第十四讲 : 运动存在性
考点解读考题解析
【概念解读】 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个
或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静 ,灵活运用有关数学知识解决问题
动点问题一般分为两种情况:一是运动后研究其位置或图形形状的变化;二是运动后研究其函数模型的建立。
【考题解析】
【考题解析】例 1、如图,已知在直角梯形 ABCD 中, AD BC ∥ ,
∠ B=90° , AB=8cm, AD=24cm, BC=26cm,AB 为⊙ O 的直径,动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D ,以 1cm/ 秒的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿 CB 向点 B 以 3 厘米 / 秒的速度运动, P 、 Q 分别从点 A 点 C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t秒,求:1 ) t分别为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形?2 ) t分别为何值时,直线 PQ 与⊙ O 相切、相交、相离? A DP
B
O
Q C·
【考题解析】解⑴∵ AD∥BC ,∴只要 QC=PD ,则四边形 PQ
CD 为平行四边形, ∴ t=6 ,∴当 t=6 秒时,四边形 PQCD 为平行四边形 . 又由题意,只要 PQ=CD , PD≠QC ,则四边形 PQCD为等腰梯形则 EF=PD , QE=FC=2 .
∴t=7 ,∴当 t=7 秒时,四边形 PQCD 为等腰梯形。
A DP
B
O
Q C
·
)]24(3[2
12 tt
A DP
B
O
Q C
·
【考题解析】2 )设运动 t 秒时,直线 PQ 与⊙ O 相切于点 G ,过 P
作 PH⊥BC 于点 H ,则 PH=AB=8 , BH=AP , ∴ HQ=26-3t-t=26-4t 由切线长定理,得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t 由勾股定理,得 222 HQPHPQ
即 (26-2t)2=82+(26-4t)2
∴3t2-26t+16=0 8,3
221 tt 或
, 直线 PQ 与⊙ O 相切。秒时或秒当 83
221 tt
A DP
B
O
Q C
·
G
【考题解析】
C
A DP
B
O
Q
·
t=0秒 C
A DP
B
O
Q
·
秒3
2tA DP
B
O
Q C
·
t=8 秒
A DP
B
O
Q C
·
秒3
26t
当 (秒)时, Q 点运动到 B 点, P 点尚未运动到 D 点,但也停止运动,此时, PQ 也与⊙ O 相交。
3
26t
【概念解读】
C
A DP
B
O
Q
·
秒3
2t
A DP
B
O
Q C
·
A DP
B
O
Q C
·
t=8 秒当时 ,直线 PQ 与⊙ O 相离。83
2 t
【考题解析】
, 直线 PQ 与⊙ O 相切。
秒时或秒当 83
221 tt
当 0≤ 或 8<t≤ (秒)时,直线 PQ与⊙ O 相交;
3
2t
3
26
, 直线 PQ 与⊙ O 相切。
秒时或秒当 83
221 tt
当时 ,直线 PQ 与⊙ O 相离。83
2 t
【重点讲解】例 3 、如图,把一张边长为 a 的正方形 ABCD 的纸
片进行折叠,使 B 点落在 AD 上,问 B 点落在 AD的什么位置时,折起的面积最小,并求出这个最小值。
E
N
M
C
D
B
G
A
解:设 MN 为折痕, AE=x,折起部分为梯形 EGNM , B 、 E 关于 MN 对称,连结 BE ,交 MN 于 O ,则 MN BE⊥ , ME=MB. 设 MB=ME=l.则 AM=a-l在 Rt AME△ 中, 作 NF AB⊥ 于 F ,
∴ ∠BMO+ MBO=90°∠∠FMN+ MNF=90° ∠
l2=(a-l)2+x2
a
axl
2
22
∴ ∠MBO= MNF∠ ∵ FN=AB=a ∴ Rt MNF Rt EBA △ ≌ △
【能力提高】∴FM=AE=x 从而 CN=BM - FM
= x
a
ax
2
22
设折起部分为梯形 EGNM 的面积为 y
BCBMCNy )(2
1
aa
axx
a
axy
)
22(
2
1 2222
22
8
3)
2(
2
1a
axy
∴ 当 时,梯形 EGNM 的面积最小2
ax 2
8
3a
学以致用学以致用【思维拓展】例 . 如图 , 在矩形 ABCD 中, AB=12 厘米, BC=6 厘米。点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2 厘米/ 秒的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点A 以 1 厘米 / 秒的速度移动。如果 P 、 Q 同时出发,用 t(秒)表示移动的时间( 0≤t≤6 ),那么:当 t为何值时,以点 Q 、 A 、 P 为顶点的三角形与△ ABC 相似? D
A B
Q
C
P
【思维拓展】 学以致用学以致用解:根据题意,可分为两种情况来研究。在矩形 ABCD中: 1 )当 时,△ QAP~ ABC△ ,
BC
AP
AB
QA
那么有 , 6
2
12
6 tt
解得 t=1.2( 秒 ) ,
即当 t=1.2( 秒 ) 时,△ QAP ABC∽△ 。
2 )当 时,△ PAQ ABC∽△ , AB
AP
BC
QA
那么有 ,解得 t=3 (秒)。12
2
6
6 tt
即当 t=3 秒时,以点 Q 、 A 、 P 为顶点的三角形与△ ABC 相似
作业作业
1、基础练习。2、提高练习。
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