Гл.1. Степенные ряды - math.krsu.edu.· При e−x =3 ряд расходится,

Embed Size (px)

Text of Гл.1. Степенные ряды - math.krsu.edu.· При e−x =3 ряд расходится,

  • .

    .1.

    ......22100

    +++++=

    =

    nn

    n

    nn xaxaxaaxa (1)

    , , , ,, , , . : (2), . (2)

    0a 1a 2a na

    ...)(...)()( 210 +++++n

    nx axaaxaaxaa axax =

    (1), , , (1).

    n- , (nnxa 1+n )- .

    . 0a

    1. (1) 0=x .

    (). (1) , , , ,

    00 x x

    0xx < , .. (- 0x , 0x ). (1) , 1x

    1xx > , .. (- 1x , 1x ). - 0x 0 0x - 1x 0 1x

    . . . 1. 0x 00 x , (- 0x , 0x ) (1).

    2. , ,

    R( R0 ) Rx < , Rx > .

    nn a

    R 1lim

    = (3) 1

    lim+

    =

    n

    nn a

    aR (4),

    . , , - 1 -

  • .

    Rx = .

    1. Rx =

    , , , , . , , ,

    n

    nn a

    R 1lim

    = .

    2. ++ )(10 axaa

    , ,

    ...)(...)( 22 +++++n

    n axaaxa

    0=x ax = , , ( )RaRa + , , Rax

  • .

    , .

    .

    1.

    ...1...31

    21 32 +++++ nx

    nxxx

    n

    an1

    = , 1

    11 +=+ n

    an

    111lim1limlim1

    =

    +==

    +==

    +

    nnn

    aa

    Rnnn

    n

    n. ,

    , x 11

  • .

    3.

    =1nP

    n

    nx .

    11lim =

    +=

    P

    n nnR ; 1P 1P .

    1=x

    =

    1

    )1(n

    P

    n

    n 0>P ( )

    0P . 4. ...)5(!3)5(!2)5(!1 32 +++ xxx , , !nan = )!1(1 +=+ nan

    01

    1lim)1(...321

    ...321lim =+

    =+

    =

    nnnnR

    nn.

    05 =x , .. 5=x .

    5. ...!3!21

    32

    +++xxx

    !1n

    an = , )!1(1

    1 +=+ n

    an =+=+

    =

    )1(lim!

    )!1(lim nn

    nRnn

    .

    , . , , , ,

    ..

    xx

    0!

    lim = n

    xn

    n.

    6. kk

    kx

    kk )2(

    121

    1

    ++

    =

    .

    : 0=na 12 = kn k

    n kka

    ++

    =12

    1 kn 2= .

    n

    nna

    R

    =lim

    1 .

    - 4 -

  • .

    2112lim

    121lim

    1

    2

    =++

    =

    ++

    =

    kk

    kk

    Rk

    kk

    k

    .

    . 22 =x ,

    k

    k

    k

    k

    kk

    k kk

    kkk

    =

    =

    =

    ++=

    +

    +=

    ++

    111 1211

    2112

    121 .

    011lim12

    11lim2

    =

    +=

    ++

    e

    tk

    t

    t

    k

    k.

    , 22 =x . 22 =x . ,

    2222 +

  • .

    8.

    =

    1

    )1(n

    nnn xe .

    1limlim11

    ===

    nn

    n n

    nee

    R; 1=R .

    , . :

    1=x11

  • .

    31

    321(3

    ln

    lim32

    lim1 =

    +

    =+

    =

    nnn

    nnnn

    nnen

    R; 3=R . ,

    , . 3x 3=xe , . , 3ln>x . 11. ...4321 32 ++++ xxx ( )1

  • .

    nn

    n

    Raxn

    afaxafaxafafxf +

    ++

    +

    +=

    1)1(

    2 )()!1(

    )(...)(!2

    )()(!1

    )()()(

    (1), [ ] nn

    n axnaxafR )(

    !)( )(

    +

    = , 10

  • .

    ( ).

    , , . (2), , , .

    x

    x

    )(xf , , . )( ax

    1. )(xf , )(xf ,, , )()( xf n

    2. )0(f , )0(f ,, , )0()(nf3. . 4. . 5. , , .. (2).

    .

    1. . xexf =)(. 1) , , xn exfxfxfxf ===== )(...)()()( )( 0=x : 2) . 1)0(...)0()0()0( )( ===== nfffxf3) (5) : xe

    ...!

    1...!3

    1!2

    1!1

    11 32 ++++++ nxn

    xxx (6).

    4) :

    =+

    ==

    + !

    )1(!limlim1 n

    nnaa

    Rn

    n

    n

    n. ,

    ( ) , . 5) , (6). xe

    - 9 -

  • .

    x

    0!

    lim = n

    x n

    n (7). ef n =)( ,

    ( ) nnn

    n xnex

    nfxR

    !!)()(

    )( == , x = , 10

  • .

    ...)!12(

    )1(...!7!5!3

    sin121753

    +

    +++=

    nxxxxxx

    nn

    (10).

    3. xxf cos)( = . , . :

    xcosxcos

    xsin

    ...)!12(

    )1(...!7!5!3

    )()(sin121753

    +

    ++

    +

    =

    nxxxxxx

    nn

    ,

    ....)!2(

    )1(...!6!4!2

    1cos2642

    +

    +++=n

    xxxxxnn

    (11).

    1.

    )( ax , , .. 0a

    ...)(!

    )(...)(!2

    )()(!1

    )()()(

    2 +++

    +

    + nn

    axn

    afaxafaxafaf

    .

    2. , , (). ,

    xe xsin xcosxexf =)(

    ),( NN , N . ),( NNx : Mee Nx =< . , xe xeM = . 0lim =

    nnR

    , (.. xsin xcos xsin ) . , .

    xcosxsin xcos

    3. ( (2)),

    , )(xf , ,

    - 11 -

  • .

    )(xf . ,

    ==

    0,00,)(

    21

    xxexf x

    ,

    ( , )0=x .

    , 21

    32)( xex

    xf

    = 0x 0)0( =f ,

    0limlim)0()(lim 22

    0

    1

    00===

    zz

    h

    hh ez

    he

    hfhf ,

    hz 1= . , 0)0( =f ,

    02lim

    2

    lim)0()(lim 2

    24

    1

    3

    00===

    zz

    h

    hh ez

    h

    eh

    hfhf , .. ,

    )(xf ( )0(f , !1

    )0(f , !2

    )0(f ,)

    . , , , ,

    0=x)(xf , ,

    . 4. .

    , . : mxxf )1()( += m1)1()( += mxmxf , 2)1)(1()( += mxmmxf ,,

    nmn xnmmmxf ++= )1)(1)...(1()()( 1)0( =f , mf = )0( , )1()0( = mmf ,,

    )1)...(1()0()( += nmmmf n , :

    ...!

    )1)...(1(...!2

    )1(1)1( 2 ++++++=+ nm xn

    nmmmxmmmxx

    1

    lim+

    =

    n

    nn a

    aR .

    !

    )1)...(1(n

    nmmman+

    = , )!1(

    ))...(1(1 +

    =+ n

    nmmman ,

    - 12 -

  • .

    11

    11lim1lim =

    +=

    +

    =

    nm

    nnm

    nRnn

    .

    , , .. )1,1(x 1x ). , 10 1)1(

    1)1(