Žvaigždžių vidinės sandaros lygtys

Energijos lygtis Judėjimo lygtis Hidrostatinės pusiausvyros lygtis Spindulinės pernašos lygtis

Žvaigždžių vidinės sandaros lygtys

qrdr

dFr

F

Tdr

dT

rdr

dmr

mG

dr

dP

2

23

2

2

4

416

3

4

qdm

dF

r

F

Tdm

dT

rdm

drr

mG

dm

dP

223

2

2

)4(16

3

4

14

(1)

(2)

(4)

(3)

•Hidrostatinės pusiausvyros lygtis•Masės pasiskirstymo lygtis

•Spindulinės pernašos lygtis•Energijos lygtis

1. Pavienės žvaigždės yra izoliuoti objektai

Astumas iki artimiausios žvaigždės Kentauro 4,3 l.y. Šis dydis 3107 karto didesnis už Saulės skersmenį.

Analogija – mūsų kaimynas žemėje gyventų atstume 3107 vidutinis žmogaus ūgis 50 000 km.

-----------------Žvaigždės sukuriamas spindesys atvirkščiai proporcingas nuotolio kvadratui:F(r)1/r2 1/(3107)2 10-15

Žvaigždės. Pagrindinės prielaidos

2. Žvaigždžių pradinė cheminė sudėtis apytikriai yra vienoda

Vandenilis – 70%Helis – 30 %Mažai sunkesnių elementų – O, C, N ir kt.

Žvaigždės. Pagrindinės prielaidos

Pvz.: Saulėje 10 000 atomų tenka 1000 He atomų, 8 deguonies atomai, 4 anglies atomai, 1 azoto atomas, 1 neono atomas, kitų atomų mažiau negu 1.

Žvaigždžių cheminė sudėtis nusakoma atskirų elementų gausa pagal masę.X-vandenilis, Y- helis, Z- sunkesni elementai. X+Y+Z=1

Apskaičiuokime H, He, C, O, N ir Ne kiekį Saulėje – X, Y, ZC, ZN, ZO, ZNe.

Žvaigždės. Pagrindinės prielaidos

Tegul žvaigždės masės elemente m yra 10 000 vandenilio atomų. Tada:

m10 0001 +10004 + 816 + 412+114 +12214212

0094.0168

2815.041000

7036.0110000

mZ

mY

mX

O 0015.0221

0010.0141

0034.0124

mZ

mZ

mZ

Ne

N

C

Žvaigždės. Pagrindinės prielaidos

3. Žvaigždes laikysime sferiškai simetriškomisNukrypimus nuo sferinės simetrijos sukelia žvaigždžių sukimasis ir magnetiniai laukai. Tačiau gravitacinė ryšio energija žymiai didesnė už kinetinę sukimosi energiją ir magnetinio lauko sukuriamą energiją.

Žvaigždės. Pagrindinės prielaidos

drrrrm

drrdm

r

)(4)(

4

2

0

2

Masės pasiskirstymo lygtis

Žvaigždės. Pagrindinės prielaidos

Uždavinys. Žvaigždės masė M. Tolstant nuo žvaigždės centro tankis mažėja pagal dėsnį:

2

1R

rc

Kur tankis žvaigždės centre, R žvaigždės spindulys.Rasti:• m(r)• sąryšį tarp M ir R• parodyti, kad vidutinis žvaigždės tankis yra

c

c4.0

Lokalinė termodinaminė pusiausvyra

Kai vidutinis laisvasis dalelių kelias tarp dviejų dalelių susidūrimų yra daug mažesnis negu sistemos matmenys, pasiekiam lokali termodinaminė pusiausvyra.

LTE – Local Thermodynamic Equilibrium

Lokalinė termodinaminė pusiausvyra

Fotonų laisvasis kelias yra žymiai trumpesnis negu žvaigždės matmenys. Todėl dujos ir spinduliai žvaigždės viduje yra lokalinėje termodinaminėje pusiausvyroje kiekviename žvaigždės taške (nors visoje žvaigždėje temperatūra nėra vienoda irpastovi).

Lokalinė termodinaminė pusiausvyra

Pavyzdžiui, Saulės spinduliams keliaujant per Žemėsatmosferą termodinaminė pusiausvyra pažeidžiama.Spindulių temperatūra apie 6000 K, atmosferos dujų apie 300 K, t.y. daugiau negu 20 kartų žemesnė.

