Zbirka Za 8 Odd

8/4/2019 Zbirka Za 8 Odd

http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-za-8-odd 1/21

Математиказа

разред

основне школе

БраниславПоповић

СањаМилојевић

НенадВуловић

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА



39

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНАСА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Линеарна једначина са две непознате

1. Провери да ли је уређени пар (-2, 5) решење једначине са две непознате:

а) 2 1; x y + = б) 3 17; x y − + = − в) 2 3 11; y x + = г)1 1

0;2 5

x y + = д)2 5

0.4 3

y x + −+ =

2. Одреди вредност променљиве y у уређеном пару ( x , y ) тако да је он решење једначине

ако је x = 3:

а) 3 4; x y + = − б) 2 3 0; x y − + = в)2

12;5

x y

+− = г)

1 120,5.

3 6

y x + −− =

3. Одреди вредност параметра a и b тако да је уређени парови (a, 3) и (1, b) буду решења

система:

а) 23; x y + = б) 2 0; x y − = в) 3 4 25. x y + =

4. Одреди вредност променљиве a у једначинама, тако да уређени пар (–5, –2) буде решење

једначине:

а) 2 11;ax y − = − б) ( )4 3 14; x a y − − = − в)2 1

2 7 ;3

x y a

−+ = − − г)

5 2 1811.

3 7

x ay − +− = −

5. Одреди три уређена пара бројева ( x , y ) који су решења једначине:

а) 5; x y + = б) 2; y x − = − в) 2 3 12; x y + = г) 1;2 4

x y + = д)

3 17.

2

x y

−+ =

6. Изрази променљиву x преко променљиве y :

а) 5; x y + = б) 3 1; x y − = + в) 2 11; x y + = г) 5 3 17; x y + = − д)1

2 1;2

y x

−+ =

7. Изрази променљиву y преко променљиве x :

а) 2; x y − = − в) 4 1; y x − = − ђ)5 4 1

2 ;3 2

x y

−+ = з)

2 1 3 22.

3 4

x y − −− = −

Системи од две линеарне једначине с две непознате

1. Који од уређених парова1

1, ,2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )2,3− и7 11

,6 5

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ је решење система једначина:

а)1

2 7

x y

y x

+ =⎧⎨ − =⎩

; б)6 4 4

7 12 1

x y

x y

− =⎧⎨− + = −⎩

; в)5 6 8

3 9

x y

x y

+ =⎧⎨ − = −⎩

;

г)

6 5 18

6 2

5 3

x y

x y

− =⎧⎪⎨

+ = −⎪⎩

; д)

3 4 1

2 2

1

2

x x y

x y

− −⎧ + =⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩

; ђ)

2 3 6 4 5

3 2 2 13

4 5

x y x y

x x

− + = − −⎧⎪

− −⎨− = −⎪⎩

.

2. Запиши четири система једначина чије је решење (–1, 3).



40

Графички приказ система од

две линеарне једначине с две непознате1. Напиши једначину линеарне функције y = kx + n ако графику те функције припадају тачке

(3, 3) и (–6, 9).

2. Да ли пресечна тачка графика функције 3 2 y x = + и 5 2 6 0 x y − + = припада графику

функције:

а) 2 12; y x = − + б)1

;4

y x = в) 5 2 6 0. x y − + − =

3. Нацртај график сваке функције система, а затим на основу нацртаних графика утврди да

ли систем има решења и колико:

а) 3

2

x y

x y + =⎧⎨ − =⎩

; б) 2 1

2 1

x y

x y + =⎧⎨ + =⎩

; в) 2 2

12

x y x

y + =⎧⎪⎨

= − +⎪⎩

; г) 3 1

2 3

x y

x y − =⎧⎨ − =⎩

.

4. Графичком методом реши системе једначина:

а)2

2 1

y x

y x

= +⎧⎨ = −⎩

; б)2 3

2 3

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

; в)3 2 4

1

y x

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

; г)

13 2

1 11

2 2

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨ − +⎪ + =⎪⎩

.

Решавање система методом замене

1. Реши следеће системе једначина методом замене:

а)2

3 2 1

x

x y

=⎧⎨ − =⎩

; б)3 4 2

0, 5

x y

y

+ =⎧⎨ =⎩

; в)3

2 3 14

x y

x y

= +⎧⎨ − =⎩

;

г)2 1

2 1

x y

x y

+ − =⎧⎨ − + =⎩

; д)2 2 1

3 2 7 2

x y x

x y y

+ = −⎧⎨ − = +⎩

; ђ)4 2

2 5 10

x y

x y

− = −⎧⎨ + =⎩

;

е)7 10 19

4 4

x y

x y

− + = −⎧

⎨ − =⎩; ж)

3 11 7

6 9

x y

x y

+ = −⎧

⎨ − =⎩; з)

2 3 1

4 6 2

x y

x y

+ =⎧

⎨ + =⎩;

и)11 24 189

13 129

y x

x y

− + = −⎧⎨ + = −⎩

; ј)6 7 24

4 5

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

; к)3 2 13

2 4

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

.

