Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 1
Paket A
Nomor 1
Sebuah planetoid kecil bermassa ð berada di antara dua buah planet besar bermassa ð
yang terpisah sejauh 2ð¿. Pada awalnya planetoid berada pada jarak â dari garis imaginer
yang menghubungkan kedua planet besar ð seperti ditunjukan pada gambar di bawah
ini. Asumsikan ð¿ jauh lebih besar dari â.
a. Gambarkan sistem koordinat yang sesuai dan tentukan gaya
total yang dikerjakan planet pada planetoid ketika planetoid
disimpangkan sejauh ð¥ dari garis imaginer. Tentukan pula arah
gaya ini!
b. Menggunakan Hukum II Newton, tentukanlah persamaan
diferensial yang solusinya merupakan persamaan gerak sistem
untuk simpangannya sebagai fungsi waktu!
c. Tentukan frekuensi angular osilasi planetoid terhadap posisi kesetimbangannya dan
tentukan posisi planet sebagai fungsi waktu!
Catatan : Asumsikan sistem tersebut terisolasi dari pengaruh luar sehingga interaksi
hanya terjadi antara ketiga benda tersebut. Posisi kesetimbangan planetoid adalah ketika
dia berada tepat di garis imaginer penghubung kedua planet.
Pembahasan :
a. Kita gunakan sistem koordinat kartesius seperti tampak pada gambar di bawah.
Gaya yang berkerja pada planetoid adalah gaya gravitasi
dari kedua planet
ð¹ð =ðºðð
ð 2
Dari geometri kita dapatkan
ð 2 = ð¿2 + ð¥2 serta sin ð =ð¥
ð dan cosð =
ð¿
ð
Pada koordinat kartesius, vektor satuan untuk masing-
masing sumbu ð¥, ðŠ, dan ð§ adalah ðÌ, ðÌ, dan ï¿œÌï¿œ. Sehingga menggunakan vektor, resultan
ð
ð
ð
ð¿
ð¿ â
ð ðŠ
ð¥
ð§
ð¿
ð¿
ð¥
ð¹ð
ð¹ð
ð
ð
ð
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 2
gaya yang bekerja pada planetoid adalah (asumsikan planet disimpangkan ke kanan
atau bisa dikatakan vektor simpangan planetoid adalah ï¿œâï¿œ = ð¥ðÌ)
ï¿œâï¿œð = ð¹ð sin ð (âðÌ) + ð¹ð sin ð (âðÌ) + ð¹ð cos ð ðÌ + ð¹ð cosð (âðÌ)
ï¿œâï¿œð = 2ð¹ð sin ð (âðÌ)
Dapat kita lihat bahwa resultan gaya pada sumbu ðŠ bernilai nol, dan ini juga sesuai
dengan intuisi kita. Karena planetoid disimpangkan ke kanan dari posisi
kesetimbangannya, maka kedua planet akan cenderung menarik planetoid ke ke kiri.
Begitupun sebaliknya. Akhirnya planetoid akan berosilasi di sekitar posisi
kesetimbangannya dan hanya pada sumbu ð¥. Penggunaan vektor membantu kita
untuk mudah menentukan arah besaran-besaran yang diperlukan.
Selanjutnya subtitusi ð¹ð dan sin ð serta ð ke ï¿œâï¿œð
ï¿œâï¿œð = 2(ðºðð
ð 2)ð¥
ð (âðÌ)
ï¿œâï¿œð =2ðºððð¥
(ð¿2 + ð¥2)3/2(âðÌ)
Dari sebelumnya sudah kita peroleh bahwa arah gaya total yang bekerja pada
planetoid selalu berlawanan arah dengan dengan simpangan nya atau bisa kita
nyatakan secara matematis menjadi
ï¿œÌï¿œð = âï¿œÌï¿œ
b. Karena resultan gaya berarah ke kiri, maka planetoid akan dipercepat ke kiri.
Misalkan percepatan adalah ð, dengan Hukum II Newton kita peroleh
ï¿œâï¿œð = ðð(âðÌ)
Perhatikan bahwa arah simpangan ð¥ adalah ke kanan (arah ðÌ), sedangkan percepatan
ð ke kiri (arah â ð)Ì, kedua besaran ini berlawanan arah. Dari kinematika kita tahu
bahwa percepatan adalah turunan kedua dari perpindahan atau dalam hal ini adalah
simpangan planetoid, namun di sini percepatan dari turunan kedua simpangan ini
arahnya sama dengan arah simpangan yaitu ke kanan, maka perlu ditambahkan tanda
negatif agar sesuai dengan arah percepatan yang sebenarnya atau ð = âï¿œÌï¿œ (ï¿œÌï¿œ dibaca
ð¥ double dot, jumlah dot atau titik di di atas ð¥ menyatakan jumlah turunan nya
terhadap waktu, dua dot menyatakan turunan kedua terhadap waktu).
