Zur Theorie der y-y- Winkelkorrefationen bei kombiniertem magnetischen und inhomogenen

elektrischen Fefd. I

Die allgemeine Form der Korrelationsfunktion

Von H a r r y Paul und Witlof Brunner

Inhaltsiibersicht Fiir die Wechselwirkung mit beliebigen (statischen) auBeren Feldern wird

die allgemeine Form der Korrelationsfunktion im Formalismus von Bieden - h a r n und Rose abgeleitet.

Einleitung Die Untersuchung von y-y -Winkelkorrelationen stellt bekanntlich eine

Moglichkeit dar, mit verhiiltnismiiBig geringem experimentellen Aufwand Aus- sagen iiber die (u. a. f i i r die Priifung der verschiedenen Kernmodelle wesent- lichen) Eigenschaften der Kerne in angeregten Zustiinden zu gewinnen :

Die durch eine Wechselwirkung des Kerns mit einem BuSeren magnetischen bzw. elektrischen Feld bedingte Aufspaltung seiner Niveaus (speziell des Zwischenniveaus einer y-y-Kaskade) fiihrt zu einer gegenuber der ungestorten Korrelation veriinderten Winkelanisotropie (des zweiten y-Quants in bezug auf die Richtung des ersten) und gestattet damit, aus dieser bei bekanntem magnetischen Feld bzw . Gradienten des elektrischen Feldes das magnetische Dipolmoment bzw. das elektrische Quadrupolmoment des Kerns im Zwischen- zustand zu bestimmen. Besonders interessant ist dabei der Fall der Aufepaltung der Kernniveaus unter dem EinfluB eines elektrischen Feldgradienten im Kristallgitter und eines gleichzeitig von aul3en angelegten (homogenen) magnetischen Feldes, der die gleichzei t ige Bestimmung sowohl des magne- tischen Dipolmomentes als auch des elektrischen Quadrupolmomentes des Kerns (im Zwischenzustand) gestattet. Hinzu kommt, daB durch die zusiitz- liche magnetische Wechselwirkung die Anisotropie der Winkelverteilung - falls die magnetische Wechselwirkungsenergie mit der elektrischen etwa iiber- einstimmt - maximal wird und damit, interessiert man sich speziell fur eine Messung der elektrischen Quadrupolwechselwirkung, durch Einschalten eines magnetischen Feldes geeigneter Stiirke eine VergroBerung der MeSgenauigkeit erreicht werden kann, so daB schon aus diesem Grunde eine Untersuchung der Winkelkorrelation mit kombinierter elektrischer und magnetischer Wechsel- wirkung zweckmaBig zu sein scheint.

Die bisherigen Arbeiten mit kombinierten elektrischen und magnetischen Feldern bezogen sich nun allerdings auf die spezielle Situation, daB die Quelle

H . Paul u. TV. Brunner: Zur Theorie der y-y- Winkelkorrelationen. I 317

als Einkristall vorliegt und die Symmetrieachse des elektrischen Feldes mit der Richtung des Magnetfeldes zusammenfiillt [s. Ref. I)]. Die Ausdehnung der Rechnung auf den Fall einer pulverformigen Quelle wurde bisher wegen des groI3en numerischen Aufwandes nicht durchgefuhrt, obwohl sie - schon aus Griinden der Vereinfachung der experimentellen Technik - recht wiinschenswert erscheint ,).

Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht nun darin, fur das bekannte Indium-Experiment (y-y-Kaskade in dem aus Inlll durch p+-Zerfall ent- stehenden Cdlll, Lebensdauer des Zwischenzustandes - lo-' sec) nume- rische Werte fiir die Korrelationsfunktion zu berechnen, welche bei Benutzung einer pulverformigen Quelle in einem zuskitzlichen aul3eren Magnetfeld auf tri b t .

