Коммутативные группы
• Группа коммутативная или абелева, если
Примеры абелевых групп:
Примеры неабелевых групп: • группы подстановок• группа всех аффинных преобразований плоскости
Теоремы Лагранжа и Силова
• Если , то делит
• Если число вида делит , то
Остаток от деления
Для любых и существуют и однозначно определены , такие, что
Число — остаток от деления на , или вычет числа по модулю .Обозначение:
Равенство по модулю
Если
то пишут
и говорят, что и равны по модулю
Мы ещё будем обозначать это так:
Равенство по модулю
Утверждение.Пусть и .Тогда
Равенство по модулю
Доказательство:По условию,
Отсюда
Следовательно,
Равенство по модулю
Отсюда
Аналогично, .Следовательно,
Равенство по модулю
Утверждение.Если , то для любого .
Доказательство: индукцией по с использованием предыдущего утверждения.
Пример вычислений по модулю
Задача.Какому числу из равно по модулю значение выражения ?
Решение:
Аддитивная группа вычетов
Утверждение.Множество чисел
образует группу относительно операции , где — это такое число , что ( — операция сложения по модулю )
Пример. Если мы работаем в , то
Операцию будем обычно обозначать просто
Аддитивная группа вычетов
Утверждение.Множество чисел образует группу относительно операции .
Доказательство:
• Ассоциативность операции:
Пусть и . Тогда , где , и следовательно
Аналогично, . Так как и , то .
Аддитивная группа вычетов
Продолжение доказательства:
• Нейтральный элемент:
• Существование обратных элементов:
Для обратный элемент .
Для обратным будет , т.к.
Циклические группы
Определение.Если конечная группа изоморфна группе , то называется циклической группой.Также циклическими называют бесконечные группы, изоморфные группе .
Циклические группы
Примеры циклических групп:• Группа поворотов плоскости относительно начала координат
на угол, кратный • для любого (определение см. дальше)• Группа чисел вида относительно умножения (при фиксированном
)
Порядок элемента
Пусть — группа с операцией Порядком элемента называется такое наименьшее , для которого
где — нейтральный элемент в .Если такого не существует, порядок элемента считается равным .Обозначается порядок так:
Порядок элемента
Утверждение.У каждого элемента в конечной группе есть конечный порядок.Доказательство:В последовательности обязательно возникнет повторение: для
Отсюда сразу следует, что .
Циклические подгруппы
Для каждого обозначим
По определению положим
где — нейтральный элемент группы.
Циклические подгруппы
Утверждение.Пусть и . Тогда множество
является подгруппой группы , и .
Доказательство:
Нейтральный элемент .При для элемента обратным будет элемент .
При этом , поскольку если и , то .
Циклические подгруппы
Утверждение.Пусть и . Тогда множество
образует циклическую группу, изоморфную
Доказательство:Изоморфизм очевиден:
Тогда поскольку , то
то есть сохраняет групповую операцию, ч.т.д.
Циклические подгруппы
Утверждение.Пусть и . Тогда множество
образует циклическую группу, изоморфную
называется подгруппой, порождённой элементом , обозначается:
Мультипликативная группа вычетовУтверждение.Множество чисел
образует группу относительно операции .
— операция умножения по модулю .
По определению , если и
Примеры: в имеем
Операцию будем обычно обозначать просто
Мультипликативная группа вычетовУтверждение.Множество чисел
образует группу относительно операции .
Доказательство:• Ассоциативность доказывается, как и для • Нейтральный элемент: • Нетривиально только существование обратных элементов…
Мультипликативная группа вычетовДоказательство существования обратных:Пусть и . Так как конечно, то в последовательности
есть повторяющиеся элементы.То есть для некоторых .Заметим, что элемент и будет обратным к .
Мультипликативная группа вычетов
Поскольку , то
Так как и взаимно просты, то отсюда следует
А значит
то есть, по определению, обратен к .
Мультипликативная группа вычетовУтверждение.Множество чисел
образует группу относительно операции .
Следствие.Для любого простого множество образует мультипликативную группу относительно умножения по модулю .
Функция Эйлера
Через обозначается функция Эйлера:
Примеры:
• для любого
• для любого простого
Теорема Эйлера—Ферма
Теорема.Если — взаимно простые числа, то
Доказательство:Пусть . Достаточно доказать, что
Заметим, что , и рассмотрим группу .Имеем , .
Теорема Эйлера—Ферма
Имеем , .Поскольку — подгруппа , то по теореме Лагранжа получаем
для некоторого .Отсюда
Теорема Эйлера—Ферма
Теорема.Если — взаимно простые числа, то
Следствие. (Малая теорема Ферма)Для любого простого и для любого
Пример вычислений по модулю,с применением теоремы ФермаЗадача.Какому числу из равно по модулю значение выражения ?
Решение: