

L

qw L

wL

L

ϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Uvođenjem osnovnih (Dirichlet-ovih) rubnih uvjeta globalna jednadžba konačnih elemenata je

22

2 3 2 1

2

20

32 2

4

42 3 2 2

2

8 24 4

4824 192 240

24 16 40 024 4 16 24 4 0

24 96 24 4

4 24 8 48

LL LL

LL L Lw

L L LEI q

L L LL L w L

L L L L

L LL

ϕ

ϕϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

5. Za štap pravokutnog poprečnog presjeka opterećenog na uvijanje potrebno je pomoću metode konačnih elemenata izračunati posmično naprezanje u točki (3b/8, 3a/8). Primijeniti osnovne pravokutne elemente. Problem diskretizirati s 2 elementa. Napomena: koristite simetriju problema. Zadano: a, b=2a, GJ


2 2

2 2 2x yψ ψ∂ ∂

+ = −∂ ∂



Globalni čvorni parametri 1 2 3 4 5 6

KE 1 1 2 3 4 KE 2 1 2 3 4

Za uvijanje štapova neokruglog presjeka vrijedi da je St'Venant-ova funkcija naprezanja jedanaka nuli na slobodnim plohama. Iz ovoga mogu se napisati osnovni (Dirichlet-ovi) rubni uvjeti za diskretizirani model:

3 4 5 60, 0, 0, 0ψ ψ ψ ψ= = = = . Za osnovni pravokutni element prema slici matrica krutosti jednaka je

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 216 2 2 2

2 2

a b a b a b b a

a b a b b a a b

ab a b b a a b a b

b a a b a b a b

⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − +⎢ ⎥=⎢ ⎥− + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − +⎣ ⎦

k

2

2

KE 1: Mjere konačnog elementa 1 su prema slici: , gdje su zadane mjere presjeka. Uvođenjem omjera stranica presjeka b=2a dobivaju se mjere konačnih elemenata za stvaranje matrice krutosti.

ˆ ˆ/ 8, / 4a b b a= = ˆˆ ,a b

ˆ ˆ/ 4, / 4a a b a= = . 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 216 16 16 16 16 16 16 16

2 2 216 16 16 16 16 16 16 161

6 2 2 24 4 16 16 16 16 16 16 16 16

2 216 16 16 16 16 16

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛

− + − − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

k

2

⎞⎟⎠

2 2

216 16a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞

+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

,

2 2 2 2

2 2 2 2

12 2 2 2 2

2 2 2 2

4 216 16 16 16

4 1 2 14 2 1 4 1 21 116 16 16 16

2 1 4 166 2 416 1 2 1 416 16 16 16

2 416 16 16 16

a a a a

a a a a

a a a a a

a a a a

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥

⎢ ⎥− − −⎡ ⎤⎢ ⎥

− − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥ =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

k .

Vektor čvornih opterećenja uslijed „ f “ iz diferencijalne jednadžbe izračunava se prema

1

2

3

4

d da b

Sa b

NN

f y xNN

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫F .

Formulacija ovog končnog elementa je izvedena prema parcijalnoj diferencijalnoj jednadžbi oblika

2 2 2

2 2;i i

f fx x x yφ φ φ∂ ∂ ∂

− = + = −∂ ∂ ∂ ∂

.

Usporedbom ove i diferencijalne jedndžbe koja opisuje uvijanje štapova neokruglog presjeka, vidljivo je da je „ f “ jednako 2! Pomoću ovog možemo izračunati

( )( )( )( )( )( )( )( )

21

1112 d d184

4 4 1

a b

Sa b

a x b ya x b y ay xa a a x b ya x b y

− −

⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫F .

Pomoću tablice poklapanja globalnih čvornih parametara i onih konačnog elementa transformiramo matricu krutosti i vektor čvornih opterećenja

1

4 1 0 0 2 11 4 0 0 1 2

0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 062 1 0 0 4 11 2 0 0 1 4

g

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

k , . 2

1

1100811

S ga

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

Za konačni element 2 matrica krutosti i vektor čvornih opterećenja su isti pa su transformirani u globalne čvorne parametre

2

0 0 0 0 0 00 4 1 2 1 00 1 4 1 2 010 2 1 4 1 060 1 2 1 4 00 0 0 0 0 0

g

⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

k , 2

2

0111810

S ga

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F .