Da die allgemeine Formel fur die Korrelationsfunktion bei Wechselwirkung mit beliebigen (statischen) iiul3eren Feldern im Formalismus von Bieden - h a r n und Rose3) (im folgenden kurz mit BR bezeichnet) bisher nicht her- geleitet wurde [bei Abragam und Pound4) wird nur das Ergebnis mitgeteilt, das durch Obertragung der Alderschen Methodel) erhalten wurde; und die von Coes t er5) gegebene Darstellung benutzt den Formalismus der stati- stischen und ,,efficiency "-Tensoren], erscheint es uns - angesichts des ,,Hand- buch"-Charakters der Arbeit von BR - nicht iiberflussig, zunachst (in Teil I der Arbeit) eine solche Ableitung mit der Methode von BR vorzunehmen. (Die Formeln von BR enthalten zwar im Prinzip auch die Losung des genannten Problems; die bei ihrer Herleitung gemachten Fehler - die Nicht- beachtung der Nichthermitizitiit der Operatoren H,, H, und eine falsche Form des Wigner-Eckart-Theorems, s. BR, S. 732 und 733 - wirken sioh aber in diesem Falle verfalschend auf das Ergebnis aus, so dal3 sich eine erneute Rechnung als notwendig erweist.)

In Teil I1 der Arbeit spezialisieren wir die Wechselwirkung auf den Fall eines beliebig orientierten rotationssymmetrischen elektrischen Feldes und eines gleichzeitig vorhandenen (homogenen) magnetischen Feldes und disku- tieren Beziehungen zwischen den wesentlichen in der Korrelationsfunktion auftretenden Koeffizienten, mit deren Hilfe der numerische Rechenaufwand wesentlich reduziert werden kann.

SchlieSlich sollen in einem TeilIII die numerischen Resultate fur die Korrelationsfunktion des + -+ (172 und 247 keV)-Oberganges in

fur verschiedene Werte der elektrischen und magnetischen Wechsel- wirkungsenergie mitgeteilt werden.

7 + 5 + 1+

1) K. Alder, Helv. phys. Acta 26, 236 (1952); K. Alder, H. Albers-Schonberg, E. Heer u. T. B. Novey, Helv. phys. Acta 26, 761 (1953); H.Albers-Schonberg, E. Heer, T. B. Novey u. P. Schemer, Helv. phys. Acta 27, 647 (1964).

8) Wie inzwischen bekannt wurde, wird dimes Problem z.Z. in Upsala bearbeitet [siehe E. M a t t h i a s , W. S c h n e i d e r and R.M. S t e f f e n , Physic. Rev. 126, 261 (1962)l.

s, L. C. Biedenharn and M. E. Rose, Rev. mod. Phys. 26, 729 (1953). 4, A. Abragam and R. V. Pound, Physic. Rev. 92, 943 (1953). 5, F. Coester, Physic. Rev. 98, 1304 (1964).

318 Annalen der Physik. 7. Folge. Band 9. 1962

Die Korrelationsfunktion bei Vorhandensein statiseher luBerer Felder Wir gehen aus von dem bekannten allgemeinen Ausdruck fur die y-y-

Korrelationsfunktion [s. z. B. Ref. 6)6)]

w = 2 (a 1 % I B> <B 1 % Ir> <B' I H , IY>* (a IHl I PO* 11 - i ( "B-WB' ) t l - l . (1) aBB'?J

Hier ist t die Lebensdauer des Zwischenzustandes; OL, B, y bezeichnen die einzelnen Unterniveaus des durch die Anwesenheit auBerer statischer Felder aufgespaltenen Ausgangs-, Zwischen- und Endzustandes, wahrend ti WB die Energie des Unterniveaus B des Zwischenzustandes bezeichnet.

Mit Ha (i = 1, 2) wurde der Operator H(f, p,) abgekurzt, der den Anteil der Wechselwirkung zwischen Kern und Strahlungsfeld beschreibt, der sich auf die Emission eines y-Quants mit dem Wellenzahlvektor fi und der Polarisa- tion p z bezieht. Es ist dabei zu beachten, daD die Operatoren Ha nicht Hermi - tesch sind; [sie reprasentieren namlich nur einen Faktor des Hermiteschen Wechselwirkungsoperators fur das Gesamtsystem : Kern + Strahlungsfeld ; der anderc Faktor ist ein Vernichtungsoperator fur das y-Quant (f% p,)] .

