ZX

家齊高中 / 黃峻棋 老師

數學考科

Z X C V00843-23

發行人∕陳炳亨 出　版∕民國一〇六年七月

總召集∕陳彥良 發行所∕7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號

總編輯∕蔣海燕 編輯部∕7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 -1 號

主　編∕江欣穎 電　話∕(06)2619621 #312

校　對∕羅蔣偉‧蔡東聖 E-mail∕periodical@hanlin.com.tw

美　編∕黃屏慈‧杜政賢  翰林官網 https://www.hle.com.tw

 本書內容同步刊載於翰林官網

【試題．答案】依據大考中心公布內容

106指考

2

試題分析ZX

家齊高中 / 黃峻棋 老師

數學甲

最近三年指考數學甲五標的比較表如下：

103指考數學甲五標 104指考數學甲五標

頂標 前標 均標 後標 底標 頂標 前標 均標 後標 底標

68 59 45 30 19 67 56 40 25 16

105指考數學甲五標

頂標 前標 均標 後標 底標

75 65 47 27 15

試題的難易度難免讓五標分數來回擺盪，如果從最近三年的分數來看，105年算是較理想的試題。但是，今年因為少子化的關係，讓許多學校的學測錄取分數大幅下

降，指考是否也會如此，值得我們持續關注。

指考試題的難易度，我把它分成三類：

1　中等偏易的題型：

　　1　以 103指考為例：單選 1、2，選填 A、B。　　2　以 104指考為例：單選 1、2，選填 C，計算一。　　3　以 105指考為例：單選 1、4，選填 C。2　中等的題型：

　　1　以 103指考為例：單選 3、4，多選 6、9，計算一。　　2　以 104指考為例：單選 3、4，多選 5、6、7、8，選填 A。　　3　以 105指考為例：單選 2、3，多選 5、6，選填 A、B，計算一。3　中等偏難的題型：

　　1　以 103指考為例：多選 5、7、8，計算二。　　2　以 104指考為例：選填 B，計算二。　　3　以 105指考為例：多選 7，選填 D，計算二。個人認為一份最好的數甲試題，如果五標的分布是（75，65，50，35，25），這

