Download pdf - Гл.1. Степенные ряды - math.krsu.edu.kgmath.krsu.edu.kg/metodich/stepryad.pdf · При e−x =3 ряд расходится, так как его члены не стремятся

© КРСУ Ишмахаметов К. Кафедра Высшей математики

Гл.1. Степенные ряды

Ряд вида ......2210

0+++++=∑

∞

=

nn

n

nn xaxaxaaxa (1) называется

степенным, где , , ,…, ,… – постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: (2), где – некоторое постоянное число. Поскольку ряд (2) подстановкой

0a 1a 2a na

...)(...)()( 210 +−++−+−+ n

nx axaaxaaxaa axax ′=−

приводится к виду (1), то в дальнейшем мы будем, в основном, изучать степенные ряды вида (1).

Часто для удобства n-м членом степенного ряда называют член несмотря на то, что он стоит на (n

nxa 1+n )-м месте. Свободный член ряда считают нулевым членом ряда. 0a

1. Сходимость и свойства степенных рядов

Степенной ряд (1) всегда сходится при 0=x .

Теорема (Абель). Если степенной ряд (1) сходится при некотором , то он сходится, причем абсолютно, при любом ,

удовлетворяющем условию 00 ≠x x

0xx < , т.е. в интервале (- 0x , 0x ). Если ряд (1) расходится при некотором , то он расходится при любом 1x

1xx > , т.е. вне интервала (- 1x , 1x ). - 0x 0 0x - 1x 0 1x

сходимость расх. расх. Следствия из теоремы Абеля. 1. Если – точка сходимости и 0x 00 ≠x , то интервал (- 0x , 0x ) состоит из точек абсолютной сходимости ряда (1).

2. Для всякого степенного ряда существует такое число , называемое радиусом сходимости, что при

R( ∞≤≤ R0 ) Rx < ряд сходится, а при Rx > ряд расходится.

Радиус сходимости может быть определен или по формуле

nn a

R 1lim∞→

= (3) или по формуле 1

lim+

=∞→

n

nn a

aR (4), если эти пределы

существуют. После нахождения радиуса сходимости, а следовательно, - 1 -


и интервала сходимости следует для полного определения области сходимости степенного ряда исследовать поведение этого ряда на границе нитервала сходимости в точках Rx ±= .

Замечание 1. При исследовании ряда в точках Rx ±= не имеет

смысла применять признаки Коши или Даламбера, ибо соответствующие пределы, что следует из фомул для радиуса сходимости, или не существуют, или равны единице. Аналогично, применяя признак Коши сходимости положительного ряда, получаем,

что n

nn a

R 1lim∞→

= .

Замечание 2. Для степенных рядов вида +−+ )(10 axaa

все сказанное выше остается в силе с той только разницей, что теперь центр интервала сходимости будет лежать не в точке , а с точке

...)(...)( 22 +−+++−+ n

n axaaxa

0=x ax = , следовательно, интервалом сходимости будет интервал ( )RaRa +− , , или Rax <− .

Перечислим основные свойства степенных рядов. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке [ , где ]rr,−

Rr < , – его радиус сходимости. Отсюда вытекает непрерывность степенного ряда на и возможность почленного интегрирования ряда на любом отрезке

R[ rr,− ]

[ ]x,0 , RxR <<− , а так же почленного дифференцирования ряда для всех ),( RRx −∈ .

Ряды, получаемые почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна, соответственно, производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Если , то ∑∞

=

=0

)(n

nnxaxS .

1)(

,)(

0 0

11

1

RxR

nxadxxS

xnaxSx

n

nn

n

nn

<<−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

=′

∫ ∑

∑∞

=

+

∞

=

−

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над стеаенным рядом сколько угодно раз. Таким

- 2 -


образом, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.

Примеры.

1. Исследовать сходимость степенного ряда

...1...31

21 32 +++++ nx

nxxx

Здесь n

an1

= , 1

11 +=+ n

an и радиус сходимости ряда

111lim1limlim1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

+==

∞→∞→+

∞→ nnn

aa

Rnnn

n

n. Таким образом, ряд сходится

для значний , удовлетворяющих неравенству x 11 <<− x ( )1<x . Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. при

. Если , то получаем гармонический ряд 1±=x 1=x ...1...31

211 +++++

n

Он сходится. При получается ряд 1−=x ...1)1(...31

211 +−+−+−

nn Он

сходится по признаку Лейбница. Итак, область сходимости степенного ряда есть промежуток [ )1,1− ( ). 11 <≤− x

2. Исследовать сходимость ряда ...)2(31)2(

21)2( 3

32

2 +−+−+− xxx

Имеем: 21n

an = , 21 )1(1+

=+ nan и 111lim)1(lim

2

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

∞→∞→ nnnR

nn.

Следовательно, ряд сходится, если 121 <−<− x , т.е. . 31 << x

Если , то получаем ряд 3=x ...1...31

211 222 +++++

n Этот ряд сходится,

так как ряд ∑∞

=12

1n n

сходится при 12 >=P . При получаем ряд 1=x

...1)1(...31

211 222 +−+−+−

nn Этот ряд сходится, притом абсолютно, так

как сходится ряд из абсолютных величин его членов. Итак, область сходимости степенного ряда есть промежуток [ ]3,1 ( ). 31 ≤≤ x

- 3 -


3. ∑∞

=1nP

n

nx .

11lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∞→

P

n nnR – радиус сходимости; 1<x – интервал сходимости.

Если , то ряд 1=x ∑∞

=1

1n

Pn сходится при 1>P и расходится при 1≤P .

