Pretpostavimo da je otpornik R priključen na
prostoperiodični napon:
Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je:
Struja kroz otpornik ima vrijednost:
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
( ) ( )sinm
u t U tω=
( ) ( )Ru t R i t= ⋅
( ) ( ) ( )sin sinmR m
Ui t t I t
Rω ω= =
Struja kroz otpornik iR (t) u fazi je sa naponom na otporniku uR (t)
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Pretpostavimo da je zavojnica L priključena na
prostoperiodični napon:
Napon zavojnice uL (t) i struja zavojnice iL (t)
povezani su izrazom:
Struja zavojnice iL (t) je:
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
( ) ( )sinm
u t U tω=
Struja zavojnice iL (t) fazno zaostaje za ugao π/2 u odnosu na napon
zavojnice uL (t)
( ) LL
diu t L
dt=
( ) ( ) ( )1
sin cosmL m
Ui t U t t
L Lω ω
ω= = −∫ ( ) sin
2L m
i t I tπ
ω
= −
Napon na zavojnici uL (t) fazno prednjači za ugao π/2 u odnosu
struju zavojnice uL (t)
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Maksimalna vrijednosti napona UL i struje
zavojnice IL povezane su izrazom:
Veličina ωL naziva se induktivna reaktansa i
označava se sa XL i izražava se u omima (Ω)
Prema Omovom zakonu važe jednakosti:
m
m
UL
Iω=
[ ]LX Lω= Ω
; ;L LL L L L L
L L
U UI U I X X
X I= = ⋅ =
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Pošto je XL =ωL=2πfL može se zaključiti da je vrijednost induktivne
reaktanse direktno proporcionalna frekvenciji f
Ako se frekvencija udvostruči udvostruči se i induktivna reaktansa i
obrnuto
Induktivna reaktansa XL predstavlja otpor zavojnice proticanju (promjeni)
struje IL kroz sebe.
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Pretpostavimo da je kondenzator C priključen
na prostoperiodični napon:
Struja kondenzatora iC (t) i napon kondenzatora
uC (t) povezani su izrazom:
Struja kondenzatora iC (t) je:
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
( ) ( )sinm
u t U tω=
Struja kondenzatora iC (t) fazno prednjači za ugao π/2 u odnosu na
napon kondenzatora uC (t)
( ) CC
dui t C
dt=
( ) ( ) ( )sin cosC m m
di t C U t C U t
dtω ω ω= = ⋅ ( ) sin
2C mi t I t
πω
= +
Napon kondenzatora uC (t) fazno kasni za ugao π/2 u odnosu struju
kondenzatora uC (t)
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Maksimalna vrijednosti napona UC i struje
kondenzatora IC povezane su izrazom:
Veličina 1/ωC naziva se kapacitivna reaktansa,
označava se sa XC i izražava se u omima (Ω)
Prema Omovom zakonu važe jednakosti:
1m
m
U
I Cω=
[ ]1
CX
Cω= Ω
; ;C C
C C C C C
C C
U UI U I X X
X I= = ⋅ =
u(t) uC
uC
Im
ReUC
π/2
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Pošto je XC=1/ωC=1/2πfC može se zaključiti da je vrijednost
kapacitivne reaktanse obrnuto proporcionalna frekvenciji f
Pri većim frekvencijama f manja je kapacitivna reaktansa XC i obrnuto
U jednosmjernim kolima (f=0) kapacitivna reaktansa je beskonačna
Kapacitivna reaktansa XC predstavlja otpor kondenzatora promjeni
napona UC na svojim krajevima
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Mjera opiranja elemenata kola R,L i C
proticanju naizmjenične struje u
fazorskom domenu označena je kao
impedansa Z
Pošte se fazori predstavljaju
kompleksnim brojevima to je i
impedansa kompleksan broj
Modul impedanse Z jednak je količniku
efektivnih vrednosti napona i struje
potrošača
Argument impedanse θo jednak je faznoj
razlici napona i struje potrošača
Pojam impedanse Z
[ ]= ΩU
ZI
U
oUZ
Iθ= = = ∠
UZ
I
UZ
I=
m
e
Iarctg
Rθ =
Impedansa Z se može rastaviti na realni i imaginarni dio:
Realni dio impedanse Z naziva se rezistansa R:
Imaginarni dio impedanse naziva se reaktansa X:
U algebarskom, eksponencijalnom i trigonometrijskom
obliku izrazi za kompleksnu impedansu glase:
Grafička prezentacija impedanse Z
