相互作用模型の理解へむけて( I ) SIBYLL
板倉数記KEK
2008 年 10 月 4 日ICRR
目次• Mini-jet models 1. Cline, Halzen, and Luthe, PRL 31 (1973) 491 2. Gaisser and Halzen, PRL 54 (1985) 1754 3. Durand and Pi, PRL 58 (1987) 303 量子力学における高エネルギー散乱問題 (eikonal approximation)
• SIBYLL ver 1.7 Fletcher, Gaisser, Lipari, and Stanev, Phys. Rev.D50 (1994) 5710 多重散乱理論 ( pp pA )
• SIBYLL ver 2.0 Engel, Gaisser, Lipari and Stanev, proceedings for ICRC99 (Salt Lake Cit
y) http://dpnc.unige.ch/ams/ICRC-99/root/vol1/h2_5_03.pdf
Minijet model (1)
• 最初の minijet model (QCD が確立する前 1973 年 5 月 )• はじめから宇宙線の相互作用を記述すべきものとして提案された• CERN の ISR 実験を受けて理論を構成: 1. pp cross section が大きい , high pt pion (pt > 3GeV) が存在する 2. 生成粒子の transverse momentum 分布 pt < 1 GeV exp{-6pt} 指数的 平均 <pt > ~ 0.3GeV pt > 3 GeV 1/pt
8 べき的 < pt > はエネルギーの増加とともに増大 宇宙線の 2 次生成粒子の運動量分布も、低運動量成分と高運動量成分がある
high pt jet はハード散乱で生じたもの。それが断面積の増加を担う!
Gross-Wilczek の漸近的自由性
PRL 27th April 1973
Minijet model (1)
平均横運動量のエネルギー依存性 2 次生成粒子の横運動量分布 E = 10^4 GeV
Minijet model (1)
Parton model が予言する「べき的」なd/dpt を用いて、 ジェットから来る寄与を評価
積分の下端: pt = 2 -- 3 GeV で固定
さらに、幾何学的な断面積 38.5mbを加える
ハードな寄与が断面積の増加を与えるソフトな寄与はエネルギー依存性なし
1 TeV
pp
Minijet model (2)
pQCD に根ざした Minijet model として挙げられる最初の論文
ppbar high pt jet の存在を確証した CERN の UA1 実験を受けて模型を構成
今度は、そのジェットの性質をよく記述する摂動的 QCD でハード部分を計算 全ジェット断面積は前方散乱
が主で、エネルギーの増加に伴って増加するだろうが、 pt が小さくなると pQCD が使えなくなるので切断が必要
Minijet model (2)Saturation の必要性 !?Loyal Durand (1984): “It is possible that the problem will be reduced to some extent by the saturation of parton distributions at small x which results from nonlinear modification of the AP evolution equations”
Minijet model (2)
soft part 0 = 38mb
Structure function: Baier, Engels and Petterson 1980
Low momentum exponential faloffHigh momentum power
宇宙線のデータを考慮
Minijet model (3)
単純なソフト+ハードの模型では断面積が異常に早く増加して、 Tevatron や SSC エネルギーで散乱振幅のユニタリ性を破ってしまう
“diffraction-scattering formalism” でユニタリ性を破らない計算をする
これは、 multi-Pomeron exchange を 足しあげることに相当(多重散乱)
SIBYLL の minijet model はこれを採用
Minijet model (3)
ここで、 (b,s) は eikonal function で、
A(b) : pp 散乱の「重なり度」。陽子の拡がり。形状因子を利用
C(s) のエネルギー依存性無視、 Qmin はエネルギーに依存しない
量子力学における散乱問題• S matrix
• 微分断面積
• 中心力の場合は角運動量で展開して
• 断面積
iSf ˆ
dttHiS )(exp Tˆ
int22
2
2
)',;,,(,ˆ','4 kfSkd
d
kk 1
2'
02 )(cos)()12(
41
lll
PSlkd
d '
2'
02 )12()( '
l
l
Slk
dddk
