マサカリ駆動学習 #1 群・半群・モノイド@gomi_ningen
CAUTION
内容が往々にして間違っている可能性がある
マサカリ歓迎(人格否定はNO)
今日の目標 モノイドについて理解する
目標達成までの道のり 1. 群を理解する
2. アーベル群を理解する
3. 半群を理解する
4. モノイドを理解する
群
Group
DEFINITION OF GROUP
【定義】集合G とその二項演算 * が,次の性質を持つとき(G, *) を群とよぶ
1. 結合法則: 任意の g, h, k ∈ G に対して g * (h * k) = (g * h) * k
2. 単位元の存在: g * e = e * g = g なる e ∈ G が存在する
3. 逆元の存在: g * x = x * g = e なる x ∈ G が存在する
EXAMPLE OF GROUP
整数 Z (… ,-2, -1, 0 ,1 , 2, …)と足し算 + の対 (Z, +) は群になります
1. 結合法則: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) → TRUE 他のどんな整数でもこれが成り立つはずです
2. 単位元の存在: 3 + 0 = 0 + 3 = 3 → TRUE (Z, +) に対して,単位元は 0 になります
3. 逆元の存在: 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 → TRUE (Z, +) に対して,すべての x ∈ Z の逆元は -x になります
EXAMPLE OF GROUP
自然数 N (0, 1 , 2, …)と足し算 + の対 (N, +) は群になりません
1. 結合法則: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) → TRUE 他のどんな整数でもこれが成り立つはずです
2. 単位元の存在: 3 + 0 = 0 + 3 = 3 → TRUE (N, +) に対して,単位元は 0 になります
3. 逆元の存在: 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 → FALSE -3 は自然数 N ではない.
※ 自然数は0から始まる流儀と1から始まる流儀があるらしい
アーベル群(可換群)
Abelian Group
DEFINITION OF ABELIAN GROUP
【定義】群 (Z, *) に対して次が成り立つときアーベル群
1. 交換法則: 任意の x, y∈ Z に対して x * y = y * x
EXAMPLE OF ABELIAN GROUP
整数 Z と足し算 + の対 (Z, +) はアーベル群になります
2次正則行列 GLn(R) はアーベル群にはなりません→ 行列の積について一般には A B ≠ B A
半群
Semigroup
DEFINITION OF SEMIGROUP
【定義】集合G とその二項演算 * が,次の性質を持つとき(G, *) を半群とよぶ
1. 結合法則: 任意の g, h, k ∈ G に対して g * (h * k) = (g * h) * k
2. 単位元の存在: g * e = e * g = g なる e ∈ G が存在する
3. 逆元の存在: g * x = x * g = e なる x ∈ G が存在する
モノイドMonoid
DEFINITION OF MONOID
【定義】集合G とその二項演算 * が,次の性質を持つとき(G, *) をモノイドとよぶ
1. 結合法則: 任意の g, h, k ∈ G に対して g * (h * k) = (g * h) * k
2. 単位元の存在: g * e = e * g = g なる e ∈ G が存在する
3. 逆元の存在: g * x = x * g = e なる x ∈ G が存在する
半群 ⊂ モノイド ⊂ 群 ⊂ アーベル群