Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
1. PODSTAWOWE POJĘCIA
Pieniądz, podobnie jak inne dobra (towary i usługi))
zmienia swoją wartość w czasie, co jest następstwem
zachodzących w sposób ciągły procesów gospodarczych. Zmianie
może ulegać wartość nominalna pieniądza (np. denominacja)
albo jego wartość realna (np. deprecjacja, aprecjacja).
Deprecjacja – spadek siły nabywczej pieniądza na skutek
inflacji.
Aprecjacja – wzrost siły nabywczej pieniądza na skutek
deflacji.
Ponieważ w gospodarce zazwyczaj występuje zjawisko
deprecjacji pieniądza nie powinien on być bezczynny, gdyż
będzie to zmniejszało jego siłę nabywczą. Każdy posiadacz
pieniądza powinien więc dążyć do jego zaangażowania w procesy
gospodarcze, co powinno przyczynić się do wzrostu jego
wartości w czasie, a przynajmniej do zachowania jego siły
nabywczej na dotychczasowym poziomie.
Obliczanie wartości pieniądza w czasie jest ważne z tego
powodu, że pieniądz jako miernik wartości wszelkich działań
gospodarczych, pozwala jednoznacznie ocenić efekty tej
działalności.
Podstawowym pojęciem jest w tym przypadku stopa zwrotu,
której najlepiej znanym przypadkiem jest stopa procentowa. W
dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się tym drugim
określeniem.
Podstawowe określenia:
K0 – wartość początkowa (wartość bieżąca),
Kn – wartość końcowa (wartość przyszła).
Różnica Z = Kn – K0 nazywana jest odsetkami.
2
Stopa procentowa – stosunek odsetek do wartości
początkowej wyrażony w odpowiedniej jednostce czasu.
nKKK
nKZr 11
0
01
0
×−
=×=
Gdzie:
n – okres inwestycji w latach.
Uwaga!
Powyższy wzór jest prawdziwy dla procentu prostego.
Okres stopy procentowej - czyli okres, za który podano
stopę procentową, np. roczna, półroczna, kwartalna,
miesięczna.
W praktyce najczęściej stopę procentową podaje się za
okresy roczne. Dalej r będzie oznaczać roczną nominalną
stopę procentową.
Obliczanie wartości pieniądza w czasie wiąże się
najczęściej z wykonywaniem następujących działań:
• obliczanie odsetek (oprocentowania lub procentu),
• obliczanie wartości przyszłej,
• obliczanie wartości bieżącej (zwane też
dyskontowaniem), które jest matematycznie operacją
odwrotną do obliczania wartości przyszłej.
Kapitalizacja odsetek – dopisywanie odsetek do kapitału
za określony czas zwany okresem kapitalizacji.
Ze względu na moment dokonywania kapitalizacji wyróżnia
się kapitalizację:
• z dołu – odsetki są dopisywane na koniec okresu
kapitalizacji,
• z góry – odsetki są dopisywane na początek okresu
kapitalizacji.
3
W praktyce częściej jest stosowana kapitalizacja z dołu.
Przypadkiem kapitalizacji z góry występującym w praktyce jest
dyskonto lub redyskonto weksli.
Dalej będzie rozpatrywana wyłącznie kapitalizacja
z dołu.
W zależności od sposobu ustalania odsetek, czyli ich
wpływania na wartość odsetek w kolejnych okresach
kapitalizacji wyróżnia się kapitalizację:
• prostą, w której odsetki naliczone za dany okres
kapitalizacji nie są brane pod uwagę przy
obliczaniu odsetek w kolejnym okresie
kapitalizacji,
• złożoną, w której odsetki naliczone w danym
okresie kapitalizacji uwzględniane są przy
obliczaniu odsetek w kolejnym okresie
kapitalizacji.
Ostatni podział kapitalizacji ma charakter techniczny i
wiąże się z prawidłowym obliczeniem wartości przyszłej czy
bieżącej. Jeżeli okres stopy procentowej pokrywa się z okresem
kapitalizacji, to występuje wówczas kapitalizacja zgodna, a
jeżeli te okresy się nie pokrywają, to występuje kapitalizacja
niezgodna (np. stopa procentowa w skali roku - okres
kapitalizacji w miesiącach). Przed obliczeniem wartości
pieniądza należy najpierw ustalić, z którym rodzajem
kapitalizacji mamy do czynienia, a następnie zastosować
odpowiedni wzór.