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 3
Agak bingung dengan penjelasan ini, baik, kita gunakan penjelasan lain. Perhatikan
lagi gambar pada bagian (a). Misalkan planetoid disimpangkan sejauh â dari posisi
kesetimbangannya. Sekarang kita tinjau kondisi ketika planetoid telah dilepaskan
beberapa saat sehingga jaraknya dari garis imaginer menjadi ð¥ dan dia telah
berpindah sejauh Îð¥ dari posisi awal saat dilepaskan maka
â = ð¥ + Îð¥ â¹ Îð¥ = â â ð¥
Turunkan kedua sisi terhadap waktu dua kali akan kta peroleh (turunan kedua Îð¥
terhadap waktu adalah percepatan planetoid)
Îï¿œÌï¿œ = ð = âï¿œÌï¿œ
Sehingga
2ðºððð¥
(ð¿2 + ð¥2)3/2(âðÌ) = âðï¿œÌï¿œ(âðÌ)
Atau bisa disederhanakan menjadi
ï¿œÌï¿œ +2ðºðð¥
(ð¿2 + ð¥2)3/2= 0
Untuk limit ð¿ â« ð¥, ð¿2 + ð¥2 â ð¿2 sehingga
ï¿œÌï¿œ +2ðºð
ð¿3ð¥ = 0
c. Persamaan terkahir di atas adalah persamaan gerak harmonik sederhana yang
memiliki bentuk umum ï¿œÌï¿œ + ð2ð¥ = 0 sehingga frekuensi angular osilasi planetoid
adalah
ð = â2ðºð
ð¿3
Solusi untuk persamaan diferensial orde dua ini adalah
ð¥(ð¡) = ðŽ1 sin ðð¡ + ðŽ2 cosðð¡
Turunkan satu kali terhadap waktu untuk mendapatkan kecepatannya
ï¿œÌï¿œ(ð¡) = ððŽ1 cosðð¡ â ððŽ2 sin ðð¡
Mengapa solusinya seperti ini, silahkan pelajari persamaan diferensial orde dua ya
.
Saat ð¡ = 0, ð¥(0) = â dan planetoid pada awalnya diam atau ï¿œÌï¿œ(0) = 0 maka
ð¥(0) = â = ðŽ1 sin 0 + ðŽ2 cos0 â¹ ðŽ2 = â
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 4
ï¿œÌï¿œ(0) = 0 = ððŽ1 cos0 â ððŽ2 sin 0 â¹ ðŽ1 = 0
Alhasil posisi planetoid sebagai fungsi waktu adalah
ð¥(ð¡) = â cos(â2ðºð
ð¿3ð¡)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 5
Nomor 2
Di luar angkasa sedang dilakukan sebuah percobaan terhadap dua buah bola kecil
bermassa ð dan sebuah batang bermassa ð yang memilki panjang ð¿. Salah satu bola di
lem pada ujung batang. Batang dan bola yang di lem padanya pada awalnya diam
sedangkan bola yang lain bergerak secara tegak lurus terhadap batang menuju ujung
batang yang lainnya dengan kecepatan ð£ dan akhirnya menempel pada batang seperti
pada gambar.
a. Apakah momentum linear, momentum angular, serta energi sistem kekal ketika
tumbukan, mengapa?
b. Gambarkan sistem koordinat yang sesuai dan tentukan kecepatan pusat massa sistem
serta arahnya!
c. Tentukan kecepatan angular sistem setelah tumbukan!
Pembahasan :
a. Momentum linear sistem kekal karena tidak ada gaya eksternal yang bekerja padanya.
Momentum angular sistem juga kekal karena tidak ada torsi eksternal yang bekerja
pada sistem batang dan bola ini. Energi sistem tidak kekal karena ada usaha yang
dilakukan gaya non-konservatif ketika bola di ujung bawah menempel pada batang.
momen inersia batang terhadap pusat massanya
ðŒpm =1
12ðð¿2
ð ð£
ð¿
ð
ð
ð
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 6
b. Kita gunakan sistem koordinat kartesius tiga dimensi
seperti pada gambar.
ð£pm =ð(ð£ðÌ) + ð(0) +ð(0)
ð +ð +ð
ð£pm =ð
2ð +ðð£ðÌ
c. Momentum angular sistem kekal terhadap titik mana
saja karena tidak ada torsi eksternal seperti dikatakan
pada bagian (a). Namun kita harus memilih sedemikian rupa titik acuan yang
memudahkan kita dalam menganalisis momentum angular sistem. Kalau saya sendiri,
saya akan memilih pusat massa tongkat sebagai acuan. Mengapa? Karena pusat massa
tongkat ini akan menjadi pusat masssa sistem juga karena di kedua ujung tongkat
terdapat bola kecil ð dan kita bisa mengabaikan momentum sudut dari kecepatan
pusat massa sistem karena lengan momennya nol.