2
02 1)12()(
l
lelastic Sl
kk
)||1()12()12()( 2
02
2'
'02 l
ll
linelastic Sl
kSl
kk
)Re1()12(20
2 ll
inelasticelastictotal Slk
ll SS
k k’
高エネルギー散乱高エネルギーの散乱では簡単に S 行列が求まる( eikonal approximation, Glauber )
)()()(2
)( 22
rErrVrH
)(2)( ,222
2 rVrUEk
0)(])([ 22 rkrU
0)()](2[ )()( 2 rrUierr i krk
φ は運動量 k よりもゆっくりと変化するとして、 2 次の微分を無視
')',,(2
exp ),,(
zdzzyxU
kizyx
,1 2
')'()'(e41)'(
)(2
3
bbq
rk'
b
kk,
ii
i
eedik
rdrrUf
dzzU
k),(
21)( bb
と置くと
入射平面波が前方方向へそのまま残るような解を考える
散乱振幅(外向き散乱波の係数) kk'q
eikonal function
lS に相当
Barone & Predazzi, 2002“High-Energy Particle Diffraction”
散乱による Phase shift
高エネルギー散乱
dzzU
k),(
21)( bb
ポテンシャルが弱い時、 eikonal が小さいとして展開できる Born 近似
,1 2
)( )(2 bbqbq
ii
eedikf
)(1 )( bb iei
相互作用を摂動的に取り入れて考えると、 Born 近似が 1回の相互作用でEikonal approximation の結果は、相互作用を無限次まで足しあげた寄与に相当
U
Eikonal がパートンパートン散乱振幅で、ハードポメロンの交換を記述するなら、多重ポメロン交換を足しあげることに相当
SIBYLL ver 1.7
• Dual parton model に minijet productionを加えた模型
• 現在は改良版( 1999 )が存在(後述)
SIBYLL の目指すもの
低エネルギーでのハドロン - 陽子散乱
より高いエネルギーの散乱では、低エネルギーでの性質が否定された
SIBYLL はこれらを記述
これらの性質が宇宙線エネルギーでも続くこと
を期待
SIBYLL の構成
低エネルギーでのハドロン・ハドロン散乱を string breaking modelで記述 奈良さん
より高いエネルギーのハドロン・ハドロン散乱での現象は minijet modelで記述するDurand-Pi の minijet modelを採用 (説明済み )
ハドロン・ハドロン散乱からハドロン・原子核散乱への移行
Glauber の多重散乱理論Thickness function
衝突径数 b における密度の厚さについての積分
衝突径数 b における非弾性衝突の起こる確率
),()( zbdzbT AA
Arrd A )(3
原子核 A (B) 中の d2bdz に核子を見出す確率 NN非弾性散乱の起こる確率
,)()()( 22
ABbTbdPdzbddzbdbP ABNN
inelABBBAAAB |)(|)()( 2 sbTsTsdbT BAAB
NN非弾性散乱が n回起こる確率 (可能な 2体散乱は AB回あるうち、 b で起こるのが n回)
,)(1)(),(nAB
ABNNinel
nABNN
inelAB ABbT
ABbT
nAB
bnP
ABABNN
ineln
ABABin AB
bTbdbnPbd )(11),( 22
)(),(),()( 22BA
NNinelBB
BBBAA
AAAAB bbbdzbd
Bzbdzbd
AzbbdP
重イオン衝突で利用
Glauber の多重散乱理論pA collision の場合 B=1, TAB(b)=TA(b)
,)(1)(),(nAB
ABNNinel
nABNN
inelAB ABbT
ABbT
nAB
bnP
,)(1)(),( nA
ANNinel
nANN
inelpA AbT
AbT
nA
bnP
AANN
ineln
pApA
in AbTbdbnPbd )(11),( 22
)(2 1~ bTpAin
ANNinelebd
従って
ここで、無限に大きい原子核の場合は なので 1)(
AbTANN
inel
多重 Pomeron 散乱の式と似ている。各散乱が独立な場合の式原子核の分布 (r) の選び方に依存する
SIBYLL ver 2.0• SIBYLL ver 1.7 では、古い( HERA以前) parton distribution を用
いていた( EHLQ 1984 )ので、 HERA の新しいデータを取り入れた
Small-x での上昇の効果が入ったので、より早く断面積が増加
一方で あまりにグルオン密度が高くなると、 saturation の効果が必要
pQCD の公式が安全に使えるように、カットオフにエネルギー依存性を与えよう(おそらくあまりに早く断面積が増加するのを抑える働きもさせている)
これは saturation scale とそっくり
のモードは全てソフトとして扱う