4
2. PROCENT PROSTY
Stosowany jest zazwyczaj do obliczania wartości pieniądza
w czasie za krótkie okresy, najczęściej do jednego roku.
Przykładem zastosowania może być odsetki od sumy wekslowej,
dyskonto weksli, oprocentowanie od środków na rachunkach
bieżących itp.
Podstawowe wzory:
nrP
K
nrKKPZnrKP
n
nn
n
×+=
××=−=
×+×=
1
)1(
0
00
0
Jeżeli okres stopy procentowej nie pokrywa się z okresem
kapitalizacji wzory należy odpowiednio zmodyfikować
podstawiając za n np.:
• n = t/12, jeżeli czas podany jest w miesiącach,
• n = t/365, jeżeli czas podany jest w dniach.
W przypadku czasu podanego w dniach najczęściej stosuje
się rzeczywistą lub dokładną liczbę dni, chociaż można spotkać
się z uproszczonym sposobem obliczania n zwanym zasadą
równych miesięcy, w której każdy miesiąc ma 30 dni a rok
360.
W przypadku okresu podanego za pomocą dwóch dat –
początkową i końcową, przy obliczaniu liczby dni stosuje się
najczęściej zasadę, że jeden z dwóch dni granicznych wlicza
się do t, a drugą pomija.
5
PRZYKŁAD:
Obliczyć wartość przyszłą oraz odsetki od kwoty 2 500 zł
przy stopie procentowej 6,0% w skali roku i okresie
wynoszącym:
a) 5 lat,
b) 18 miesięcy,
c) od 15 stycznia do 20 września (uwzględniając
rzeczywistą liczbę dni w roku 365 dni)
d) od 15 stycznia do 20 września (uwzględniając zasadę
równych miesięcy).
Rozwiązanie:
a)
7505%0.650022503)5%0,61(5002
5
5
=××=
=×+×=
ZP
b)
2251218%0,65002
7252)1218%0,61(5002
12/18
12/18
=××=
=×+×=
Z
P
c)
t=16+28+31+30+31+30+31+31+20=248 dni
92,101365248%0,65002
92,6012365248%0,615002
365/248
365/248
=××=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+×=
Z
P
d)
t=15+7x30+20=245
08,102360245%0,65002
08,6022360245%0,615002
360/245
360/245
=××=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+×=
Z
P
6
3. PROCENT ZŁOŻONY Obliczenie wartości przyszłej w przypadku kapitalizacji
złożonej wymaga uwzględnienia odsetek obliczonych w
poprzednich okresach kapitalizacji przy obliczaniu wartości
odsetek w kolejnych okresach kapitalizacji. Można do tego celu
wykorzystać wzór poznany przy procencie prostym, ale
obliczenia należy przeprowadzać dla pojedynczych okresów
kapitalizacji, a w kolejnych brać pod uwagę wartość końcową
kapitału z okresu poprzedniego.
Przykład:
Obliczyć wartość przyszłą kwoty 10 000 zł za 5 lat,
jeżeli stopa procentowa wynosi 6,0% w skali roku a
kapitalizacja jest złożona z dołu.
Rozwiązanie:
26,38213)06,01(77,6241277,62412)06,01(16,91011
16,91011)06,01(2361100,23611)06,01(6001000,60010)06,01(00010
5
4
3
2
1
=+×=
=+×=
=+×=
=+×=
=+×=
KKKKK
Gdyby występowała kapitalizacja prosta wartość przyszła
kapitału wyniosłaby P5=10000x(1+5X0,06)=13000. Różnica między
wartością przyszłą przy kapitalizacji złożonej a wartością
przyszłą przy kapitalizacji prostej jest wynikiem naliczania w
okresach 2, 3, 4 i 5 odsetek nie tylko od kapitału
początkowego, ale także od narosłych odsetek.
