信号系统信号与系统分析概述
第一章 信号与系统概论
1.1 信号1.1.1 信号的分类 信号的分类方法很多,可以从不同
的角度对信号进行分类。在信号与系统分析中,我们常以信号所具有的时间函数特性来加以分类。这样,信号可以分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等。
1. 确定信号与随机信号 确定信号是指能够以确定的时间函
数表示的信号,在其定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等。
确定信号与随机信号波形
2. 连续时间信号与离散时间信号
连续时间信号是指在信号的定义域内,任意时刻都有确定的函数值的信号,通常用 f(t) 表示。连续时间信号最明显的特点是自变量 t 在其定义域上除有限个间断点外,其余是连续可变的。例如,正弦信号为连续时间信号。
连续时间信号波形与离散时间信号波形
3. 周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。连续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为
f(t)=f(t+nT), n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞
f=f(k+nN), n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k 取整数 )
4. 能量信号与功率信号 如果把信号 f(t) 看作是随时间变化的电压
和电流,则当信号 f(t) 通过 1Ω 电阻时,信号在时间间隔 - T≤ t≤T 内所消耗的能量称为归一化能量,即为
而在上述时间间隔 - T≤ t≤T 内的平均功率称为归一化功率,即为
2lim ( )T
TTW f t dt
21lim ( )
2
T
TTP f t dt
T
如下图依次为:脉冲信号,持续时间无限而幅度有限的非周期信号为功率信号;持续时间无限,幅度也无限的非周期信号为非功率、非能量信号;单位斜坡信号 t·u(t) 。
三种非周期信号
当然,上述定义式是连续时间信号 f(t)的归一化能量W和归一化功率P的定义,对于离散时间信号 f[k] ,其归一化能量W与归一化功率P的定义分别为
2
2
lim [ ]
1lim [ ]
2
N
NN
N
NN
W f k
P f kN
5. 实信号与复信号
实信号—— f(t)=f*(t) ,它是一个实函数。
f*(t) 为 f(t) 的共轭函数。 复信号—— f(t)≠f*(t) ,它是一个复函数,即: f(t)=f1(t)+jf2(t) 式中 f1(t) 与 f2(t) 均为实函数。
实际信号一般都是实信号,但是为了简化运算,常常引用复信号并以其实部或虚部表示实际信号。例如,常用复指数信号
exp(jωt)=cosωt+jsinωt 表示余弦、正弦信号;常用 exp(-σt+jωt)=e-σt cosωt+je-σt
sinωt 表示幅度衰减的余弦、正弦振荡信号等等。
1.1.2 信号的基本运算与波形变换
1. 加法运算 任一瞬间的和信号值 y(t) 或 y[k] 等于同一瞬间相
加信号瞬时值的和。即 y(t)=f1(t)+f2(t)
或 y[k]=f1[k]+f2[k]
2. 乘法运算 任一瞬时的乘积信号值 y(t) 或 y[k] 等于同一瞬时
相乘信号瞬时值的积。即 y(t)=f1(t)·f2(t) y[k]=f1[k]·f2[k]
3. 数乘 ( 标乘 ) 信号 f1(t) 或 f1 [ k ]和一个常数 a 相乘的积。
即 y(t)=a·f1(t) y[k]=a·f1[k]
4. 微分 信号的微分是指信号对时间的导数。可表示为
5. 积分 信号的积分是指信号在区间 (-∞ , t) 上的积分。
可表示为
( ) ( ) ( )d
y t f t f tdt
( 1)( ) ( ) ( )t
y t f d f t
信号的微分
£1£2 10 2
1
f ( t )
t
(a )
£1£2 10 2
1
t
£1
(b )
t
tf
d
)(d
0 t
f ( t )
1
1
0 t1
1
tfty d)()(
信号的积分
6. 反转 以变量- t 代替 f(t) 中的独立自变量 t ,可得反
转 信 号 f(-t) 。 它 是 f(t) 以 纵 轴 (t=0) 为 转 轴 作180° 反转而得到的信号波形,如下图所示。
离散时间信号及反转波形
连续时间信号及反转波形
7. 平移 以变量 t- t0 代替信号 f(t) 中的独立变量 t ,得信号 f(t- t0) ,它是信号 f(t) 沿时间轴平移 t0 的波形。这里 f(t) 与 f(t-t0) 的波形形状完全一样 , 只是在位置上移动
了 t0(t0 为一实常数 ) 。 t0 >0 , f(t) 右移; t0 <0 , f(t) 左移;平移距离为 | t0 | 。 下图表示连续时间信号的平移。这类信号在雷达、声纳