Konservasi momentum angular (kekekalan momentum sudut) terhadap pusat massa
sistem memberikn (ï¿œââï¿œð = ï¿œââï¿œð)
ðð£ð¿
2ï¿œÌï¿œ = (ðŒðð + 2ð(
ð¿
2)2
) ï¿œâââï¿œ
1
2ðð£ð¿ï¿œÌï¿œ = (
1
12ðð¿2 +
1
2ðð¿2) ï¿œâââï¿œ
ï¿œâââï¿œ = (6ð
ð + 6ð)ð£
ð¿ï¿œÌï¿œ
Dari aturan tangan kanan, arah ï¿œÌï¿œ menyatakan bahwa sistem berotasi berlawanan
arah jarum jam dengan besar kecepatan sudut
ð = (6ð
ð + 6ð)ð£
ð¿
ð£
ð¥
ðŠ
ð
ð
ð
ð
ð§
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 7
Nomor 3
Sebuah bola bermassa ð dan radius ð diam di atas dua buah tongkat vertikal tak
bermassa sepanjang ð¿ yang terporos di lantai seperti pada gambar. Kedua tongkat
terpisah sejauh ð dan ditahan oleh benang mendatar pada ketinggian â dari lantai. Tidak
ada gesekan antara bola dan tongkat. Sistem berada dalam kesetimbangan.
a. Gambarkan diagram gaya bebas pada bola dan tongkat serta tentukan besar gaya
yang diberikan masing-masing tongkat pada bola dan gaya tegang pada benang!
b. Tentukan besar gaya horizontal dan vertikal yang diberikan poros pada masing-
masing tongkat!
c. Jika benang putus, tentukan percepatan angular tongkat terhadap poros sesaat
setelah benang putus dengan mengasumsikan momen inersia tongkat terhadap poros
adalah ðŒð!
Pembahasan :
a. Berikut diagram gaya pada bola dan tongkat.
ð
ð
ð
ð¿
â
benang
ð
ð
ð/2
ð ð
ð ð
ðð ð ð
ð ð
ð ð
ð ð
ð¹ð»
ð¹ð ð¹ð
ð¹ð»
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 8
Dari geometri
ð = âð 2 âð2
4 â¹ sin ð =
ð
2ð dan cosð =
â4ð 2 â ð2
2ð serta tan ð =
ð
â4ð 2 â ð2
Bola : Hukum I Newton untuk gerak translasi
âð¹ðŠ = 0
2ð cosð âðð = 0
Subtitusi nilai cos ð didapat
2ðâ4ð 2 â ð2
2ð â ðð = 0 â¹ ð =
ððð
â4ð 2 â ð2
Tongkat : Hukum I Newton untuk gerak rotasi (terhadap poros), cukup tinjau salah
satu tongkat saja karena keduanya simetri
âðð = 0
ð sin ð ð¿ â ðâ = 0
ððð
â4ð 2 â ð2
ð
2ð ð¿ = ðâ â¹ ð =
ðððð¿
2ââ4ð 2 â ð2
b. Tongkat : Hukum I Newton untuk gerak translasi, cukup tinjau salah satu tongkat saja
karena keduanya simetri, dalam hal ini saya pilih tongkat kanan
âð¹ðŠ = 0
ð¹ð âð cos ð = 0
ð¹ð âððð
â4ð 2 â ð2
â4ð 2 â ð2
2ð = 0 â¹ ð¹ð =
1
2ðð
âð¹ð¥ = 0
ð â ð sin ð â ð¹ð» = 0
ð¹ð» =ðððð¿
2ââ4ð 2 â ð2â
ððð
â4ð 2 â ð2
ð
2ð â¹ ð¹ð» =
ððð(ð¿ â â)
2ââ4ð 2 â ð2
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 9
c. Di sini kita perlu sedikit berhati-hati. Pertama kita cari hubungan percepatan turun
bola dengan percepatan sudut tongkat. Dari gambar
kita peroleh
ð¥ = ð sin ð
ðŠ = ð¿ + ð cosð
Turunkan satu kali terhadap waktu
ï¿œÌï¿œ = ð ï¿œÌï¿œ cosð
ï¿œÌï¿œ = âð ï¿œÌï¿œ sin ð
Turunkan satu kali lagi terhadap waktu
ï¿œÌï¿œ = ð ï¿œÌï¿œ cos ð â ð ï¿œÌï¿œ2 sin ð
ï¿œÌï¿œ = âð ï¿œÌï¿œ sin ð â ð ï¿œÌï¿œ2 cosð
Saat benang baru putus, sistem belum bergerak sehingga ï¿œÌï¿œ = 0 akan tetapi ï¿œÌï¿œ â
0 (saat sistem diam belum tentu percepatannya juga nol, silahkan dipikirkan lebih