Wenn die Eigenfunktionen la), IB) und I y ) nach den Drehimpulseigen- funktionen (Eigenfunktionen des ungestorten H a mi l t on - Operators Hgern) entwickelt werden

l4=2 I i l m l ) < m l l a )

IB>=C l i m > < m l B >

I?) = 2 l i z mz> ( 4 4 3

(il ? IH l I i m> <il m1 I Hl I i m'>*

x ( i m'' I f f 2 I iz m,) ( i m'" 1 % I iz m2>*

m ,

m

mz

entsteht aus G1. (1) unter Beachtung der Orthonormalitat der Eigenrektoren (m, I a> mwie (m2 I r>

w = 2 nilin.m

n1'm''m''' B B'

(1') x ( m l p ) ( r n ' l B ' ) * ( ~ l m ' ' ) (/3'lm"')* [ l - i ( ( o g - ~ o g , ) t ] - l .

Der EinfluB der auBeren Storung auf die Korrelation erscheint nun offenbar ausgedruckt durch den in der letzten Zeile stehenden Faktor, dessen Berech- nung die Diagonalisierung des Hami l t on- Operators der Storung (fur den Zwischenzustand) erfordert.

Mit BR [Gl. (3)] fuhren wir E-Matrizen ontsprechend

E ( l ) ( m ' m ) = ~ ( j , m , ~ H l ~ j m ) ( j l m l IH, l jm' )* P a )

E(2) (m m') = ,V ( i m I H, I jz m,) ( j m' I H , I j, m2)* (2b)

111,

und

ma

ein. [Man beachte, daB E( l ) (m ' rn ) nicht durch die Ersetzung 2 + 1 aus E(z)(nz'm) hervorgeht, da H, nicht Hermitesch ist').]

6) G. Goertzel, Physic.Rev. 70, 897 (1946). 7) Bei BR wird formal mit Hermiteschen Operatoren H,, H , gerechnet. Diese

Inkorrektheit spielt fur den Fall der ungestorten Korrelation praktisch keine Rolle; in unserem Fall wiirde sie aber zu einem falschen Resultat fuhren.

H . Paul u. W. Brunner: Zur Theorie der y-y-Winkelkorrelationen. I 319

Damit konnen wir fiir die Korrelationsfunktion schreiben

W = 2 BB' (3)

E(l) (m' m) E@) [m" mr") ( m I B ) (/3 1 m") (m'" I 8') (B' I m') mm'm"m"'

x [l- i(wp - COB') t]-1.

Diese Gleichung bezieht sich auf den Fall, daB sowohl die Ausbreitungs- richtung als auch die Polarisation der Lichtquanten gemessen wird. Wenn gewisse Eigenschaften der Strahlung (z. B. die Polarisation) nicht gemessen werden, ist uber die entsprechende GroQe natiirlich zu mitteln.

Wir wollen nun die AbhLngigkeit von E(l)(m'm) von der Emissions- richtung des y-Quants explizit angeben. Zu diesem Zweck gehen wir aus von der Entwicklung des Vektorpotentials einer pdarieierten ebenen Welle nach den Potentialen von Multipolfeldern (s. BR). Da der Operator Ell linear im Vektorpotential der ebenen Welle ist, iibertragt sich die genannte Entwick- lung auf diesen Operator, und es gilt

