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5 Integrais
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5.4 Integrais Indefinidas e o
Teorema da Variao Total
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Integrais Indefinidas e o
Teorema da Variao Total
Nesta seo, vamos introduzir uma notao para
primitivas, rever as frmulas para as primitivas e ento
us-las para calcular integrais definidas.
Tambm reformularemos o TFC2, para torn-lo mais
facilmente aplicvel a problemas da cincia e engenharia.
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Integrais Indefinidas
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Integrais Indefinidas
Ambas as partes do Teorema Fundamental estabelecem
conexes entre as primitivas e as integrais definidas. A
Parte 1 diz que f contnua, ento dt uma primitiva
de f. A Parte 2 diz que pode ser encontrado
calculando-se F(b) F(a), onde F uma primitiva de f.
Precisamos de uma notao conveniente para primitivas
que torne fcil trabalhar com elas. Em virtude da relao
dada pelo Teorema Fundamental entre primitivas e
integrais, a notao tradicionalmente usada para
a primitiva de f e chamada integral indefinida.
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Integrais Indefinidas
Logo,
Por exemplo, podemos escrever
Portanto, podemos olhar uma integral indefinida como
representando toda uma famlia de funes (uma primitiva
para cada valor da constante C).
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Integrais Indefinidas
Voc deve fazer uma distino cuidadosa entre integral
definida e indefinida. Uma integral definida um
nmero, enquanto uma integral indefinida uma
funo (ou uma famlia de funes). A conexo entre elas
dada pela Parte 2 do Teorema Fundamental: se f
contnua em [a, b], ento
A eficincia do Teorema Fundamental depende de termos
um suprimento de primitivas de funes.
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Integrais Indefinidas
Cada frmula pode ser verificada derivando-se a funo do
lado direito e obtendo-se o integrando. Por exemplo,
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Integrais Indefinidas
A primitiva mais geral sobre um dado intervalo obtida
adicionando-se uma constante a uma dada primitiva.
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Integrais Indefinidas
Adotamos a conveno de que quando uma frmula
para uma integral indefinida geral dada, ela vlida
somente em um intervalo. Assim, escrevemos
subentendendo que isso vlido no intervalo (0, ) ou no
intervalo ( 0). Isso verdadeiro apesar do fato de que
a primitiva geral da funo f (x) = 1/x2, x 0,
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Exemplo 2
Calcule .
SOLUO: Essa integral indefinida no imediatamente
reconhecvel na Tabela 1, logo, usamos identidades
trigonomtricas para reescrever a funo antes de
integr-la:
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Exemplo 5
Calcule
SOLUO: Precisamos primeiro escrever o integrando em
uma forma mais simples, efetuando a diviso:
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Exemplo 5 Soluo
continuao
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Aplicaes
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Aplicaes
A Parte 2 do Teorema Fundamental diz que se f for
contnua em [a, b], ento
onde F qualquer primitiva de f. Isso significa que F = f,
de modo que a equao pode ser reescrita como
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Aplicaes
Sabemos que F (x) representa a taxa de variao de
y = F (x) em relao x e F (b) F (a) a variao em y quando x muda de a para b. [Observe que y pode, por
exemplo, decrescer e, ento, crescer novamente. Embora y
possa variar nas duas direes, F (b) F (a) representa a variao lquida em y.] Logo, podemos reformular FTC2 em
palavras da forma a seguir.
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Aplicaes
Esse princpio pode ser aplicado para todas as taxas de
variao nas cincias naturais e sociais. Aqui esto alguns
exemplos dessa ideia:
Se V (t) for o volume de gua em um reservatrio no instante t, ento sua derivada V (t) a taxa segundo a
qual a gua flui para dentro do reservatrio no instante t.
Logo,
a variao na quantidade de gua no reservatrio
entre os instantes de tempo t1 e t2.
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Aplicaes
Se [C](t) for a concentrao do produto de uma reao qumica no instante t, ento a taxa de reao a
derivada d [C]/dt. Logo,
a variao na concentrao de C entre os instantes
t1 e t2.
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Aplicaes
Se a massa de uma barra medida a partir da extremidade esquerda at um ponto x for m (x), ento a densidade linear
(x) = m (x). Logo
a massa do segmento da barra que est entre x = a
e x = b.
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Aplicaes
Se a taxa de crescimento populacional for dn/dt, ento
a alterao total da populao no perodo de tempo
de t1 a t2. (A populao cresce quando ocorrem
nascimentos e decresce quando ocorrem bitos. A
variao total leva em conta tanto nascimentos quanto
mortes.)
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Aplicaes
Se C (x) o custo de produzir x unidades de uma mercadoria, ento o custo marginal a derivada de C (x).
Logo,
o crescimento do custo quando a produo est
aumentando de x1 a x2 unidades.
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Aplicaes
Se um objeto se move ao longo de uma reta com a funo de posio s (t),ento sua velocidade v (t) = s (t),
logo
a mudana de posio, ou deslocamento, da partcula
durante o perodo de tempo de t1 a t2. Isso era verdadeiro
para o caso onde o objeto move-se no sentido positivo,
mas agora demonstramos que sempre verdade.
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Aplicaes
Se quisermos calcular a distncia percorrida durante o
intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos
quando v (t) 0 (a partcula move-se para a direita) e
tambm os intervalos quando v (t) 0 (a partcula move-se
para a esquerda). Em ambos os casos a distncia
calculada integrando-se | v (t) |, a velocidade escalar.
Portanto,
distncia total percorrida.
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Aplicaes
A Figura 3 mostra como o deslocamento e a distncia
percorrida podem ser interpretados em termos de reas
sob uma curva velocidade.
Figura 3
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Aplicaes
A acelerao do objeto a (t) = v (t), logo
a mudana na velocidade do instante t1 at t2.
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Exemplo 6
Uma partcula move-se ao longo de uma reta de tal forma
que sua velocidade no instante t v (t) = t2 t 6 (medida em metros por segundo).
(a) Encontre o deslocamento da partcula durante o
perodo de tempo 1 t 4.
(b) Encontre a distncia percorrida durante esse perodo
de tempo.
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Exemplo 6 Soluo
(a) Pela Equao 2, o deslocamento
Isso significa que a partcula moveu-se 4,5 m para a
esquerda.
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Exemplo 6 Soluo
(b) Observe que v (t) = t2 t 6 = (t 3)(t + 2), logo, v (t) 0 no intervalo [1, 3] e v (t) 0 em [3, 4]. Assim, da Equao 3,
a distncia percorrida
continuao