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Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren
LiteraturNewbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham & Ledolter, Statistical Methods of Forecasting, New York: Wiley, 1983.
5.11.2003 Prognoseverfahren 2
Zeitreihen
in regelmäßigen Zeitabständen genommene Beobachtungen y1, y2, …, yt, …, (yn) eines Merkmals Y
Beispiele jährliche Investitionen eines Unternehmens die wöchentlichen Umsätze einer
Supermarkt-Kette die täglichen Börsenkurse einer
Aktiengesellschaft
5.11.2003 Prognoseverfahren 3
Aufgaben der Zeitreihenanalyse
Beschreibung der Zeitreihe Prognose Erklärung der Datengenerierung
5.11.2003 Prognoseverfahren 4
Komponenten von Zeitreihen
Trend Saisonale (und/oder zyklische)
Schwankungen (Saisonalität) Irreguläre Schwankungen (Störterm,
noise)
5.11.2003 Prognoseverfahren 5
Modelle für Zeitreihen
additives Modell yt = Tt + St + Ut
multiplikatives Modell yt = Tt * St * Ut
mit Tt: Trend St: Saisonalität Ut: Störterm
5.11.2003 Prognoseverfahren 6
Tt = a + b.t (linearer Trend) Tt = a + b.t + g.t2 + … (polynomialer
Trend) Tt = a exp {b.t} (exponentieller Trend) Tt = a/[1 + b exp {– g.t}]
(Sättigungsmodell)
Modelle für den Trend
5.11.2003 Prognoseverfahren 7
Schätzen der Trendkomponente
Globale Anpassung: Methode der kleinsten Quadrate
Lokale Anpassung: Methode der gleitenden Durchschnitte
5.11.2003 Prognoseverfahren 8
Schätzen der Saisonkomponenten
Annahme eines additiven Modells Schätzung des Trends Tt Abziehen des Trends liefert (näherungs-
weise) St + Ut, Durchschnitt der Werte jeder Saison-
komponente gibt vorläufige Schätzer Zentrieren der Saisonkomponenten
(Abziehen des Durchschnitts)
5.11.2003 Prognoseverfahren 9
Autokorrelation
Autokorrelation rk: Maß für die Stärke der Abhängigkeit zwischen yt und yt+k (oder yt-k)
rk = sk/s2 mit
sk = S(yt-ybar)(yt+k-ybar)/n
(k=0,1,2,…); ybar: Durchschnitt der yt; s2 = s0
5.11.2003 Prognoseverfahren 10
Autokorrelationsfunktion
r(k) = rk, k=0,1,2,…
die graphische Darstellung wird auch Korrelogramm genannt
gute Hilfe zur Interpretation der Zeitreihe Hinweise auf Saisonalität Hinweise auf Trend Hinweise auf Prognosequalität
5.11.2003 Prognoseverfahren 11
Prognose
oder Vorhersagen für Beobachtung yn+r:
ŷn(r)
n: Prognosezeitpunktr: Prognosehorizont
Prognoseintervall ŷn(r) ± c
5.11.2003 Prognoseverfahren 12
Aufgabe der Prognoserechnung
Bestimmung von ŷn(r) und c
5.11.2003 Prognoseverfahren 13
Prognosemethoden
Univariate Methoden exponentielles Glätten Box-Jenkins ARIMA Modelle Strukturelle Zeitreihenmodelle
Multivariate Methoden Regressionsmodelle Ökonometrische Modelle (simultane
Gleichungssysteme) Judgmental Methods
5.11.2003 Prognoseverfahren 14
Wahl der Prognosemethode
entsprechend dem Typ der Zeitreihe: Kein Trend, keine Saisonalität Trend, keine Saisonalität Trend, Saisonalität
5.11.2003 Prognoseverfahren 15
Kein Trend, keine Saisonalität
yt = + ut
: Niveau, ut: Störterm, noise
1. Konstantes Niveau ŷn(r) = ybar für alle r
2. Variables Niveau ŷn(r) = Ln für alle r
geschätztes Niveau: Ln= yn + (1–)Ln-1
(Methode des Exponentiellen Glättens)
5.11.2003 Prognoseverfahren 16
Exponentielles Glätten
Rekursion zum „Update“ des SchätzersLn= yn + (1–)Ln-1
Langschreibweise:Ln = [yn + (1–) yn-1 + (1–)2 yn-2+ …]
Exponentiell abnehmende Gewichte(1–), (1–)2, …
Glättungskonstante
5.11.2003 Prognoseverfahren 17
Beispiel
y1 = 5; y2 = 4; y3 = 5; y4 = 6; y5 = 8 Anfangswert: L1 = y1
Glättungskonstante: = 0.2 Berechnen des Niveau-Schätzers L2 = y2 + (1-)L1= (0.2)(4) + (0.8)(5) =