lanjut). ï¿œÌï¿œ adalah percepatan linear titik atas tongkat, baik tongkat kiri maupun kanan,
misalkan percepatan angular tongkat adalah ðŒ, maka ï¿œÌï¿œ = ðŒð¿. Misalkan percepatan
turun bola adalah ððŠ. Dari definisi sistem koordinat pada gambar di atas, kita buat ï¿œÌï¿œ
memiliki arah positif ke atas, karena sebenarnya arah percepatan bola adalah ke
bawah maka ï¿œÌï¿œ = âððŠ . Sehingga akan kita peroleh
ðŒð¿ = ï¿œÌï¿œ = ð ï¿œÌï¿œ cos ðððŠ = âï¿œÌï¿œ = ð ï¿œÌï¿œ sin ð
} â¹ ððŠ = ðŒð¿ tan ð
Bola : Hukum II untuk gerak translasi
âð¹ðŠ = ðððŠ
ðð âðâ² cos ð = ððŒð¿ tan ð â¹ ðâ² =ðð âððŒð¿ tan ð
cosð
Tongkat : Hukum II untuk gerak rotasi (terhadap poros)
âðð = ðŒððŒ
ðâ² sin ð ð¿ = ðŒððŒ
Subtitusi ðâ²
ðð âððŒð¿ tan ð
cos ðsin ð ð¿ = ðŒððŒ
ðŠ
ð¥
ð¥
ï¿œÌï¿œ
ð ð ð ð
ð¿
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 10
ððð¿ tan ð â ððŒð¿2 tan2 ð = ðŒððŒ
ðŒ(ðŒð +ðð¿2 tan2 ð) = ððð¿ tanð â¹ ðŒ =
ððð¿ tan ð
ðŒð +ðð¿2 tan2 ð
Subtitusi nilai tan ð
ðŒ =
ððð¿ (ð
â4ð 2 â ð2)
ðŒð +ðð¿2 (ð2
4ð 2 â ð2)â¹ ðŒ =
ððððâ4ð 2 â ð2
ðŒð(4ð 2 â ð2) + ðð¿2ð2
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 11
Nomor 4
Terdapat sebuah tongkat homogen bermassa ð dan
panjang ð¿ dengan momen inersia terhadap pusat
massanya adalah ðŒpm = (1/12)ðð¿2. Tongkat ini
diporos salah satu ujungnya pada dinding vertikal.
Pada saat awal tongkat berada dalam posisi vertikal
kemudian dilepaskan.
a. Tentukan percepatan angular tongkat sesaat setelah dilepaskan!
b. Tentukan percepatan linear suatu titik pada tongkat yang berjarak ð dari poros sesaat
setelah tongkat dilepaskan!
c. Tentukan nilai ð0 dimana titik-titik pada tongkat yang jaraknya lebih dari nilai ini
akan memiliki percepatan yang lebih dari percepatan gravitasi!
Pembahasan :
a. Hukum II Newton untuk gerak rotasi (terhadap poros)
âðð = ðŒððŒ
Kenapa kita jadikan poros sebagai acuan? Sebenarnya kita juga bisa menjadikan pusat
massa batang sebagai acuan, namun itu berarti menjadikan gaya dari poros ð¹ð
memiliki lengan gaya sehingga dia akan masuk ke persamaan torsi kita, padahal kita
tidak mengetahui berapa besarnya. Akan tetapi, ketika kita menjadikan poros sebagai
acuan, gaya dari poros ð¹ð tidak akan memberikan torsi pada sistem kita karena lengan
momennya sama dengan nol. Satu hal lagi, percepatan sudut tongkat baik dengan
acuan poros ataupun acuan pusat massanya sendiri besarnya sama, silahkan
dibuktikan sendiri ya .
ð¿
ð ð
ð¹ð
ðð
ðŒ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 12
Berikutnya, momen inersia tongkat terhadap poros berbeda nilainya dengan momen
inersia tongkat terhadap pusat massanya. Maka kita perlu mencari momen inersia
tongkat terhadap poros. Ini bisa kita dapatkan dengan menggunakan teorema sumbu
sejajar, bagi yang belum tau silahkan lebih lanjut dipelajari sendiri ya .