Ūkuose, kuriuos apšviečia žvaigždės, jonizuotų dujų,elektronų ir jonų temperatūros būna skirtingos.

Energijos lygtis(masės elemento energijos pokytis)

Tegul u ir P yra masės vieneto elemento energija ir slėgis.

Tegul Q yra sugertas šilumos kiekis (Q>0) arba išspinduliuotas šilumos kiekis (Q<0), W yra atliktas darbas per labai mažą laiko intervalą t.

Tada masės elemento dm energijos pokytis bus:

WQudmudm )(const

Energijos lygtis(masės elemento darbas)

Darbas:

dmPdmdm

dVPdVPW

1

Papildomos energijos šaltiniai tūrio elemente gali būti:a) Branduolinių reakcijų energija – pažymėkime ją q. b) Šiluminės energijos kiekis patenkantis į tūrio elementą

ir iš jo išspinduliuojamas – pažymėkime jį F(m).Aišku, kad žvaigždės paviršiuje F(M)=L

Energijos lygtis(masės elemento šilumos kiekis)

Šilumos kiekis:

tdmm

FqQ

dmm

FmFdmmF

tdmmFtmFtdmqQ

)()(

)()(

Energijos lygtis

Surašome W ir Q vertes į vidinės energijos pokytį nusakančią lygtį:

1

1

tP

m

Fq

t

u

dmPtdmm

Fqudm

Energijos lygtis

ut

u

t

ut

,0 kaim

Fq

tP

t

u

1

dm

dF

m

Fm

Fq

0

dm

dFq

Energijos lygtis

br

M

br

M M

LL

dmqL

dFdmq

dm

dFq

0

0 0

L

Tam kad būtų išlaikyta termodinaminė pusiausvyra, reikia, kad kiek energijos buvo pagaminta tiek ir būtų išspinduliuota.

Judėjimo lygtis

Žvaigždės masės elementas:

dSdrm

Judėjimo lygtis

Masės elementą veikia dviejų rūšių jėgos:a) gravitacijos jėga, sukuriama spindulio r rutuliob) Jėgos, kurias sukuria elementą supančių dujų slėgis.

Judėjimo lygtis

Masės elementą veikiančioms jėgoms užrašome II Niutonodėsnį:

1

)()(

)()(

2

2

2

r

P

r

mGr

m

r

P

r

mmGmr

drr

PrPdrrP

dSdrrPdSrPr

mmGmr

Hidrostatinės pusiausvyros lygtis

0r

g

r

P

r

mGr

1

2

Jei pagreitis labai mažas (elementas nejuda):

2r

mG

dr

dP Hidrostatinės pusiausvyros lygtis

Minuso ženklas reiškia slėgis mažėja didėjant r, t.y. į žvaigždės išorę.

Hidrostatinės pusiausvyros lygtis

r

P

r

mGr

2

Ir jei vietoj nepriklausomo kintamojo r įvesime nepriklausomą kintamąjį m (žinome, kad )Tada:

)4/( 2rdmdr

m

Pr

r

mGr

22

4

44 r

mG

dm

dP

Minuso ženklas reiškia slėgis mažėja didėjant r, t.y. į žvaigždės išorę.

Slėgis žvaigždės centre

Įvertinkime slėgį žvaigždės centre. Tam suintegruokimehidrostatinės pusiausvyros lygtį nuo 0 iki M.

M

r

mdmGPMP

044

)0()(

,)0( CPP 0)( MP

MM

C R

dmmG

r

dmmGP

04

04 44

rR

Slėgis žvaigždės centre

2

42

134

2

104.48

mN

R

R

M

M

R

GMPC

Suintegravus:

Slėgis žvaigždės centre

Užd. Žvaigždės masė M, spindulys R. Rasti slėgį Pc žvaigždės centre ir patikrinti, ar galioja nelygybė

4

2

8 R

MGPc

Šiais atvejais:a) Tankis visame žvaigždės tūryje yra pastovusb) Tankis kinta pagal dėsnį:

2

1R

rc

Slėgis žvaigždės viduryje

Užd. Apskaičiuokite slėgį Saulės viduryje

(r=R/2). Tarkime, kad Saulės tankis pastovus ir lygus .

