第三章 证明(三)
3.1.3 三角形的中位线
创设情境,导入新课 有一张三角形纸片,只剪一刀,如何拼接成
一个平行四边形? 你能证明四边形 DBCF 为 平行四边形吗?
B C
A
D E F
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线。
一个三角形有三条中位线 .
B C
A
D E
猜一猜:三角形的中位线有何性质? 小组讨论,互相交流
B C
A
D E
已知:如图,DE是△ ABC 的中位线求证:DE∥BC,DE = BC
12
B C
A
D E 证明( 1):延长DE至 F,使 EF=DE,连接 CF
∵AE= CE,∠ AED=∠ CEF,∴△ADE≌△CFE∴AD= CF,∠ ADE=∠ F∴BD∥CF∵AD= BD
∴BD= CF∴四边形 BCFD是平行四边形
∴DF∥BC,DF= BC∴DE∥BC,DE=BC
12
F
证明( 2 ):∵AD = BD , AE = CE
∴ = =
∵ ∠A =∠ A
∴△ADE∽ ABC△ ∴ = , ADE∠ =∠ B
∴DE BC∥ , DE = BC
B C
A
D E ADAB
DEBC
12
AEAC
12
12
三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第
三边的一半。
几何语言: ∵ DE 是△ ABC 的 ABC BC B C
A
D E
∴DE∥BC,DE=12
如图: A 、 B 两地被池塘隔开,现要测量出 A,B两地的距离,给你的工具只有皮尺,你能想办法测量出来吗?
A .
B.
C
D
O
在空地上取一点 O ,分别连接 AO 、BO ,并延长 , 使 A0 = DO , BO =CO ,量出 CD 的长即为 A,B 两地的距离。
小明是这样做的:先在 AB 外选一点 C ,然后测出AC , BC 的中点 M , N ,再测出 MN 的长,由此他就知道了 AB 间的距离。你知道他是怎么算的吗?你能设法验证吗 ?
A .
B.
M
C N
结论 : 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
运用巩固
①已知三角形三边长分别为 6, 8, 10,顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少?
如果三边的长分别为 a、 b、 c,那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少?
周长是 12
周长是(a+b+c)
12
② 已知三角形的面积是 S, 顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少?
4
1面积是 S
② 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗 ? 已知 : 如图 ,D,E,F 分别是△ ABC 各边的中点
.FCBFDE
求证 : △ABC≌△ABC≌△ABC
证明 :∵ D,E,F 分别是△ ABC 各边的中点 .
.DBADEF .EACEFD
( 三角形的中位线平行于第三边 , 且等于第三边的一半 ).
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
B C
A
D E
F
已知:在四边形 ABCD 中, E 、 F 、 G 、 H 分别是AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点。猜想:四边形 EFGH 的形状有什么特征?证明你的结论。
运用巩固
G
C
A
E
B F
DH
课堂小结
知识方面:三角线的中位线 , 三角线中位线定理
技能方面: 中位线定理证明过程中辅助线的添加
证明 “中点四边形”的辅助线的方法,连接对角线。
运用巩固
思考1. 四边形 ABCD 是平行四边形时 , 四边形 EFGH 是什么特殊图形 ?
A E
B
G CF
DH
运用巩固
思考2. 四边形 ABCD 是矩形时,四边形 EFGH 是什么特殊图形 ?
AE
B
G CF
DH
运用巩固
思考3. 四边形 ABCD 是菱形时,四边形 EFGH 是什么特殊图形 ?
E
B
A
CF
DH
G
布置作业
教科书 85 页 习题 3.3 1.2.3.4