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ACT2025 - Cours 6

MATHÉMATIQUESFINANCIÈRES I

Sixième cours

ACT2025 - Cours 6

Rappel:

• Échéance moyenne

ACT2025 - Cours 6

Rappel:

• Échéance moyenne• Échéance moyenne approchée

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ACT2025 - Cours 6

Rappel:

• Échéance moyenne• Échéance moyenne approchée• Duplication du capital

ACT2025 - Cours 6

Rappel:

• Échéance moyenne• Échéance moyenne approchée• Duplication du capital• Règle de 72

ACT2025 - Cours 6

Rappel:

• Échéance moyenne• Échéance moyenne approchée• Duplication du capital• Règle de 72• Triplication du capital

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ACT2025 - Cours 6

Rappel:

• Échéance moyenne• Échéance moyenne approchée• Duplication du capital• Règle de 72• Triplication du capital• Règle de 114

ACT2025 - Cours 6

Rappel:

• Échéance moyenne• Échéance moyenne approchée• Duplication du capital• Règle de 72• Triplication du capital• Règle de 114• Méthode de bissection

ACT2025 - Cours 6

Dans un prêt, Antoine emprunte 10000$ à Barnabé. Ilremboursera ce prêt en faisant trois versements: le premier aumontant de 4000$ à la fin de la 3e année, le second aumontant de 5000$ à la fin de la 4e année et 3000$ à la fin dela 6e année.

Déterminer le taux d’intérêt par la méthode de bissection.

Exemple 1:

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ACT2025 - Cours 6

Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 1: (suite)

L’équation de valeur à la date de comparaison t = 6 est10000(1 + i)6 = 4000(1 + i)3 + 5000(1 + i)2 + 3000

ACT2025 - Cours 6

Exemple 1: (suite)

Cette équation de valeur

10000(1 + i)6 = 4000(1 + i)3 + 5000(1 + i)2 + 3000

peut être réécrite sous la forme

f(i) = 10000(1 + i)6 - 4000(1 + i)3 - 5000(1 + i)2 - 3000 = 0

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Ainsi le taux d’intérêt recherché est un zéro de la fonction

f(x) = 10000(1 + x)6 - 4000(1 + x)3 - 5000(1 + x)2 - 3000

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Pour utiliser la méthode de bissection, il nous fautpremièrement déterminer deux nombres

a < b tels que f(a) et f(b)

sont de signes opposés.

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Pour utiliser la méthode de bissection, il nous fautpremièrement déterminer deux nombres

a < b tels que f(a) et f(b)

sont de signes opposés.

Ici nous procédons par tatonnement pour trouver deux telsnombres a et b.

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 6

En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4.3% parannée et 4.9% par année, nous remarquons que

f(4.3%) = -103.98 et f(4.9%) = 205.27

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

En évaluant la fonction f aux deux taux d’intérêt: 4.3% parannée et 4.9% par année, nous remarquons que

f(4.3%) = -103.98 et f(4.9%) = 205.27

Conséquemment la fonction f aura un zéro entre 4.3% et 4.9%.Ceci est la première étape de la méthode de bissection.

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Nous aurons pu prendre d’autres valeurs que 4.3% et 4.9%.Cependant il est important de vérifier que la fonction févaluée à ces valeurs connait un changement de signe.

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 6

La deuxième étape de la méthode est de calculer le pointmilieu

du segment [a, b] et d’évaluer la fonction f à ce pointmilieu.

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Dans notre cas, nous avons que le point milieu est

et la fonction f évaluée à ce point milieu est

f(4.6%) = 49.19

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Comme f n’a pas le même signe lorsque évaluée à a et à b,alors seulement une et une seule des extrémités du segment[a, b]: a ou b est telle que lorsque nous évaluons à lafonction f à ce point, cette valeur a un signe différent de celuide

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 6

Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nouspoursuivons la méthode de bissection avec les deux points:a et (a + b)/2 .