2. Реши следеће системе једначина методом замене:

а)2 5

0,5 3

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

; б)

18 3 8

36

2

x y

x y

+ =⎧⎪⎨

+ = −⎪⎩

; в)

12 1

2

4 2

x y

x y

⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

;

г)

3 618

2 511

4

x y

x y

⎧ − =⎪⎪⎨⎪− + = −⎪⎩

; д)

0

2 33 29

3

x y

x y

⎧− + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

; ђ)

2 5 4 34

3 29 4 22

x y

y x

− −⎧ + =⎪⎨⎪ − =⎩

;



41

е)

11 7 5 23 2

8 2

5 44 1

x y y x

x y

− −⎧ − = +⎪⎨⎪

+ =⎩

; ж)0,3 1,1

2 0,5 1,3

x y

y x

− =⎧⎨ − = −⎩

;

з)

4 3 1 7 5 8

2 4

5 3 5 2 3 42

3 5

x y x y

x y x y

+ − − +⎧ =⎪⎪⎨ − + + +⎪ = −⎪⎩

; и)2 2

5

35

x y

y x

+ =⎧⎨

− =⎩;

ј)

( )2 2

1 7 81

2 9

1 3

x y y

x y x

− +⎧ + = +⎪⎨⎪ − + = −⎩

; к)( )( ) ( )

22 24 4 2

7 31 2

2

x x y y x

x y

⎧ − + + = − +⎪⎨ −

+ = −⎪⎩

.

3. Ако је (а, b) решење система једначина

6 3 7 15 3

5 3 1 3 15 4 5

4 6 3 6

x y

y x x y

+ +⎧ − = −⎪⎪⎨ + − −⎪ + = +⎪⎩

израчунај вредност

израза: а) a b+ ; б) 2a b+ ; в) 2 2a b− ; г) ( )2

a b− ; д) 2a b .

Решавање система методом супротних коефицијената

1. Реши следеће системе једначина методом супротних коефицијената:

a)6

2

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

; б)2

4

x y

y x

+ = −⎧⎨ − = −⎩

; в)4 2 5

3 2 2

x y

x y

− = −⎧⎨ + = −⎩

;

г)2 3 0

5 2 1

x y

x y

+ =⎧⎨− + = −⎩

; д)7 12

11 2 1

x y

x y

− = −⎧⎨ + = −⎩

; ђ)2 3 13

9 5 46

x y

y x

− = −⎧⎨ − =⎩

;

е)12 3 4

3 8 1

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

; ж)2 3 22

3 2 7

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

; з)7 8 150

3 5 80

x y

x y

− =⎧⎨− + = −⎩

;

и)

6 5 8

4 3 1

x y

x y

− =⎧⎨ + = −⎩ ; ј)

1 39

2 42 4

x y

x y

⎧ − =⎪⎨⎪ + =⎩

; к)

5 2 1

3 5 30

1 2 111

4 3 24

x y

x y

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

;

л)

0,35 1, 6 3,55

5

6 7 42

x y

x y

+ =⎧⎪⎨

− = −⎪⎩

.

2. Реши систем jeдначина погодном методом.

а)

( ) ( )

( ) ( )

2 4 21 3 2

2 3 1 7 3 4 2 61

x x y x y

x y x y

⎧ + + = − −⎪⎨ − − = − + + −⎪⎩ ; б)

( ) ( )

( )

3 2 1 4 5 2 71

38 3 3 2 152

x y

x y

⎧ − + − = −⎪⎨ ⎛ ⎞ + − − = −⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩

;



42

в)

12 6 31

7

9 10 618

x y

y x

− −⎧ = −⎪⎪⎨

− +⎪ =⎪⎩

; г)

2 4 7

5 3 5

5 012

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨

⎪ + =⎪⎩

; д)

2 11

3 6

3 10, 5

4 8

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨

⎪− + = −⎪⎩

;

ђ)0,2 0,5 1,2

0,3 1,5 0,3

x y

x y

+ =⎧⎨− − = −⎩

; е)

33

2

2 40

8

x y

y x

+⎧ + =⎪⎪⎨ +⎪ + =⎪⎩

; ж)

3 1

2 3

2 75,25

4

x y

x y

− −⎧ =⎪⎪⎨ −⎪ = −⎪⎩

;