樣應該最能區分出學生程度的好壞。對學生而言，只要能掌握中等或中等偏易的所有

題目，數甲這科就立於不敗之地了。

一 前  言

3

數學甲

試題分析二 數甲考試重點 （打★者是104指考考過的重點）　打★者是105指考考過的重點

1數與式

2多項式函數

3指數與對數函數

4機　率

4

5三　角

6直線與圓

7平面向量

5

數學甲

8空間向量

9空間中的平面與直線

0矩　陣

q機率統計

6

w三角函數

e極限與函數

r多項式函數的微積分

7

數學甲

三 106 大學指考數學甲試題分布

題號 題型 命題出處 考試重點（測驗目標） 難易度

1 單選 第二冊第三章　機率 古典機率的定義 易

2 單選 第一冊第三章　 指數與對數函數 指數不等式 易

3 單選選修數學甲（上）第二章　

三角函數三角函數的圖形 中

4 單選選修數學甲（下）第二章　

多項式函數的微積分微積分基本定理 中偏易

5 多選 第三冊第三章　平面向量 向量內積 中偏難

6 多選選修數學甲（上）第二章　

三角函數

棣美弗定理、複數的 n 次方根

中

7 多選選修數學甲（下）第二章　

多項式函數的微積分切線方程式 中

A 選填選修數學甲（上）第一章　

機率統計期望值 中偏易

B 選填 第三冊第二章　直線與圓 直線方程式（坐標化） 中偏易

C 選填選修數學甲（下）第一章　

極限與函數數列的極限 中偏易

D 選填第四冊第二章　 空間中的平面與

直線兩平面的夾角 中偏易

一 計算 第四冊第三章　矩陣 旋轉矩陣 中偏難

二 計算

第四冊第一章　空間向量

選修數學甲（下）第二章　

多項式函數的微積分

空間坐標化、函數的極值 中偏難

8

四 結　論

1　 試題難易度中等偏難。第一冊 6分、第二冊 6分、第三冊 15分、第四冊 23分、選修

數甲 50分。

2　 單選 3考三角函數圖形交點。但直接作圖很難判斷正確的交點數，必須利用解方程式

的概念輔助判別，算是很容易造成失誤的試題。

3　 多選 5考向量內積。題目雖不難，但計算很繁瑣，如果學生沒有控制好時間，恐怕會

影響後面計算題的答題時間。

4　 多選 6考棣美弗定理。可以用 n次方根的公式解題，也可以利用特殊公式來解，解題

技巧靈活。

5　 選填題算是整份考卷中較簡單的部分，同學只要觀念清楚，應該可以拿到分數。

6　 以往指考的計算題都會有一題簡單一題較難的情形，但是今年的兩題計算量都很大，

只要不小心，就拿不到分數了。第二題更是如此，如果無法將立體圖形坐標化，這題

恐怕全軍覆沒。

　　我預估今年的五標大概 70，60，45，25，15。同學參考看看。 F

9

數學甲

ZX

家齊高中 / 黃峻棋 老師

數學甲

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占76分）

一、單選題（占24分）

說明：�第1題至第4題，每題有�5�個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得�6�分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 從所有二位正整數中隨機選取一個數，設 p是其十位數字小於個位數字的機率。關於 p值的範圍，試選出正確的選項。1 0.22Np<0.332 0.33Np<0.443 0.44Np<0.554 0.55Np<0.665 0.66Np<0.77

2

第二冊第三章　機率

古典機率的定義

難 易 度 易類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 27頁題型 1

所有二位數 10∼ 99，共 90個數 則選出的二位數，其十位數字小於個位數字的機率

p=C 2

9

90=

3690=

410=0.4

故選2

2 設 a=3 10。關於 a5的範圍，試選出正確的選項。

1 25Na5<30

2 30Na5<35

3 35Na5<40

4 40Na5<45

5 45Na5<50

10

5

第一冊第三章　指數與對數函數

指數不等式

難 易 度 易類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 21頁題型 4

a=3 10 ! a5=（

3 10）5=

3 105=10 3 100

>10*4.5⋯⋯ ∴ 45Na5

<50 故選5

3 試問在 0NxN2π的範圍中，y=3sinx的函數圖形與 y=2sin2x的函數圖形有幾個交點？

1 2個交點2 3個交點 3 4個交點4 5個交點 5 6個交點

4

選修數學甲（上）第二章　三角函數

三角函數的圖形

難 易 度 中類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 116頁題型 11例 2

（解法一） 作圖如右

y=3sinx !週期 2π 且-3NyN3 y=2sin2x !週期 π 且-2NyN2 共有 5個交點

（x=0，0<x<π2，x=π，

3π2<x<2π，x=2π）

故選4

11

數學甲

（解法二）

令 3 sinx=2sin2x =4．sinx．cosx ! sinx（4cosx-3）=0

∴ sinx=0或 cosx=34

若 sinx=0 ! x=0，π，2π

若 cosx=34

! 0<x<π2或

3π2<x<2π

∴共有 5個解（交點） 故選4

4 已知一實係數三次多項式 f（x）在 x=1有極大值 3，且圖形 y= f（x）在

（4﹐ f（4））之切線方程式為 y- f（4）+5（x-4）=0，試問 4

1 f "（x）dx之值為

下列哪一選項？ 1-52-33 04 35 5

1

選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

微積分基本定理

難 易 度 中偏易類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 171頁題型 18例 3

∵ f（x）在 x=1有極大值 3 ! f '（1）=0且 f（1）=3 又 y= f（x）在（4﹐ f（4））的切線斜率為-5 ∴ f '（4）=-5 由微積分基本定理

4

1 f "（x）dx=f '（x）│1

4=f '（4）-f '（1）

=-5-0=-5 故選1

12

二、多選題（占24分）

說明：�第5題至第7題，每題有�5�個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所

有選項均答對者，得�8�分；答錯�1�個選項者，得�4.8�分；答錯�2�個選項者，得�1.6�分；答錯多於�2�個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5 設 au與 av為兩非零向量，夾角為 120n。若 au與 au+av垂直，試選出正確的選項。1 au的長度是 av的長度的 2倍2 av與 au+av的夾角為 30n 3 aau與 au-av的夾角為銳角4 av與 au-av的夾角為銳角5 au+av的長度大於 au-av的長度

23

第三冊第三章　平面向量

向量內積

難 易 度 中偏難類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 45頁題型 1例 2

∵ aur（au+av）! au．（au+av）=0 !│au│2

+au．av=0 ∴ │au│2

=-au．av=-│au│*│aav│*cos120n

! │au│2=

12│au│*│aav│

!│aav│=2│au│ 令 │au│=t，則 │aav│=2t

1*：│au│=12│aav│

2○：av．（au+av）=au．av+│aav│2=t*2t*cos 120n+4t2

=3t2

　　　又 │au+av│2=│au│2

+│aav│2+2au．av

=t2+4t2

+2*t*2t*cos120n=3t2

　　　∴│au+av│= 3t 　　　設 av與 au+av的夾角為 θ 　　　∴ av．（au+av）=│aav│*│au+av│*cosθ=2t* 3t*cosθ=3t2

　　　∴ cosθ= 32，θ=30n

13

數學甲

3○： │au-av│2=│au│2

+│aav│2-2au．av=t2

+4t2-2*t*2t*cos120n

=7t2

　　　∴│au-av│= 7t 　　　∴ au．（au-av）=│au│2

-au．av=t2-t*2t*cos120n=2t2

>0 　　　∴ au與（au-av）夾銳角 4*：av．（au-av）=au．av-│aav│2

=t*2t*cos 120n-4t2=-5t2

<0 　　　∴ av與（au-av）夾鈍角 5*：承23，│au+av│= 3t，│au-av│= 7t 　　　∴│au+av│<│au-av│ 故選23

6 已知複數 z滿足 zn+z-n

+2=0，其中 n為正整數。將 z用極式表示為 r（cosθ+i sinθ），且 r>0。試選出正確的選項。1 r=12 n不能是偶數3 對給定的 n，恰有 2n個不同的複數 z滿足題設

4 θ可能是 3π7

5 θ可能是 4π7

14

選修數學甲（上）第二章　三角函數

棣美弗定理、複數的 n次方根難 易 度 中類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 122頁題型 16例 3

zn+

1zn +2=0 !（zn

）2+2．（zn

）+1=0

!（zn+1）2

=0 ∴ zn

=-1=cos（2k+1）π+i sin（2k+1）π，k=0，1，2，⋯，n-1

! zk=cos（2k+1）π

n+i sin

（2k+1）πn

，k=0，1，2，⋯，n-1⋯（＊）

1○：r=1 2*：n可以是偶數（z2

=-1 ! z=8i，有解） 3*：恰有 n個不同的根

14

4○：由（＊），令 k=1，n=7時，z1=cos3π7+i sin

3π7，

　　　∴ θ可能是 3π7

5*：由（＊），θ不可能是 4π7

故選14

7 設實係數三次多項式 f（x）的首項係數為正。已知 y= f（x）的圖形和直線 y=g（x）在 x=1相切，且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。1 f（1）=g（1）2 f '（1）=g'（1）3 f "（1）=04存在實數 a_1使得 f '（a）=g'（a）5存在實數 a_1使得 f "（a）=g"（a）

123

選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

切線方程式

難 易 度 中類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 153頁題型 5

∵ y= f（x）與 y=g（x）相切且兩圖形只有一個交點 ∴ y=g（x）通過 y= f（x）的反曲點，即切點（1﹐ f（1））為反曲點 1○：∵ y= f（x）與 y=g（x）在 x=1時相切 　　　∴ f（1）=g（1） 2○：承1， f '（1）=g'（1） 3○：∵（1﹐ f（1））為 y= f（x）的反曲點 　　　∴ f "（1）=0 4*：∵兩圖形只有一交點，且（1﹐ f（1））為切點 　　　∴當 a_1時， f '（a）_g'（a） 5*：當 a_1時， f "（a）皆不等於 g"（a）=0 故選123