4.8 L3 = (0.2)(5) + (0.8)(4.8) = 4.84 etc.
5.11.2003 Prognoseverfahren 18
Beispiel, Forts.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6 7
y_t
L_t
yhat_t
5.11.2003 Prognoseverfahren 19
Korean. Exporte, 70/1-86/2
0,0
2000,0
4000,0
6000,0
8000,0
10000,0
12000,0
5.11.2003 Prognoseverfahren 20
Glättungskonstante
Bedingung für Konvergenz: 0 ≤ ≤ 1 Übliche Werte: 0.1 ≤ ≤ 0.3 durch Minimieren der Summe der
quadrierten einstufigen PrognosefehlerSSE = [yt – ŷt-1(1)]2
5.11.2003 Prognoseverfahren 21
Glättungskonstante , Forts
Extreme Werte für : = 1:
ŷn(r) = Ln = yn
Naive Prognose, „random walk“ Prognose = 0:
ŷn(r) = Ln = (1/n)[yn + yn-1 + … + y1] gleiches Gewicht für alle Beobachtungen
5.11.2003 Prognoseverfahren 22
Trend, keine Saisonalität
yt = + t + ut
: Niveau, : Anstieg der Trendge-raden, ut: Störterm, noise
Prognose (Exponentielles Glätten nach Holt):
ŷn(r) = Ln + r Tn für alle rLn: geschätztes Niveau
Tn: geschätzte Trendkomponente
5.11.2003 Prognoseverfahren 23
„Update“ der Schätzer
Ln = 1 yn + (1 – 1) [Ln-1 + Tn-1]
Tn = 2 [Ln – Ln-1] + (1 – 2) Tn-1
1, 2: Glättungskonstante 0 ≤ 1 ≤ 1, 0 ≤ 2 ≤ 1
großer Wert einer Glättungskonstanten: Betonung der neuesten Information
kleiner Wert einer Glättungskonstanten: alle Beobachtungen bekommen ziemlich das gleiche Gewicht
5.11.2003 Prognoseverfahren 24
„Update“ der Schätzer, Forts.
Initialisierung: L2 = y2, T2 = y2 – y1
Wahl der Glättungskonstanten durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler
5.11.2003 Prognoseverfahren 25
Korean. Exporte, 70/1-86/2
0,0
2000,0
4000,0
6000,0
8000,0
10000,0
12000,0
t 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
5.11.2003 Prognoseverfahren 26
Trend und Saisonalität
Exponentielles Glätten nach Holt-Winters
Bei Monatsdaten (s = 12)ŷn(r) = [Ln + r.Tn] Sn+r-12 (r=1,…,12)
= [Ln + r.Tn] Sn+r-24 (r=13,…,24) = etc.
Ln: geschätztes Niveau, Tn: geschätzte Trendkomponente, Sn: geschätzte Saisonkomponente
5.11.2003 Prognoseverfahren 27
„Update“ der Schätzer
Ln = 1 [yn/Sn-12] + (1–1) [Ln-1+Tn-1]
Tn = 2 [Ln–Tn-1] + (1–2) Tn-1
Sn = 3 [yn/Ln] + (1–3) Sn-12
1, 2, 3: Glättungskonstante
0 ≤ 1, 2, 3 ≤ 1
Wahl der i: durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler
5.11.2003 Prognoseverfahren 28
Prognoseintervall
für ŷn(r): Berechnung aller r-stufigen Prognosefehler
yr+1–ŷ1(r), yr+2–ŷ2(r), …, yn–ŷn-r(r) Varianz der Prognosefehler
sr2 = [yt – ŷt-r(r)]2 /(n – r)
95%-iges (r-stufiges) Prognoseintervall für yn+r:
ŷn-r(r) ± 2sr
5.11.2003 Prognoseverfahren 29
Autoregressive Modelle
AR(1)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + ut
AR(2)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + 2 yt2 + ut
AR(p)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + ... + p ytp + ut
5.11.2003 Prognoseverfahren 30
Analyse der AR-Modelle
Identifikation, d.h. Festlegen der Ordnung p
Schätzen der Parameter zum Schätzen wird LS-Schätzung verwendet
Prognose
5.11.2003 Prognoseverfahren 31
AR(1)-Modell: Prognose
ŷn(1) = b0 + b1 yn
ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1)
...ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) für r 2
mit bi: Schätzer von i
5.11.2003 Prognoseverfahren 32
AR(2)-Modell: Prognose
ŷn(1) = b0 + b1 yn + b2 yn-1
ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) + b2 yn
ŷn(3) = b0 + b1 ŷn(2) + b2 ŷn(1)
...ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) + b2 ŷn(r-2) für r 3