з)

5 54

3 4

3 5 2 42

2 5

x y

x x

− −⎧ + = −⎪⎪⎨ − −⎪ − = −

⎪⎩

; и)

2 1 4 3 11

3 2 6

5 3 7 217,5

2 3

x y

x x y

− −⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ + =

⎪⎩

;

ј)

13 4

2 3 22

2 4

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨ + −⎪ + = −⎪⎩

; к)

( )2 11

3 2 2 111 20

10 6 5 2 2 3 53

3 2 6 4

y x x y

x x y

+⎧ − + + = − −⎪⎪⎨ − + −⎪ + = − +⎪⎩

;

л)

6 3 28

5 2 11

1

2 3 5

x

y

x y

x y

−⎧ =⎪ −⎪⎨ +⎪ =⎪ −⎩

; љ)

( )

1 3 1 14 1

2 4 3 2

22 3 2 1 2

2 3

x y

x y

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ − − ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎨

⎛ ⎞ ⎪ ⋅ − + ⋅ + =⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩

;

м): 3 : 2

3 2 10

x y

x y

=⎧⎨ − =⎩

; н)( ) ( )3 5 : 2 3 1: 3

3 8 2

x y

x y

⎧ − + =⎨

− =⎩;

њ)( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 3 2 7

6 3 5 5

x y x y

x y x y

⎧ − − = + +⎪⎨

+ + = + +⎪⎩; о)

( ) ( )( ) 22 2 3 4

2 8

5 14

x x y x y x

x y

x y

⎧ + = + + +⎪

+ +⎨=⎪ + +⎩

;

п)( ) ( ) ( )

2 2 221 2 2 x y x y

x y

⎧ − + + = + −⎪⎨

= −⎪⎩; р)

( ) ( ) ( )( )

( )

2 2

2 2

2 3 3 1 2 3 2 3

1 3 9

x y x y x y

x y x

⎧ + − − = + −⎪⎨

+ + = +⎪⎩.

3. Који од датих система су немогући, а који неодређени:

а)2 3 4 8

2 6

x y

x y

+ = −⎧⎨ − = −⎩

; б)7 12 3

6 14 22

x y

y x

+ =⎧⎨ − =⎩

; в)

3 2 4

3 1 11

4 2

x y

x y

+ =⎧⎪

− +⎨+ =⎪⎩

; г)

9 127

2

2 1 3 85

6 2

y x

x y

−⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ + =⎪⎩

.

4. Одреди вредности променљивих a и b тако да је уређени пар ( x , y ) = (–4, 2) буде решење

система једначина:

а) 2 203 26ax y

x by − = −⎧⎨− + =⎩

; б) 205 2

ax by bx y

+ = −⎧⎨ + =⎩;



43

в)

22

3

37 29

5

ax by

ay x

−⎧ + = −⎪⎪⎨

−⎪ + = −⎪⎩

; г)

( )

5 3 23

7 5

1 24 41 53 5

ax ay

a y bx

+ −⎧ − = −⎪⎪⎨

+ ++⎪ + =⎪⎩

.

5. На основу графика запиши

системе линеарних једначина са

две непознате из којих можеш да

одредиш координате тачака

А, В и С са слике, па их реши

погодном методом.

6. Увођењем нових променљивих реши системе једначина:

а)

1 1 1

2 110

x y

x y

⎧ + = −⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

; б)

4 6 133

3 62

x y

x y

⎧ − = −⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

; в)

12 15 6

8 51

x y

x y

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

; г)

5 3 41 2

10 75

1 2

x y

x y

⎧ − =⎪ + −⎪⎨⎪ + = −⎪ + −⎩

.

Примена система линеарних једначина

У следећим задацима, на основу текста, састави систем једначина, а затим га реши

погодном методом.

1. Збир два броја је –55, а њихова разлика 31. Одреди те бројеве.

2. Два друга треба да поделе 271 динар, тако да један добије 55 динара више од другог.

Колико новца ће добити свако од њих?

3. Петар је број 504 раставио на 2 сабирка тако да је један сабирак:

а) три пута већи од другог;

б) за 54 већи од другог.

Које бројеве је Петар замислио?

4. Разлика два броја је 10. Одреди те бројеве ако је трећина првог броја за 2 мања од

половине другог броја.

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

4

3

2

1

-1

-2

4 7 x y − = −

3 2 7 x y + = −

3 0 x y + =

А

В

С



44

5.34

првог броја је за 24 мање од 56

другог броја. Одреди те бројеве ако је први број за 14

мањи од другог броја.

6. 40% првог броја једнако је са 70% другог броја. Одреди те бројеве ако је њихова разлика једнака 6.

