03/08/2015
1
Sistem Bilangan Riil
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
2
03/08/2015
2
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
3
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
4
03/08/2015
3
Simbol-Simbol dalam Matematikaa
5
Sistem bilangan
6
N : bilanganasli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N :1,2,3,….
Z :…,-2,-1,0,1,2,..
0,,, bZbabaq
Q :
IrasionalQR
,3,2
Contoh Bil Irasional
03/08/2015
4
Garis bilangan
7
0 1
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)
-32
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Selang
Sifat–sifat bilangan real
8
Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalianx + y = y + x dan x y = y x
Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian(x + y) + z = x + (y + z) dan (x y ) z = x (y z)
Distributif, perkalian terhadap penjumlahan(x + y) z = x z + y z
Unsur identitasTerhadap operasi jumlah yaitu x + 0Terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x 1 = x
InversTerhadap penjumlahan yaitu –x sehingga x + (-x) = 0Terhadap perkalian yaitu 1/x sehingga x 1/x = 1
03/08/2015
5
Sifat–sifat bilangan real
9
• Sifat-sifat urutan :Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satudari x < y atau x > y atau x = yKetransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < zPenambahan
x < y x + z < y + zPerkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bilaz bilangan negatif, maka xz > yz
Selang
10
Himpunan selangaxx a,
axx a,
bxax ba,
bxax ba,
bxx ,b
bxx ,b
xx ,
Jenis-jenis selang
Grafik
a
a
a b
a b
b
b
03/08/2015
6
Sistem Bilangan Real
11
Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yangberlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real
Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:disebut selang tutupdisebut selang buka
keduanya disebut selangsetengah buka / setengah tutup
keduanya disebut selang takterbatas
Supremum Infimum
12
a. Definisi unsur maksimum dan unsur minimum
b. Definisi batas atas dan batas bawah
c. Definisi supremum infimum
03/08/2015
7
Supremum Infimum
13
Supremum bisa juga disebut batas atas terkecil
Infimum bisa juga disebut batas bawah terbesar
Pertidaksamaan
14
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabardengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom)dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
xExD
xBxA
03/08/2015
8
Pertidaksamaan
15
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencarisemua himpunan bilangan real yang membuatpertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real inidisebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :0)()(
xQxP
Pertidaksamaan
16
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang danpenyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikanmenjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garisbilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
03/08/2015
9
Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian
17
53213 x352313 x
8216 x48 x84 x
8,4Hp =4 8
1
Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian
18
8462 x248 x248 x842 x
221
x
2,21
221
Hp2
03/08/2015
10
Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian
19
3,21
0352 2 xx
0312 xxTitik Pemecah (TP) :
21x dan 3x
3
++ ++--
21
3
Hp =
Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian
20
637642 xxxxx 7642 6376 xxdan4672 xx dan 6637 xx
4
109 x 010 xdan
910x 010 xdan
910x dan 0x
03/08/2015
11
21
,0
910,Hp =
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
910,0
Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian
22
01313
xx
x
132
11
xx
0132
11
xx 0
1312213
xxxx
5.
TP : -1,31 , 3
3++ ++--
-1
--
31
Hp =
3,311,
03/08/2015
12
Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian
23
xx
xx
321
032
1
xx
xx
0
32231
xxxxxx
032322 2
xxxx
6.
24
Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilaiDiskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalupositif, Jadi TP : 2,-3Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2-- ++ --
,23,Hp =
03/08/2015
13
Pertidaksamaan nilai mutlak
25
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusatpada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :
0,0,
xxxx
x
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
yx
yx
yxyx 26
2xx axaaax 0,
axaax 0, atau ax
yx 22 yx
6. Ketaksamaan segitiga
12
3
4
5
yxyx
03/08/2015
14
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
27
41 x 4,1
Contoh :352 x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3523 x53235 x
822 x
Hp = 1 4
1.
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
28
0422 xx 4,1
352 x2.
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
952 2 x
925204 2 xx016204 2 xx
08102 2 xx
TP : 1, 4
1 4++--++
Hp =
03/08/2015
15
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
29
5432 xx3.
Kita bisa menggunakan sifat 4
22 5432 xx2540169124 22 xxxx
0162812 2 xx0473 2 xx
34TP : , -1
0143 xx
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
30
Hp = 1,,34
Jika digambar pada garis bilangan :
-134
++--++
03/08/2015
16
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
31
272
x
272
x
272
x
52
x9
2
x
10 x 18x
18,,10
4.
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
32
2123 xx
2222
2xxxx
x
1111
1xxxx
x
Jadi kita mempunyai 3 interval :
-1 2
I II III 1, 2,1 ,2
5.Kita definisikan dahulu :
03/08/2015
17
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
33
1x 1,2123 xx
2123 xx2136 xx
227 x92 x
92 x
29 x
29,
I. Untuk interval atau
atau
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
34
1,
1,29,
29-1
Jadi Hp1 =
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah 1,sehingga Hp1 =
03/08/2015
18
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
35
21 x 2,1II. Untuk interval atau
2123 xx
2123 xx2136 xx
245 x74 x74 x
47 x
47,atau
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
36
Jadi Hp2 = 2,147,
-1 247
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
47,1
sehingga Hp2 =
47,1
03/08/2015
19
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
37
2x ,22123 xx
2123 xx
2163 xx272 x
52 x
III. Untuk interval atau
25 x
,25
atau
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
38
Jadi Hp3 =
,2,25
2 25
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
,25
sehingga
Hp3 =
,25
03/08/2015
20
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
39
Hp = 3Hp2Hp1Hp
,
25
47,11,Hp
Untuk lebih mempermudah, masing-masing intervaldigambarkan dalam sebuah garis bilangan
Contoh : Menentukan HimpunanPenyelesaian
40
,
25
47,Jadi Hp =
47
25
-1
47 2
5-1
47
25-1
03/08/2015
21
Soal Latihan
5432 xx
41
2221 2 xx
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3232 xx
1
2
3
xx
x
1242
4
312
2
xx
xx
5
23 xx6