Zbrajanjem ovih transformiranih matrica krutosti dobivamo globalnu matricu krutosti

4 1 0 0 0 11 8 1 2 2 2

0 1 4 1 2 010 2 1 4 1 062 2 2 1 4 11 2 0 0 1 4

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −

= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

K , . 2

1211821

Sa

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

Od rubnih uvjeta postoje samo osnovni (zadane vrijednosti funkcije) pa nakon uvođenja tih r.u. jednadžbe konačnih elemenata su

21

2

4 1 11 8 28

aψψ

− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡=⎢ ⎥

⎤⎢ ⎥ ⎢− ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎦

.

Rješenje je

1 2

2

156227

124

aψψ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Posmično naprezanje u bilo kojoj točci presjeka ima dvije komponente, izx zyτ τ koje izračunavamo prema

zx Gyψτ ϑ∂

=∂

, zy Gxψτ ϑ∂

= −∂

.

Za funkciju naprezanja vrijedi ( ),x yψ ψ= , a po konačnom elementu je

( ) 1 1 2 2 3 3 4 4,x y N N N Nψ ψ ψ ψ ψ= + + + . Derivacije su

( ) 31 2 41 2 3, NN N Nx y 4x x x x x

ψ ψ ψ ψ ψ∂∂ ∂ ∂∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂,

( ) 31 2 41 2 3, NN N Nx y

y y y y 4yψ ψ ψ ψ ψ∂∂ ∂ ∂∂

= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Točka (3b/8, 3a/8) je unutar KE 1, za koji su čvorni parametri prema tablici poklapanja

1 2

156227

12400

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ .

Deriviranjem funkcija oblika jer su pridružene čvornim parametrima različitim od 0

dobivamo vrijednosti derivacije

1 i N N2

i x yψ ψ∂ ∂∂ ∂

u zadanoj točki

3 3,8 8

0.015b a

axψ∂

= −∂

, 3 3,8 8

0.4506b a

ayψ∂

= −∂

.

Posmično naprezanje u zadanoj točki je 0.45060.015

G aϑ−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

τ .

Rješenja ponovljenog 1. kolokvija iz kolegija NUMERIČKE METODE U STROJARSTVU 1. Za konzolu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je koristeći Galerkinovu metodu odrediti progib točke B i raspodjelu momenata savijanja i poprečne sile. Za funkciju progiba pretpostaviti

[ ]m)( 32

21 xaxaxw += .

Zadano: .konst,,, 00 == EIlqFlq


0)0(dd,0)0( ==== x

xwxw .

00302)0(dd,000)0( 2

213

22

1 =+==+= aaxwaaw pa su g.r.u. zadovoljeni.

○Prirodni rubni uvjeti: FLxQ == )( . 0)( == LxM

Raspodijeljeno opterećenje:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

lxqxq z 0)( .

Diferencijalna jednadžba koja opisuje osno opterećenje štapova glasi:

0dd

4

4

=− zqxwEI .

Integralna forma težinskog reziduala glasi:

0ddd

04

4

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∫ xfq

xwEI i

l

z .

Ovaj izraz možemo raspisati na

xfqxfxwEIxfq

xwEI i

l

zi

l

i

l

z ddddd

dd

004

4

04

4

∫∫∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Primjenom parcijalne integracije na prvi integral na desnoj strani dva puta dobivamo:

dxxf

xwEIf

xwEIdxf

xwEI

li

l

ii

l

∫∫ −=0

3

3

03

3

04

4

dd

dd

dd

dd

xxf

xwEI

xf

xwEIx

xf

xwEI

li

lii

l

ddd

dd

dd

ddd

dd

dd

02

2

2

2

02

2

03

3

∫∫ −=

0dd

dd

dddd

dd

dd

03

3

02

2

002

2

2

2

=+−− ∫∫l

i

li

i

l

z

li f

xwEI

xf

xwEIxfqx

xf

xwEI

Drugi izraz slijeva predstavlja prirodni rubni uvjet momenta pomnožen derivacijom težinske funkcije, a prvi izraz slijeva predstavlja negativnu poprečnu silu kao rubni uvjet pomnoženu težinskom funkcijom.

Težinske funkcije su:

.

