BROJNI SISTEMI

Brojni sistemi

Informacije se u digitalnoj tehnici predstavljaju pomoću

brojeva, pa se postavlja pitanje koji je brojni sistem pogodniji

za to. Tako su, pored decimalnog brojnog sistema sa

osnovom 10, poznati i binarni sa osnovom 2, oktalni sa

osnovom 8, heksadecimalni sa osnovom 16 idr. U digitalnoj

tehnici najpogodniji za primenu je binarni brojni sistem koji

predstavlja „jezik računara“.

Decimalni brojni sistem

Decimalni brojni sistem spada u težinske pozicione brojne sisteme. Osnova ovog sistema je 10, a cifre su 0,1, 2,..., 9. Bilo koji broj u decimalnom brojnom sistemu može se napisati kao:

A10 =an-1*10n-1 +an-2*10n-2 +...+a1*101+a0*100

Pr.1:

198910=1*103+9*102+8*101+9*100=1000+900+80+9

Pr.2:

19,7410=1*101+9*100+ 7*10-1+ 4*10-2= =10+9+7/10+4/100

Binarni brojni sistemBinarni brojni sistem spada u težinske pozicione brojne sisteme, čija je osnova 2, a cifre su 0 i 1. Binarni broj se može predstaviti kao:

A2 =an-1*2n-1+an-2*2n-2+...+a1*21+a0*20

Pr.1:

11102=1*23+1*22+1*21+0*20=8+4+2+0=1410

Pr.2:

110012=1*24+1*23+0*22+0*21+1*20==16+8+0+0+1=2510

Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi

Za binarnu predstavu brojeva potrebni su dugački nizovi nula i jedinica, nepreglednih za korisnika i teških za manipulaciju uz veliku mogućnosti greške. Zato se binarne cifre grupišu u grupe od po 3, 4 ili više cifara i svaka grupa se izrazi u nekom sistemu sa višom osnovom brojanja, onda se dobija kraći broj koji je jednostavniji za memorisanje. Zato su uvedeni oktalni,heksadecimalni i drugi brojni sistemi. Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi spadaju u težinske pozicione kodove koji ne mogu da se upotrebljavaju u računarske sisteme, pa se prevode u binarne.

Oktalni brojni sistemi

Osnova ili baza oktalnog brojnog sistema je 8, a cifre 0-7. Koriste se za sažeto zapisivanje binarnih brojeva kao pomoć u programiranju.

Pr.1:

240578=2*84+4*83+0*82+5*81+7*80= =2*4096+4*512+0*64+5*8+7*1=1028710

Pr.2:

13588 =1*83+3*82+5*81+8*80= =1*512+3*64+5*8+8*1=75210

Heksadecimalni brojni sistem

Princip predstavljanja brojeva u ovom brojnom sistemu isti je kao kod predhodnih. Osnova ili baza sistema je 16. U ovom sistemu se upotrebljava 16 cifara:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Abecedna slova se uvode kako bi se izbegle dvocifarske oznake. Pogodniji je za rad sa binarnim brojevima od oktalnog i primenjuje se za rad sa mikroprocesorima.

Pr.1: 1F9A16=1*163+15*162+9*161+10*160=809010

Pr.2: 1E9B16=1*163+14*162+9*161+11*160=783510

Decimalni Binarni Oktalni Heksadecimalni

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

U tabeli su prikazani ekvivalenti decimalnih brojeva do 16 u binarnom, oktalnom I heksadecimalnom brojnom sistemu

Pretvaranje brojeva iz jednog u drugi brojni sistem

Pretvaranje decimalnih brojeva u binarne i obrnuto

Prevodjenje celih decimalnih brojeva u binarne vrši se metodom sukcesivnog deljenja. Metoda se sastoji u tome što se broj koji se konvertuje deli bazom sistema, a ostatak deljenja se posebno zapisuje.

Pr.1: 120:2=60 ... 0

60:2=30 ... 0 12010=11110002

30:2=15 ... 0

15:2=7 ... 1

7:2=3 ... 1

3:2=1 ... 1

1:2=0 ... 1

Decimalni broj manji od jedinice konvertuje se u binarni tako što se množi bazom 2. Celobrojni deo rezultata ulazi u binarni broj, a razlomljeni se dalje množi bazom i postupak se nastavlja sve dok razlomljeni deo ne postane 0.

