直线与圆的位置关系( 1 )
主讲人——雅江学校刘柏妹
知识回顾
回答下列问题 :
1 、已知⊙ O 的半径是 2 ㎝,线段 OA=3 ㎝,则 A 点与⊙ O 的位置关系是——。
2 、已知⊙ O 的半径是 6 ㎝,线段 OA=10 ㎝,点 B 是线段 O
A 的中点,则点 B与⊙o 的位置关系是————。 3 、已知⊙ O 的半径是 3 ㎝,线段 OA=3 ㎝,则点 A在⊙ O—
— 。 4 、已知⊙ O 的半径是 2 ㎝, A 点在⊙ O 外,则 A 点到圆心
O 的距离( ) A 、大于 2 ㎝ B 、小于 2 ㎝ C 、等于 2 ㎝ D 、无法确定
A 点在圆外
点 B 在圆内 上
A
直线与圆的位置关系(1 )
探索新知
试一试:在纸上画一个圆,把直尺的边缘看作直线在纸上移动,你能发现直线与圆公共点个数的变化情况吗?公共点的个数最少有几个?最多有几个?公共点的个数可以分几种情况?并猜想直线与圆的位置关系有几种?
11 、如果一条直线与一个圆没有公共点、如果一条直线与一个圆没有公共点 ,,
那么就说这条直线与这个圆那么就说这条直线与这个圆相离相离 ..
这条直线叫做圆的这条直线叫做圆的割线割线 ..
33 、如果一条直线与一个圆有两个公、如果一条直线与一个圆有两个公共点共点 ,, 那么就说这条直线与这个圆那么就说这条直线与这个圆相交相交
22 、如果一条直线与一个圆只有一个公、如果一条直线与一个圆只有一个公共点共点 ,, 那么就说这条直线与这个圆那么就说这条直线与这个圆相相切切 ..这条直线叫做圆的这条直线叫做圆的切线切线 ..
这个公共点叫做这个公共点叫做切点切点
结论:直线与圆的位置关系有 3 种,即相离、相切、相交(这是用圆与直线公共点的个数来定义的,这也是判断直线与圆的位置关系的重要方法)
这两个公共点叫做交点
o
l
l
o
l
o
图 1.
图 2
图 3
切线
切点
割线
练一练
1 、已知直线 a 有两点在⊙ O 上,则直线 a 与⊙ O 的位置关系是( )
A 、相离 B 、相交 C 、相切 D 、不能确定 2 、直线与圆最多有_个公共点 ,最少有_个公
共点。 3 、若 A和 B 是⊙ O 外两点,则直线 AB 与⊙ O
一定相离,这种说法正确吗?
2 0
。。
AB
B
这种说法不正确
想一想
r
do
l
r
d
l
odr
l
o
设圆心到直线的距离为 d ,圆的半径为 r ,你能不能由 d与 r 的大小关系推测出直线与圆的位置关系?
议一议若已知直线与圆的位置关系,你能否推测出 d与 r 的大小关系?
r
do
l
r
d
l
odr
l
o
当直线与圆的位置关系是相离时 d>r
当 直线与圆的位置关系是相切时 d=r
当直线与圆的位置关系是相交 时 d<r
(这是直线与圆位置关系的性质)
r
do
l
r
d
l
odr
l
o
归纳小结 :当直线与圆相离时
当直线与圆相切时当直线与圆相交时
(从左到右反映直线与圆某种位置关系的性质,从右到左反映直线与圆某种位置关系的判定,它们是等价的关系)。
d>r
d=r
d<r
填一填
直线与圆的位置关系
图形 公共点的个数
公共点的名称
d与 r 的关系
直线的名称
相离
相切
相交
0 个
一个
两个
切点
d>r
d=r
d<r
切线
割线
o
l
l
o
l
o 交点
知识运用
问题 : 在直角三角形△ ABC 中,∠ C=90°,AC=6㎝ ,BC=8 ㎝ , 在以下情况中,以 C 为圆心、 r 为半径的圆与直线 AB 的关系如何?试说明你的结论⑴r=4 ㎝ ⑵ r=4.8 ㎝ ⑶ r=5.6 ㎝
B
A
解:过点过点 CC作作 CD AB⊥CD AB⊥ ,垂足为,垂足为 DD 。。在在 Rt ABC⊿Rt ABC⊿ 中中 , AC=6cm BC=8cm, AC=6cm BC=8cm 由勾股定理由勾股定理得得 :AB=10cm:AB=10cm 。。由由 S ABC△S ABC△ 的面积得 的面积得 AB×CDAB×CD÷2÷2=BC×AC=BC×AC÷2.÷2.所以所以 CD=(BC×AC)÷AB=(8×6)÷10=4.8cmCD=(BC×AC)÷AB=(8×6)÷10=4.8cm 。。当当 r=4cmr=4cm 时,时, CD r,﹥CD r,﹥所以圆所以圆 CC 与直线与直线 ABAB 相离。相离。当当 r=4.8cmr=4.8cm 时,时, CD=rCD=r ,,所以圆所以圆 CC 与直线与直线 ABAB 相切。相切。当当 r=5.6 cmr=5.6 cm 时, 时, CD r﹤CD r﹤ ,,所以圆所以圆 CC 与直线与直线 ABAB 相交。相交。
D
C
┐
说一说
根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系 . (实际问题中常用的方法)
步骤: ① 由圆心向已知直线作垂线; ② 求出垂线段 d 的长度; ③把 d与 r 进行大小比较; ④ 最后得出结论。
练一练
1、 ⊙如果 O 的半径为 2 ㎝,圆心 O 直线 l 的距离为 d,
当 d 2 ﹤ ㎝时,直线 l 与⊙ O 的交点个数是 _____, 此时直线与⊙ O 的位置关系是 ;
当 d=2 ㎝时,直线 l 与⊙ O 的交点个数时 ,此时直线与⊙ O 的位置关系是 ;
当 d﹥2 ㎝时,直线 l 与⊙ o 的交点个数时 , 此时直线与⊙ O 的位置关系是
相交1 个
相切0 个
相离
2 个
2 、已知圆的半径为 6 ㎝,圆心到直线的距离是 4 ㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系是( )。
3 、直线 l 与半径为 r 的⊙ O 相交,且点 O 到直线的距离为 5 ,则 r 满足( )
A 、 r 5 B﹥ 、 r 5 C﹤ 、 r=5 D 、 r≤5
4 、已知⊙ O 的面积为 9π ㎝,若点 O 到直线 l 的距离为 π ㎝,则直线与圆的位置关系是( )。
5 、已知圆的直径为 10 ㎝ ,直线 l 与⊙ O 只有一个公共点时,则圆心 O 到直线 l 的距离是( )㎝
相交
A
相离
5
课堂小结课堂小结 说一说这节课你们有哪些收获?
11 、直线与圆的三种位置关系、直线与圆的三种位置关系 :: 相离、相切、相交相离、相切、相交
22 、直线与圆的位置关系的判断方法、直线与圆的位置关系的判断方法 ::
当 当 d d ﹥﹥ r r 时,直线与圆相离时,直线与圆相离当 当 d = r d = r 时,直线与圆相切时,直线与圆相切 ..
当 当 d r ﹤d r ﹤ 时,直线与圆相交时,直线与圆相交 ..
注意: d 表示圆心到直线的距离, r 表示这个圆的半径
1 )定义法。2 )根据 d 与 r 的大小关系来判断。
课后作业 1 .已知⊙ O 的半径为 10cm ,如果一条直线和圆心 O 的距离为 10cm ,
那么这条直线和这个圆的位置关系为( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离
2. 在平面直角坐标系中,已知点 A 的坐标是(- 3, 4 ),以 A 为圆心、半径为 3 的圆与 x 轴的位置关系是; , 与 y 轴的位置关系是 。
3 、如图、已知∠ AOB=30°, M为 OB 边上一点 ,以M 为圆心、 2 cm 为半径作⊙ M. 若点 M在 OB 边上运动 , 则当 OM= cm 时,⊙ M 与 OA 相切.
4. 如图,在△ ABC 中,∠ A=90°, AB=AC=2cm ,⊙ A与 BC 相切于点 D ,则⊙ A 的半径为 cm 2
12 .
B
相切相离
4
解:过 P 点作 PH AB⊥ ,垂足为 H ,
由题意可得: AB=10 海里、∠ A=30° 、∠ PBH=45°
∵∵ 在在 Rt PBH⊿Rt PBH⊿ 中 中 ∠ PBH=45° ∴∴ BH=PH
∵ Rt PAH⊿Rt PAH⊿ 中中∠ A=30° AH=PH×cot30∴AH=PH×cot30∴ °°=√3PH =√3PH
又又∵∵ AB=AAB=AH-BH=10H-BH=10海里
√∴ √∴ 3PH3PH - PH=10 PH=10 得 得 PH=10÷PH=10÷ ( √( √ 33 -- 11 )≈)≈ 13·7 12 ﹥13·7 12 ﹥
∴∴ 货轮继续向东航行 . 船没有触礁的危险。
5 、如图 , 海中有一个小岛 P, 该岛四周 12 海里内暗礁 . 今有货轮由西向东航行 , 开始在 A 点观测 P 在北偏东 60 度处 , 行驶 10 海里后到达 B 点观测 P 在北偏东45 度处 , 货轮继续向东航行 . 船是否有触礁的危险?
AB H
P北
┐