ððð¿
2= [ðŒpm +ð(
ð¿
2)2
] ðŒ
ððð¿
2= [
1
12ðð¿2 +
1
4ðð¿2] ðŒ â¹ ðŒ =
3ð
2ð¿
b. Percepatan sesaat titik ini adalah
ð(ð) = ðŒð â¹ ð(ð) =3ðð
2ð¿
c. Untuk titik-titik yang memiliki percepatan lebih dari percepatan gravitasi
ð(ð) > ð
3ðð
2ð¿> ð â¹ ð >
2ð¿
3â¹ ð0 =
2ð¿
3
Sehingga titik-titik yang berada di posisi ð0 < ð < ð¿ akan memiliki percepatan linear
sesaat yang lebih besar dari percepatan gravitasi.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 13
Nomor 5
Sebuah satelit bermassa ð sedang bergerak secara radial menjauh dari planet berbentuk
bola bermassa ð dan berjari-jari ð . Saat jarak satelit dan pusat massa planet ð = 5ð ,
tenaga penggerak satelit dimatikan. Kecepatannya saat itu adalah ð£0 = âðºð/5ð .
a. Akankah satelit tersebut bebas dari planet ini? Atau akankah akhirnya kembali ke
sana? Jelaskan alasanmu!
b. Dengan menggunakan Hukum Kekekalan Energi Mekanik, jika satelit dapat bebas dari
planet tersebut tentukan kecepatan awal minimum yang harus dimilikinya saat
tenaga penggerak dimatikan, asumsikan bahwa satelit bebas dari planet ketika
berada di jarak yang sangat jauh dari planet? Jika dia kembali lagi menuju planet,
tentukan besar kecepatannya ketika sampai di permukaan planet. Abaikan hambatan
udara di permukaan planet.
c. Tentukan besar kerja yang dilakukan gravitasi saat satelit bergerak dari posisi
awalnya (saat tenaga penggerak dimatikan) sampai dia tiba di permukaan planet!
Pembahasan :
a. Satelit dapat bebas dari planet tersebut jika energi mekanik nya lebih dari nol dan
akan kembali ke planet jika energi mekaniknya negatif. Penjelasan mengenai hal ini
bisa dipelajari di buku referensi seperti Phisics for Scientist and Engineer by Paul A.
Tipler ataupun buku yang lainnya pada bab Gravitasi. Sekarang mari kita cek energi
mekanik sistem (satelit dan Planet). Perlu diingat bahwa energi mekanik pada kasus
ini kekal karena tidak ada gaya non-konservatif yang melakukan kerja pada sistem.
ðžð = ðžð + ðžðŸ
ðžð = âðºðð
ð+1
2ðð£0
2
ð
ð = 5ð
ð ð
ð£0
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 14
Energi potensial gravitasi bernilai negatif, silahkan dipelajari lebih lanjut ya .
Subtitisi ð dan ð£0
ðžð = âðºðð
5ð +1
2ð (
ðºð
5ð ) â¹ ðžð = â
ðºðð
10ð
Maka karena ðžð < 0 satelit akan kembali ke planet.
b. Untuk kasus satelit dapat lepas dari planet, kecepatan awal minimum satelit haruslah
mampu membuatnya mencapai jarak yang sangat jauh dari planet (saat di posisi
terjauh ini kecepatan satelit nol)
Koservasi Energi
ðžði = ðžðf
âðºðð
5ð +1
2ðð£0,min
2 = âðºðð
ââ 0
+1
2ð(0)2â
0
â¹ ð£0,min = â2ðºð
5ð
Untuk kasus satelit kembali menuju planet, misalkan saat sampai di permukaan
planet kecepatannya adalah ð£f, menggunakan konservasi energi
ðžði = ðžðf
âðºðð
5ð +1
2ð (
ðºð
5ð ) = â
ðºðð
ð +1
2ðð£f
2 â¹ ð£f = â9ðºð
5ð
c. Pada satelit hanya bekerja gaya gravitasi sehingga kerja oleh gaya gravitasi akan sama
dengan perubahan energi kinetik satelit. Posisi awal atau initial adalah ketika mesin
penggerak dimatikan dan posisi akhir atau final adalah ketika satelit sampai di
permukaan planet.
ðgrav = ÎðžðŸ = ðžðŸf â ðžðŸi
ðgrav =1
2ðð£f
2 â1
2ðð£0
2
ðgrav =1
2ð(
9ðºð
5ð ) â
1
2ð (
ðºð
5ð ) â¹ðgrav =
4ðºðð
5ð
Tambahan :
Secara definisi, usaha oleh gaya gravitasi adalah negatif dari delta energinya atau
ðgrav = âÎðžð = â(ðžðf â ðžði)
Dari Hukum Kekekalan Energi Mekanik (Konservasi Energi)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 15
ðžði = ðžðf
ðžði + ðžðŸi = ðžðf + ðžðŸf
ðžðŸf â ðžðŸi = ðžði â ðžðf
ðžðŸf â ðžðŸi = â(ðžðf â ðžði)
ÎðžðŸ = âÎðžð
ÎðžðŸ = ðgrav
Nah kurang lebih seperti itulah ya
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 16
Nomor 6
Pada permainan billiard, terdapat sebuah bola bermassa ð dan berjari-jari ð yang
memiliki momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat massa ðŒpm = (2/5)ðð 2.
