マサカリ駆動学習 #1 群・半群・モノイド@gomi_ningen

CAUTION

内容が往々にして間違っている可能性がある

マサカリ歓迎（人格否定はNO）

今日の目標 モノイドについて理解する

目標達成までの道のり 1. 群を理解する

2. アーベル群を理解する

3. 半群を理解する

4. モノイドを理解する

群

Group

DEFINITION OF GROUP

【定義】集合G とその二項演算 * が，次の性質を持つとき(G, *) を群とよぶ

1. 結合法則: 任意の g, h, k ∈ G に対して g * (h * k) = (g * h) * k

2. 単位元の存在: g * e = e * g = g なる e ∈ G が存在する

3. 逆元の存在: g * x = x * g = e なる x ∈ G が存在する

EXAMPLE OF GROUP

整数 Z (… ,-2, -1, 0 ,1 , 2, …)と足し算 + の対 (Z, +) は群になります

1. 結合法則: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) → TRUE 他のどんな整数でもこれが成り立つはずです

2. 単位元の存在: 3 + 0 = 0 + 3 = 3 → TRUE (Z, +) に対して，単位元は 0 になります

3. 逆元の存在: 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 → TRUE (Z, +) に対して，すべての x ∈ Z の逆元は -x になります

EXAMPLE OF GROUP

自然数 N (0, 1 , 2, …)と足し算 + の対 (N, +) は群になりません

1. 結合法則: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) → TRUE 他のどんな整数でもこれが成り立つはずです

2. 単位元の存在: 3 + 0 = 0 + 3 = 3 → TRUE (N, +) に対して，単位元は 0 になります

3. 逆元の存在: 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 → FALSE -3 は自然数 N ではない．

※ 自然数は0から始まる流儀と1から始まる流儀があるらしい

アーベル群（可換群）

Abelian Group

DEFINITION OF ABELIAN GROUP

【定義】群 (Z, *) に対して次が成り立つときアーベル群

1. 交換法則: 任意の x, y∈ Z に対して x * y = y * x

EXAMPLE OF ABELIAN GROUP

整数 Z と足し算 + の対 (Z, +) はアーベル群になります

2次正則行列 GLn(R) はアーベル群にはなりません→ 行列の積について一般には A B ≠ B A

半群

Semigroup

DEFINITION OF SEMIGROUP

【定義】集合G とその二項演算 * が，次の性質を持つとき(G, *) を半群とよぶ

1. 結合法則: 任意の g, h, k ∈ G に対して g * (h * k) = (g * h) * k

2. 単位元の存在: g * e = e * g = g なる e ∈ G が存在する

3. 逆元の存在: g * x = x * g = e なる x ∈ G が存在する

モノイドMonoid

DEFINITION OF MONOID

【定義】集合G とその二項演算 * が，次の性質を持つとき(G, *) をモノイドとよぶ

1. 結合法則: 任意の g, h, k ∈ G に対して g * (h * k) = (g * h) * k

2. 単位元の存在: g * e = e * g = g なる e ∈ G が存在する

3. 逆元の存在: g * x = x * g = e なる x ∈ G が存在する

半群 ⊂ モノイド ⊂ 群 ⊂ アーベル群