;3

2

21

xf

xf

=

=

Derivacije težinskih funkcija jesu:

.6dd;3

dd

2dd

;2dd

22

222

21

21

xxfx

xf

xf

xxf

==

==

Vrijednosti težinskih funkcija na granicama integracije su:

222322

11211

3)(dd

,0)0(dd

.)(,0)0(

2)(dd

,0)0(dd

;)(,0)0(

llxf

xf

llff

llxf

xf

llff

====

====

Derivacija pretpostavljene funkcije pomaka je:

.62dd,32

dd

212

22

21 xaaxwxaxa

xw

+=+=

° i=1

( ) ( ) 00)0(0)0(20dd2)62( 22

00

021 =⋅−⋅−+⋅−⋅+−+ ∫∫ FlFMlxx

lxqxxaaEI

ll

° i=2

( ) ( 00)0(0)0(30dd6)62( 323

00

021 =⋅−⋅−+⋅−⋅+−+ ∫∫ FlFMlxx

lxqxxxaaEI

ll

)

° i=1

04

)2

124( 30

0

4

00

2

21 =⋅−−+ lql

xqxaxaEIll

° i=2

05

)3

362

12( 40

0

5

00

3

2

2

1 =⋅−−+ lql

xqxaxaEIll

° i=1

04

)64( 30

3

02

21 =⋅−−+ lqlqlalaEI

° i=2

05

)126( 40

4

03

22

1 =⋅−−+ lqlqlalaEI

EIlq

lala3

0221 4

564 =+

EIlqlala

403

22

1 56126 =+

EIlq

a2

01 20

13=

EIlqa 0

2 409

−=

[ ]mxEI

lqx

EIlq

xw 3022

0

409

2013)( −= .

[ ]mlx

lx

EIlq

xw⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

3240

409

2013)(

[ ]mEI

lqll

ll

EIlq

lxw4

0324

0

4017

409

2013)( =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

Analitičko rješenje:

[ ]mlx

lx

lx

EIlq

xw⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

53240

1201

41

32)(

Normirani progibi

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

w*

w* Galerkinw* Analitički

Usporedba normiranih pomaka ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

EIlq

ww4

0* /

Momenti savijanja:

[ ]Nmdd

2

2

xwEIM y −= .

[ ]Nm1013

2027)( 2

0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

lxlqxM y .


[ ]Nm34

23

61)(

32

0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

lx

lxlqxM y .

Normirani momenti

-1,6

-1,4

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/L

M*

M* GalerkinM* Analitički

Usporedba normiranih uzdužnih sila ( )2

0* / lqMM =

Poprečne sile:

[ ]Ndd

3

3

xwEIQz −= .

[ ]N2027)( 0lqxQz = .


[ ]N23

21)(

2

0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

lxlqxQz .

2. Za gredu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je koristeći Rayleigh-Ritz-ovu metodu odrediti progib u točki C te raspodjelu momenata savijanja i poprečnih sila. Za funkciju progiba pretpostaviti jednu od ponuđenih:

1. [ ]m)( 32

21 xaxaxw += , 2. [ ]m2sin)( 1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= x

laxw π , 3. [ ]mcos)( 21 ax

laxw +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=π ,

uz uvjet . 0, 21 ≠aa Zadano: .konst,,, 00 == EIlqFlq


.0)(,0)0(dd,0)0( ====== lxwx

xwxw

Ponuđene funkcije rješenja:

1. 32

21)( xaxaxw += , 2

21 a3a2dd xx

xw

+=

0)(;000)0( 32

21

32

21 =+==+= lalalwaaw ; 00302)0(

dxd 2

21 =+= aaw .

Iz ove 3 jednadžbe slijedi da .0 21

32

21 laalala −=⇒=+

pa ova funkcija može biti funkcija rješenja!

2. [ ]m2sin)( 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= x

laxw π , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= x

llaxw ππ 2cos2)(

dxd

1 .

( ) ( ) 02sin)(,00sin)0( 11 ==== πalwaw

( ) ,00cos2)0(dxd

1 ==l

aw π

Iz ove 3 jednadžbe slijedi da (3. jednadžba) pa ova funkcija nije primjerena postavljenom uvjetu!

