Zmienna wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie – metody dyskontowe – metody dyskontowe

Bieżąca i przyszła wartość pieniądzaBieżąca i przyszła wartość pieniądza

Wolisz otrzymać 100 złotych dzisiaj, czy

za rok???

100 zł (2009) > 100 zł (2010) > 100 zł (2011) .....

O ile mniej wart jest pieniądz za rok???

Ile chciałbym otrzymać za rok aby dzisiaj

dobrowolnie zrezygnować z dysponowania

kwotą 100 złotych?

100 zł + x x zł

konsumuję

Za rok

100 zł inwestuję

100 złkonsumuj

ę

Dziś

Ile wart jest Ile wart jest „x” ???„x” ???

Jednakowa wartość oceniana subiektywnie

przez inwestora

Miarą oczekiwań, czyli tempa zmiany wartości Miarą oczekiwań, czyli tempa zmiany wartości pieniądza w czasie jest:pieniądza w czasie jest:

• stopa procentowastopa procentowa (jeżeli chcemy obliczyć wartość przyszłą znanej wartości dzisiejszej)

• stopa dyskontowastopa dyskontowa (jeżeli znamy kwotę przyszłą a chcemy ustalić jej wartość na dziś).

Możliwe sytuacje dotyczące zmian wartości pieniądza w czasie:Możliwe sytuacje dotyczące zmian wartości pieniądza w czasie:

•wartość bieżąca (PV – present value) lub wartość przyszła (FV – future value)

•wartość pojedynczej płatności lub wartość strumienia płatności

•wartość strumienia jednolitych płatności (annuitety) lub wartość strumienia zmiennych płatności

•obliczenia mogą być dokonywane przy stałej lub zmieniającej się z okresu na okres stopie procentowej

•płatność jest dokonywana na początku lub na końcu okresu

•rozliczanie (kapitalizacja) wartości może być dokonywane raz lub więcej razy w okresie roku.

1.1. Kalkulacja pojedynczej wartości Kalkulacja pojedynczej wartości przyszłejprzyszłej (np. wpłata pieniędzy do banku na kilka lat – ustala się kwotę po upływie okresu lokaty)

Przykład 1

Ustal ile otrzymasz za trzy lata, wpłacając dzisiaj 1000 zł na lokatę oprocentowaną na 10% w skali rocznej.

Aby rozwiązać to zadanie należy skorzystać z formuły:

FV = PV*(1+i)FV = PV*(1+i)tt

gdzie:PV (wartość bieżąca) wynosi 1000 złi (stopa procentowa) wynosi 10%t (okres) wynosi 3 lata

FV = 1000 * (1+0,1)FV = 1000 * (1+0,1)33 = 1331 zł = 1331 zł

2.2. Liczenie wartości przyszłej stałych kwotowo Liczenie wartości przyszłej stałych kwotowo

okresowych wpłat na rachunek.okresowych wpłat na rachunek. Oczekiwana kwota

obejmować będzie zarówno sumę wpłat jak i

zakumulowaną sumę odsetek od tych wpłat, przy czym

każdorazowo odsetki liczone są od powiększającej się

kwoty.

Przykład 2

Przez najbliższe 4 lata zamierzasz na koniec każdego roku

odkładać po 2000 zł na lokatę oprocentowaną na 8%

w skali roku. Ustal jaka kwota znajdzie się na rachunku

po upływie tego okresu.

Aby rozwiązać to zadanie należy skorzystać z formuły:

gdzie:A (stała płatność roczna) 2000 złi 8%t 4 lata

i

iAFV

t

A

11*

złFVA 9012

08,0

108,01*2000

4

Dla lepszego zrozumienia schematu liczenia

2000 * (1,08)3 = 2519,4

+ 2000 * (1,08)2 = 2332,8

+ 2000 * (1,08) = 2160

+ 2000 = 2000

9012,29012,2

3.3. Liczenie wartości raty annuitetowej przy Liczenie wartości raty annuitetowej przy znanej wartości bieżącej kapitałuznanej wartości bieżącej kapitału (np. zaciągamy kredyt hipoteczny i ustalamy jaka będziemy płacić ratę obsługi kredytu przez kolejne 30 lat);

Przykład 3

Zaciągnąłeś kredyt w wysokości 200 000 zł na okres 30 lat przy oprocentowaniu 12% w skali roku. Jaka będzie wysokość stałej miesięcznej raty kredytowej.

Aby rozwiązać to zadanie należy skorzystać z formuły:

gdzie:

• PVA (bieżąca wartość kapitału, który ma zostać spłacony ratami annuitetowymi) 200 000 zł

• i 12%• t 30 lat• m (liczba podokresów) wynosi 12 (tyle ile miesięcy w roku)

11

1**

t

t

Ai

iiPVA

złA 2057

112

12,01

12

12,01*

12

12,0

*20000012*30

12*30

4.4. Liczenie wartości bieżącej zmiennych przepływów Liczenie wartości bieżącej zmiennych przepływów

pieniężnych, których spodziewamy się w pieniężnych, których spodziewamy się w

przyszłościprzyszłości – sytuacja występująca w przypadku

inwestycji rzeczowych;

Przykład 4

W ciągu najbliższych trzech lata masz otrzymać na konto

trzy wpłaty (na koniec każdego roku). Pierwsza z nich

wynosi 10 000, zaś każda następna ma być o 50%

wyższa w stosunku do kwoty z roku poprzedniego.

Ustal jaka jest wartość dzisiejsza tych kwot przy stopie

dyskontowej 10%.

Aby rozwiązać to zadanie należy skorzystać z formuły:

gdzie:

• Zt (kwota z okresu t) w naszym przypadku odpowiednio: 10 000 zł, 15 000 zł i 22 500 zł.

• i 10%• t = 1,2,3

tt

n

tZ

i

ZPV

10

Oznacza to, iż bieżąca wartość płatności to suma 9 091 zł + 12 397 zł + 16 905 zł = 38 393 zł. 9 091 zł + 12 397 zł + 16 905 zł = 38 393 zł.

Tablice Banku ŚwiatowegoTablice Banku Światowego

Krok 1 – wybór stopy procentowej

Krok 3 – wybór liczby lat

Krok 2 – wybór odpowiedniej

formuły

Źródło: J.P. Gittinger, Compounding and Discounting Tables for Project Analysis with a Guide to Their Applications, EDI World Bank, Washington 1984.

Analiza przepływów pieniężnych w rzeczowych Analiza przepływów pieniężnych w rzeczowych

projektach inwestycyjnychprojektach inwestycyjnych

ustalenie

opłacalności płynności

Tablica (zestawienie) przepływów pieniężnych (cash-flow)Tablica (zestawienie) przepływów pieniężnych (cash-flow) - najważniejszy dla

inwestora dokumentem, za pomocą którego można ocenić opłacalność i płynności

projektu

WpływyWpływy WydatkiWydatki

Przepływ pieniężny netto

--

Przychody Koszty

PrzykładPrzykład

Inwestor zamierza rozpocząć działalność gospodarczą polegającą Inwestor zamierza rozpocząć działalność gospodarczą polegającą

na zakupie sprzętu budowlanego, który będzie wynajmowany. na zakupie sprzętu budowlanego, który będzie wynajmowany.

Koszt zakupu wynosi 5 milionów zł i będzie poniesiony w Koszt zakupu wynosi 5 milionów zł i będzie poniesiony w

bieżącym roku. Inwestor spodziewa się, iż sprzęt będzie bieżącym roku. Inwestor spodziewa się, iż sprzęt będzie

wykorzystywany przez kolejne 10 lat przynosząc przychody wykorzystywany przez kolejne 10 lat przynosząc przychody

rzędu 1 milion zł. rocznie, przy czym koszt konserwacji i rzędu 1 milion zł. rocznie, przy czym koszt konserwacji i

napraw szacowany jest na 0,2 miliona zł. rocznie, a w piątym napraw szacowany jest na 0,2 miliona zł. rocznie, a w piątym

roku działalności wyniesie 0,4 miliona zł. Zakup sprzętu roku działalności wyniesie 0,4 miliona zł. Zakup sprzętu

zostanie sfinansowany w 20% z kapitału własnego a 80% zostanie sfinansowany w 20% z kapitału własnego a 80%

kredytu, który będzie spłacony w ciągu dziesięciu lat (rata kredytu, który będzie spłacony w ciągu dziesięciu lat (rata

kapitałowa po 0,4 miliona zł). Stopa oprocentowania kredytu kapitałowa po 0,4 miliona zł). Stopa oprocentowania kredytu

wynosi 10% w skali roku. Ustal płynność projektu.wynosi 10% w skali roku. Ustal płynność projektu.