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nouspoursuivons la méthode de bissection avec les deux points:a et (a + b)/2 .

Exemple 1: (suite)

Si f((a + b)/2) et f(b) ont des signes différents, alors nouspoursuivons la méthode de bissection avec les deux points:(a + b)/2 et b .

ACT2025 - Cours 6

Nous avons dans notre exemplef(4.3%) = -103.98, f(4.9%) = 205.27, f(4.6%) = 49.19

Exemple 1: (suite)

Comme f prend des valeurs de signes différents à 4.3% et4.6%, nous poursuivons la méthode en répétant l’étape 2mais avec le segment [4.3%, 4.6%].

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10.634.525% = (4.45% + 4.6%)/2

-27.764.45% = (4.3% + 4.6%)/2

49.194.6% = (4.3% + 4.9%)/2

205.274.9%

-103.984.3%

f(x)x

Exemple 1: (suite)

Nous avons le tableau suivant

ACT2025 - Cours 6

-0.194.50390625% = (4.5015625% + 4.50625%)/2

-1.394.5015625% = (4.496875% + 4.50625%)/2

-3.794.496875% = (4.4875% + 4.50625%)/2

1.014.50625% = (4.4875% + 4.525%)/2

-8.594.4875% = (4.45% + 4.525%)/2f(x)x

Exemple 1: (suite)

Nous avons le tableau suivant

ACT2025 - Cours 6

Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le tauxd’intérêt recherché est approximativement

i ≈ 4.50%

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 6

Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le tauxd’intérêt recherché est approximativement

i ≈ 4.50%

Du tableau, nous ne pouvons être plus précis pour la décimalesuivante (celle de millième), c’est-à-dire tout ce que noussavons concernant le taux d’intérêt i est que

4.50390625% < i

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Pour clore ce chapitre, il nous reste àconsidérer les différentes façons de mesurerle temps dans le cas de prêt ou de placement

de courte durée.

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Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pourla durée du prêt ou de l’investissement et une année est de365 jours. Ainsi

Méthode « actuel/actuel »:

ACT2025 - Cours 6

Le temps t est déterminé par la convention que chaque moisa 30 jours et chaque année 360 jours

Méthode « 30/360 »:

où A1 (resp. A2) est l’année du début (resp. de la fin) del’investissement, M1 (resp. M2) est le mois du début (resp.de la fin) de l’investissement et J1 (resp. J2) est le jour dudébut (resp. de la fin) de l’investissement.

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ACT2025 - Cours 6

Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour ladurée du prêt ou de l’investissement et une année est de 360jours. Ainsi

Méthode « actuel/360 » ou règle du banquier:

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• L’intérêt est capitalisé seulement pour le premier ou ledernier jour d’un placement, mais pas les deux.

• Pour une année bissextile, le 29 février est compté danscertains cas et pas dans d’autres.

• Pour une année bissextile, l’année a 366 jours dans certainscas et 365 dans d’autres.

Remarque 1:

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Déterminons l’intérêt versé dans le cas d’un placementrémunéré au taux d’intérêt simple de 5% par année si 7800$est investi le 20 juin 2003 et retiré le 17 janvier 2004 selonchacune des méthodes précédentes.

Exemple 2:

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ACT2025 - Cours 6

Méthode « actuel/actuel »:Il y a entre le 20 juin 2003 et le 17 janvier 2004: 211 jours(10 jours en juin 2003; 31 jours en juillet, août, octobre,décembre; 30 jours en septembre, novembre; 17 jours enjanvier). Ainsi

Exemple 2: (suite)

et l’intérêt versé est

ACT2025 - Cours 6

Méthode « 30/360 »:Dans ce cas, nous avons

Exemple 2: (suite)

et l’intérêt versé est

ACT2025 - Cours 6

Méthode « actuel/360 »:Dans ce cas,

Exemple 2: (suite)

et l’intérêt versé est

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CHAPITRE IIIAnnuités simples

ACT2025 - Cours 6

Une annuité est une série de paiements (souvent égaux) faitsà des intervalles de temps égaux. Parfois on parle de rente aulieu d’annuité.