01 =a

3. [ ]mcos)( 21 axl

axw +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=π , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= x

llaxw ππ sin)(

dxd

1

( ) ( ) 0cos)(,00cos)0( 2121 =+==+= aalwaaw π ,

( ) .00sin)0(dxd

1 =−=l

aw π

Prve dvije jednadžbe daju uvjet 1221 0 aaaa −=⇒=+ , 1221 0 aaaa =⇒=+−

što je suprotan zahtjev pa je to moguće samo za 021 == aa ! Iz ovih provjera uvjeta slijedi pretpostavljena funkcija rješenja

[ ]m)()( 232

32

22 lxxaxalxaxw −=+−= .

Funkcional za gredu glasi:

[ ]∫ ∫ =−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Π

l l

l

lxzy wFxwqdxxwEI

02

40

2

2

2

ddd

21 .

Raspodijeljeno opterćenje: 0)( qxqz = .

)26()(dxd

22

2

lxaxw−= .

( )( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ =−−−−−=Πl l

l

lxy lxxalqdxlxxaqdxlxaEI0

2

4

2320

2320

22 )()(26

21

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ =−−−−+−=Πl l

l

lxy lxxlaqdxlxxaqdxllxxaEI0

2

4

2320

2320

2222 42436

21

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=Π

23

20

2

34

200

223

22 4434

42

243

3621 llllaqxlxaqxlxlxaEI

l

l

l

y

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+−=Π

23

20

33

44

203332

2 44231

24141212

21 llllaqlllllaqlllaEI y

( ) 24

024

032

2 643

192112 alqalqEIla y ++=Π

0a 2

=∂Π∂

0643

192114

a4

04

03

22

=++=∂Π∂ lqlqEIla y

40

32 96

104 lqEIla y −=

yEIlq

a 02 192

5−= ,

yEIlq

a2

01 192

5=

[ ]m192

5192

5)( 3022

0 xEI

lqx

EIlq

xwyy

−=

[ ]m192

5192

5)(324

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

lx

lx

EIlq

xwy

.

[ ]m6464

5643

1925

41

1925

41

1925)

4(

40

40

3240

yyy EIlq

EIlq

EIlqlxw

⋅==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

Normirani progibi

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x/Lw

*

w* R-Rw* MKE

Usporedba normiranih progiba ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

EIlqww

40* /

Momenti savijanja:

2

2

dxwdEIM yy −= ,

[ ]Nm965

325)( 2

0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

lxlqxM y .

Poprečne sile:

3

3

dxwdEIQ yz −= ,

[ ]N325)( 0lqxQz = .

Normirani momenti

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1

x/LM*

M* R-RM* MKE

Usporedba normiranih momenata ( )2

0* / lqMM =

3. Za gredu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je koristeći metodu konačnih razlika postaviti sustav jednadžbi (matrično Aw=F) za model diskretiziran s n=7 jednako razmaknutih čvorova. Na osnovi pretpostavljenih vrijednosti progiba, potrebno je postaviti jednadžbe za izračunavanje momenata savijanja u čvorovima. Zadano: .konst,,0 =EIlq

Čvorovi konačnih razlika:

36

2 llx ==∆

○Geometrijski rubni uvjeti: .0)2(,0)(,0)0( 741 ========= wlxwwlxwwxw .

○Prirodni rubni uvjeti: 0)2( 7 === MlxM .

Raspodijeljeno opterećenje:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

lxqxqz 2

1)( 0 .

Diferencijske jednadžbe po čvorovima: Čvor 2:

( )iiii Fxwww

3

2147 ∆=+− ++ EI

( )

2

3

432 47 FEIxwww ∆

=+− ,

xqF ∆= 0256

, ( )EI

xqww

40

32547

∆=−

6

Čvor 3:

( )iiiiii Fxwwwww

3

2112 464 ∆=+−+− ++−− EI

Zamjenska sila F3 jednaka je

xqF ∆= 0323

( )EI

xqwww

40

432 3204640

∆=+−+−

Čvor 5:

( )iiiiii Fxwwwww

3

2112 464 ∆=+−+− ++−− EI


xqF ∆= 0513

( )EI

xqwwww

40

6432 3164

∆=++−

Čvor 6:

( )iiii Fxwww

3

2145 ∆=+− ++ EI


xqF ∆= 0616

( )EIxqww

4

056 6145 ∆

=−

Jednadžba konačnih razlika u matričnom obliku:

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

61313265

54004610

01640047

40

6

5

3

2

EIxq

wwww

.

Rješenje:

( ) [ ]m

00107.000083.000344.000332.0

185416192762

927259

1854499

40

40

6

5

3

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

EILq

EIxq

wwww

.

