BROJNI SISTEMI
Brojni sistemi
Informacije se u digitalnoj tehnici predstavljaju pomoću
brojeva, pa se postavlja pitanje koji je brojni sistem pogodniji
za to. Tako su, pored decimalnog brojnog sistema sa
osnovom 10, poznati i binarni sa osnovom 2, oktalni sa
osnovom 8, heksadecimalni sa osnovom 16 idr. U digitalnoj
tehnici najpogodniji za primenu je binarni brojni sistem koji
predstavlja „jezik računara“.
Decimalni brojni sistem
Decimalni brojni sistem spada u težinske pozicione brojne sisteme. Osnova ovog sistema je 10, a cifre su 0,1, 2,..., 9. Bilo koji broj u decimalnom brojnom sistemu može se napisati kao:
A10 =an-1*10n-1 +an-2*10n-2 +...+a1*101+a0*100
Pr.1:
198910=1*103+9*102+8*101+9*100=1000+900+80+9
Pr.2:
19,7410=1*101+9*100+ 7*10-1+ 4*10-2= =10+9+7/10+4/100
Binarni brojni sistemBinarni brojni sistem spada u težinske pozicione brojne sisteme, čija je osnova 2, a cifre su 0 i 1. Binarni broj se može predstaviti kao:
A2 =an-1*2n-1+an-2*2n-2+...+a1*21+a0*20
Pr.1:
11102=1*23+1*22+1*21+0*20=8+4+2+0=1410
Pr.2:
110012=1*24+1*23+0*22+0*21+1*20==16+8+0+0+1=2510
Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi
Za binarnu predstavu brojeva potrebni su dugački nizovi nula i jedinica, nepreglednih za korisnika i teških za manipulaciju uz veliku mogućnosti greške. Zato se binarne cifre grupišu u grupe od po 3, 4 ili više cifara i svaka grupa se izrazi u nekom sistemu sa višom osnovom brojanja, onda se dobija kraći broj koji je jednostavniji za memorisanje. Zato su uvedeni oktalni,heksadecimalni i drugi brojni sistemi. Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi spadaju u težinske pozicione kodove koji ne mogu da se upotrebljavaju u računarske sisteme, pa se prevode u binarne.
Oktalni brojni sistemi
Osnova ili baza oktalnog brojnog sistema je 8, a cifre 0-7. Koriste se za sažeto zapisivanje binarnih brojeva kao pomoć u programiranju.
Pr.1:
240578=2*84+4*83+0*82+5*81+7*80= =2*4096+4*512+0*64+5*8+7*1=1028710
Pr.2:
13588 =1*83+3*82+5*81+8*80= =1*512+3*64+5*8+8*1=75210
Heksadecimalni brojni sistem
Princip predstavljanja brojeva u ovom brojnom sistemu isti je kao kod predhodnih. Osnova ili baza sistema je 16. U ovom sistemu se upotrebljava 16 cifara:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Abecedna slova se uvode kako bi se izbegle dvocifarske oznake. Pogodniji je za rad sa binarnim brojevima od oktalnog i primenjuje se za rad sa mikroprocesorima.
Pr.1: 1F9A16=1*163+15*162+9*161+10*160=809010
Pr.2: 1E9B16=1*163+14*162+9*161+11*160=783510
Decimalni Binarni Oktalni Heksadecimalni
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
U tabeli su prikazani ekvivalenti decimalnih brojeva do 16 u binarnom, oktalnom I heksadecimalnom brojnom sistemu
Pretvaranje brojeva iz jednog u drugi brojni sistem
Pretvaranje decimalnih brojeva u binarne i obrnuto
Prevodjenje celih decimalnih brojeva u binarne vrši se metodom sukcesivnog deljenja. Metoda se sastoji u tome što se broj koji se konvertuje deli bazom sistema, a ostatak deljenja se posebno zapisuje.
Pr.1: 120:2=60 ... 0
60:2=30 ... 0 12010=11110002
30:2=15 ... 0
15:2=7 ... 1
7:2=3 ... 1
3:2=1 ... 1
1:2=0 ... 1
Decimalni broj manji od jedinice konvertuje se u binarni tako što se množi bazom 2. Celobrojni deo rezultata ulazi u binarni broj, a razlomljeni se dalje množi bazom i postupak se nastavlja sve dok razlomljeni deo ne postane 0.