7. Однос два броја која се пишу истим цифрама у обрнутом редоследу је 5 : 17. Одреди тебројеве ако је њихов збир 66.

8. Два броја се односе као 4 : 9. Ако оба броја увећамо за 5 односиће се као 1 : 2. Одреди тебројеве.

9. Марина је замислила двоцифрени број чији је збир цифара једнак 9. Ако цифре заменеместа добиће се број за 45 већи од полазног. Који је број Марина замислила?

10. Ако двоцифрени број поделимо са бројем који се добија када цифре јединица идесетица полазног броја замене места, добија се количник 4 и остатак 3. Одредиполазни број ако је његова цифра десетица за 6 већа од цифре јединица.

11. Збир цифара двоцифреног броја је 12. Ако тај број поделимо са његовом цифром јединица добијамо количник 8 и остатак 1. О ком двоцифреном броју је реч?

12. Маја је 8 година старија од свог брата. За 5 година Маја ће бити два пута старија одбрата. Колико сада имају година Маја и њен брат?

13. У једној легури олова и цинка, они су, редом, заступљени у односу 4 : 7. Ако је масалегуре 583 грама, одреди колико је олова, а колико цинка у легури.

14. Пре 4 године мајка је била 4 пута старија од сина. Колико година има мајка, а колико синако је син сада 3 пута млађи од мајке?

15. Деда Милоје на фарми гаји кокошке и свиње. Ако све кокошке и свиње имају укупно 238

глава и 626 ногу, колико је кокошака, а колико свиња на фарми?

16. Баба Цака има 13 крава и 12 оваца. Свакога дана она сакупи 101 литар млека. Коликоу просеку даје једна крава, а колико једна овца ако се од краве добија 2 литара млекавише?

17. Ако бројилац једног разломка умањимо за 3, а именилац увећамо за 1 добијамо

разломак једнак разломку 12

Ако именилац умањимо за 3, а бројилац увећамо за 3

добијамо разломак једнак са 1. Одреди тај разломак.



45

18. Збир две суседне странице правоугаоника је 34cm, а њихова разлика је 14cm. Израчунајповршину тог правоугаоника.

19. Обим правоугаоника је 70cm. Одреди дужину дијагонале и површину тог правоугаоникаако се странице односе као 3: 4.

20. Разлика две суседне странице правоугаоника је 9cm. Ако краћу страницуправоугаоника повећамо за 1cm, а дужу страницу скратимо за 3cm, површина новогправоугаоника је за 2cm2 мања од површине полазног правоугаоника. Одреди дужинестраница правоугаоника.

21. Разлика дваа) упоредна угла; б) комплементна угла; в) суплементна угла

је 10°. Одреди те углове.

22. Разлика спољашњег и одговарајућег унутрашњег угла троугла је 81°. Одреди те углове.

23. Један угао троугла је 22°. Одреди остала два угла тог троугла ако је њихова разлика 72°.

24. Разлика два оштра угла правоуглог троугла је 32°. Одредити те углове.

25. Израчунај оштре углове правоуглог троугла ако је један оштар угао два пута већи оддругог.

26. Једна катета правоуглог троугла једнака је са 23

друге катете. Ако дужу катету смањимо

за 3cm, а краћу катету повећамо за 4cm површина троугла се неће променити. Одредихипотенузу тог троугла.

27. Израчунај основице трапеза ако је дужина средње линије трапеза 21,5cm, а разликаосновица 9cm.

28. Површина трапеза је 45cm2. Израчунај основице трапеза ако је висина трапеза 5cm, а

једна основица за 4cm дужа од друге.

29. Површина кружног прстена је 2πcm2 Израчунај полупречнике кружница које формирајупрстен ако је њихова разлика 1cm.



46

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНАСА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ - РЕШЕЊА

Линеарна једначина са две непознате

1. а) јесте, б) није, в) није, г) јесте, д) није.

2. а) y = –13, б) y = 2, в) y = –11, г) y = 5.

3. а) 20, 22;a b= = б)1

6, ;2

a b= = в)13 11

, ;3 2

a b= =

4. а) a = 3, б) a = 0, в)2

,3

a = г) a = 2.

5. На пример: а) (1, 4), (5, 0), ( –1, 6), б) (4, 2), (12, 10, )(7, 5), в) (3, 2), ( –3, 6), (0, 4),г) (0, 4), (2, 0), (-1, 6), д) (5, 0), (0, 7), (1, 6).

6. а) 5 , x y = − б) 2 , x y = − в)11

,2

y x

−= г)

17 3,

5

y x

+= − д)

3.