R jX= +Z
ReR = Z
ImX = Z
2 2
sin cos
cos , sin
jR jX Ze Z jZ
R Z X Z
Z R X
Xarctg
R
θ θ θ
θ θ
θ
= + = = +
= =
= +
=
Z
Kod otpornosti R napon UR i struja IR su u fazi tj. θ=0o
Ako napon ima neki početni ugao φ isti taj ugao će imati i struja
Za impedansu ZR u možemo napisati:
Predstavljanje otpornosti R kao impedanse
0oR R
R R
U UR
I I
ϕ
ϕ
∠= = = ∠ =
∠
R
R
R
UZ
I
Kod zavojnice L napon UL prednjači struji IL za ugao θ=90o
Ako pretpostavimo da napon zavojnice UL ima početni ugao φU=0o
onda će struja zaostajati za naponom za ugao φI=-90o
Za impedansu ZL u možemo napisati:
Predstavljanje zavojnice L kao impedanse
0
090
90
90
ooL L
L L
o
L
U U
I I
L j L jXω ω
∠= = = ∠
∠ −
= ∠ = =
L
L
L
L
UZ
I
Z
Im
Re
ULUL
ILπ/2
Im
Re
ZL=jXL
Kod kondenzatora C, struja IC prednjači naponu UC kondenzatora za
ugao θ=90o
Ako pretpostavimo da napon kondenzator UC ima početni ugao
φU=0o onda će struja IC prednjačiti za naponom za ugao φI=90o
Za impedansu ZC u možemo napisati:
Predstavljanje kondenzatora C kao impedanse
0
090
90
1 190
o
oC C
C C
o
C
U U
I I
j jXC Cω ω
∠= = = ∠ −
∠
= ∠ − = − = −
C
C
C
L
UZ
I
Z
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Kondenzator C u kolu naizmjenične struje
Primjer:
Zavojnica L u kolu naizmjenične struje
Primjer:
U serijskom kolu struja je zajednička za oba elementa. Neka je struja
data u obliku:
Primjenom II Kirhofovog zakona u kompleksnom domenu dobijamo:
Ugao θ i amplituda napona U može se dobiti iz izraza:
Serijsko RL kolo
0o
I I= ∠ =I
; 0 90 ;o o
R L R L R LU U U jU= + = ∠ + ∠ = +U U U U U
2 2
R LU U U= +
L
R
Uarctg
Uθ =
Padovi napona na elementima R i L dati su sa:
Zamjenom impedansi sa:
Jednačina za napon se može napisati u obliku:
Ugao θ i moduo impedanse Z može se dobiti iz izraza:
Serijsko RL kolo
;R R L L
= ⋅ = ⋅U I Z U I Z
;R L L
R jX= =Z Z
( )L LR j X R jX= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ = ⋅U I I I U I Z
LR jX= +Z
2 2
LZ R X= +
LX
arctgR
θ =
cosR Z θ= ⋅
sinL
X Z θ= ⋅
Im
ReR
jXLZ
U serijskom kolu struja je zajednička za oba elementa. Neka je struja
data u obliku:
Primjenom II Kirhofovog zakona u kompleksnom domenu dobijamo:
Ugao θ i amplituda napona U može se dobiti iz izraza:
Serijsko RC kolo
0o
I I= ∠ =I
; 0 90 ;o o
R C R C R CU U U jU= + = ∠ + ∠ − = −U U U U U 2 2
R CU U U= +
C
R
Uarctg
Uθ =
Im
-jUC
Re
UR
U
Padovi napona na elementima R i C dati su sa:
Zamjenom impedansi sa:
Jednačina za napon se može napisati u obliku:
Ugao θ i moduo impedanse Z može se dobiti iz izraza:
Serijsko RC kolo
;R R C C
= ⋅ = ⋅U I Z U I Z
;R C C
R jX= = −Z Z
( )C CR j X R jX= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⇒ = ⋅U I I I U I Z
CR jX= −Z
2 2
CZ R X= +
CX
arctgR
θ =
cosR Z θ= ⋅
sinC
X Z θ= ⋅
U serijskom kolu struja je zajednička za oba elementa. Neka je struja
data u obliku:
Primjenom II Kirhofovog zakona u kompleksnom domenu dobijamo:
Ugao θ i amplituda napona U može se dobiti iz izraza:
Serijsko RLC kolo
0o
I I= ∠ =I
( )
; 0 90 90 ;o o o
R L C R L C
R L C R L C
U U U
U jU jU U j U U
= + + = ∠ + ∠ + ∠ −
= + − ⇒ = + −
U U U U U
U U
( )2 2
R L CU U U U= + −
L C
R
U Uarctg
Uθ
−=
Serijsko RLC kolo
L CU U> L CU U<
Im
ReUR
-jUC
U
jUL
jUL
-jUC+jUL
Padovi napona na elementima R i C dati su sa:
Zamjenom impedansi sa:
Jednačina za napon se može napisati u obliku:
Ugao θ i moduo impedanse Z može se dobiti iz izraza:
Serijsko RLC kolo
; ; ;R R L L C C
= ⋅ = ⋅ = ⋅U I Z U I Z U I Z
; ;R L L C C
R jX jX= = = −Z Z Z
( )
( ) ( );
;
L C L C
L C
R j X j X R jX jX
R j X X R jX
R jX
= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + −
= ⋅ + − = ⋅ ±
= ± = ⋅
U I I I I
U I I
Z U I Z
( )22
L CZ R X X= + −
L CX X
arctgR
θ−
=cosR Z θ= ⋅
sinX Z θ= ⋅
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer:
Serijsko RLC kolo
Primjer: