Решение заданий Решение заданий

В10 В10 по материалам открытого по материалам открытого

банка банка

задач ЕГЭ по математике 2014 задач ЕГЭ по математике 2014

годагода

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»развития»г. Радужныйг. Радужный

Автор: учитель математики Автор: учитель математики Е.Ю. СемёноваЕ.Ю. Семёнова

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 7, AA1 = 6.

№№11

С1

В1

А

С

В

D

А1

D1

5

7

6

Решение. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов трех его измерений: BD1

2 = AB2 + BC2 + BB12

BD12 = AB2 + AD2 + AA1

2

BD12 = 52 + 72 + 62 =

= 25 + 49 + 36 = 110

Ответ: 110.

Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 12, AA1 = 5.

№№22

Решение. Диагональ грани прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора в п/у ADD1):

АD12 = AD2 + DD1

2

АD12 = AD2 + AA1

2

АD12 = 122 + 52 = 132

АD1 = 13Ответ: 13.

С1

В1

А

С

В

D

А1

D1

4

12

5

Найдите угол AC1C прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 15, A1D1 = 8, AA1 = 17. Ответ дайте в градусах.

№№33

Решение. Угол AC1C найдем из п/у AСС1,

в котором известен катет СС1 = АА1 = 17, а катет АС

найдем по теореме Пифагора в п/у AВС: АС2 = AВ2 + ВС2 AC2 = 152 + 82 = 172 AC = 17. Значит AСС1 − р/б,

AC1C = 45.

Ответ: 45.

С1

В1

А

С

В

D

А1

D1

15

8

17

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 41. Найдите расстояние между точками F и B1.

№№44

Ответ: 84.

С1

В1

41А

С

В

D

F

E

А1

D1

F1

E1

Решение. Расстояние между точками F и B1 найдем из п/у FBB1, в котором известен катет BB1 = 41, а катет FB является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 41√3. По теореме Пифагора в п/у FBB1 : FB1

2 = FВ2 + FB12

FB1 2 = (41√3)2 + 412 =

= 412(3 + 1) = 412 2∙ 2; FB1 = 41 2 = 84∙ .

№№55

Ответ: 145.

С1

В1

29√5А

С

В

D

F

E

А1

D1

F1

E1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 29√5. Найдите расстояние между точками A1 и D.

Решение. Расстояние между точками D и A1 найдем из п/у AA1D, в котором известен катет AA1 = 29√5, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 58√5. По теореме Пифагора в п/у AA1D : DA1

2 = DA2 + AA12

DA1 2 = (29√5)2 + (58√5)2 =

= 292(5 + 20) = 292 5∙ 2; DA1 = 29 5 = 145∙ .

№№66

Ответ: 2.

С1

В1

30А

С

В

D

F

E

А1

D1

F1

E1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 30. Найдите тангенс угла AD1D.

Решение. Рассмотрим п/у AD1D, в котором известен катет DD1 = 30, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 60.tgAD1D = AD : DD1 = 60 : 30 = 2

№№77

Ответ: 60.

С1

В1

20А

С

В

D

F

E

А1

D1

F1

E1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 20. Найдите угол СВЕ. Ответ дайте в градусах.

Решение. Рассмотрим п/у СВЕ, в котором известен катет ВС = 20, а катет ВЕ является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 40.cosСВЕ = ВС : ВЕ = 20 : 40 = 0,5СВЕ = 60

№№88

Ответ: 60.

С1

В1

31А

С

В

D

F

E

А1

D1

F1

E1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 31. Найдите угол С1СЕ1. Ответ дайте в градусах.

Решение. Рассмотрим п/у С1СЕ1 , в котором известен катет СС1 = 31, а катет С1Е1 является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 31√3.tgС1СЕ1 = E1С1 : CC1 =

= 31√3 : 31 = √3СВЕ = 60

№№99

Ответ: 9.

Найдите расстояние между вершинами D и В1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение. Рассмотрим п/у В1ВD, в котором катет BB1 = 12 – 6 = 6, а катет BD2 = AD2 + AB2 = 32 + 62 = 45DB1

2 = DB2 + BB12 = 45 + 36 = 81

DB1 = 9.С1

В1

А

СВ

D

А1

D1

С2

В2

А2

D2

6

12

3

6

2

№№1010

Ответ: 65.

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение. Рассмотрим п/у DD2В2, в котором катет DD2 = 5, а катет B2D2

2 = A2D22 + A2B2

2 B2D2

2 = 62 + 22 = 40DB2

2 = DD22 + B2D2

2 = 25 + 40 = 65.

С1

В1

АС

В

D

А1

D1

С2

В2

А2

D2

6

5

6

1

2

№№1111

Ответ: 34.

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение. Рассмотрим п/у DD2С2, в котором катет DD2 = 5, а катет D2С2 = 3DС2

2 = DD22 + D2С2

2 DС2

2 = 25 + 9 = 34.С1

В1

АС

В

D

А1

D1

С2

В2

А2

D2

8

5

4

2

3

№№1212

Ответ: 13.

Найдите расстояние между вершинами C и B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Решение.

Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке.

Рассмотрим п/у B2СМ, в котором катет МС = 12, а катет B2М2 = B2C2

2 + C2М2 = = 32 + (6 – 2)2 = 25B2C2 = B2M2 + MC2 = = 25 + 122 = 169B2C = 13.

С1

АС

В

D

А1

D1

С2

В2

А2

D2

6

12

3

6

2

В1

М

№№1313

Ответ: 344.

Найдите квадрат расстояния между вершинами А2 и С1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке.

С1

В1

АС

В

D

А1

С2А2

D2

14

14

12 7

12

Рассмотрим п/у А2С1М, в котором катет МС1 = 14 – 12 = 2, а катет А2М2 = A2D2

2 + D2М2 = = 122 + 142 = 340A2C1

2 = A2M2 + MC12 =

= 340 + 4 = 344.

МВ2

D1

Используемые материалы

• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года