H(tlP1) = 2 LX(LMn;pJ T ( L p n ) D ( L , p M ; q 6 y ) ( 4) L M p

[s. BR, Gln. (4) und (5)l. Hier sind LX die Koeffizienten, die bei der Entwicklung des Vektorpotentials der ebenen Welle nach den Vektorpotentialen der Multi-. polfelder auftreten. L, M und in gleicher Weise p repriisentieren die Spinquan- tenzahlen (Betrag bzw. z-Komponente des Spins; L = 1, 2, . . . ; N , p = -- L, - L + 1, . . . , L ) der Multipolfelder, n bezeichne ihre Paritat [n = (- 1IL f i i r elektrische und n = (- l)L + fur magnetische 2L-Pol-Strahlung]. Unter D (L, ,U M ; pl 6 y ) sind die Darstellungskoeffizienten der (2 L + 1)-dimensio- nalen irreduziblen Darstellung 6L der dreidimensionalen Drehungsgruppe als Funktionen der Eulerschen Winkel pl6y zu veretehen. [Wir benutzen die gleiche Form der Darstellung wie Roses).] q und 6 sind als die Polarkoordi- naten (Azimut bzw. Poldistanz) der Emissionsrichtung aufzufassen, y gibt (im Falle linearer Polarisation) die Polarisationsrichtung an. (Fur zirkular polari- sierte Strahlung ist y gleich Null zu setzen.) Der Operator T ( L p n) schlieB- lich ist der Anteil des Wechselwirkungsoperators, welcher der Emission der Multipolstrahlung L p n entspricht ; er ist aus diesem Grunde ein irreduzibler Tensoroperator : er transformiert sich bei Ubergang zu einem gedrehten Koordi- natensystem gemLB der Darstellung aL der Drehungsgruppe [daher das Auf- treten der Darstellungskoeffizienten D(L, p M ; pl6 y) in Gl. (4)!]. Fiir einen solchen Operator T ( L p n) gilt bekanntlich das Wigner-Eckart-Theorem Is. I,. B. Ref. 91:

(7.1 ml I T(L p 4 I i m> = C( i L i1; m p ml) (il II T ( L 4 II i> 6 (n, n.4 .nz). (5) Hier bezeichnen C(j L jl; m p m,) den Clebsch-Gordan-Koeffizienten fur die Vektoraddition j + L = jl, m + p = %, und 6 das Kronecker- Symbol. Z A und nz seien die Paritat des Ausgangs- bzw. Zwischenzustandes des Kerns, und (jl 1 1 T (L n) I I j ) schliel3lich ist ein sogenanntes reduziertes Matrixelement, dessen Wert naturlich von der speziellen Gestalt des Operators T ( L p n) abhangt, das aber - und das ist der wesentliche Punkt - von den

+ + +

8) M.E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley & Sons, New York 1957.

320 Annalen der Physik. 7. Folge. Band 9. 1962

magnetischen Quantenzahlen unabhiingig ist. ( j , 1 1 T ( L n) 1 1 j> ist reel1 als Folge der Invarianz der Wechselwirkung gegeniiber Zeitumkehr (s. BR).

Wir weisen an dieser Stelle noch besonders darauf hin, daB die G1. (5) eine spezielle Verfiigung iiber die Phasenfaktoren der Drehimpulseigen- funktionen [ j m > , 1 j l ~ > voraussetzt: Diese Phasen sind so gewiihlt, daB sich die lj m> bei Drehung des Koordinatensystems entsprechend der ( 2 j + 1)- dimensionalen irreduziblen Darstellung 6j [ ausgedriickt durch die Darstellungs- koeffizienten D ( j , m m‘) ] transformieren.

Wenn wir unter ?c von jetzt ab gleich den ,,richtigen“ Wert n = n A . nz verstehen (der Bequemlichkeit halber lassen wir nun das Symbol n in den Formeln weg) konnen wir G1. (2a) mit Hilfe der Beziehungen (4) und (5) in ~ ( l ) ( m ’ m ) = a (LW a* (L‘M’) <jl I I T(L) I I i> <il I I T (L‘) I I i>