15

數學甲

三、選填題（占28分）

說明：�1 第 A. 至 D. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8～ 18）。

　　　�2 每題完全答對給 7 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 某高中一年級有忠、孝、仁、愛四班的籃球隊，擬由經抽籤決定的下列賽程進行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）：

假設忠班勝過其他任何一班的機率為 45，孝班勝過其他任何一班的機率為

15，

仁、愛兩班的實力相當，勝負機率各為 12。若任一場比賽皆須分出勝負，沒有

和局。如果冠軍隊可獲得 6000元獎學金，亞軍隊可獲得 4000元獎學金，則孝班可獲得獎學金的期望值為890元。

880選修數學甲（上）第一章　機率統計

期望值

難 易 度 中偏易類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 91頁題型 1

孝班可獲得獎學金的情形：

（冠軍：第一場勝且第二場勝）或（亞軍：第一場勝且第二場敗）

∴ E=15*

15*6000+

15*

45*4000

=22000

25=880（元）

B. 坐標平面上有三條直線 L、L1、L2，其中 L為水平線，L1、L2的斜率分別為 34、

-43。已知 L被 L1、L2所截出的線段長為 30，則 L、L1、L2所決定的三角形的

面積為qwe。

16

216第三冊第二章　直線與圓

直線方程式（坐標化）

難 易 度 中偏易類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 37頁題型 1例 2

將圖形坐標化

令 L：y=k，L1：3x-4y=0，L2：4x+3y=0

∴ A（4k3﹐k），B（-

3k4﹐k）

又 AB=4k3-（-

3k4 ）=

25k12=30

∴ k=36025=

725

∴△OAB面積=12*30*

725=216

C. 坐標平面上，x坐標與 y坐標均為整數的點稱為格子點。令 n為正整數，Tn為

平面上以直線 y=-　1　

2nx+3，以及 x 軸、y 軸所圍成的三角形區域（包含邊

界），而 an為 Tn上的格子點數目，則 liman

n=rt。

12選修數學甲（下）第一章　極限與函數

數列的極限

難 易 度 中偏易類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 130頁題型 2

作圖如右，A（6n﹐0），B（0﹐3） ∴ Tn為 △OAB內部的區域（含邊界）

x 0∼6n 0∼4n 0∼2n 0

y 0 1 2 3

∴ an=（6n+1）+（4n+1）+（2n+1）+1 =12n+4

∴ liman

n= lim

12n+4n

=12

n→ ∞

n→ ∞ n→ ∞

17

數學甲

D. 坐標空間中，平面 ax+by+cz=0與平面 x=0、x+ 3y=0的夾角（介於 0n到 90n之間）都是 60n，且 a2

+b2+c2

=12，則（a2﹐b2﹐c2）=（y﹐u﹐i）。

（3﹐1﹐8）或（3﹐9﹐0）第四冊第二章　空間中的平面與直線

兩平面的夾角

難 易 度 中偏易類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 55頁題型 4

令 E1：ax+by+cz=0 !法向量 an1=（a﹐b﹐c）

　 E2：x=0 !法向量 an2=（1﹐0﹐0） 　 E3：x+ 3y=0 !法向量 an3=（1﹐ 3﹐0）

由 E1，E2夾角，得 cos60n=│an1││an2│

│an1．an2│!

12=│a│

12*1

（∵ a2+b2

+c2=12）

! a=8 3

由 E1，E3夾角，得 cos60n=│an1││an3│

│an1．an3│!