Saulės masė: 1,9891030 kgSaulės spindulys: 7108 m

Virialo teoremaNusako sąryšį tarp gravitacinės potencinės energijos ir kinetinės energijos laisvų dalelių sistemoje:

2

1U

Gravitacinė potencinė energija

Kinetinė energija

Virialo teorema

Hidrostatinės pusiausvyros lygtis:

44 r

mG

dm

dP

3

3

4rV

M

P r

dmmGVdP

0

0

3

1

Virialo teorema

M

r

dmmG

0

Gravitacinė potencinė energija – energija, kurią turi dm masės elementas krentantis iš begalybės:

Virialo teorema

V

P

R PdVPVVdP0

00][

0

V

PdV0

3

dmPM

0

3

dVdm

Virialo teorema

Tegul medžiagos (idealiųjų dujų) tankis ρ, temperatūra T, vidutinė atominė masė . Tada slėgis:

TkP

Masės vieneto kinetinė energija:

PkT

u2

3

2

3

M

udmU0 2

1 2

1U

Spindulinės pernašos lygtisSpindulių srautas susilpnės dydžiu:

drHdH kur medžiagos absorbcijos (opacity) koeficientas.

reHH 1)( -vidutinis laisvasis fotono kelias

Spindulinės pernašos lygtis

Bedimensinis dydis vadinamas optiniu gyliu irnusako medžiagos skaidrumą spinduliavimui:

drd

Didelis optinis gylis gali būti dėl didelio fizinio gylio dr, dėl didelio medžiagos tankio ar didelio medžiagos absorbcijos koeficiento .

Spindulinės pernašos lygtisMedžiagos ir spindulių sąveika:

1. Fotonus sklaido laisvieji elektronai(Compton sklaida, nereliatyvistiniu atveju Thompson sklaida).

2. Laisvi-laisvi perėjimai – fotonus sugeria laisvieji elektronai, kurie pereina į aukštesnį energetinį lygmenį.

3. Surišti-laisvi perėjimai – fotojonizacija4. Surišti-surišti perėjimai- atomų sužadinimas, kai

surištas elektronas pereina į aukštesnį energetinį lygmenį.

Surišti-surištiSurišti-laisvi-jonizacijaLaisvi-laisvi

Perėjimų rūšys

Absorbcijos koeficientų priklausomybė nuo temparatūros T Įvairioms tankio vertėms. Skaičiai reiškia log (g cm-3). Saulės cheminė sudėties žvaigždė.

Spindulinės pernašos lygtis

Per laiko vienetą medžiagos absorbuota spinduliavimoenergija sukuria jėgos momentą:

cdH /

Jėga bus spinduliavimo slėgio pokytis:

drdrdPdrrPrP radradrad )/()()(

drdrdPcdH rad )/(/

drHdH

Spindulinės pernašos lygtis

dr

dP

c

H rad

dr

dTaT

dr

dP

aTP

rad

rad

3

4

3

43

1

dr

dTacTH

3

4 3

Spinduliuoja kaip absoliučiai juodas kūnas

Per vienetinį plotą

Spindulinės pernašos lygtis

Spindulių srautas per paviršiaus r sferą:

dr

dTacTrF

3

44

32

23 44

3

r

F

Tacdr

dT

Arba:

223 )4(4

3

r

F

Tacdm

dT

Žvaigždžių vidinės sandaros lygtys

qrdr

dFr

F

Tdr

dT

rdr

dmr

mG

dr

dP

2

23

2

2

4

416

3

4

qdm

dF

r

F

Tdm

dT

rdm

drr

mG

dm

dP

223

2

2

)4(16

3

4

14

(1)

(2)

(4)

(3)

•Hidrostatinės pusiausvyros lygtis•Masės pasiskirstymo lygtis

•Spindulinės pernašos lygtis•Energijos lygtis

Elektromagnetinių spindulių srauto slėgis

Apskaičiuokite bet kokių dalelių esančių stačiakampiame tūryje sukuriamą slėgį. Dalelių skaičius N .

zyx

c

TPS

4

3

4

Elektromagnetinių spindulių srauto slėgis

dV

c×dt

dA

dw

I