a. Tentukan tinggi â di mana tongkat akan memberikan impuls pada bola agar
setelahnya tidak ada gaya gesek yang diterima oleh bola! Lihat gambar (a)
b. Tentukan perlambatan angular bola setelah dia diberi impuls oleh tongkat tepat di
garis mendatar yang melalui pusat massanya (â = ð )! Lihat gambar (b)
Pembahasan :
a. Misalkan besar impuls dari tongkat adalah Îð1. Sebenarnya gaya gesek di lantai juga
memberikan impuls pada bola namun sangat kecil dibandingkan dengan impuls dari
tongkat sehingga bisa diabaikan
Impuls Linear : Perubahan momentum Linear
Îð1 = ðð£
Impuls Angular : Perubahan Momentum Angular (acuan pusat massa bola)
Îð1(â â ð ) = ðŒpmð
Agar bola tidak merasakan gaya gesek setelah diberi impuls, tepat setelah diberikan
impuls dia harus langsung menggelinding tanpa slip atau ð£ = ðð sehingga
ðð£(â â ð ) =2
5ðð 2
ð£
ð
â â ð =2
5ð â¹ â =
7
5ð
b. Ketika â = ð , bola belum berotasi setelah pemberian impuls dan hanya bergerak
translasi sehingga muncul gaya gesek dengan besar ðk = ðððð (arahnya berlawanan
arah gerak bola). Hukum II Newton untuk gerak rotasi memberikan
2ð â
ð impuls
Gambar (a)
ð
2ð
ð
impuls
Gambar (b)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 17
âðpm = ðŒpmðŒ
âðkð = âððððð =2
5ðð 2ðŒ â¹ ðŒ = â
5ððð
2ð
Tanda negatif menandakan perlambatan.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 18
Nomor 7
Di suatu ruangan bebas gravitasi terdapat dua buah benda yang saling mendekat seperti
pada gambar di bawah. Benda pertama berbentuk âLâ dan benda kedua berbentuk
persegi. Kemudian keduanya bertumbukan dan menjadi satu.
a. Apakah momentum linear, momentum sudut, dan energi sistem kekal pada saat
tumbukan? Jelaskan mengapa tidak dan mengapa iya!
b. Buatlah sistem koordinat yang sesuai dan tentukan posisi pusat massa benda
bermassa 3ð!
c. Tentukan kecepatan pusat massa sistem dua benda ini!
d. Setelah kedua benda menyatu tentukan kecepatan sudut sistem terhadap pusat
massanya!
e. Berapakah total energi kinetik sistem sebelum dan sesudah tumbukan! (energi
kinetik total terdiri dari energi kinetik translasi dan rotasi)
Pembahasan :
a. Momentum linear sistem kekal karena tidak ada gaya eksternal yang bekerj padanya.
Momentum sudut sistem juga kekal karena tidak ada torsi eksternal yang bekerja
padanya pula. Namun energi sistem tidak kekal karena ada usaha dari gaya
nonkonservatif pada saat kedua benda menyatu.
2ð¿
2ð¿
ð¿ ð¿ ð¿
ð¿ ð£
2ð£
3ð
ð
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 19
b. Kita gunakan sistem koordinat kartesius seperti pada gambar di bawah ini.
ï¿œâï¿œpm =â ðiï¿œâï¿œiNi=1
â ðiNi=1
=ð(ð¿/2)(âðÌ) + ð(ð¿/2)(âðÌ) + ð(ð¿/2)ð(ð¿/2)ðÌ
ð +ð +ðâ¹ ï¿œâï¿œpm =
ð¿
6(âðÌ)
ï¿œâï¿œpm =â ðiï¿œâï¿œiNi=1
â ðiNi=1
=ð(ð¿/2)ðÌ + ð(ð¿/2)(âðÌ) + ð(ð¿/2)ð(ð¿/2)(âðÌ)
ð +ð +ðâ¹ ï¿œâï¿œpm =
ð¿
6(âðÌ)
Atau dapat kita tulis ulang menjadi
ï¿œâï¿œpm = âð¿
6(ðÌ + ðÌ)
c. Kecepatan pusat massa sistem adalah
ð£pm =â ðið£iNi=1
â ðiNi=1
=3ðð£ðÌ + 2ðð£(âðÌ)
3ð + ðâ¹ ð£pm =
ð£
4ðÌ
d. Kekekalan momentum sudut terhadap titik asal sistem koordinat (bisa juga terhadap
titik yang lain, silahkan dicoba sendiri ya...)
ï¿œââï¿œi = ï¿œââï¿œf
[ð(2ð£)ð¿
2+ 3ðð£
ð¿
6] ï¿œÌï¿œ = ðŒ0 ï¿œâââï¿œ
Setelah kedua benda menyatu, keduanya membentuk persegi bermassa 4ð dengan
sisi 2ð¿. Momen inersia suatu persegi bermassa ð dan sisi ð adalah ðŒâ = (1/6)ðð 2.