7
Wartość przyszłą przy kapitalizacji złożonej z dołu można
obliczyć za pomocą wzoru:
nn rKK )1(0 +×=
Rozwiązanie przykładu:
26,38213)06,01(00010 55 =+×=K
Wzór na wartość bieżącą kapitału przy kapitalizacji
złożonej zgodnej:
nnnn
rK
rKK
)1(1
)1(0 +×=
+=
Wzór na obliczenie stopy procentowej:
10
−= n n
KKr
Przykład:
Przy jakiej stopie procentowej kapitał początkowy po 5
latach potroi swoją wartość, jeżeli zastosowano model
kapitalizacji złożonej.
%57,242457,01313 55
0
0 ==−=−=KKr
8
Jeżeli kapitalizacja jest niezgodna, to odpowiednie wzory
będą miały następującą postać:
mKK
r
mrK
K
mrKK
mn
mn
mn
mn
mnmn
×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=
×
×
×
1
1
1
0
0
0
W kapitalizacji niezgodnej złożonej ważnym parametrem
jest m, który oznacza częstotliwość kapitalizacji dokonywanej
w ciągu roku (zakłada się, że rok jest dzielony na równe
okresy). Jeżeli:
• m=2, to kapitalizacja jest półroczna,
• m=4, to kapitalizacja jest kwartalna,
• m=12, to kapitalizacja jest miesięczna,
• m=365, to kapitalizacja jest dzienna itd.
9
Przykład:
Obliczyć wartość przyszłą kwoty 25000zł po 3 latach przy
stopie procentowej 4,5% w skali roku i kapitalizacji złożonej:
a) rocznej, b) półrocznej, c) kwartalnej, d) miesięcznej.
Rozwiązanie:
a)
( ) 15,52928045,0100025 33 =+×=K
b)
63,570282045,0100025
2323 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=×
K
c)
86,591284045,0100025
4343 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=×
K
d)
20,6062812045,0100025
123123 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=×
K
Im większa częstotliwość kapitalizacji złożonej
niezgodnej (z dołu), tym wartość końcowa kapitało (czy
odsetek) będzie wyższa przy pozostałych parametrach bez zmian.
10
4. EFEKTYWNA I REALNA STOPA PROCENTOWA
Efektywna stopa procentowa pozwala na porównywanie ze
sobą różnych inwestycji o odmiennych parametrach kapitalizacji
złożonej, tzn. o różnym r i m.
Efektywna stopa procentowa – roczna nominalna stopa
procentowa uwzględniająca kapitalizacje dokonywane w ciągu
roku. Odpowiada następującej zależności:
11
1)1( 00
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×=+×
×
m
ef
mnn
ef
mrr
mrKrK
Przykład:
Która z poniższych lokat bankowych jest
najkorzystniejsza:
a) r=8,10% przy m=2, b) r=8,00% przy m=6, c) r=7,90% przy m=12.
Rozwiązanie:
a)
%26,80826,012081,01
2
==−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=efr
b)
%27,80827,01608,01
6
==−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=efr
c)
%19,80819,0112079,01
12
==−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=efr
Najkorzystniejsza jest lokata b), gdyż uzyskała najwyższą
wartość efektywnej stopy procentowej.
11
Przy porównywaniu różnych wariantów lokat przy
kapitalizacji złożonej nie ma znaczenia parametr n. Jeżeli
lokata (inwestycja) jest najbardziej opłacalna dla pierwszego
roku lub dowolnego innego, będzie zawsze najkorzystniejsza.
Natomiast przy porównywaniu inwestycji z kapitalizacją
prostą i złożoną należy obliczyć wartość przyszłą dla
określonego n. Dla innego n odpowiedź może być odmienna.
Wynika to z przyrostu odsetek, które w procencie prostym
przyrastają liniowo, a w procencie złożonym w postępie
geometrycznym.
Realna stopa procentowa – jest to stopa efektywna (lub
nominalna) skorygowana o inflację.
Podstawowy wzór na realną stopę procentową przedstawia
się następująco:
iir
r efre +
−=1
Gdzie:
i – roczna stopa inflacji,
ref – efektywna stopa procentowa (roczna).
Licznik wzoru koryguje dochód o inflację, natomiast
mianownik jest indeksem korygującym o inflację kapitał
początkowy, gdyż także on podlega deprecjacji.