При ряд 1−=x ∑∞

=

−

1

)1(n

P

n

n сходится при 0>P (причем абсолютно) и

расходится при 0≤P . 4. Исследовать сходимость ряда ...)5(!3)5(!2)5(!1 32 +−+−+− xxxТак как , , !nan = )!1(1 +=+ nan

то 01

1lim)1(...321

...321lim =+

=+⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

∞→∞→ nnnnR

nn.

Ряд сходится только при 05 =−x , т.е. в точке 5=x .

5. Для ряда ...!3!21

32

+++xxx

!1n

an = , )!1(

11 +=+ n

an и ∞=+=+

=∞→∞→

)1(lim!

)!1(lim nn

nRnn

.

Следовательно, ряд сходится при любом значении . Отсюда, между прочим, следует, что при любом предел общего члена равен нулю,

т.е.

xx

0!

lim =∞→ n

xn

n.

6. Исследовать сходимость ряда kk

kx

kk )2(

121

1−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++∑

∞

=

.

Имеем: при 0=na 12 −= kn и k

n kka ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=12

1 при kn 2= .

Воспользуемся формулой n

nna

R∞→

=lim

1 .

- 4 -


Тогда 2112lim

121lim

1

2

=++

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=∞→

∞→

kk

kk

Rk

kk

k

.

Исследуем ряд на концах интервала сходимости. Полагая 22 =−x ,

получим числовой ряд k

k

k

k

kk

k kk

kkk ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

111 1211

2112

121 .

Но 011lim12

11lim2

≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

∞→∞→e

tk

t

t

k

k.

Таким образом, при 22 =−x ряд расходится. При 22 −=−x ряд также расходится. Итак, область сходимости данного ряда

2222 +<<− x .

Замечание 3. При решении примера 6 мы воспользовались следующим способом: сли среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степений разности (переменного ) любая, то радиус сходимости можно

находить по формуле

ax − x

nnn

aR

∞→

=lim

1 , в которой используются только

значения , отличные от нуля. Впрочем, эта формула пригодна и в других случаях, лишь бы существовал этот предел.

na

7. ∑∞

=

−+

02

)1(4n

nn

xn

.

1)1(4

lim)1(4

lim)1(4lim122 =

⋅−+

=−+

=−+

=∞→∞→∞→ nn

n n

nn

n n

nn

n

n nnnnR (см. 2.2, пример

10); . При ряд абсолютно сходится, так как 1=R 1±=x

225)1()1(4nn

nn

<±⋅−+ ; 11 ≤≤− x – область сходимости.

- 5 -


8. ∑∞

=

⋅⋅−1

)1(n

nnn xe .

1limlim11

===∞→∞→

nn

n n

nee

R; 1=R .

При ряд расходится, так как его члены неограниченно возрастают. Область сходимости:

1±=x11 <<− x .

Иногда рассматривают и обобщенные степенные ряды вида

. В этом случае области сходимости принадлежат все

точки, удовлетворяющие неравенству

[∑∞

=0)(

n

nn xa ϕ ]

Rx <)( ϕ .

9. ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

⋅2 11

2ln

n

n

n xx

nn .

21lim

21)(ln

21lim

2lnlim1

)ln(ln1

===⋅

=∞→∞→∞→ n

nn

nn

n

nn

nn ne

nne

nn

R; . Ряд сходится

при

2=R

211

<+−

xx . Решим это неравенство.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>

−<⇔>++⇔+<−

.31,303103)1(4)1( 222

x

xxxxx

При ряд сходится условно, при 3−=x31

−=x ?? Область сходимости –

или 3−≤x31

−>x , т.е. ( ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∪−∞− ,

313, .

10. ∑∞

=

−

+1 32n

nxnn en .

- 6 -


31

321(3

ln

lim32

lim1=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

=+

=∞→∞→

nnn

nnnn

nnen

R; 3=R . Ряд сходится, когда

, или . При 3<−xe 3ln−>x 3=−xe ряд расходится, так как его члены не стремятся к нулю. Итак, 3ln−>x – область сходимости. 11. Найти суммуряда ...4321 32 ++++ xxx ( )1<x , продифференцировав почленно ряд ...1 32 ++++ xxx ( )1<x . Из формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической

прогрессии )1

(q

aS−

= следует, что x

xxx−

=++++1

1...1 32 )1( =a .

Теперь, продифференцировав это равенство, имеем:

xxxx

−=++++

11...4321 32 .

12. Найти сумму ряда ...432

432

++++xxxx ( 1<x ).

Интегрируя равенство x

xxx−

=++++1

1...1 32 в пределах от до ,

получаем:

0 x

)1ln(...432

432

xxxxx −−=++++ .

Этот ряд сходится в промежутке [ )1,1− .

Гл.2. Разложение функций в степенные ряды

Нам теперь известно, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечно дифференцируемой функцией.

Рассмотрим обратную задачу: какие функции и в каких областях представимы в виде суммы степенного ряда.

Всякую функцию, у которой в окрестности точки ax = существует производных, можно разложить по формуле Тейлора: n

- 7 -


nn

n

Raxn

afaxafaxafafxf +−−

++−′′

+−′

+= −−

1)1(

2 )()!1(

)(...)(!2

)()(!1

)()()(

(1), где [ ] nn

n axn

axafR )(!

)( )(

−−+

=θ , 10 <<θ ( )∗ . называется

остаточным членом. nR

Если функция )(xf имеет в окрестности точки производные всех порядков (т.е. является бесконечно дифференцируемой) и, кроме того, в этой окрестности

ax =

0lim =∞→ nn

R (2), то функция )(xf

представляется рядом Тейлора:

++−′′

+−′

+=−= ∑∞

=

...)(!2

)()(!1

)()()(!

)()( 2

0

)(

axafaxafafaxn

afxfn

nn

,)3(...)(!