Maka momen inersia persegi dari gabungan kedua benda ini adalah
ðŒ0 =1
6(4ð)(2ð¿)2â¹ ðŒ0 =
8
3ðð¿2
Sehingga
3
2ðð£ð¿ï¿œÌï¿œ =
8
3ðð¿2ï¿œâââï¿œ â¹ ï¿œâââï¿œ =
9ð£
16ð¿ï¿œÌï¿œ
e. Energi kinetik awal
.
. . . ð¿/2
ð¿/2
ð¿/2
ð¿/2
ð¿/2
ð¿/2
pm
ð¥
ðŠ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 20
ðžðŸtot,i = ðžðŸrot,i + ðžðŸtrans,i
ðžðŸtot,i = 0 +1
2(3ð)ð£2 +
1
2ð(2ð£)2 â¹ ðžðŸtot,i =
7
2ðð£2
Energi kinetik akhir
ðžðŸtot,f = ðžðŸrot,f + ðžðŸtrans,f
ðžðŸtot,f =1
2ðŒ0|ï¿œâââï¿œ|
2 +1
2(4ð)|ï¿œâï¿œpm|
2
ðžðŸtot,f =1
2(8
3ðð¿2) (
9ð£
16ð¿)2
+1
2(4ð) (
ð£
4)2
â¹ ðžðŸtot,f =35
64ðð£2
Tambahan :
Dari hasil ini kita dapat buktikan bahwa energi sistem tidak kekal
Îðž = ðžðŸtot,f â ðžðŸtot,i
Îðž =35
64ðð£2 â
7
2ðð£2 â¹ Îðž = â
189
64ðð£2
Tanda negatif menandakan bahwa energi sistem hilang.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 21
Nomor 8
Sebuah batang homogen bermassa ð dan panjang ð¿ ujungnya diletakkan di pojok sebuah
meja. Menggunakan kawat kaku tak bermassa sepanjang ð sebuah massa ð yang dapat
dianggap sebagai massa titik dihubungkan dengan batang dan diletakkan di atas meja.
Koefisien gesek antara batang dan pojokan meja menuju tak hingga.
a. Gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada batang dan massa ð pada saat dilepaskan
dalam posisi horizontal!
b. Tentukan percepatan sudut sistem ketika batang dilepas dari posisi horizontal.
Tentukan pula jarak titik-titik pada batang yang memiliki percepatan linear lebih dari
dari percepatan gravitasi!
c. Apakah energi mekanik sistem kekal saat dia bergerak? Jelaskan mengapa iya dan
mengapa tidak!
d. Menggunakan Hukum Kekekalan Energi Mekanik tentukan kecepatan sudut sistem
ketika telah berotasi sejauh ð!
Pembahasan :
a. Berikut gaya-gaya yang bekerja pada batang dan massa ð.
ð
ð ð¿
ð
ð¿/2 ðð ðð
ð
ðŒ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 22
Perhatikan bahwa saat posisi sistem masih horizontal, pojokan meja belum
memberikan gaya gesek.
b. Gunakan Hukum II Newton untuk gerak rotasi (kita jadikan pojokan meja sebagai
acuan karena titik ini bertindak sebagai poros)
âð = ðŒðŒ
ððð¿
2âððð = (
1
3ðð¿2 +ðð2) ðŒ â¹ ðŒ =
3ðð¿ â 6ðð
2ðð¿2 + 6ðð2ð
Untuk titik yang berjarak ð dari pojok meja pada tongkat akan memiliki percepatan
linear
ð(ð) = ðŒð =3ðð¿ â 6ðð
2ðð¿2 + 6ðð2ðð
Saat percepatan linearnya lebih dari percepatan gravitasi berlaku
ð(ð) > ð
3ðð¿ â 6ðð
2ðð¿2 + 6ðð2ðð > ð â¹ ð >
2ðð¿2 + 6ðð2
3ðð¿ â 6ðð
Karena panjang tongkat hanya sebatas ð¿, titik-titik yang memiliki percepatan linear
lebih dari percepatan gravitasi adalah titik-titik yang berada pada rentang berikut
2ðð¿2 + 6ðð2
3ðð¿ â 6ðð< ð < ð¿
c. Energi mekanik sistem kekal karena walaupun ada gaya gesek statis pada pojokan
meja dan batang namun tidak ada gerak relatif di antara keduanya (perpindahannya
nol) sehingga usaha oleh gaya nonkonservatif (gaya gesek) bernilai nol pula.
d. Kita jadikan permukaan meja sebagai acuan energi potensial sama dengan nol.