12
Przykład:
Obliczyć roczną, realną stopę procentową, jeżeli okres
inwestycji wynosił 5 lat, a kapitał początkowy w tym okresie
zwiększył się czterokrotnie przy rocznej kapitalizacji
złożonej. Inflacja w tym okresie wyniosła w kolejnych latach:
3,2%, 3,9%, 3,5%, 3,8% i 4,2%.
Rozwiązanie:
• obliczamy roczną, przeciętną stopę procentową:
%95,313195,0145 ==−=r
• obliczamy roczną przeciętną stopę inflacji
korzystając ze wzoru na średnią geometryczną:
%72,30372,01)042,1)(038,1)(035,1)(039,1)(032,1(5 ==−=i
• roczna, realna stopa zwrotu wynosi:
%22,272722,00372,010372,03195,0
==+
−=rer
13
5. Płatności
Przez płatności należy rozumieć określoną liczbę wpłat
(wypłat) dokonywanych w jednakowym odstępie czasu (okresy
płatności) w stałej lub różnej wysokości.
Płatności mogą być dokonywane:
− z góry, czyli na początek okresu płatności lub
− z dołu, czyli na koniec okresu płatności.
Wartość przyszłą płatności zgodnych, czyli takich, w których
okres stopy procentowej pokrywa się z okresem kapitalizacji
oraz okresem płatności, oblicza się według następujących
wzorów:
( )
rrAFVA
rrrAFVA
n
D
n
G
1)1(
1)1(1
−+×=
−+×+×=
Wartość bieżącą płatności zgodnych oblicza się według
następującego wzoru:
( )
n
n
D
n
n
G
rrrAPVA
rrrrAPVA
)1(1)1(
)1(1)1(1
+×−+
×=
+×−+
×+×=
14
ZADANIA:
1) Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach, jeżeli dokonano w niej następujących operacji finansowych: na początku wpłacono 2500 zł, po czterech latach wpłacono 1000 zł, po następnym roku wypłacono 3000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest złożona roczna z dołu.
2) Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty 100 zł po upływie 5 lat, jeżeli podlega ona oprocentowaniu wg rocznej stopy procentowej 9% przy kapitalizacji złożonej z dołu: a) rocznej, b) półrocznej, c) miesięcznej.
3) W banku, w którym obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu, kapitał 50 zł utworzył po 1 roku wartość 60 zł. Ile zyskałby właściciel kapitału w ciągu kolejnych 2 lat, gdyby przy nie zmienionej rocznej stopie wprowadzono kapitalizację kwartalną?
4) Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji złożonej z dołu kapitał podwoił swoją wartość po 5 latach?
5) Bank stosuje następujące roczne stopy procentowe dla lokat złotówkowych:
Czas lokaty w miesiącach r
3 5,5%
6 6,9%
12 5,2%
Odsetki są dopisywane do kapitału po deklarowanym okresie trwania lokaty. Niepodjęcie kapitału po okresie deklarowanym jest równoważne jego wpłacie na następny taki sam okres. Wybrać najkorzystniejszy wariant ulokowania 1000 zł na 2 lata.
6) Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kapitalizacji złożonej miesięcznej z dołu z kapitału 30 zł po 15 miesiącach uzyskano wartość 50 zł?
7) Po 2 latach i 3 miesiącach kwartalnej kapitalizacji złożonej z dołu kwota 50 zł wzrosła dwukrotnie. Jaką wartość osiągnie ta kwota po kolejnym roku?
8) W banku, w którym kapitalizacja jest złożona z dołu dwumiesięczna, po 14 miesiącach z kwoty 500 zł uzyskano 700 zł. Jaką wartość osiągnie ta kwota po dalszych 2 latach?
9) Do banku wpłacono 200 zł. Przez pierwsze 3 lata obowiązywała roczna kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą procentową 12%, a przez następne 2 lata kwartalna kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą procentową 9%. Wyznaczyć wartość tego kapitału po 5 latach.
10) Przez kolejne 3 lata roczna stopa procentowa przyjmowała wartości odpowiednio: 5,0%, 5,2%, 4,5%. Wyznaczyć wartość odsetek za okres 3 lat od kwoty 1 zł oraz przeciętną stopę procentową, jeżeli bank stosował roczną kapitalizację złożoną z dołu.