4

y x

−=

7. а) 2; y x = + б)1

;4

x y

−= в)

11 10;

12

x y

−= з)

8 26.

9

x y

+=

Системи од две линеарне једначине с две непознате

1. а) ( )2,3 ,− б)1

1, ,2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

в) ( )2,3 ,− г)7 11

, ,6 5

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ д)

11, ,

2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

ђ) ( )2,3 .−

2. На пример, два су:4

2

x y

x y

− + =⎧⎨ + =⎩

и3 2 6

5 4 7

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

.

Графички приказ система од

две линеарне једначине с две непознате1.

25

3 y x = − +

2. а) припада, б) не припада, в) припада.

3. Ако су графици функција праве које се секу у једној тачки онда систем има јединственорешење. Ако су графици паралелне праве онда систем нема решења, а ако су графициправе које се поклапају систем је неодређен.а) јединствено решење, б) јединствено решење, в) неодређен, г) немогућ.

4. а) (3, 5), б) (1, 1), в) (–1, 2), г) (3, 2).



47

Решавање система методом замене

1. а)5

2, 2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , б)

10, 2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , в) (1, –4), г) (1, 2), д) (1, –1), ђ) (0, 2), е)

12, 2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,

ж)4

, 13

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , з) неодређена

1 2,

3

k k

−⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, и) (–12, –9), ј)1

, 32

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , к) (3, –2).

2. а) Немогућа, б)1 1

,2 3

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , в)

1,4

2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , г) (4, –10), д) (6, 9), ђ) немогућа,

е) неодређена1 5

,44

k k

−⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, ж) (7, 2), з) (–1, 1), и) (–1, 6), ј) (1, –2), к) (7, 5).

3.1

,3

a = 1b = − па је: а)2

,3

− б)4

,3

в)8

,9

− г)16

,9

д)1

.9

−

Решавање система методом супротних коефицијената

1. а) (4, 2), б) (1, –3), в)1

1,2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , г)

1 3,

2 4

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , д) (–1, 5), ђ) (7, 9), е)

1,0

3

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

,

ж) (5, 4), з) (10, –10), и)1

, 12

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, ј) (6, –8), к)1

,22

⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , л) (1, 2).

2. а) (–2, 3), б) (0, –3), в)1 1

,2 3

⎛ ⎞ − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , г)

1 6,

2 5

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , д) (1, 2), ђ) (11, –2), е) (–1, 2),

ж) (7, 7), з) (–1, –3), и)1

4,2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, ј) (–6, 12), к)6 3

,5 4

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, л)2 1

,3 4

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , љ)

18,

2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,

м) (6, 4), н)1

2,2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, њ) (–2, 3), о) (0, –4), п)1 1

,2 2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , р)

143,

3

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .

3. а) немогућ, б) немогућ; в) неодређен; г) неодређен.

4. а) a = 4, b = 7; б) a = 6, b = 2; в) a = 4, b = 7; г) a = 3, b = 2.

5. Одговарајући системи су: за тачку А4 7

3 2 7

x y

x y

− = −⎧⎨ + = −⎩

; за тачку В4 7

3 0

x y

x y

− = −⎧⎨ + =⎩

и за тачку С

3 0

3 2 7

x y

x y

+ =⎧⎨ + = −⎩

па су координате тачака А(1, 2), В(–3, 1) и С (3, –1).



48

6. Смене које уводимо у системима а), б) и в) су1

a x

= и1

,b y

= док у систему г) уводимо

смену

1

1 a x =+ и

1

.2 b y =− Системе које решавамо након уведених смена су:

а)1

2 10

a b

a b

+ = −⎧⎨ − =⎩

; б)

134 6

3

3 6 2

a b

a b

⎧ − = −⎪⎨⎪ + =⎩

; в)12 15 6

8 5 1

a b

a b

− =⎧⎨ + =⎩

; г)5 3 4

10 7 5

a b

a b

− =⎧⎨ + = −⎩

. Решења ових система

су: а) (3, –4), б)1 1

, ,3 2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ в)

1 1, ,

4 5

⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ г)

1,1 .

4

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Враћајући се на полазну уведену смену

долазимо до решења по x и y :

а)1 1

, ,

3 4

⎛ ⎞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

б) (–3, 2), в) (4, –5), г) (4, 1).

Примена система линеарних једначина

1. –12 и –43.

2. Један друг ће добити 163 динара, а други 108 динара.

3. а) 126 и 378; б) 225 и 279.

4. 42 и 32.

5. 148 и 162.

6. 14 и 8.

7. 15 и 51.

8. 20 и 45.

9. Марина је замислила број 27.

10. 71.

11. 57.

12. 3 године и 11 година.

13. Олова има 212 грама, а цинка 371 грам.

14. Син има 12 година, а мајка 36 година.

15. 163 кокошке и 75 свиња.



49

16. Крава просечно даје 5 литара млека, а овца 3 литра.

17.

13

19.

18. Странице правоугаоника су 24cm и 10cm. Површина је 240cm2.

19. Странице су 20cm и 15cm, дијагонала 25cm, a површина 300cm2.

20. 4cm и 13cm.

21. а) 85° и 95°, б) 50° и 40°, в) 85° и 95°.

22. 130°30’ и 49°30’.

23. 45° и 115°.

24. 61° и 29°.

25. 30° и 60°.

26. 2√13.

27. 15cm и 6 cm.

28. 7cm и 11cm.

29.32

cm и 12

cm.



50



31

ВАЉАК

1. Израчунај површину осног пресека ваљка ако је:а) полупречник основе ваљка је 4cm, а висина ваљка je 7cm.б) пречник основе ваљка 10cm, а висина ваљка 8cm.

2. Израчунај површину осног пресека ваљка ако је дијагонала осног пресека 13cm и висинаваљка 5cm.

3. Површина осног пресека ваљка je 24cm2. Израчунај:

а) полупречник ваљка ако је висина ваљка 3cm.б) висину ваљка ако је полупречник основе 2√2cm.

4. Израчунај обим основе ваљка ако је:а) површина осног пресека ваљка 55cm2 и висина ваљка 11cm.

б) површина осног пресека ваљка 8cm2 и висина ваљка једнака полупречнику основе.в) дијагонала осног пресека 16cm, а висина ваљка једнака пречнику основе.

5. Осни пресек ваљка је квадрат странице 8cm. Одреди висину и полупречник ваљка.

6. Осни пресек ваљка је квадрат. Израчунај висину и полупречник ваљка ако је дијагоналаосног пресека 20cm.

ПОВРШИНА ВАЉКА1. Нацртај мрежу ваљка чија је висина 4cm и полупречник основе 2cm.

2. Направи модел ваљка од картона чија је висина 7cm, а полупречник основе ваљка 2,5cm.

3. Израчунај површину ваљка ако је:а) полупречник основе ваљка 4cm и висина ваљка 7cm.б) пречник основе ваљка 5cm и висина ваљка 2cm.

4. Висина ваљка је 6cm. Израчунај површину ваљка ако је полупречник основе ваљка:а) два пута већи; б) за 2cm мањиод висине ваљка.

5. Обим основе ваљка је 12πcm. Израчунај површину ваљка ако је његова висина 4cm.

6. Површина основе ваљка је 9πcm2. Израчунај површину ваљка ако је висина ваљка 3cm.

7. Израчунај површину ваљка ако је висина ваљка 6cm и дијагонала осног пресека ваљка10cm.



32

8. Израчунај висину ваљка ако је полупречник основе 4cm и површина омотача ваљка24πcm2.

9. Површина основе ваљка је 25πcm2. Израчунај висину и обим основе ваљка ако јеповршина омотача ваљка три пута већа од површине основе ваљка.

10. Површина ваљка је 192πcm2. Израчунај:а) висину ваљка ако је полупречник основе 6cm.б) висину ваљка ако је површина основе ваљка 72πcm2.в) полупречник основе и висину ваљка ако је површина основе једнака површини

омотача ваљка.

11. Површина омотача ваљка је 24πcm2, а висина 12cm. Израчунај површину ваљка.

12. Површина ваљка је 84πcm2, а површина омотача тог ваљка је 48πcm2. Израчунајполупречник основе тог ваљка.

13. Површина омотача ваљка је 48πcm2. Израчунај површину ваљка ако је H = 32

r , где је H висина, а r полупречник основе ваљка.

14. Површина ваљка је 200πcm2. Израчунај висину и пречник основе ваљка ако је висинаваљка три пута већа од полупречника основе ваљка.

15. Површина ваљка је 288πcm2. Израчунај дијагоналу осног пресека ваљка ако се висина иполупречник основе ваљка односе као 3:1.

16. Осни пресек ваљка је квадрат чији је обим 20cm. Израчунај површину ваљка.

17. Ваљак је уписан у коцку чија је ивица 4cm. Израчунај разлику површина коцке и ваљка.

Запремина ваљка

1. Израчунај запремину ваљка ако је:а) полупречник основе ваљка 5cm и висина ваљка 12cm.б) пречник основе ваљка 22cm и висина ваљка једнака полупречнику.

2. Запремина ваљка је 135πcm3. Ако је висина ваљка 5cm, израчунај:а) полупречник основе; б) површину омотача ваљка;в) површину ваљка.

