Решение заданий Решение заданий
В10 В10 по материалам открытого по материалам открытого
банка банка
задач ЕГЭ по математике 2014 задач ЕГЭ по математике 2014
годагода
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»развития»г. Радужныйг. Радужный
Автор: учитель математики Автор: учитель математики Е.Ю. СемёноваЕ.Ю. Семёнова
Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 7, AA1 = 6.
№№11
С1
В1
А
С
В
D
А1
D1
5
7
6
Решение. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов трех его измерений: BD1
2 = AB2 + BC2 + BB12
BD12 = AB2 + AD2 + AA1
2
BD12 = 52 + 72 + 62 =
= 25 + 49 + 36 = 110
Ответ: 110.
Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 12, AA1 = 5.
№№22
Решение. Диагональ грани прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора в п/у ADD1):
АD12 = AD2 + DD1
2
АD12 = AD2 + AA1
2
АD12 = 122 + 52 = 132
АD1 = 13Ответ: 13.
С1
В1
А
С
В
D
А1
D1
4
12
5
Найдите угол AC1C прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 15, A1D1 = 8, AA1 = 17. Ответ дайте в градусах.
№№33
Решение. Угол AC1C найдем из п/у AСС1,
в котором известен катет СС1 = АА1 = 17, а катет АС
найдем по теореме Пифагора в п/у AВС: АС2 = AВ2 + ВС2 AC2 = 152 + 82 = 172 AC = 17. Значит AСС1 − р/б,
AC1C = 45.
Ответ: 45.
С1
В1
А
С
В
D
А1
D1
15
8
17
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 41. Найдите расстояние между точками F и B1.
№№44
Ответ: 84.
С1
В1
41А
С
В
D
F
E
А1
D1
F1
E1
Решение. Расстояние между точками F и B1 найдем из п/у FBB1, в котором известен катет BB1 = 41, а катет FB является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 41√3. По теореме Пифагора в п/у FBB1 : FB1
2 = FВ2 + FB12
FB1 2 = (41√3)2 + 412 =
= 412(3 + 1) = 412 2∙ 2; FB1 = 41 2 = 84∙ .
№№55
Ответ: 145.
С1
В1
29√5А
С
В
D
F
E
А1
D1
F1
E1
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 29√5. Найдите расстояние между точками A1 и D.
Решение. Расстояние между точками D и A1 найдем из п/у AA1D, в котором известен катет AA1 = 29√5, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 58√5. По теореме Пифагора в п/у AA1D : DA1
2 = DA2 + AA12
DA1 2 = (29√5)2 + (58√5)2 =
= 292(5 + 20) = 292 5∙ 2; DA1 = 29 5 = 145∙ .
№№66
Ответ: 2.
С1
В1
30А
С
В
D
F
E
А1
D1
F1
E1
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 30. Найдите тангенс угла AD1D.
Решение. Рассмотрим п/у AD1D, в котором известен катет DD1 = 30, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 60.tgAD1D = AD : DD1 = 60 : 30 = 2
№№77
Ответ: 60.
С1
В1
20А
С
В
D
F
E
А1
D1
F1
E1
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 20. Найдите угол СВЕ. Ответ дайте в градусах.
Решение. Рассмотрим п/у СВЕ, в котором известен катет ВС = 20, а катет ВЕ является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 40.cosСВЕ = ВС : ВЕ = 20 : 40 = 0,5СВЕ = 60
№№88
Ответ: 60.
С1
В1
31А
С
В
D
F
E
А1
D1
F1
E1
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 31. Найдите угол С1СЕ1. Ответ дайте в градусах.
Решение. Рассмотрим п/у С1СЕ1 , в котором известен катет СС1 = 31, а катет С1Е1 является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 31√3.tgС1СЕ1 = E1С1 : CC1 =
= 31√3 : 31 = √3СВЕ = 60
№№99
Ответ: 9.
Найдите расстояние между вершинами D и В1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение. Рассмотрим п/у В1ВD, в котором катет BB1 = 12 – 6 = 6, а катет BD2 = AD2 + AB2 = 32 + 62 = 45DB1
2 = DB2 + BB12 = 45 + 36 = 81
DB1 = 9.С1
В1
А
СВ
D
А1
D1
С2
В2
А2
D2
6
12
3
6
2
№№1010
Ответ: 65.
Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение. Рассмотрим п/у DD2В2, в котором катет DD2 = 5, а катет B2D2
2 = A2D22 + A2B2
2 B2D2
2 = 62 + 22 = 40DB2
2 = DD22 + B2D2
2 = 25 + 40 = 65.
С1
В1
АС
В
D
А1
D1
С2
В2
А2
D2
6
5
6
1
2
№№1111
Ответ: 34.
Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение. Рассмотрим п/у DD2С2, в котором катет DD2 = 5, а катет D2С2 = 3DС2
2 = DD22 + D2С2
2 DС2
2 = 25 + 9 = 34.С1
В1
АС
В
D
А1
D1
С2
В2
А2
D2
8
5
4
2
3
№№1212
Ответ: 13.
Найдите расстояние между вершинами C и B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Решение.
Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке.
Рассмотрим п/у B2СМ, в котором катет МС = 12, а катет B2М2 = B2C2
2 + C2М2 = = 32 + (6 – 2)2 = 25B2C2 = B2M2 + MC2 = = 25 + 122 = 169B2C = 13.
С1
АС
В
D
А1
D1
С2
В2
А2
D2
6
12
3
6
2
В1
М
№№1313
Ответ: 344.
Найдите квадрат расстояния между вершинами А2 и С1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке.
С1
В1
АС
В
D
А1
С2А2
D2
14
14
12 7
12
Рассмотрим п/у А2С1М, в котором катет МС1 = 14 – 12 = 2, а катет А2М2 = A2D2
2 + D2М2 = = 122 + 142 = 340A2C1
2 = A2M2 + MC12 =
= 340 + 4 = 344.
МВ2
D1
Используемые материалы
• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года