)()(

+−+ nn

axn

af т.е. будет суммой этого ряда (иными

словами, ряд Тейлора сходится к этой функции )(xf ). Условие (2) является необходимым и достаточным условием

выполнения разложения (3). При получаем разложение функции 0=a )(xf в так называемый

ряд Маклорена:

...!

)0(...!2

)0(!1

)0()0()()(

2 +++′′

+′

+= nn

xn

fxfxffxf (4).

Таким образом, ряд ...!

)0(...!2

)0(!1

)0()0()(

2 +++′′

+′

+ nn

xn

fxfxff (5)

называется рядом Маклорена функции )(xf . В связи с трудностями проверки условия (2) часто пользуются

следующим предложением: если в некоторой окресности точки ax = при любом выполняется неравенство (А) n Mxf n <)()( , где M – некоторая положительная постоянная, то 0lim =

∞→ nnR и функция )(xf

разлагается в ряд Тейлора. Справедливо также для всех из данной окрестности следующее

утверждение: если функция в некотором интервале представляется сходящимся степенным рядом, то этот ряд будет для нее рядом Тейлора. Иными словами, если мы каким-либо способом разложим функцию в степенной ряд, то этот ряд обязательно будет рядом

x

- 8 -


Тейлора для нашей функции (единственность разложения функции в степенной ряд).

Для многих функций, употребляемых в практических применениях, каждая точка сходимости ряда Маклорена является и точкой сходимости этого ряда к породившей его функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Маклорена можно вместо проверки выполнения условия (2), что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Маклорена как обычного степенного ряда и доказать, что при любом он сходится именно к данной функции.

x

x

При разложении функции )(xf в ряд Тейлора, разложенный по степеням , можно рекомендовать следующий порядок действий. )( ax −

1. Найти производные )(xf ′ , )(xf ′′ ,…, ,… )()( xf n

2. Вычислить )0(f ′ , )0(f ′′ ,…, ,… )0()(nf3. Составить формально ряд Тейлора. 4. Найти область сходимости полученного ряда. 5. Доказать, что в области сходимости остаточный член стремится к нулю, т.е. выполняется условие (2).

Примеры.

1. Разложить в ряд Маклорена функцию . xexf =)(Имеем. 1) , откуда, при xn exfxfxfxf ===′′′=′′=′ )(...)()()( )( 0=x получаем: 2) . 1)0(...)0()0()0( )( ===′′′=′′=′ nfffxf3) По формуле (5) находим ряд Маклорена для функции : xe

...!

1...!3

1!2

1!1

11 32 ++++++ nxn

xxx (6).

4) Найдем интервал сходимости этого ряда:

∞=+

==∞→

+∞→ !

)1(!limlim1 n

nnaa

Rn

n

n

n. Следовательно, ряд абсолютно

сходится на всей числовой прямой ( )∞∞− , . 5) Докажем теперь, что функция сумма ряда (6). xe

- 9 -


В силу необходимого условия сходимости ряда для любого

справедливо равенство

x

0!

lim =∞→ n

x n

n (7). Так как ξξ ef n =)( , то

( )∗∗ nnn

n xnex

nfxR

!!)()(

)( ξξ== , где xθξ = , 10 << ξ .

Учитывая, что xee <ξ , имеем: nx

nn x

nex

nexR

!!)( <=

ξ

.

Отсюда в силу (7) 0)(lim =∞→

xRnn при любых и, следовательно,

функция является суммой ряда (6).

xxe

Таким образом, при любом имеет место разложение: x

...!

...!3!2!1

132

++++++=nxxxxe

nx (8).

2. Разложение функции xxf sin)( = .

1) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==′

2sincos)( πxxxf , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=−=′′

22sinsin)( πxxxf ,…,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=

2sin)()( πnxxf n .

2) 0)0( =f , 1)0( =′f , 0)0( =′′f , 1)0 =′′′f , ,… 0)0()4( =f3) По формуле (5) составим ряд Маклорена:

...)!12(

)1(...!7!5!3

121753

+−

−++−+−

−−

nxxxxx

nn

(9).

4) ∞=−

−+=

−+

=∞→∞→ )!12(

)!12)(12(2lim)!12()!12(lim

nnnn

nnR

nn, т.е. полученный ряд

(9) сходится абсолютно на всей числовой прямой. 5) Исследуем остаточный член.

nnn

n xn

nx

nfxR

!2

sin

!)()(

)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

==

πξξ , где xθξ = , 10 << ξ . Теперь в

силу (7) при любом получаем x 0)(lim =∞→

xRnn. А это означает, что

функция является суммой ряда (9), т.е. имеет место разложение:

xsin

- 10 -


...)!12(

)1(...!7!5!3

sin121753

+−

−++−+−=

−−

nxxxxxx

nn

(10).

3. Разложение функции xxf cos)( = . Аналогично предыдущему, можно получить разложение функции в ряд Маклорена. Однако еще проще разложение получается почленным дифференцированием ряда для :

xcosxcos

xsin

...)!12(

)1(...!7!5!3

)()(sin121753

+′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′=′

−−

nxxxxxx

nn

, откуда

....)!2(

)1(...!6!4!2

1cos2642

+−

++−+−=n

xxxxxnn

(11).

Замечание 1. Вместо ряда Маклорена можно было бы рассмотреть

более общий ряд Тейлора по степеням )( ax − , где , т.е. ряд вида 0≠a

...)(!

)(...)(!2

)()(!1

)()()(

2 +−++−′′

+−′

+ nn

axn

afaxafaxafaf

Все изложенное полностью переносится и на эти ряды.