12=│a+ 3b│

12*2

!│a+ 3b│=2 3　∴ b=81或83 ∵ a2

+b2+c2

=12，又 a2=3，b2

=1或 9 當 a2

=3，b2=1時，c2

=8 當 a2

=3，b2=9時，c2

=0 故（a2

﹐b2﹐c2）=（3﹐1﹐8）或（3﹐9﹐0）

第貳部分：非選擇題（占24分）

說明：�本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否

則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得

使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、 在坐標平面上，考慮二階方陣 A=15

4 -33 4

所定義的線性變換。對於平面上

異於原點 O的點 P1，設 P1經 A變換成 P2，P2經 A變換成 P3。令 a=OP1。

　　1　 試求 sin（eP1OP3）。（4分）　　2　 試以 a表示 △P1P2P3的面積。（4分）

　　3　 假設 P1是圖形 y=1

10x2-10上的動點，試求 △P1P2P3面積的最小可能

值。（4分）

18

1 2425；2

325

a2；3 9

第四冊第三章　矩陣

旋轉矩陣

難 易 度 中偏難類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 80頁題型 5

A=15

4 -33 4

=

45-

35

35

45

　∴ A是旋轉矩陣

且 A= cosθ -sinθsinθ cosθ

，即 cosθ=45，sinθ=

35

1　由題意知，P3即是將 P1旋轉 2θ所得之點 　∴ sineP1OP3=sin2θ=2sinθcosθ

　 =2*35*

45=

2425

2　△P1P2P3的面積=△OP1P2+△OP2P3-△OP1P3

　 =12*a*a*sinθ+

12*a*a*sinθ-

12*a*a*sin2θ

　 =6

10a2-

1225

a2=

325

a2

3　∵ P1是 y=1

10x2-10上的動點　∴令 P1（k ﹐

110

k2-10）

　 又 a=OP1= k2+（

110

k2-10）

2

　 ∴ △P1P2P3面積=325

a2=

325（k2

+（110

k2-10）

2

） 　 令面積為 f（k）! f '（k）=

325（2k+2（

110

k2-10）*

15

k） 　 令 f '（k）=0 ! 2k+

25

k（110

k2-10）=0 !

25

k（5+110

k2-10）=0

　 ∴ k=0或 k2=50，k=85 2

　 當 k=0時，面積=325*（0+100）=12

　 當 k=85 2時，面積=325*（50+25）=9

　 ∴面積最小值為 9

19

數學甲

二、 坐標空間中，O（0﹐0﹐0）為原點。平面 z=h（其中 0NhN1）上有一以（0﹐0﹐h）為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取 8 點構成正八邊形P0P1P2P3P4P5P6P7，使得各線段 OPj（0NjN7）的長度都是 1。請參見示意圖。

　　1　 試以 h表示向量內積aOP0．aOP4。（4分）　　2　 若 V（h）為以 O為頂點、正八邊形 P0P1P2P3P4P5P6P7為底的正八角錐體

積，試將 V（h）表為 h的函數（註：角錐體積=13底面積*高）。（2分）

　　3　 在aOP0和aOP4夾角不超過 90n的條件下，試問正八角錐體積 V（h）的最大值為何？（6分）

1 2h2-1；2

2 23（h-h3

）；3 13

第四冊第一章　空間向量

選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

空間坐標化、函數的極值

難 易 度 中偏難類 似 題 《大滿貫複習講義-數學甲》第 51頁題型 1、第 161頁題型 11

如題圖，設圓心為 H、P0（ 1-h2﹐0﹐h），

則 P4（- 1-h2﹐0﹐h）

1 aOP0．aOP4=-（1-h2）+h2

=2h2-1

2 ∵ H坐標為（0﹐0﹐h） 　∴ P0H= 1-h2

　∴正八邊形面積 A（h）

　　=12* 1-h2

* 1-h2*sin45n*8

　　=2 2（1-h2）

　∴ V（h）=13*A（h）*h=

2 23（1-h2

）*h

　 =2 2

3（h-h3

）

20

3 ∵ 1-h2M0 ! 0NhN1⋯⋯⋯⋯⋯1

　且aOP0．aOP4=2h2-1M0（∵夾角不超過 90n）

　∴ hM1

2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

　由1、2可得1

2NhN1

　∴ V'（h）=2 2

3（1-3h2

），令 V'（h）=0

　得 h=81

3（不合）

　∴當 h=1

2時，V（h）有最大體積=

2 23*（

22-

24 ）

=2 2

3*

24=

13

F