Pretvaranje mešovitih decimalnih brojeva vrši se tako što se posebno pretvara u celobrojni deo, a posebno deo sa razlomljenim vrednostima pa se dobijeni rezultati sabiraju.

Pr.1: 0,375*2= 0,75 00,75*2= 1,5 1

0,5*2= 1,0 1

Celobrojni deo

0,37510

=0,0112

Za obrnuti postupak konverzije binarnih brojeva u decimalne može se koristiti direktno sumiranje članova prema jednačini, npr. :

1101,012=1*23+1*22+0*21+ 1*20+0*2-1 +1*2-2

=8+4+0+1+0+1/4=13,2510

-Obrnuti postupak:

Pretvaranje binarnih brojeva u oktalne i obrnuto

Pošto je 8= 23 , to znači da za jedan jednocifreni oktalni broj treba 3 bita. Prema tome, binarni brojevi se mogu podeliti u grupe po 3 bita, počevši od pozicionog zareza. Svakoj takvoj grupi moze se pripisati jedan oktalni broj. Na primer:

701528= 111 000 001 101 0102

110 100 101 0112

= 64538

7 0 1 5 2

6 4 5 3

Pretvaranje oktalnih brojeva u decimalne i

obrnutoČesto je potrebno da se oktalni brojevi pretvore u decimalne radi lakšeg operisanja s njima, što se postiže slično kao kod binarnih brojeva.

Pr.1:

12678=1*83+2*82+6*81+7*80=512+128+48+7=69510

-Obrnuti postupak:

Pr.2: 643:8=80.....3

80:8=10.....0 64310=12038

10:8=1.......2

1:8=1.......1

Pretvaranje binarnih brojeva u heksadecimalne i

obrnutoPošto je osnova heksadecimalnog sistema 16=24, to se svaki binarni broj koji treba pretvoriti u heksadecimalni deli u grupe po 4 bita i svakoj grupi dodeljuje odgovarajući heksadecimalni ekvivalent.

Pr.1:

1001 1010 0001 11112 = 9A1F16

-Obrnuti postupak:

Pr.2:

E6A216=1110 0110 1010 0010=11100110101000102

9 A 1 F

E 6 A 2

Pretvaranje heksadecimalnih brojeve u

decimalne i obrnuto Ovaj postupak se izvodi slično kao kod pretvaranja oktalnih u decimalne, odnosno kao kod binarnih u decimalne s tim što je osnova heksadecimalnog sistema 16.

Pr.1:

1E9B16=1*163+14*162+9*161+11*160= =4096+3584+144+11=783510

-Obrnuti postupak:U ovom slučaju primenjuje se metoda sukcesivnog

deljenja decimalnog broja osnovom heksadecimalnog sistema (16).

Pr.1:3921:16=245...1

245:16=15.....5 392110=F5116

15:16=0.......F(15)

Pr.2:3615:16=225...F

225:16=14.....1 361510=E1F16

14:16=0.......E

Primeri za vežbu

1. 375018=?

10

2. 9D1B16

=?10

3. 25610

=?2

4. 64,37510

=?2

5. 361510

=?16

6. 1101,112=?

10

7. 11110000101000102=?

16

1.375018=3*84+7*83+5*82+0*81+1*80=12288+3584+ 320+1=1619310

2.9D1B16=9*163+13*162+1*161+11*160=36864+3328 +16+11=4021910

3.25610=256:2=128…0 25610=1000000002

=128:2=64….0=64:2=32……0=32:2=16……0=16:2=8……..0=8:2=4……….0=4:2=2……….0=2:2=1……….0=1:2=0……….1

4.64,37510=64:2=32…0 0,375*2=0,75…0=32:2=16…0 0,75*2=1,5……1 =16:2=8…..0 0,5*2=1……….1=8:2=4…….0 =4:2=2…….0=2:2=1…….0 64,37510=1000000,0112

=1:2=0…….1

5.361510=3615:16=225…F 361510=E1F16

=225:16=14…….1=14:16=0……….E

6.1101,112=1*2 3+1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2= =8+4+0+1+0,5+0,25=13,7510

7.11110000101000102=F0A216