相互作用模型の理解へむけて（ I ） SIBYLL

板倉数記KEK

2008 年 10 月 4 日ICRR

目次• Mini-jet models 1. Cline, Halzen, and Luthe, PRL 31 (1973) 491 2. Gaisser and Halzen, PRL 54 (1985) 1754 3. Durand and Pi, PRL 58 (1987) 303 量子力学における高エネルギー散乱問題 (eikonal approximation)

• SIBYLL ver 1.7 Fletcher, Gaisser, Lipari, and Stanev, Phys. Rev.D50 (1994) 5710 多重散乱理論　（ pp pA ）

• SIBYLL ver 2.0 Engel, Gaisser, Lipari and Stanev, proceedings for ICRC99 (Salt Lake Cit

y) http://dpnc.unige.ch/ams/ICRC-99/root/vol1/h2_5_03.pdf

Minijet model (1)

• 最初の minijet model (QCD が確立する前　 1973 年 5 月 )• はじめから宇宙線の相互作用を記述すべきものとして提案された• CERN の ISR 実験を受けて理論を構成： 1. pp cross section が大きい , high pt pion (pt > 3GeV) が存在する 2. 生成粒子の transverse momentum 分布 pt < 1 GeV exp{-6pt} 指数的 平均 <pt > ~ 0.3GeV 　　　 pt > 3 GeV 1/pt

8 　　　　　べき的　　 < pt > はエネルギーの増加とともに増大 宇宙線の 2 次生成粒子の運動量分布も、低運動量成分と高運動量成分がある

high pt jet はハード散乱で生じたもの。それが断面積の増加を担う！

Gross-Wilczek の漸近的自由性

PRL 27th April 1973

Minijet model (1)

平均横運動量のエネルギー依存性　　　 2 次生成粒子の横運動量分布　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 E = 10^4 GeV

Minijet model (1)

Parton model が予言する「べき的」なd/dpt を用いて、 ジェットから来る寄与を評価

積分の下端： pt = 2 -- 3 GeV で固定

さらに、幾何学的な断面積 38.5mbを加える

ハードな寄与が断面積の増加を与えるソフトな寄与はエネルギー依存性なし

1 TeV

pp

Minijet model (2)

pQCD に根ざした Minijet model として挙げられる最初の論文

ppbar high pt jet の存在を確証した CERN の UA1 実験を受けて模型を構成

今度は、そのジェットの性質をよく記述する摂動的 QCD でハード部分を計算 全ジェット断面積は前方散乱

が主で、エネルギーの増加に伴って増加するだろうが､ pt が小さくなると pQCD が使えなくなるので切断が必要

Minijet model (2)Saturation の必要性 !?Loyal Durand (1984): “It is possible that the problem will be reduced to some extent by the saturation of parton distributions at small x which results from nonlinear modification of the AP evolution equations”

Minijet model (2)

soft part 0 = 38mb

Structure function: Baier, Engels and Petterson 1980

Low momentum exponential faloffHigh momentum power

宇宙線のデータを考慮

Minijet model (3)

単純なソフト＋ハードの模型では断面積が異常に早く増加して、 Tevatron や SSC エネルギーで散乱振幅のユニタリ性を破ってしまう

“diffraction-scattering formalism” でユニタリ性を破らない計算をする

　　これは、 multi-Pomeron exchange を　　足しあげることに相当（多重散乱）

SIBYLL の minijet model はこれを採用

Minijet model (3)

ここで、 (b,s) は eikonal function で、

A(b) ：　 pp 散乱の「重なり度」。陽子の拡がり。形状因子を利用

C(s) のエネルギー依存性無視、 Qmin はエネルギーに依存しない

量子力学における散乱問題• S matrix

• 微分断面積

• 中心力の場合は角運動量で展開して

• 断面積

iSf ˆ

dttHiS )(exp Tˆ

int22

2

2

)',;,,(,ˆ','4 kfSkd

d

kk 1

2'

02 )(cos)()12(

41

lll

PSlkd

d '

2'

02 )12()( '

l

l

Slk

dddk

2

02 1)12()(

l

lelastic Sl

kk

)||1()12()12()( 2

02

2'

'02 l

ll

linelastic Sl

kSl

kk

)Re1()12(20

2 ll

inelasticelastictotal Slk

ll SS

k k’