Замечание 2. При разложении функций , , можно было воспользоваться условием (А). Например, пусть и рассмотрим интервал

xe xsin xcosxexf =)(

),( NN− , где N – любое фиксированное число. Для любого ),( NNx −∈ имеем: Mee Nx =< . Из этого следует, что все производные функции ограничены одним и тем же числом xe xeM = и поэтому . 0lim =

∞→ nnR

Аналогично, любая производная функций и (т.е. xsin xcos xsin± и ) по абсолютному значению не превосходит единицы. Следовательно, ряды Маклорена для функций и сходятся к ним соответственно на всей числовой оси.

xcos±xsin xcos

Замечание 3. Может случиться (если не выполняется условие (2)),

что ряд Тейлора, составленный для функции )(xf , сходится, а сумма

- 11 -


его вовсе не равна )(xf . Например, функция ⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠=

−

0,00,)(

21

xxexf x –

бесконечно дифференцируема на всей числовой оси , причем все ее производные в точке

( ∞∞− , )0=x равны нулю.

В самом деле, 21

32)( xex

xf−

=′ при 0≠x и 0)0( =′f , так как

0limlim)0()(lim 2

2

0

1

00===

−→

−

→→ zz

h

hh ez

he

hfhf , где

hz 1= . Далее, 0)0( =′′f , так

как 02lim

2

lim)0()(lim 2

24

1

3

00===

′−′∞→

−

→→ zz

h

hh ez

h

eh

hfhf , и т.д. Следовательно,

все коэффициенты Тейлора функции )(xf ( )0(f , !1

)0(f ′ , !2

)0(f ′′ ,…) при

равны нулю. Соответствующий ряд Тейлора состоит из членов, равных нулю, и, значит, сходится не к функции

0=x)(xf , а к функции,

тождественно равной нулю. 4. Биноминальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию

, где – любое действительное число. Имеем: mxxf )1()( += m1)1()( −+=′ mxmxf , 2)1)(1()( −+−=′′ mxmmxf ,…,

nmn xnmmmxf −++−−= )1)(1)...(1()()( … Поэтому 1)0( =f , mf =′ )0( , )1()0( −=′′ mmf ,…,

)1)...(1()0()( +−−= nmmmf n ,… и ряд запишется в виде:

...!

)1)...(1(...!2

)1(1)1( 2 ++−−

++−

++=+ nm xn

nmmmxmmmxx

Определим радиус сходимости 1

lim+

∞→=

n

nn a

aR .

Так как !

)1)...(1(n

nmmman+−−

= , )!1(

))...(1(1 +

−−=+ n

nmmman ,

- 12 -


то 11

11lim1lim =

−

+=

−+

=∞→∞→

nm

nnm

nRnn

.

Таким образом, биноминальный ряд сходится при , т.е. )1,1(−∈x 1<x , и расходится при и (при 1−<x 1>x 1>x ). Исследуем остаточный член в случае, когда 10 << x .

В этом случае для всех имеет место mx > 1)1(

1)1( <+

=+ −−

mnnm

xx , и

поэтому )1)...(1()1)(1)...(1()()( +−−<++−−= − nmmmxnmmmxf nmn .

Из условия (А) получаем: nn x

nnmmmxR

!)1)...(1()( +−−

< .

Правая часть неравенства есть абсолютная величина -го члена степенного ряда, сходящегося при

n1<x . Следовательно, 0lim =

∞→ nnR .

Соответствующее доказательство для интервала )0,1(− более сложное и мы его не приводим.

Таким образом, биноминальный ряд представляет функцию в интервале в следующем виде: mx)1( + )1,1(−

...!

)1)...(1(...!2

)1(1)1( 2 ++−−

++−

++=+ nm xn

nmmmxmmmxx (12).

На концах интервала )1,1(− , т.е. при 1±=x , ряд может сходиться или расходиться в зависимости от показателя степени . Так, при

и ряд сходится абсолютно; при m

0>m 1±=x 01 <<− m и 1=x сходится условно; при и 1≤m 1=x , а также при и 0<m 1−=x ряд расходится.

Разложение (10) пригодно: при , если ; 0≥m 11 ≤≤− xпри , если 01 <<− m 11 ≤<− x ; при , если 1−≤m 11 <<− x . Приведем часто встречающиеся биноминальные ряды,

соответствующие значениям 1−=m , 21 ,

21

− :

- 13 -


1. nn xxxxxx

)1(...1)1(1

1 321 −++−+−=+=+

− ( 11 <<− x );

);11(...2...8642

)32(...531)1(

...8642

531642

3142

1211)1(1 .2

1

43221

≤≤−+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

−+

++⋅⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅⋅

+⋅

−+=+=+

− xxn

n

xxxxxx

nn

).11(...2...8642

)12(...531)1(

...86427531

642531

4231

211)1(

11 .3 4322

1

≤<−+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

−+

+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅

+−=+=+

−

xxn

n

xxxxxx

nn

5. Функции и . )1ln( x+ xarctgСпособ 1. Вычислим значение функции, например , и ее производных при ; имеем:

( xxf += 1ln)( )0=x

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,...!3 ,!20 ,10 ,10 ,01ln0 ,...;

1!3

,1

!2)( ,1

1)( ,1

1)( ,1ln)(

44

432

−==′′′−=′′=′==+

−=

=+

=′′′+

−=′′+

=′+=

fffffx

fx

xfx

xfx

xfxxf

Отсюда следует, что ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )!110 ,1

!11 11 −−=+−

−= −− nfx

nxf nnn

nn =n(

=1,2,3,…). По формуле (4) находим разложение данной функции в ряд

Маклорена (5): ( ) ( ) (13) ...1...432

1ln 1432

+−++−+−=+ −

nxxxxxx

nn . Этот

ряд называется логарифмическим рядом. Область сходимости найдем

по формуле (3) (5.1, (3)): 111lim1limlim1

=+=+

==∞→∞→

+∞→ nn

naaR

nnn

nn

, т.е.