L M P L ’ M P’

umformen. Beachten wir die Relationen

D* (L‘, p‘ M’) = (- l ) ~ ~ ’ - p ’ D(L‘, -p‘, - M’) (7) und D(L’, -/A’, - M‘) D ( L , ,U M ) = 2 C(L‘ L V ; - p‘ ,u) C(L’ L V ; - M’ M )

v

x D (v , -p‘ + ,u, - N’ + M ) ’) (8) [s. z. B. Ref. 8 ) ] und fuhren wir die p- und p’-Summation aus, so erhalten wir aus Gl. (6)

E(l ) (m‘m) = 2 ( - l ) M ’ + m ’ - - n t ~ a ( L M ) a * ( L ’ M ’ ) ( j l IIT(L)I/j)

X (jl 1 1 TW‘) I[ i> D(v, m‘ - m, M - M‘) C(j L j , ; m, m, - m) (9) x C(jL’j,;m’,%--m‘) C(L’Lv ; m ’ - ~ , m , - m ) C ( L ’ L v ; - M ’ M ) .

L M L ’ M mlv

Fur die Summation iiber ml gilt 2 (- l)M’fm’-mi C ( j L j,; m, m1 - m) C ( j L’ j ,; m‘, m, - m’) mi

x C ( L ‘ L v ; m’ -9, q- m ) (10) = (- 1)L + L ’ - v - j , + m--M’ ( 2 jl + 1) W ( j j L L’ ; v jl) C ( j j v ; m, - m’)

(W bezeichnet den Racah-Koeffizienten), wie sich aus der GI. (11) von BR - unter Benutzung der bekannten Relationen zwischen den Cle bsc h -Gordan- Koeffizienten (s. z. B. BR, Anhang) - leicht ergibt. Damit wird E(1) (m‘ m) = 3 (- 1)L +L’--v- j , + m-M’ ( 2j1 + 1 ) a ( L M ) a* (L’ M’)

L M L‘ 41’ V

X 1 1 T(L’) 1 1 j> D(v , m’ - m, M - M ‘ ) x C(L‘ L v; - M ‘ M ) C ( j j v ; m, - m’) W ( j j L L’; v j,) .

1 1 T ( L ) 1 1 i> (11)

Wir fiihren nun mit BR die fur die emittierte Strahlung charakteristischen Parameter c,,(LL’) ein c,,(LL’) = r: ( - 1 ) L - M n * ( L M ) o((L’, M + 7 ) C ( L L ‘ v ; - M , t + M ) (12)

M

n, Wir schreiben der Kiirze halber C(jl j z j3; m1 mz) statt C(jl j 2 j3; m, m,, m, + m,).

H. Paul u. W . Brmner: Zur Theorie der y-y- Winkelkorrelationen. I 331

(uber nicht gcmessene Eigenschaften der Strahlung ist dabei zu mitteln), beachten die Beziehung

und summieren statt iiber M und M’ iiber M und tl = M’ - M . Wir gelangen so zu folgendem Resultat

~ ( L ‘ L v ; - M ‘ M ) = C(LL‘ V ; - M M’)

71%

x <jl I I T (L’) I I j ) C ~ * ~ ~ ~ ( L L ‘ ) D (vl, m’ - m, - tl)

E(2)(m m‘) = (- 1)L-m’ ( 2 j 2 + 1) 2(-1)r-rz<j2 I IT(0II j)

(13) x C(j j v l ; m, - m ‘ ) W ( j j LL‘; vl jl).

Eine analoge Rechnung fur E@)(m m’) liefert

LL’ 7lVl

x ( j z IIT(L’)IIj)c,:,*(LL’)D(v,,m--’,--z,) (14) x C ( j j v2; m, - m’) W ( j j LL’; v2 j z ) .

Wir spezialisieren uns nun auf den Fall von Richtungs-Richtungs-Kor- relationen unpolarisierter y-Quanten. Dann ist (9. BR)

cyo(LL’) = (-l)z+l V(2L + f ) (2L’ f ) C(LL’v; 1,-l)fiirgeradesv, (15) wahrend alle anderen Koeffizienten c,, (LL‘) verschwinden. Nach G1. (13) haben wir daher E ( l ) ( m ’ m ) = (- 1)”‘-jl ( 2 j l + 1) 2 (-- 1)L’+L+1 V(2L + 1) (2L’ + 1)

LL’

Unter Beachtung des Zusammenhanges

zwischen Darstellungskoeffizienten und Kugelflachenfunktionen sowie der Eigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizientenkonnen wirdann schreiben

E ( l ) ( m ’ m ) = 2 A ( l ) ( k ; ) C ( j k l j ; m ’ , u l m ) Yi:(81ql) (18)

(19)

x <il l l ~ ( L ) l ~ j ) ( j l ~ ~ ~ ( L ’ ) ~ ~ j ) C ( L ~ ’ k ; 1 , - l ) w ( ~ ~ L L ’ ; kj,)

kit+ k, (gerade)

mit AW(k) = (- 1)j1--.j-1 2 (- l)L’L’1/(2L+T) (2L’ + 1) ( 2 j +1)

LL’

(wobei wir noch einen uninteressanten konstanten Faktor weggelassen haben). Da praktisch nur die FWle reiner Multipolstrahlung Ll und einer aus zwei

Anteilen Ll und Li gemischten Strahlung auftreten, vereinfacht sich der letzte Ausdruck zu

AW(k) = pk(Lljl j ) - 2 ( - 1 ) L + Z ; + j l - j 1! (2Ll+ 1) (2-G + 1) ( 2 j + 1) x Gk(L1 L! jl j ) 81 + Fk(L; jl j ) (19‘)

322 Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 9. 1962

wobei noch die bei BR tabulierten Ausdrucke F, und G, eingefuhrt wurden

pV(~jlj) = (- 1 ) ~ ~ - ~ - 1 ~ ~ ( 2 ~ ~ 1 ) c ( L ~ ~ ; l , - l ) W ( j j L L ; v j l ) (20a)

C,(LL' jl j ) = C(LL'v; 1, - 1) W ( j j LL'; v j,). ( 2 W

6 - ( i 2 II W') II i ) - 0 1 IIT(L*)Il i) *

Der Faktor (j, I( T(L,) ( 1 i), wurde weggelassen. 6, bezeichnet das Mischungs- verhiiltnis

(21)

(Fur reine Multipolstrahlung ist 6, gleich Null.) Entsprechend ergibt sich

E(2)(m'' m"') = Y A(2)(k2) C(j k, j ; m"'p2m") Y::*(82v,) (22) k*Bn

(k,gerade) mit

Die Koeffizienten III(4 k,; lu, p,) allein enthalten die Information uber den Zwischenzustand des Kerns. Unsere Absicht geht dahin, diese Ausdriicke fur den Fall zu berechnen, da13 die Aufspaltung des Zwischenniveaus durch ein kristallines elektrisches Feld mit einer Symmetrieachse und ein gleichzeitig von au13en angelegtes homogenes Magnetfeld hervorgerufen wird. Die Sym- metrieachse des elektrischen Feldes soll dabei gegenuber der Richtung des Magnetfeldes beliebig orientiert sein; im Endergebnis interessiert der Mittel- wert der Koeffizienten I I I (4 k,; k p,) uber alle moglichen Richtungen, da ein Kristallpulver als Quelle Verwendung finden soll, das sich ja aus Mikro- kristallen verschiedener Orientierungen zusammensetzt.

Um die Koeffizienten 111 (k , k, ; f i p,! auszurechnen, muB zunachst das Eigenwertproblem gelost werden, das &e Eigenvektoren ( m I @) und die Eigenwerte ti wp liefert. Wir werden in Teil I1 dieser Arbeit das genannte Problem explizit formulieren und Relationen zwischen den einzelnen III- Koeffizienten herleiten, die den Rechenaufwand vermindern. Die Losung des Eigenwertproblems wird numerisch durchgefiihrt werden.

Zeuthen bei Berlin, Kernphysikalisches Institut der Deutschen Aka- demie der Wissenschaften zu Berlin.

Bei der Redaktion eingegangen am 14. Mfmz 1962.