Pretvaranje mešovitih decimalnih brojeva vrši se tako što se posebno pretvara u celobrojni deo, a posebno deo sa razlomljenim vrednostima pa se dobijeni rezultati sabiraju.
Pr.1: 0,375*2= 0,75 00,75*2= 1,5 1
0,5*2= 1,0 1
Celobrojni deo
0,37510
=0,0112
Za obrnuti postupak konverzije binarnih brojeva u decimalne može se koristiti direktno sumiranje članova prema jednačini, npr. :
1101,012=1*23+1*22+0*21+ 1*20+0*2-1 +1*2-2
=8+4+0+1+0+1/4=13,2510
-Obrnuti postupak:
Pretvaranje binarnih brojeva u oktalne i obrnuto
Pošto je 8= 23 , to znači da za jedan jednocifreni oktalni broj treba 3 bita. Prema tome, binarni brojevi se mogu podeliti u grupe po 3 bita, počevši od pozicionog zareza. Svakoj takvoj grupi moze se pripisati jedan oktalni broj. Na primer:
701528= 111 000 001 101 0102
110 100 101 0112
= 64538
7 0 1 5 2
6 4 5 3
Pretvaranje oktalnih brojeva u decimalne i
obrnutoČesto je potrebno da se oktalni brojevi pretvore u decimalne radi lakšeg operisanja s njima, što se postiže slično kao kod binarnih brojeva.
Pr.1:
12678=1*83+2*82+6*81+7*80=512+128+48+7=69510
-Obrnuti postupak:
Pr.2: 643:8=80.....3
80:8=10.....0 64310=12038
10:8=1.......2
1:8=1.......1
Pretvaranje binarnih brojeva u heksadecimalne i
obrnutoPošto je osnova heksadecimalnog sistema 16=24, to se svaki binarni broj koji treba pretvoriti u heksadecimalni deli u grupe po 4 bita i svakoj grupi dodeljuje odgovarajući heksadecimalni ekvivalent.
Pr.1:
1001 1010 0001 11112 = 9A1F16
-Obrnuti postupak:
Pr.2:
E6A216=1110 0110 1010 0010=11100110101000102
9 A 1 F
E 6 A 2
Pretvaranje heksadecimalnih brojeve u
decimalne i obrnuto Ovaj postupak se izvodi slično kao kod pretvaranja oktalnih u decimalne, odnosno kao kod binarnih u decimalne s tim što je osnova heksadecimalnog sistema 16.
Pr.1:
1E9B16=1*163+14*162+9*161+11*160= =4096+3584+144+11=783510
-Obrnuti postupak:U ovom slučaju primenjuje se metoda sukcesivnog
deljenja decimalnog broja osnovom heksadecimalnog sistema (16).
Pr.1:3921:16=245...1
245:16=15.....5 392110=F5116
15:16=0.......F(15)
Pr.2:3615:16=225...F
225:16=14.....1 361510=E1F16
14:16=0.......E
Primeri za vežbu
1. 375018=?
10
2. 9D1B16
=?10
3. 25610
=?2
4. 64,37510
=?2
5. 361510
=?16
6. 1101,112=?
10
7. 11110000101000102=?
16
1.375018=3*84+7*83+5*82+0*81+1*80=12288+3584+ 320+1=1619310
2.9D1B16=9*163+13*162+1*161+11*160=36864+3328 +16+11=4021910
3.25610=256:2=128…0 25610=1000000002
=128:2=64….0=64:2=32……0=32:2=16……0=16:2=8……..0=8:2=4……….0=4:2=2……….0=2:2=1……….0=1:2=0……….1
4.64,37510=64:2=32…0 0,375*2=0,75…0=32:2=16…0 0,75*2=1,5……1 =16:2=8…..0 0,5*2=1……….1=8:2=4…….0 =4:2=2…….0=2:2=1…….0 64,37510=1000000,0112
=1:2=0…….1
5.361510=3615:16=225…F 361510=E1F16
=225:16=14…….1=14:16=0……….E
6.1101,112=1*2 3+1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2= =8+4+0+1+0,5+0,25=13,7510
7.11110000101000102=F0A216