Исследуем сходимость ряда в точках .11 <<− x .1 и 1 −=−= xx При ряд расходится как гармонический. При имеем

знакочередующийся ряд:

1−=x 1=x

( ) ...,11...41

31

211 +−++−+−

nn который

сходится по прихнаку Лейбница. Итак, данный ряд сходистя в

- 14 -


промежутке . Можно показать, что этот ряд сходится именно

к , т.е.

11 ≤<− x

2ln ( )∑∞

=

−−=1

1 .112lnn

n

n

Способ 2.

Известно, что ( ) ∫ +=+

x

xdxx

0

;1

1ln поэтому разложение в ряд найдем

почленным интегрированием ряда для доби x+1

1 (5.2, пример 4): x+1

1 =

( ). ...1 32 ∗+−+−= xxx Отсюда

( ) ( ) ).11( ...432

...11

1ln432

0

32

0

≤<−+−+−=+−+−=+

=+ ∫∫ xxxxxdxxxxx

dxxxx

Запишем выражение для функции xxf arctg)( = в виде интеграла:

.1

arctg0

2∫ +=

x

xdxx Разложим подынтегральную функцию 21 x

dx+

в ряд

Маклорена. В меняем на : ( )∗ x 2x

( ) ...1...11

26422 +−++−+−=

+nn xxxx

xdx

Интегрируя этот ряд в области сходимости 11 <<− x , находим:

( )( )

( ) (14). ...12

1...753

arctg

,..1...1arctg

127530

2642

++

−++−+−=

+−++−+−=

+

∫

nxxxxxx

dxxxxxx

nn

xnn

Этот ряд сходится в промежутке ( )11 ≤≤− x . Свойство единственности разложения функции в ряд Тейлора

удобно использовать при разложении в степенной ряд элементарных функций, опираясь при этом на пять основнях разложений (см. 5.2, пример 4, 5):

1) ( ) (8); ,- ...,!

...!3!2!1

1!

32

0∞∞++++++== ∑

∞

= nxxxx

nxe

n

n

nx

- 15 -


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( );10 , ...)!12(

)1(...

!7!5!31

!121

!12sin 2)

121

753

0

112

0

12

∞∞−+−

−++

+−+−=−−

=−+

=

−−

∞

=

−−∞

=

+

∑∑

nx

xxxxnx

nxx

nnn

nn

n

nn

( ) ( )

( ) (11); ,

...,)!2(

)1(...!6!4!2

11!2

cos )32642

0

2

∞∞−

+−

++−+−=−= ∑∞

= nxxxx

nxx

nn

n

nn

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (12); 1,1- ...!

1...1

...!2

)1(1!

1...1)1( )4 2

0

++−−

+

++−

++=+−−

=+ ∑∞

=

n

n

nm

xn

nmmm

xmmmxxn

nmmmx

( ) ( ) ( )

( ] (13). 1,1-

...1...432

11ln 5) 1432

1

1 +−++−+−=−=+ −∞

=

−∑ nxxxxx

nxx

nn

n

nn

Примеры.

6. Разложить в степенной ряд . 2xe−

В формуле (8), заменив на x 2x− , получаем:

( ) ( )., ...!

1...6!2!1

12642

2

∞∞−+−++−+−=−

nxxxxe

nnx

7. Разложить в ряд по степеням xln 1−x . В формуле (13), заменяя на x 1−x , получаем:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).20 ...11...41

31

211ln 1

432

≤<+−

−++−

−−

+−

−−= − xn

xxxxxxn

n

8. Разложить x1 в ряд по степеням 2−x .Данную функцию представим

в виде

221

21

1−

+=

xx и рассмотрим правую часть как сумму бесконечно

- 16 -


убывающей геометрической прогрессии с первым членом 21

=a и

знаменателем 2

2−−=

xq . Отсюда получаем:

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

⋅−= ...2

221

22

21

22

21

211 32 xxx

x

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+0 2

221...

22

21

n

nn xx , т.е. ( ) −−+−−= 2)2(812

41

211 xx

x

,12

2 как Так ...)2(161 3 <

−+−−

xx то 40 << x .

9. Разложить по степеням xe2 1−x . В формуле (8) заменяем на : x x2 ( ) == − 2122 eee xx

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−+−+=

0

222

2 1!

2...1!

2...1!2

21!1

21n

nn

nn

xn

exn

xxe .

10. Разложить в ряд Маклорена функцию ( ) .cos2 xxf =

Известно, что ( .2cos121cos2 xx += ) Заменив на в формуле (11),

получим:

x x2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ...

!221...

!42

!2212cos

242

+−+−+−=n

xxxxn

n или

( ) ( ) ...!2

21...!4

2!2

212cos224422

+−+−+−=nxxxx

nnn Теперь ясно, что

( ) ( ) ....!2

21...!4

2!2

21121cos

2244222

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−+−+=

nxxxx

nnn Окончательно:

( ) ( ) ...!2

21...!4

8!2

21cos21242

2

nxxxx

nnn

−

−+−+−= Разложение верно при

любом . x

Операцию разложения функций в степенные ряды позволяет значительно упростить применение следующих свойств степенных рядов.

- 17 -


1) Два степенные ряда можно почленно складывать, умножать и делить (по правилу умножения и деления многочленов). При этом областью сходимости полученного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в которых одновременно сходятся оба ряда. 2) Степенной ряд в области его сходимости можно почленно интегрировать, а внутри области сходимости можно почленно дифференцировать. При этом его радиус сходимости не меняется (5.1, примеры 11 и 12, 5.2, примеры 3 и 5).

Часто бывает удобно предварительно разложить в ряд производную функции, а затем путем почленного дифференцирования получить ряд для самой функции.

Примеры.

11. ( ) ( )( )∑∑∑∑

∞

=

+∞

=

∞

=

∞

=

−

+=

−−=

−−=

−=

0

12

000 !12!211

!21

!21

2sh

n

n

n

nn

n

n

n

nxx

nxx

nnx

nxeex .

Сходится при всех .x

12. ( )[ ] )21 , на замена (12), формула (5.2,1

121

22

−=−=−+=−

−mxxxx

xx =

( ) ∑∑∞

=

+∞

=

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=0

122

0

2

4!2

12...23

21

n

nn

nn

n

nx

Cxx

n

n

,

( )!!!

nmnmCn

m −= – число сочетаний из по n . Сходится при m 1<x .

- 18 -


( ) ( ) ( )==

−+=+ ∑

∞

=

− )- на замена (8), формула (5.2,!

111 .130

xxxn

xexn

nn

x

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )=

−+−−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−

+=

=−

−+

−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

++−+−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++−+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++−+−+=

∑∑

∑∑∞

=

−−∞

=

−

∞

=

−∞

=

−

−

−

2

11

1

1

1

1

1

1432

132

132

!1111

!11

!11

!11

!11...

!11...

!3!2!1

...!

1...!3!2!1

1

...!

1...!3!2!1

11

n

nnn

n

nnn

n

nn

n

nnnn

nn

nn

xn

nxnn

nx

nx

nxxxxx

nxxxx

nxxxxx

( )( ) .!

1112

1

∑∞

=

−−−+=

n

nn

xn

n Ряд сходится при любом . x

( )

...403

61

31

21...

51

!141

!231

!321

!41

41

!131

!221

!31

31

!121

!21

21

!11

...432

...!3!2

2!1

11ln .14

54325

432

43232

+++++=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅−

⋅+

⋅−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅+

⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=+

xxxxxx

xxxx

xxxxxxxex

Заметим, что здесь можно подсчитать столько коэффициентов, сколько понадобится. У первого ряда ∞=R , у второго 1=R , т.е. полученный результат справедлив при 11 <<− x , где абсолютно сходятся оба ряда.

;...

7202421

...504012061

...!6!4!2

1

...!7!5!3!1

cossin tg.15 642

753

642

753

+−+−

+−+−=

+−+−

+−+−==

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxx

- 19 -


......................

...315

17

...315

17

...1515

2

...3154

152

...7263

...840303

...315

17152

3 ...

720242

...720242

1 ...50401206

5

7

75

75

753

753

752753

642753

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

+−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−

++−+

++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−

+−+−+−+−+

x

x

xx

xx

xxx

xxx

xxxxxxxx

xxxxxxx

Таким образом, разложение тангенса в степенной ряд начинается

с членов ( ). ...31517

152

31 tg 752 ∗++++= xxxxx Для вычисления

дальнейших членов надо было продолжить разложение .

Можно доказать, что это разложение справедливо при

xx cos и sin

2π

<x .

Равенство ( )∗ можно получить также с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого заметим, что как нечетная функция должен разлагаться в ряд по нечетным степеням:

Но поскольку

xtg

...tg 77

55

331 ++++= xaxaxaxax xxx sintgcos =⋅ , то

( ) ...!7!5!3!1

......!6!4!2

1753

77

55

331

642

+−+−=++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

xxxxxaxaxaxaxxx

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим: x

,...!7

1!6!4!2

,!5

1!4!2

,!3

1!2

,!1

1 1357

135

131 −=−+−=+−−=−=

aaaaaa

aaaa

- 20 -


Отсюда последовательно найдем коэффициенты ,... , , , 7531 aaaa

16. xx

−+

11ln .

В формуле (13) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−−−

=−1

111lnn

nn

nxx заменим на : x x−

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) =−−

=−−

=−−

=− ∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

−

1

1

1

1

1

1 111111lnn

nnn

n

nn

n

nn

nx

nx

nxx

( ) ( ). 11

12 ∗−= ∑∞

=

−

n

nn

nx Имеем:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ). ...53

212

21

111ln1ln11ln

53

1

12

11

1

1 1

121

∗∗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

−=+−=

=−−−=−−+=−+

∑∑∑

∑ ∑∞

=

−∞

=

∞

=

−

∞

=

∞

=

−−

xxxn

xnx

nx

nx

nxxx

xx

n

n

n

n

n

nn

n n

nn

nn

( ) ( ) ( )[ ] =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−⋅−−=

−− ∑∑

∞

=

∞

= 01111ln1

11ln .17

n

n

n

n

xnx

xx

xx

∑∞

=

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++++=

1.1 ;...1...

31

211

n

n xxn

Мы перемножили два ряда, приводя подобные члены.

( ) ( ) ( ) ∑∑∞

=

∞

=

−=−−−=−−

=+++1

4

1

44

42 1ln1ln1

1ln1ln .18n

n

n

n

nx

nxxx

xxxxx .