高エネルギー散乱高エネルギーの散乱では簡単に S 行列が求まる（ eikonal approximation, Glauber ）

)()()(2

)( 22

rErrVrH

)(2)( ,222

2 rVrUEk

0)(])([ 22 rkrU

0)()](2[ )()( 2 rrUierr i krk

φ は運動量 k よりもゆっくりと変化するとして、 2 次の微分を無視

')',,(2

exp ),,(

zdzzyxU

kizyx

,1 2

')'()'(e41)'(

)(2

3

bbq

rk'

b

kk,

ii

i

eedik

rdrrUf

dzzU

k),(

21)( bb

と置くと

入射平面波が前方方向へそのまま残るような解を考える

散乱振幅（外向き散乱波の係数） kk'q

eikonal function

lS に相当

Barone & Predazzi, 2002“High-Energy Particle Diffraction”

散乱による Phase shift

高エネルギー散乱

dzzU

k),(

21)( bb

ポテンシャルが弱い時、 eikonal が小さいとして展開できる Born 近似

,1 2

)( )(2 bbqbq

ii

eedikf

)(1 )( bb iei

相互作用を摂動的に取り入れて考えると、 Born 近似が 1回の相互作用でEikonal approximation の結果は、相互作用を無限次まで足しあげた寄与に相当

U

Eikonal がパートンパートン散乱振幅で、ハードポメロンの交換を記述するなら、多重ポメロン交換を足しあげることに相当

SIBYLL ver 1.7

• Dual parton model に minijet productionを加えた模型

• 現在は改良版（ 1999 ）が存在（後述）

SIBYLL の目指すもの

低エネルギーでのハドロン - 陽子散乱

より高いエネルギーの散乱では、低エネルギーでの性質が否定された

SIBYLL はこれらを記述

これらの性質が宇宙線エネルギーでも続くこと

を期待　

SIBYLL の構成

低エネルギーでのハドロン・ハドロン散乱を string breaking modelで記述　 奈良さん

より高いエネルギーのハドロン・ハドロン散乱での現象は minijet modelで記述するDurand-Pi の minijet modelを採用　 (説明済み )

ハドロン・ハドロン散乱からハドロン・原子核散乱への移行

Glauber の多重散乱理論Thickness function

衝突径数 b における密度の厚さについての積分

衝突径数 b における非弾性衝突の起こる確率

),()( zbdzbT AA

Arrd A )(3

原子核 A (B) 中の d2bdz に核子を見出す確率 NN非弾性散乱の起こる確率

,)()()( 22

ABbTbdPdzbddzbdbP ABNN

inelABBBAAAB |)(|)()( 2 sbTsTsdbT BAAB

NN非弾性散乱が n回起こる確率 （可能な 2体散乱は AB回あるうち、 b で起こるのが n回）

,)(1)(),(nAB

ABNNinel

nABNN

inelAB ABbT

ABbT

nAB

bnP

ABABNN

ineln

ABABin AB

bTbdbnPbd )(11),( 22

)(),(),()( 22BA

NNinelBB

BBBAA

AAAAB bbbdzbd

Bzbdzbd

AzbbdP

重イオン衝突で利用

Glauber の多重散乱理論pA collision の場合 B=1, TAB(b)=TA(b)

,)(1)(),(nAB

ABNNinel

nABNN

inelAB ABbT

ABbT

nAB

bnP

,)(1)(),( nA

ANNinel

nANN

inelpA AbT

AbT

nA

bnP

AANN

ineln

pApA

in AbTbdbnPbd )(11),( 22

)(2 1~ bTpAin

ANNinelebd

従って

ここで、無限に大きい原子核の場合は なので 1)(

AbTANN

inel

多重 Pomeron 散乱の式と似ている。各散乱が独立な場合の式原子核の分布 (r) の選び方に依存する

SIBYLL ver 2.0• SIBYLL ver 1.7 では、古い（ HERA以前） parton distribution を用

いていた（ EHLQ 1984 ）ので、 HERA の新しいデータを取り入れた　

　　 Small-x での上昇の効果が入ったので、より早く断面積が増加

一方で あまりにグルオン密度が高くなると､ saturation の効果が必要

pQCD の公式が安全に使えるように、カットオフにエネルギー依存性を与えよう（おそらくあまりに早く断面積が増加するのを抑える働きもさせている）　　

　　　　これは saturation scale とそっくり

のモードは全てソフトとして扱う