ACT2025 - Cours 5
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Cinquième cours
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
• Date de comparaison
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
• Date de comparaison
• Diagramme d’entrées et sorties
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
• Date de comparaison
• Diagramme d’entrées et sorties
• Équation de valeur
ACT2025 - Cours 5
Si nous connaissons la fonction d’accumulation A(t) alors le taux instantané de l’intérêt est
Rappel:
ACT2025 - Cours 5
Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt x pour tout x entre 0 et t, ainsi que le principal A(0), alors nous pouvons déterminer la fonction d’accumulation
Rappel:
ACT2025 - Cours 5
Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu’au temps t
Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu’au temps t = b est
Rappel:
ACT2025 - Cours 5
Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée d’un prêt: échéance moyenne, duplication
du capital
ACT2025 - Cours 5
Échéance moyenne:
L’échéance moyenne est le moment t* pour lequel un versement de (s1 + s2 + ... + sn) dollars est équivalent à n versements de s1, s2, ... , sn dollars respectivement payables aux moments t1, t2, ... , tn.
ACT2025 - Cours 5
Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Échéance moyenne: (suite)
ACT2025 - Cours 5
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est :
Rappelons que
Échéance moyenne: (suite)
ACT2025 - Cours 5
De ceci, nous obtenons que
Échéance moyenne: (suite)
ACT2025 - Cours 5
De ceci, nous obtenons que
Échéance moyenne: (suite)
Donc
ACT2025 - Cours 5
Finalement nous obtenons
Échéance moyenne: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Finalement nous obtenons
Échéance moyenne: (suite)
ou encore
ACT2025 - Cours 5
Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé i, c’est-à-dire
e = (1 + i) ou encore = ln(1 + i)
Échéance moyenne: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Échéance moyenne approché:
Il est possible d’approximer la valeur de t* par l’échéance moyenne approchée:
En effet,
ACT2025 - Cours 5
Échéance moyenne approché: (suite)
Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale
si , x sont des nombres réels et -1 < < 1 et développer t = (1 + i)-t en série.
ACT2025 - Cours 5
Exemple 1:
Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5e, 7e, 8e et 12e année. Le taux d’intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt.
Quand doit-elle faire ce remboursement?
ACT2025 - Cours 5
Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant:
Exemple 1: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Le taux d’intérêt est i = 6% par année. L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est
1500(1.06)-5 + 3500(1.06)-7 + 3000(1.06)-8 + 2500(1.06)-12
| |
10500(1.06)-t*
Exemple 1: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors
t* = 8.038029924 années
soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes.
Exemple 1: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée est
soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes.
Exemple 1: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Il est possible de montrer que nous avons toujours
Remarque 1:
ACT2025 - Cours 5
L’inégalité
est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne
géométrique et la moyenne arithmétique:
Remarque 1: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double?
Duplication du capital:
ACT2025 - Cours 5
Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps nécessaire t pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons
K(1 + i)t = 2K
Duplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons
t ln(1 + i) = ln(2)
Duplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons
t ln(1 + i) = ln(2)
Finalement
Duplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 72.
Duplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément,
Duplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double
ACT2025 - Cours 5
Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double
Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation
ACT2025 - Cours 5
Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple?
Triplication du capital:
ACT2025 - Cours 5
Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est
Triplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 114.
Triplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément,
Triplication du capital: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple
Exemple 3:
ACT2025 - Cours 5
Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple
Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation
Exemple 3:
ACT2025 - Cours 5
Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d’intérêt.
ACT2025 - Cours 5
Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n.Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est
Situation 1:
ACT2025 - Cours 5
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est
P(1 + i)n = Aoù P, A et n sont connus.
Situation 1: (suite)
ACT2025 - Cours 5
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est
P(1 + i)n = Aoù P, A et n sont connus.
Situation 1: (suite)
Nous obtenons facilement que
ACT2025 - Cours 5
Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés.
Dans une telle situation, l’équation de valeur nous permet d’écrire une équation sous la forme
f(i) = 0 où f(x) est une fonction connue
après avoir transféré tous les termes d’un côté de l’équation de valeur à l’autre.
Situation 2:
ACT2025 - Cours 5
Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours:
• Méthode de bissection
• Méthode de Newton-Raphson
Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson.
Situation 2: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:
Exemple 4:
ACT2025 - Cours 5
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est
5000(1 + i)9 + 5000(1 + i)7 | |
4000(1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000
Exemple 4: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons
ACT2025 - Cours 5
Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons
Ainsi i est un zéro de la fonction f(x), où
ACT2025 - Cours 5
Nous pouvons noter que
f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796
Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%.
Exemple 4: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Nous pouvons noter que
f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796
Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%.
Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction f au point milieu 5% pour savoir dans quel sous-intervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. Nous obtenons le tableau.
Exemple 4: (suite)
ACT2025 - Cours 5
i f(i)
4% -833.0496513
6% 601.3797796
5% -148.4830568
5.5% 218.011650
5.25% 32.690028
5.125% -58.410764
5.1875% -12.989460
5.21875% 9.817942
5.203125% -1.593838
Exemple 4: (suite)
ACT2025 - Cours 5
Donc nous pouvons conclure que le taux d’intérêt recherché est approximativement 5.2% par période de capitalisation. Si nous voulons plus de précision, il faut alors poursuivre nos calculs en subdivisant de plus en plus l’intervalle de départ.
Exemple 4: (suite)