3. Запремина ваљка је 200√2πcm3. Израчунај висину ваљка ако је пречник основе 20cm.



33

4. Израчунај запремину ваљка ако је полупречник основе ваљка 2cm, а површина омотачаваљка 4πcm2.

5. Површина ваљка је 490πcm2. Израчунај запремину ваљка ако је:а) полупречник основе ваљка 14cm.б) површина основе ваљка 49πcm2.

6. Висина ваљка је 8cm. Израчунај површину и запремину ваљка ако је дијагонала осногпресека ваљка 10cm.

7. Израчунај површину и запремину ваљка ако је осни пресек ваљка квадрат странице 6cm.

8. Површина осног пресека ваљка је 16cm2. Израчунај површину и запремину ваљка ако је

полупречник основе два пута већи од висине ваљка.

9. На мрежи ваљка омотач је квадрат чија је:а) страница 8cm; б) дијагонала 10cm.Израчунај површину и запремину ваљка.

10. Омотач ваљка је правоугаоник чије су странице 31,4mm и 12,56mm. Да ли је већазапремина ваљка чија је висина краћа страница овог правоугаоника или ваљка чија

је висина дужа страница овог правоугаоника? Одреди однос запремина ових ваљака.(узети π ≈ 3,14)

11. Квадрат чија је површина 32cm2 ротира око једне своје странице. Израчунај површину изапремину добијеног тела.

12. Правоугаоник чија је једна страница 6cm и дијагонала 10cm ротира окоа) краће странице;б) дуже странице.Израчунај површину и запремину добијеног тела.

13. Полупречник основе ваљка је 4cm. Израчунај површину и запремину ваљка ако је угао

између дијагонале осног пресека и равни основе: а) 600

; б) 450

; в) 300

.

14. Дијагонала осног пресека ваљка је 12cm. Израчунај површину и запремину ваљка ако јеугао између дијагонале осног пресека и равни основе: а) 300; б) 450; в) 600.

15. Висина ваљка је једнака пречнику ваљка. Ако висину повећамо за 2cm површина ваљкасе повећа за 28πcm2. Израчунај полупречник основе тог ваљка.

16. Основна ивица призме је 6cm, а њена висина 8cm. Израчунај површину и запреминуваљка који је уписан у ту призму и ваљка који је око ње описан, ако је призма:

а) правилна четворострана; б) правилна тространа; в) правилна шестострана.



34

17. Основна ивица правилне четворостране призме је 8cm, а њена површина 512cm2. Упризму је уписан и око ње описан ваљак. Одреди однос површина и запремина овихваљака.

18. Запремина правилне четворостране призме је 144cm3, а површина њеног омотача48cm2. Израчунај површину дијагоналног пресека и запремину ваљка који је описан окоове призме.

19. Око ваљка је описана правилна тространа призма. Израчунај површину и запреминупризме ако је полупречник основе ваљка 5cm и висина ваљка 7cm.

20. У ваљак је уписана правилна шестострана призма. Израчунај површину и запреминупризме ако је површина омотача ваљка 2πcm2 и површина ваљка је два пута већа од

површине омотача.

21. Раван која је паралелна оси ваљка сече ваљак тако да на основи формира тетивудужине 5cm. Израчунај површину пресека ваљка и равни ако је висина ваљка 4cm.

22. Раван која је паралелна оси ваљка сече ваљак. Тетиви коју формира на основициодговара централни угао од 900. Ако је висина ваљка 5cm и полупречник основице 2cm,израчунај:а) дужниву тетиве основе; б) површину пресека ваљка и равни;в) збир површина делова ваљка добијених овим пресеком.

23. Путари за равнање земљишта користе ваљак чији је пречник 120cm и дужина 2,2m. Којуповршину ваљак може да изравња ако направи 50 пуних окретаја по правој линији?(узети π ≈ 3,14)

24. Радници треба да офарбају споља цев чија је дужина 7m и пречник 2dm. За фарбање1dm2 цеви потребно је 12g боје. Да ли могу да офарбају цев ако имају кантицу са 0,5kgбоје? (узети π ≈ 3,14)

25. Маркетиншка агенција је добила од фабрике за производњу ананаса задатак да осмисле

налепницу за конзерву облика ваљка у којој ће паковати колутове ананаса тако да онапокрива све делове конзерве који нису равне површи. Ако је висина конзерве 15cm иполупречник њене основе 6cm, колико најмање папира је потребно да би се направиланалепница? (узети π ≈ 3,14)

26. На часу ликовног ученици треба да обоје споља чашу чија је запремина 770cm3, а

висина 20cm. Коју површину ученици треба да обоје? (узети π ≈ 227

)



35

27. Медицински гел се у фабрици пакује у тегле облика ваљка чији је пречник 16cm.Израчунај висину тегле ако у њу може да ставе 4 литара гела. (узети π ≈ 3,14)

28. Пекара за складиштење жита користи четири силоса облика ваљка чије су висине25m и пречници 14m. Колико килограма жита може да стане у ове силосе када су

максимално попуњени ако је густина жита 0,8 kgdm3 ? (узети π ≈ 22

7)



36

ВАЉАК - РЕШЕЊА

1. а) 256cm ;opP = б) 280cm .opP =

2. 2

60cm .opP =

3. а) 4cm;r = б) 3 2cm.H =

4. а) 5 cm;BO = π б) 4 cm;BO = π в) 8 2 cm.BO = π

5. 8cm, 4cm.H r = =

6. 10 2cm, 5 2cm.H r = =

ПОВРШИНА ВАЉКА

3. а) 288 cm ;P = π б) 222,5 cm .P = π

4. а) 2432 cm ;P = π б) 280 cm .P = π

5. 2120 cm .P = π

6.

2

36 cm .P = π

7. 280 cm .P = π

8. 3cm.H =

9. 7,5cm,H = 10 cm.BO = π

10. а) 10cm;H = б) 2 2cm;H = в) 8cm,r = 4cm.H =

11. 226 cm .π

12. 3 2cm.r =

13. 280 cm .P = π

14. 10cm,R = 15cm.H =

15. 6 13cm.D =



37

16. 237,5 cm .P = π

17. ( )2

24 4 cm .P = -

π

ЗАПРЕМИНА ВАЉКА

1. а) 3300 cm ;V = π б) 31331 cm .V = π

2. а) 3 3cm;r = б) 30 3cm;M = в) ( ) 26 9 5 3 cm .P = +π

3. 2 2cm.H =

4. 34 cm .V = π

5. а) 3686 cm ;V = π б) 31372 cm .V = π

6. 266 cm ,P = π 372 cm .V = π

7. 254 cm ,P = π 354 cm .V = π

8. 2

96 cm ,P = π 3

64 2 cm .V = π

9. а) ( ) 2321 2 cm ,P = + π

π

3128cm ;V =

π

б) ( ) 2251 2 cm ,P = + π

π

3125 2cm .

2V =

π

10. Запремина ваљка чија је висина краћа страница је 3314

k V mm= , а запремина ваљка

чија је висина дужа страница је 3125,6 .d V mm= Дакле, већа је запремина ваљка чија је

висина краћа страница. Однос запремина је5

.2

k

d

V

V =

11. 2128 cm ,P = π 3128 2 cm .V = π

12. а) 2224 cm ,P = π 3384 cm ;V = π б) 2168 cm ,P = π 3288 cm .V = π

13. а) ( ) 232 1 2 3 cm ,P = +π 3128 3 cm ;V = π б) 296 cm ,P = π 3128 cm ;V = π

в) ( ) 2323 2 3 cm ,

3P = +

π

3128 3cm .

3V =

π

14. а) ( ) 218 3 2 3 cm ,P = +π 3162 cm ;V = π б) 2108 cm ,P = π 3108 2cm ;V = π

в) ( ) 218 1 2 3 cm ,P = +π 354 3cm .V = π



15. 7cm.r =

16. а) 266 cm ,

uP = π 372 cm ,

u

V = π

( )

212 4 2 3 cm ,o

P = +π 3144 cm ;o

V = π

б) , 324 cm ,

uV = π , 3

96 cm ;o

V = π

в) , 3216 cm ,uV = π 2168 cm ,oP = π 3288 cm .oV = π

17. 2128 cm ,uP = π 3192 cm ,uV = π ( ) 232 3 2 2 cm ,oP = +π 3384 cm ,oV = π

2,

1o

u

V

V =

2,

1o

u

V

V =

3 2 2.

4o

u

P

P

+=

18. 212 2cm ,op

P = 372 cm .V = π

19. 2360 3cm ,P = 3525 3cm .V =

20. ( ) 23 3 2 cm ,P = + 33 3cm .

2V =

21. Пресек ваљка и дате равни је правоугаоник чије су странице висина ваљка и добијенатетива основе, па је површина 20cm2.

22. а) 2 2cm;t = б) 210 2cm ; pP = в) .

23. 250 414,48cm .M =

24. Не могу. Потребно им је 527,52 грама боје.

25. 2565,2cm .M =

26. 2478,50cm .P B M= + =

27. 19,9cm.H »

28. У сва четири силоса стаје 12320000kg жита.

Documents

Zbirka Za 8 Odd