19. .arctgxy =

.1

12x

y+

=′ В формуле ( )∑∞

=

−=+ 0

11

1n

nn xx

(5.2, пример 4) заменим на

:

x

2x ( ) .11

10

22 ∑

∞

=

−=+ n

nn xx

( ) .12

1arctg0

12

∑∞

=

+

+−+==

n

nn

nxCxy Чтобы найти

постоянную , положим C Cx === 00arctg :0 Теперь окончательно

получаем: ( ) .112

arctg0

12

∑∞

=

+

−+

=n

nn

nxx Ряд сходится при .1≤x

- 21 -


20. .4122arctgxxy

+−

=

( ) .4112

412

2xxy

+−=

+−=′ В формуле ( )∑

∞

=

−=+ 0

11

1n

nn xx

заменим на

:

x

24x ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

−=−=+ 0

2

0

222 2121

411

n

nn

n

nn xxx

, следовательно, =′y

; ( ) ( ) ( )∑∑∞

=

++∞

=

−=−−=0

2121

0

22 21212n

nnn

n

nnn xx

( ) ( ) ( ) .12

2112

214122arctg

0

121

0

12121

Cn

xn

xxxy

n

nn

n

nnn

++

−=

+−

=+−

= ∑∑∞

=

++∞

=

+++

Положим , тогда . Хотя ряд сходится при 0=x 2arctg=C21

≤x , это

разложение справедливо только при 21

41

≤<− x , так как данная

функция терпит разрыв при .41

−=x

21. .arcsinxy =

Имеем: ( ) ( ) .11

1arcsin 21

22

−−=

−=′ x

xx В формуле

( ) +−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅

+−=+=−

− ...86427531

642531

4231

2111

11 432

21

xxxxxx

)11( ...2...8642

)12(...531)1( ≤<−+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

−+ xxn

n nn (5.2, пример 4) заменим на

:

x

2x− ( )( ) ( )

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=−−

!223

21

!121

11

222

21

2xx

x

( ),1 ...,

!325

23

21 32

<+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+ xx

или, после упрощения: =− 211

x

( ) .1 ...,2...42

12...31...4231

211 242 <+

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

++⋅⋅

++= xxn

nxx n Проинтегрируем

- 22 -


написанный ряд в пределах от до (0 x 1<x ). Получим: ∫ =+

x

xdx

121

...4231

2 0

4

0

2

0

+⋅⋅

++= ∫∫∫xxx

dxxdxxdx Таким образом, +⋅+=32

1arcsin3xxx

( ) 1 ...,122...42

12...31...7642

531542

31 1275

<++

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

++⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

++

xn

xn

nxx n

.

Гл.3. Некоторые применения степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных

вычислениях значений функций и интералов, при решении дифференциальных уравнений.

1) Вычисление приближенных значений функции

Чтобы найти значение функции )(xf в точке , т.е. с

заданной точностью, надо: 0xx = )( 0xf

а) представить функцию степенным рядом ∑∞

=

=0

)(n

nnxaxf ;

б) подставить значение аргумента функции в степенной ряд, при этом получится знакопеременный или знакопостоянный числовой ряд

;

0x

∑∞

=00

n

nnxa

в) если этот числовой ряд знакочередующийся, то надо вычислять значения членов ряда, пока ( 1+n )-й член не станет по абсолютной величине меньше заданной точности; тогда из теоремы Лейбница (см. 3.2, 3.3) сумма первых первых членов ряда отличается от суммы ряда

n nSS , а значит, и от значения рассматриваемой функции не

более чем на абсолютную величину первого из отброшенных членов; т.о. величина есть значение с точностью до

)( 0xf

nS )( 0xf 101

++

nx xa .

г) если числовой ряд содержит только члены одного знака, то погрешность вычисления оценивается значением остаточного члена

в разложении функции по формуле Маклорена: )( 0xRn )( 0xf

- 23 -


nn x

nnfxR 00 !

))(()( ξ= , где 00 x<< ξ ( 10 , 0 <<= θθξ x ); в другой раз,

если данный числовой ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов (остаточный член ряда, 3.3), сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Примеры. 1. Вычислить sin с точностью до 0,001. °10Воспользуемся разложением

...)!12(

)1(...!7!5!3

sin12

1753

0 +−

−++−+−=−

−

nxxxxxx

nn Для этого переведем

градусную меру в радианную: 18

10 π=° . Затем в разложении положим

18π

=x : ...!518!3181818

sin 5

5

3

3

−⋅

+⋅

−=ππππ Подсчитаем значение каждого

члена. Имеем: 1745,018

=π

; .0008,0!3183

3

−=⋅

−π

Абсолютное значение

второго члена меньше 0,001, т.е. 001,00008,0 <− . По теореме

Лейбница для подсчета значений 18

sin π с заданной точностью Е=0,001

достаточно взять один член, т.е. 18

sin π , при этом совершим

погрешность меньше первого отброшенного члена по абсолютной величине .0008,0<nr 2. Вычислить e с точностью до 10-3.

Имеем: ...!

...!2!1

12

+++++=nxxxe

nx При

21

=x получаем:

...)!1(

121...

!21

21

!11

211

1221

+−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅+==

−

nee

n

Это есть тот случай, когда полученный числовой ряд знакопостоянный и теорема Лейбница не применияется. Поэтому оценим погрешность

- 24 -


приближения с помощью остаточного члена, именно: ,!

)( nn x

nexRξ

=

.210 << ξ При

21

=x имеем: .10 ,21

!21

<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ

ξ n

n neR

Для достижения нужной нам точности потребуем, чтобы выполнялось неравенство 310−<nR . Имеем:

!23

!2!2!2!21

21

max

nne

ne

ne

n

eR nnnn

n

n ⋅<

⋅<

⋅=

⋅<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ξ

ξ

. Заметим, что, начиная с

, 5=n 310−<nR . Действительно, .101280

1 35

−<=R Следовательно, для

вычисления e с требуемой точностью надо взять : 5=n

.648,1!52

1!42

1!32

1!22

1211 5432 ≈

⋅+

⋅+

⋅+

⋅++≈e

Все слагаемые надо брать с точностью до 10-4, чтобы при суммировании не получить погрешность превышающей 10-3. 3. Оценить погрешность приближенного равенства

,!

...!2!1

12

nxxxe

nx ++++≈ .10 +<< nx

Здесь погрешность определяется суммой членов, следующих после !n

x n

:

...)!3()!2()!1(

321

++

++

++

=+++

nx

nx

nxR

nnn

n или

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++

+++

+= ...