Rok 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Wpływy 5,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

wpłata kredytu 4                    

wpłata kapitału własnego 1                    

sprzedaż usług   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Wydatki 5,00 1,00 0,96 0,92 0,88 1,04 0,80 0,76 0,72 0,68 0,64

inwestycja 5                    

koszty napraw   0,2 0,2 0,2 0,2 0,4 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

spłata rat kapitałowych   0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

odsetki od kredytu   0,4 0,36 0,32 0,28 0,24 0,2 0,2 0,1 0,1 0,04

NCF (przepływy pieniężne netto) 0,00 0,00 0,04 0,08 0,12 -0,04 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36

CNCF (skumulowane przepływy pieniężne netto) 0,00 0,00 0,04 0,12 0,24 0,20 0,40 0,64 0,92 1,24 1,60

PrzykładPrzykład

Wykorzystując dane z poniższej tabeli ustal opłacalność projektu przy Wykorzystując dane z poniższej tabeli ustal opłacalność projektu przy stopie dyskontowej równej 15%, wykorzystując formułę stopie dyskontowej równej 15%, wykorzystując formułę NPVNPV..

Rok 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Wpływy 0 0 12050 15465 15465 15465 15465 15465 15465 15465 15465 15465

Sprzedaż     12050 15465 15465 15465 15465 15465 15465 15465 15465 15465

Wydatki 2139 34035 7779 8698 8276 8276 8276 9076 9076 9076 9076 9076.2

Zakup środków trwałych 2139 34035                    

Przyrost kapitału obrotowego     1238 422                

Koszty działalności     6541 8276 8276 8276 8276 8276 8276 8276 8276 8276

Podatek               800.2 800.2 800.2 800.2 800.2

NCF -2139 -34035 4271 6767 7189 7189 7189 6389 6389 6389 6389 6388.8

Aby rozwiązać to zadanie należy skorzystać z formuły NPV - NPV - wartość zaktualizowana nettowartość zaktualizowana netto (wartość dzisiejsza netto):

t

T

tt i

NCFNPV)1(

1

0

Rok 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 NPV

CF Netto(t) -2139 -34035 4271 6767 7189 7189 7189 6388,8 6388,8 6388,8 6388,8 6388,8 xxxxxxx

Wsp.dy skonta 1 0,8696 0,7561 0,6575 0,5718 0,4972 0,4323 0,3759 0,3269 0,2843 0,2472 0,2149 xxxxxxx

NPV -2139 -29595,7 3229,49 4449,41 4110,33 3574,20 3108,00 2401,79 2088,51 1816,10 1579,21 1373,23 -4004,374283

Wartość bieżąca netto (NPV)

-10000,00

-5000,00

0,00

5000,00

10000,00

15000,00

20000,00

25000,00

30000,000,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09 0,1

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

stopa dyskontowa

NPV

IRRIRR (Internal Rate of Return) - wewnętrzna stopa wewnętrzna stopa zwrotuzwrotu (wewnętrzna stopa procentowa) - stopa dyskontowa (aktualizacji) przepływów pieniądza projektu, która „zeruje” NPV

IRR = i dla którego

0)1(

1

0

t

T

tt i

NCFNPV

Krok 3

Krok 2

Krok 4

Krok 1

NPV 4 > 0 NPV 3 < 0

Jeżeli NPV 2 > 0

Jeżeli NPV 1 > 0

i1

i1 < i2

i2 < i3

i4 < i3

NPV 4 (pos)

NPV 3 (neg)

i3

i4

IRR

0

D

A C

B E

negpos

posnegpos

pos NPVNPV

iiNPVIRR i

Przybliżona wartość IRR dla danego Przybliżona wartość IRR dla danego projektu projektu

gdzie:

ipos - wartość stopy procentowej dla, której NPV > 0

ineg - wartość stopy procentowej dla, której NPV < 0

NPVpos - wysokość NPV obliczona dla ipos (wartość dodatnia

NPV)

NPVneg - wysokość NPV obliczona dla ineg (wartość ujemna

NPV)