Définition 1:

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• Annuités certaines

Types d’annuité:

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• Annuités certaines

• Annuités éventuelles

Types d’annuité:

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La période de paiement d’une annuité est l’intervalle entredeux paiements.

ACT2025 - Cours 6

Qu’entendons-nous par le terme simple dans letitre du chapitre?

Nous allons supposer que

• les paiements de l’annuité sont tous égaux

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ACT2025 - Cours 6

Qu’entendons-nous par le terme simple dans letitre du chapitre?

Nous allons supposer que

• les paiements de l’annuité sont tous égaux

• la période de capitalisation de l’intérêt coïncide avec lapériode de paiement de l’annuité

ACT2025 - Cours 6

Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement(= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.

ACT2025 - Cours 6

Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement(= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.

Nous dirons que c’est une annuité simple constante de fin depériode. En anglais, ceci est dénommé « annuities-immediate ».

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ACT2025 - Cours 6

La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la premièrepériode) de cette annuité sera notée par

ACT2025 - Cours 6

La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la premièrepériode) de cette annuité sera notée par

La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernièrepériode) de cette annuité sera notée par

ACT2025 - Cours 6

La valeur actuelle (c’est-à-dire au début de la premièrepériode) de cette annuité sera notée par

La valeur accumulée (c’est-à-dire à la fin de la dernièrepériode) de cette annuité sera notée par

Nous laisserons tomber l’indice i de ces notationslorsqu’il n’y aura aucune confusion sur ce qu’est letaux d’intérêt i.

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Nous avons alors le diagramme d’entrées et sorties suivant:

ACT2025 - Cours 6

Nous obtenons que

Calcul de la valeur actuelle de l’annuité:

ACT2025 - Cours 6

Nous obtenons que

En utilisant la formule connue suivante:

Calcul de la valeur actuelle de l’annuité:

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ACT2025 - Cours 6

Nous obtenons que

Calcul de la valeur actuelle: (suite)

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Zénon fait l’achat d’une moto et finance son achat enempruntant 12000$. Dans la première option pour le prêt, ilfera 24 paiements mensuels égaux et le taux nominald’intérêt est i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement .Dans la deuxième option pour le prêt, il fera 36 paiementsmensuels égaux et le taux nominal d’intérêt est i(12) = 10%par année capitalisé mensuellement. Dans les deux options,les paiements débuteront un mois après l’achat.

Déterminer le paiement mensuel, ainsi que le montant totald’intérêt payé pour chacune des options.

Exemple 3:

ACT2025 - Cours 6

Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 9%/12 = 0.75%

Exemple 3: (suite)

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ACT2025 - Cours 6

Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 9%/12 = 0.75%

Ici il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par mois avecle taux effectif d’intérêt par année!

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Le diagramme d’entrées et sorties est

où le paiement mensuel est noté par P1

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 6

L’équation de valeur est

où

Exemple 3: (suite)

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ACT2025 - Cours 6

Donc le paiement mensuel est

P1 = 548.22 $

et le montant total d’intérêt est

24(548.22) - 12000 = 1157.28 $

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 10%/12 = 0.83333333%

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Dans la deuxième option, le taux d’intérêt par mois est

i = i(12)/12 = 10%/12 = 0.83333333%

Là aussi il ne faut pas confondre le taux d’intérêt i par moisavec le taux effectif d’intérêt par année!

Exemple 3: (suite)

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Le diagramme d’entrées et sorties est

où le paiement mensuel est noté par P2

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 6

L’équation de valeur est

où

Exemple 3: (suite)

ACT2025 - Cours 6

Donc le paiement mensuel est

P2 = 387.21 $

et le montant total d’intérêt est

36(387.21) - 12000 = 1939.42 $

Exemple 3: (suite)