)3)(2)(1()2)(1(1!

32

nnnx

nnx

nx

nxR

n

n .

Каждый из сомножителей в знаменателе ,...3 ,2 ,1 +++ nnn заменим меньшей величиной , получим неравенство: 1+n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

+< ...

)1()1(1! 3

3

2

2

nx

nx

nx

nxR

n

n .

- 25 -


Или, суммируя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в

скобках ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

+=

1,

1 nxq

nxa , имеем:

,

11

1!

+−

+⋅<

nx

nx

nxR

n

n т.е. xn

xnxR

n

n −+⋅<

1!.

Для вычисления корней n-й степени используется биноминальный

ряд ...!

)1)...(1(...!2

)1(1)1( 2 ++−−

++−

++=+ nm xn

nmmmxmmmxx

4. Вычислить 4 83 с точностью до 0,001.

....486108162

1108162

1162

113

/41,

812здесь/

81213

8121328183

41

444

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅+

⋅++⋅=

====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=+=+= mx

Так как величина третьего члена 001,0108162

3<

⋅, то для подсчета

данного корня с точностью до 0,001 достаточно взять сумму первых двух членов, так как первый отброшенный член по абсолютной величине 3a меньше 0,001.

Таким образом, .0195,3162

1633162

113834 =⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅≈

2) Интегрирование функции

Для приближенного вычисления определенного интеграла подынтегральную функцию (или часть ее) представляют степенным рядом и полученный ряд интегрируют. При этом следует учесть, что промежуток интегрирования должен содержаться в интервале сходимости степенного ряда (чтобы полученный ряд сходился равномерно на орезке интегрирования, 5.1, основные свойства степенного ряда). Оценка погрешности производится так же, как и при вычислении значений функции.

- 26 -


5. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл .1

0

2

2

dxex

∫−

Раскладывая подынтегральную функцию в ряд (5.2, пример 6) и интегрируя почленно, получим:

∫∫ ≈−+−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−=

− 1

0

86421

0

2 ...3456

1336

1401

611...

38448821

2

dxxxxxdxex

854,0336

1401

611 ≈−+−≈

(ошибка не превосходит первого отброшенного члена, т.е.

001,03456

1< ).

3) Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений

С помощью степенных рядов приближенно решаются некоторые классы нелинейных дифференциальных уравнений. Одним из методов интегрирования таких уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда (способ неопределенных коэффициентов). Этот метод заключается в следующем. Будем искать решение уравнения ( ) 0,...,, =′yyxF в виде степенного ряда.

, где a......2210 +++++= n

nxaxaxaay n – неизвестные коэффициенты ( ). Для определения коэффициентов , , ,… разложения

искомого решения подставляют ряд в заданное

уравнение и проделывают все встречающиеся при этом операции над степенными рядами, после чего сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения.

,...1,0=n 0a 1a 2a

( )xy ( ) ∑∞

=

=1n

nnxaxy

xВ результате эти равенства вместе с начальными условиями

образуют систему, из которой последовательно определяются коэффициенты , , ,…, ,… Как правило, этот процесс останавливают на каком-то шаге и получают тем самым приближенное решение.

0a 1a 2a na

6. Найти рушение уравнения 0=′−′′ yxy , удовлетворяющее начальным условиям: 0)0( =y и 1)0( =′y .

- 27 -


Решение ищем в виде ( ) ......2210 +++++= n

nxaxaxaay ∗Имеем: ......32 12

321 +++++=′ −nnxnaxaxaay ( )∗∗

...)1(...232 232 +−++⋅+=′′ −n

n xannxaay На основании начальных условий из ( )∗ и ( )∗∗ находим 0)0( 0 == ay ,

. Подставляя в данное уравнение вместо и 1)0( 1 ==′ ay y y ′ их разложения, получаем тождество:

.........)1(...232 23

32

210

232 +++++=+−++⋅+ −

−− n

nn

n xaxaxaxaxannxaa Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим: x

02 =a , , ,…, 03 =a 134 4 =⋅ a 3)1( −=− nn aann ,…, следовательно, 43

14 ⋅=a ,

, , 05 =a 06 =a7643

17 ⋅⋅⋅=a , 08 =a , 09 =a ,

10976431

10 ⋅⋅⋅⋅⋅=a ,…,

, 0212 ==− nn aa)13(3...7643

122 +⋅⋅⋅⋅⋅=+ nn

a n ,…

Подставляя полученные значения коэффициентов в ( )∗ , получим:

...)13(3...7643

1...7643

143

1 1374 ++⋅⋅⋅⋅⋅

++⋅⋅⋅

+⋅

+= +nxnn

xxxy

С помощью признака Даламбера можно убедиться в том, что этот

ряд сходится на всей числовой оси, значит, представляет искомое решение при всех . x

Другой метод приближенного интегрирования дифференциальных

уравнений, метод последовательного дифференцирования, состоит в отыскании решения в виде ряда Маклорена или Тейлора в зависимости от заданных начальных условий.

7. , xeyyxy +−′=′′ 1)0( =y , 0)0( =′y . Имеем решение в виде ряда Маклорена.

...!3

)0(!2

)0()0()0()( 32 +′′′

+′′

+′+== xyxyxyyxyy

Последовательно дифференцируя данное уравнение и учитывая начальные условия, получим:

1)0( =y ,

- 28 -


0)0( =′y , xeyyxxy +−′=′′ )( , 0)0( =′′y ,

xeyyxyxy +′−′′−′=′′′ )( , 1)0( =′′′y , xeyyxyyxy +′′−′′′+′′′+′′=)()4( , , 1)0()4( =y

……………………………………

Ответ запишется в виде: ...241

611 43 +++= xxy

- 29 -