Usporedba: Normirani progibi

-0,0005

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0 0,5 1 1,5

w*

x/L2

w*MKRw*MKE

Usporedba normiranih progiba ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

EILq

ww4

0* /

Momenti savijanja:

2

2

dd

xwEIM −= ,

( )211 2

xwwwEIM iii

i ∆+−

−= +−

Čvor 1:

( )

( )

( )( ) 2

02

02

40

202210

1 05981.05383.018544992

2Lqxq

xEI

xq

EIwwx

wwwEIM −=∆−=

∆

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−===∆

+−−=

Čvor 2:

( )

( )

( )( ) 2

02

02

40

2321

2 02877.02589.0927259

18544992

2Lqxq

xEI

xq

EIx

wwwEIM =∆=

∆

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−

−=∆

+−−=

Čvor 3:

( )

( )

( )( ) 2

02

02

40

2432

3 0322.02896.09272592

1854499

2Lqxq

xEI

xq

EIx

wwwEIM =∆=

∆

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

−=∆

+−−=

Čvor 4:

( )

( )

( )( ) 2

02

02

40

2543

4 03845.03463.092762

927259

2Lqxq

xEI

xq

EIx

wwwEIM −=∆−=

∆

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=∆

+−−=

Čvor 5:

( )

( )

( )( ) 2

02

02

40

2654

5 0052.00469.01854161

927622

2Lqxq

xEI

xq

EIx

wwwEIM =∆=

∆

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−=∆

+−−=

Čvor 6:

( )

( )

( )( ) 2

02

02

40

2765

6 01187.01068.018541612

92762

2Lqxq

xEI

xq

EIx

wwwEIM =∆=

∆

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

−=∆

+−−=

Normirani momenti

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0 0,5 1 1,5

M*

x/L

2

M*MKRM*MKE

Usporedba normiranih momenata ( )2

0* / LqMM =

Rješenja 2. kolokvija iz kolegija Numeričke metode u strojarstvu

1. Za tanku homogenu ploču s konstantnim toplinskim izvorom q potrebno je koristeći metodu konačnih volumena postaviti sustav diskretiziranih jednadžbi. Problem diskretizirati s 3x2 konačnih volumena. Zadano: a= 1.5 m, b= 1 m, 380 Nm/skg, 1 kg/m , 20 N/Ks .q ρ λ= = =

Rubni uvjeti su: ( )0, 0T yx

λ ∂=

∂, ( ),0 0T x

yλ ∂ =∂

, ( )1.5, 60T yx

λ ∂= −

∂, T(x,1) = 49 - x2.

Podjela ploče na konačne volumene

Rubni uvjeti za ploču su

( ) ( ) 20 0; 0 0; ( 1.5 m) 3; ( 1 m) 49T T Tx y x T yx y x

∂ ∂ ∂= = = = = = − = = −

∂ ∂ ∂x .

Diferencijalna jednadžba koja opisuje stacionarno provođenje topline homogene ploče glasi

i i

T qx x

λ ρ⎛ ⎞∂ ∂

− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠.

Integrirana ta jednadžba po konačnom volumenu glasi

d di iV V

T V qx x

λ ρ⎛ ⎞∂ ∂

− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ V .

Lijevi integral možemo prema Gauss-ovom integralnom teoremu zamijeniti plošnim integralom po orijentiranoj zatvorenoj plohi koja omeđuje konačni volumen V

SnxTV

xT

x iS iV ii

dd ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

− λλ .

Desni integral po volumenu je aproksimiran prema

dV

q V q Vρ ρ= ∆∫ ,

gdje je veličina konačnog volumena. V∆ Plošni integral možemo nadalje zapisati kao zbroj plošnih integrala po plohama konačnog volumena kao:

∑∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−c S

ccii

iS i c

SnxTSn

xT dd λλ .

Primjenom pravila srednje vrijednosti dobiva se

dc

ci c ci cc ci iS c

T Tn S n Sx x

λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∫ .

Konačno dobivamo

ci cc i c

T n S q Vx

λ ρ⎛ ⎞∂

− = ∆⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ ,

gdje je c = e, n, w i s; cS∆ veličina plohe c.

T T T Tx y x y

T T T Tx y x y

ex e ey e wx w wy we we w

nx n ny n sx s sy sn sn s

n S n S n S n S

qn S n S n S n S Vρλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∆

.

Za konačne volumene vrijedi 1,0;1,0;0,1;0,1 −=====−=== sysxnynxwywxeyex nnnnnnnn ,

;e w n sS S y S S x= = ∆ = = ∆ yxV, . ∆∆=∆Uvođenjem projekcija normala na plohama na koordinatne osi u gornju jednadžbu dobivamo:


qy y x x ρλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ − ∆ + ∆ − ∆ = − ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠V

KV 1:

2 1

0.5e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 4 1

0.5n

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 0w

Tx

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

syT .

2 1 4 1 800.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 20

T T T T− −+ = − ⋅ ,

1 2 42 1T T T− + + = − .

KV 2:

3 2

0.5e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 5 2

0.5n

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 2 1

0.5w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ , 0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

syT ,

3 2 5 2 2 1 800.5 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 20

T T T T T T− − −+ − = − . ⋅

1 2 3 53 1T T T T− + + = − KV 3:

3e

Tx

∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 6 3

0.5n

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 3 2

0.5w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 0

s

Ty

⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

,

6 3 3 2 803 0.5 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 20

T T T T− −− ⋅ + − = − ⋅

2 3 62 0.5T T T− + = . KV 4:

( ) 20.25m,1m 49 0.25 48.9375T = − =

5 4

0.5e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 448.9375

0.25n

TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, 0w

Tx

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 4 1

0.5s

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

80−

,

5 4 4 4 148.93750.5 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.25 0.5 20

T T T T T− −+ − = − ⋅

1 4 54 98.875T T T− + = − . KV 5:

( ) 20.75m,1m 49 0.75 48.4375T = − =

6 5

0.5e

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 5 4

0.5w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 5 2

0.5s

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

,

48 T

548.43750.25n

TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

,

6 5 5 5 4 5 2.4375 800.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.25 0.5 0.5 20

T T T T T T− − − −+ − − = − ⋅

2 4 5 65 97.875T T T T+ − + = − . KV 6:

( ) 21.25m,1m 49 1.25 47.4375T = − =

3e

Tx

∂⎛ ⎞ = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 647.4375

0.25n

TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

6 5

0.5w

T TTx

−∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠, 6 3

0.5s

T TTy

⎛ ⎞ −∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

47 T

, ,

6 6 5 6 3.4375 803 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.50.25 0.5 0.5 20

T T T T− − −− ⋅ + − − = − ⋅

3 5 64 94.375T T T+ − = − .

V 1:

K 1 2 42 1T T T− + + = −

KV 2:

T− + = −

be konačnih volumena riješit će se matrično:

10 1 2 0 0 1 0.51 0 0 4 1 0 98.8750 1 0 1 5 1 97.8750 0 1 0 1 4 94.375

TTTTTT

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

. Za gredu zadanu i opterećenu prema slici potrebno je pomoću metode konačnih elemenata za roračunski model izvesti globalnu jednadžbu konačnih elemenata. Primijeniti osnovne gredne

1 2 3 53 1T T T T− + + = −

KV 4: 5T T KV 3: 2 3 62 0.5T T T− + =

KV 5: 1 4 54 98.87

KV 6: 2 4 5 65 97.875T T T T+ − + = −

3 5 64 94.375T T T+ − = −

Jednadž1

2

3

4

5

6

2 1 0 1 0 0 11 3 1 0 1 0⎢ −⎢

2pelemente. Problem diskretizirati s 2 elementa.

Zadano: 00 , , , konst.

2q L

q L F EI= =

Podjela grede na konačne elemente s pripadnim stupnjevima slobode (proračunski model)

Geometrijski rubni uvjeti su

( ) ( ) ( )d0 0, 0 0,dww x x w x L 0x

= = = = = = .

što vodi na 1 1 3 0w wϕ= = = .

a su jednake duljine l = L/2.

va slobode s globalnim stupnjevima slobode

Oba element

Tablica podudaranja stupnje

.

Matrica krutosti konačnog elementa 1:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−−−

=

llll

llll

llll

llll

EI y

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

1k ,


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

⋅

=

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

EI y

24462246

4681246812

22462446

4681246812

22

2323

22

2323

1k

Pomoću tablice podudaranja, matricu krutosti prvog elementa transformiramo u globalne stupnjeve slobode

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎡ ⋅−

⋅−

⋅−

⋅ 004681246812

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

=

000000000000

0024462246

004681246812

0022462446

22

2323

22

2323

1

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

EI ygk .