和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号 f(t- t0) 和原信号 f(t) 在时间上的迟延,可以探测目标和震源的距离。
0 1 2 3 4£1£2
1
2
f ( t )
0 1 2 3 4£1£2
1
2
f ( t£ 2 )
t t
(a ) (b )
连续时间信号的平移
8. 展缩 ( 尺度变换 ) 以变量 at 代替 f(t) 中的独立变量 t 可得 f(at) ,
它是 f(t) 沿时间轴展缩 ( 尺度变换 ) 而成的一个新的信号函数或波形。信号 f(at) 中, a 为常数 ,|a|>1时表示 f(t) 沿时间轴压缩成原来的 1/|a| 倍; |a|<1时表示 f(t) 沿时间轴扩展为原来的 1/|a| 倍。
例图中 (a) 、 (b) 、 (c) 分别表示 f(t) 、 f(2t) 、f(t/2) 的波形。
0 1 2 3 4£1£2
f (t)
t£3
1
2
0 1 2 3 4£1£2 t£3£4
1
2
0 1 2 3 4£1£2 t£3£4
1
2
)2(
tf
(c)(b)(a)
f (2 t)
f(t) 、 f(2t) 、 f(t/2) 的波形
9. 综合变换 以变量 at+b 代替 f(t) 中的独立变量 t ,可得一
新的信号函数 f(at+b) 。当 a> 0时,它是 f(t) 沿时间轴展缩、平移后的信号波形;当 a< 0时,它是f(t) 沿时间轴展缩平移和反转后的信号波形,下面举例说明其变换过程。
例: 已知信号 f(t) 的波形如图所示,试画出信号 f(-
2-t) 的波形。 解 f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2)) 可分解为 f(t)—— f(-(t)) —— f(-(t+2))
t→-t t→t+2
反转 平移
信号的反转、平移
0 1 2£1
f ( t )
t
1t — £ t
0 1 2£1
£2
f (£ t )
t
1 t ¡ª t £«2
0 1 2£1£2
f (£( t £«2))
t
1
£3
£4
£1£1 £1
(a ) (b ) (c )
信号的反转、展缩与平移
£1
£2
10 2
1
t
(b )
£1
£1£2 10
2
1
f ( t )
t
(a )
£1
£1
£2 10 2
1
f (£2 t )
t
(c )
2
1£1
£1£2 10 2
1
f (£2( t £1 ))
t
(d )
2
3£1
通过以上分析,可以归纳出普通信号基本变换的一般步骤:
(1) 、若信号 f(t)→f(at+b) ,则先反转,后展缩,再平移;
(2) 、若信号 f(mt+n)→f(t) ,则先平移,后展缩,再反转;
(3) 、若信 号 f(mt+n)→f(at+b) , 则先实现f(mt+n)→f(t) ,再进行 f(t)→f(at+b) 。
1.2 系统 为了说明系统的基本概念,我们分析
如图1 . 1 4(a) 所示的RC一阶动态电路。图中电容C具有初始电压UO ,开关K在
t=0时刻闭合,且有U S>UO ,使电容充电。
u C ( t )
U S
U O
O t
£«
£
U S u C ( t )
£«
£
R
C
K
t £½0
(a ) (b )
RC 电路与电容电压
由一阶动态电路知识可知,若以电容电压U C(t) 为变量,该电路的动态方程式为
其全解为 1 1
( ) 0
( ) (1 ) 0
CC S
RC RCC O S
duRC u t U t
dt
u t U e U e t
单输入单输出系统方框图
f ( t ) y ( t )
y (0 )
整个系统可用上图所示的方框图表示。其中 ψ表示系统的功能作用,它取决于系统的内部结构与元件参数。系统的输出响应 y(t) 是系统的初始状态 y(0) 与输入激励 f(t) 的函数,即
y(t)=ψ[y(0),f(t)],t≥0
当系统的输入激励有多个,系统的初始状态也有多个时,系统响应 y(t) 是这多个输入激励与多个初始状态的函数,即
y(t)=ψ[x1(0),x2(0) ,… ,f1(t),f2(t),…]
1.2.1 系统的分类 系统可按多种方法进行分类。不同类型的系统其系统分析的过程是一样的,但系统的数学模型不同,因而其分析方法也就不同。
1. 连续时间系统与离散时间系统 系统的输入和输出是连续时间变量 t
的函数,叫作连续时间系统。输入用f(t) 表示 ,输出用 y(t) 表示。
2. 线性系统与非线性系统 线性系统是指具有线性特性的系统,线性
特性包括均匀性与叠加性。线性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程。
系统具有叠加性是指当若干个输入激励同时作用于系统时,系统的输出响应是每个输入激励单独作用时 ( 此时其余输入激励为零 ) 相应输出响应的叠加,系统的均匀性和叠加性可表示如下:
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
f t y t
n f t n y t
叠加性: 若 f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t) 则 f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t) 线性特性要求系统同时具有均匀性和叠加性。线
性特性可表示为 若 f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t) 则 a·f1(t)+b·f2(t)→a·y1(t)
+b·y2(t) 式中 a 、 b为任意常数,上式下图所示。
系统的线性特性示意图
f1( t ) y
1( t )
f2( t ) y
2( t )
a ¡¤ f1 ( t )£«b¡¤ f2 ( t ) a ¡¤ y 1 ( t )£«b¡¤ y 2 ( t )
系统的零输入响应 yx(t)绝对不应与 f(t) 有关,而系统的零状态响应 yf(t) 也不应与初始状态有关。于是,当线性系统既存在外部输入激励同时又具有初始状态时,系统的输出响应必定是零输入响应与零状态响应的叠加,称之为完全响应,以y(t) 表示,即有
y(t)=yx(t)+yf(t)
同理,对于具有线性特性的离散时间系统,应有以下表达式若
f1[k]→y1[k],f2[k]→y2[k] 则 a·f1[k]+b·f2[k]→a·y1[k]+b·y2[k] 式中 a 、 b 为任意常数。同样,系统的完全响应可表示为
y[k]=yx[k]+yf[k]
3. 非时变系统与时变系统 一个系统,如果在零状态条件下,其输出的响应
与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变时,就称为非时变系统。否则,就称为时变系统。非时变系统的特性沿时间轴是均匀的,当输入激励延时一段时间作用于系统时,其零状态响应也延时同样的一段时间,且保持输出的波形不变。这就是非时变特性,可表示为若
f(t)→yf(t)
则 f(t-t0)→yf(t-t0)
同理,对于非时变离散时间系统,可表示为 若 f[k]→yf[k] 则 f[k-n]→yf[k-n] 式中, n 为任意整数。
非时变系统示意图
f ( t )
t1
1
0
f ( t ) yf ( t )
y (0)£½0
y f ( t )
t1
1
0 2
yf ( t£ t
0)
t
1
0 t 0 t 0 £«1 t 0 £«2
f ( t£ t0)
t
1
0 t 0 t 0 £«1
4. 记忆系统与即时系统 如果系统在任意时刻的响应仅决定于该时
刻的激励,而与它过去的历史无关,则称之为即时系统 ( 或无记忆系统 ) 。全部由无记忆元件 ( 如电阻 ) 组成的系统是即时系统。即时系统可用代数方程来描述。如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关,而且与它过去的历史有关,则称之为记忆系统 ( 或动态系统 ) 。含有动态元件 ( 如电容、电感 ) 的系统是记忆系统,记忆系统可用微分方程来描述。
5.集总参数系统与分布参数系统 集总参数系统仅由集总参数元件 ( 如R、L、C等 ) 所组成。对于集总参数系统,人们认为系统的电能仅储存在电容中,磁能仅储存在电感中,而电阻是消耗能量的元件,同时还认为,在这样的系统中电磁能量的传输不需要时间,作用于系统任何处的激励,能立即传输到系统各处。
6. 因果系统与非因果系统 因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时才产生输出响应的系统。这就是说,因果系统的输出响应不会出现在输入信号激励之前。反之,不具有因果特性的系统称为非因果系统。一般地说,一个常系数线性微分方程式或差分方程式描述的系统,如果当 t>0 时输入信号为零,而此时的零状态响应也为零。
1.2.2 系统模拟与相似系统 连续系统的模拟通常由三种功能部件组成:
积分器、相加器和数乘器,它们的时域表示符号如下图所示。
连续时间系统的模拟器件
tf d)(f ( t )
f1 ( t )
f2( t )
f1 ( t )£« f2 ( t )
£«
£«
a 1f ( t ) a 1 f ( t )
1.3 信号与系统分析概述 信号与系统是相互依存的整体。信号必定由系统产生、发送、传输与接收,离开系统没有孤立存在的信号;同样,系统也离不开信号,系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理。没有信号,系统就没有存在的意义。因此在实际应用中,信号与系统必须成为相互协调的整体,才能实现信号与系统各自的功能。
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