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

⋅

=

LLLL

LLLL

LLLL

LLLLEI yg

2446224600

468124681200

2246244600

468124681200000000000000

22

2323

22

2323

2k .

Globalna matrica krutosti proračunskog modela matrica krutosti oba elementa jednaka je zbroju transformiranih na globalne stupnjeve slobode

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

⋅

=

LLLL

LLLL

LLLLL

LLLLL

LLLL

LLLL

EI y

2446224600

468124681200

224622402246

468120281246812

0022462446

004681246812

22

2323

22

23323

22

2323

K .

Vektor čvornih sila za prvi element određen je prema

S ∫ ,


Tl

q x=F N z0

d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⎞⎛ 32 23 xx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

+−= 2

32

3

3

2

2

2

32

322321

lx

lx

lx

lx

lx

lxx

llN .

2 3

2 3

2 3

21

02 30

2 3

2 3

2

3 21

2

d3 2

l

S

x xl l

x xxl l q x

x xl lx xl l

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫F

22

10 0

2 2

42

4812

2 4

12 48

S

Ll

Ll

q ql L

l L

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F .


2

10

2

4

48

4

4800

S g

L

L

LF q

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Vektor koncentriranih čvornih sila za prvi element je

10

00

2000

g

LF q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

Vektor jednak je , pa transformiran u globalne stupnjeve slobode glasi 2SF 1

SF

22

0

2

00

4

48

4

48

S g

L

LF q

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Zbrajanjem 1 1 2, is g g sF F F g dobivamo vektor čvornih sila za proračunski model

2

0

2

4

48

0

4

48

L

L

LR q

L

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Globalni sustav jednadžbi glasi RKV =

3 2 3 2

2 2 1

1

3 2 3 3 22

22 2

3 2 3 2

2 2

12 8 6 4 12 8 6 4 0 0

6 4 4 2 6 4 2 2 0 0

12 8 6 4 12 8 2 12 8 6 40

6 4 2 2 4 2 2 6 4 2 20

12 8 6 4 12 8 6 40 0

6 4 2 2 6 4 4 20 0

y

L L L L

wL L L L

wL L L L LEI

L L L L L w

L L L L

L L L L

ϕ

ϕ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−⎢ ⎥⎢ ⎥

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

2

0

3

32

4

48

0

4

48

L

L

Lq

L

Lϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

a nakon uvrštavanja rubnih uvjeta

3 2

2

2 02

3

2

192 240

16 40 0

24 4 848

y

L L w LEI q

L LL

L L L

ϕϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Radi provjere točnosti uspoređen je progib na sredini grede: 4

0 52 512y

q LLwEI

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

a rješenje s kojim je ovo uspoređeno je 4

0 0.01032 y

q LLwEI

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Relativna greška je rel.gr.=-5.2%.

3. Za štap pravokutnog poprečnog presjeka opterećenog na uvijanje potrebno je pomoću metode konačnih elemenata izračunati posmično naprezanje u točki (b/6, a/3). Primijeniti osnovne trokutne elemente. Problem diskretizirati s 2 elementa. Napomena: koristite simetriju problema. Zadano: a, b=2a, GJ


2 2

2 2 2x yψ ψ∂ ∂

+ = −∂ ∂



Globalni čvorni parametri 1 2 3 4 KE 1 1 2 3 KE 2 1 2 3

Za uvijanje štapova neokruglog presjeka vrijedi da je St'Venant-ova funkcija naprezanja jedanaka nuli na slobodnim plohama. Iz ovoga mogu se napisati osnovni (Dirichlet-ovi) rubni uvjeti za diskretizirani model:

2 3 40, 0, 0ψ ψ ψ= = = . Za osnovni trokutni element matrica krutosti je obilka

2 21 1 1 2 1 2 1 3 1 3

2 22 1 2 1 2 2 2 3 2 3

2 23 1 3 1 3 2 3 2 3 3

14

kA

β γ β β γ γ β β γ γβ β γ γ β γ β β γ γβ β γ γ β β γ γ β γ

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

,

gdje su

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 3 2 2 1 3 3 2 1

, ,, ,, ,

1x y x y x y x y x y x yy y y y y yx x x x x x

α α αβ β βγ γ γ

= − = − = −= − = − = −= − = − = −

geometrijske karakteristike konačnog elementa.

KE 1:

1 1

2 2

3 3

0, 0

, 02

,2 2

x ybx y

b ax y

= =

= =

= =

, 1 2 3

1 2 3

, ,2 2

0, ,2 2

a a

b b

β β β

γ γ γ

0= − = =

= = − =.

2 2

2 2 2 21

2 2

04 4

11 4 4 4 442 2 2

04 4

a a

a a b bka b

b b

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

,

što nakon uvođenja b=2a daje

1

1 1 01 5 4

0 4 4k

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Vektor čvornog opterećenja uslijed f (iz diferencijalne jednadžbe to je 2; 2 2

2 2 fx yφ φ∂ ∂+ = −

∂ ∂) jednak je

11

2

3

dsA

NF N f

N

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ A ,

gdje su ( )1 , 1,2k k k kN x y k 3

Aα β γ= + + = funkcije oblika.

Pomoću izvedenog izraza za integral umnoška potenciranih linearnih funkcija oblika možemo izračunati ovaj integral kao

( )1 2 3! ! !d 2

2 !i j k

A

i j kN N N A Ai j k

=+ + +∫ ;

( )11!0!0!2d 2

1 0 0 2 ! 8i

A

abN A =+ + +∫ ,

što ponovno nakon b=2a daje

21

12d6

i

A

N A a=∫ .

Integrali ostalih funkcija oblika su isti, pa je

1 2

161616

sF a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Matrica krutosti KE 1 transformirana u globalne čvorne parametre jednaka je

1

1 1 0 01 5 4 0

0 4 4 00 0 0 0

gk

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Vektor opterećenja KE 1 transformiran u globalne čvorne parametre jednak je

1 2

1616160

s gF a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Analogno vrijedi za KE 2:

1 1

2 2

3 3

0, 0

,2 2

0,2

x yb ax y

ax y

= =

= =

= =

, 1 2 3

1 2 3

0, ,2 2

, 0,2 2

a a

b b

β β β

γ γ γ

= = = −

= − = =.

2 2

2 22

2 2 2

04 4

1 01 4 442 2 2

4 4 4 4

b b

a aka b

b a a b2

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎣ ⎦

,

2

4 0 40 1 14 1 5

k−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

2 2

161616

sF a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

2

4 0 0 40 0 0 00 0 1 14 0 1 5

gk

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

2 2

1601616

s gF a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Zbrajanjem transformiranih matrica krutosti izračunava se matrica krutosti proračunskog modela

5 1 0 41 5 4 0

0 4 5 14 0 1 5

K

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

Analogno za vektor opterećenja

2

13161316

sF a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Uvođenjem osnovnih rubnih uvjeta dobivamo jednu jednadžbu 2

153aψ = ,

iz koje je rješenje za nepoznati čvorni parametar 2

1 15aψ = .

Posmično naprezanje u točki (b/6, a/3) ima dvije komponente, izx zyτ τ . Ove se komponente naprezanja izračunavaju prema

,zx zyG Gy xψ ψτ ϑ τ ϑ∂ ∂

= = −∂ ∂

.

Funkcija naprezanja ( ),x yψ u konačnom elementu se izračunava prema

( ) 1 1 2 2 3 3,x y N N Nψ ψ ψ= + + ψ .

Točka (b/6, a/3) se nalazi unutar KE 2, za koji su čvorni parametri

22

10

150

aψ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Derivacije funkcije naprezanja ,x yψ ψ∂ ∂∂ ∂

izračunavaju se uz uzimanje u obzir vektora čvornih

parametara KE 2 pomoću

( ) 11, Nx y

x xψ ψ∂∂

=∂ ∂

, ( ) 11, Nx y

y yψ ψ∂∂

=∂ ∂

.

Derivacije funkcija oblika su 1

11

2Nx A

β∂=

∂, 1

11

2Ny A

γ∂=

∂.

Uvrštavanjem vrijednosti dobiva se 21 2

1 15 2 1522 2 2

zxa bG G a

a bτ ϑ ϑ= − = −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, . 21 0 0

1 1522 2 2

zxaG

a bτ ϑ= − =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Documents

Zadaci_kolokvij_2_NUM