Menggunakan konservasi energi akan kita peroleh
ðži = ðžf
0 = ððð sin ð â ððð¿
2 sin ð +
1
2(1
3ðð¿2 +ðð2)ð2
1
6(ðð¿2 + 3ðð2)ð2 =
1
2(ðð¿ â 2ðð)ð sin ð â¹ ð = â3ð sin ð
(ðð¿ â 2ðð)
(ðð¿2 + 3ðð2)
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 23
Nomor 9
Sebuah yoyo homogen yang memiliki massa ð dan jari-jari luar ð berada di atas
permukaan bidang miring kasar yang membentuk sudut ð terhadap horizontal. Yoyo
dibuat diam dengan mengikatkan sebuah benang pada permukaan jari-jari dalamnya ð
seperti tampak pada gambar. Momen inersia yoyo terhadap pusat massanya adalah ðŒpm =
(1/2)ðð 2. Sistem berada dalam kesetimbangan.
a. Gambarkan diagram gaya yang bekerja pada yoyo!
b. Hitung gaya gesek yang bekerja padanya untuk kondisi ini (ð)! Nyatakan dalam ð, ð,
ð, ð , dan ð.
c. Benang kemudian dipotong sehingga yoyo menggelinding tanpa slip. Tentukan gaya
gesek yang bekerja padanya untuk kondisi ini (ðrot)!
d. Tentukan perbandingan ðrot/ð untuk ð = ð /2 dan ð = ð/3 radian!
Pembahasan :
a. Berikut gaya-gaya yang bekerja pada yoyo.
ð
ð ð ð
ð
ðð
ð
ð
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 24
b. Kita jadikan sumbu ð¥ sejajar bidang miring dan sumbu ðŠ tegak lurus bidang miring.
Hukum I Newton untuk gerak translasi (sumbu ð¥)
âð¹x = 0
ð + ð cos ð â ðð sin ð = 0⊠(1)
Hukum I Newton untuk gerak rotasi (terhadap pusat massa yoyo)
âðpm = 0
ðð â ðð = 0â¹ ð =ð
ðð⊠(2)
Subtitusi (2) ke (1)
ð +ð
ðð cos ð âðð sin ð = 0 â¹ ð =
ððð sin ð
ð + ð cosð
c. Ketika benang diputus gaya tegang ð akan hilang dan yoyo dipercepat ke bawah.
Karena yoyo menggelinding tanpa slip akan berlaku ð = ðŒð .
Hukum II Newton untuk gerak rotasi (terhadap pusat massa yoyo)
âðpm = ðŒpmðŒ
ðrotð =1
2ðð 2
ð
ð â¹ ðrot =
1
2ðð⊠(3)
Hukum II Newton untuk gerak translasi (sumbu ð¥)
âð¹x = 0
ððsin ð â ðrot = ðð
Subtitusi (3)
ð
ðð
ðrot ð
ðŒ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 25
ðð sin ð â1
2ðð = ðð â¹ ð =
2
3ð sin ð ⊠(4)
Subtitusi (4) ke (3)
ðrot =1
3ðð sin ð
d. Perbandingannya adalah
ðrotð=ð + ð cos ð
3ð
Untuk ð = ð /2 dan ð = ð/3 memberikan sin ð = â3/2 dan cosð = 1/2 sehingga
ðrotð=(ð /2) + ð (1/2)
3(ð /2)â¹ðrotð=2
3
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 26
Nomor 10
Sebuah silinder dengan massa ð dan jari-jari ð berada di atas bidang miring dengan
sudut kemiringan ð. Terdapat gaya gesek antara cakram dan bidang miring. Di sisi
silinder terdapat paku yang terhubung dengan kotak bermassa ð0.
a. Tentukan sistem koordinat anda dan gambarkan diagram gaya pada silinder dan
kotak!
b. Tentukan besar ð0 sehingga silinder tidak berotasi dan tentukan gaya gesek yang
bekerja pada silinder!
c. Tentukan besar gaya normal yang diberikan bidang miring pada silinder!
d. Tentukan nilai minimum koefisien gesek statis antara permukaan silinder dan bidang
miring!
Jangan lupa menyederhanakan jawaban anda.
Pembahasan :
a. Kita gunakan sistem koordinat kartesius seperti pada gambar. Berikut diagram gaya
yang bekerja pada silinder dan kotak.
b. Kita tinjau keseimbangan sistem dengan Hukum I Newton
Untuk ð0 : Hukum I Newton untuk gerak translasi arah vertikal
ð
kasar (ðs)
ð
ð
ð0
ð¥
ðŠ
ð
ð ðð
ð ð
ð0ð
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 27
âð¹V = 0
ð â ð0ð = 0â¹ ð = ð0ð⊠(1)
Untuk ð : Hukum I Newton untuk gerak translasi (sumbu ð¥, sumbu ðŠ) dan untuk
gerak rotasi (terhadap pusat massa silinder)
âð¹x = 0
âð +ðð sin ð + ð sin ð = 0 â¹ ð = ðð sin ð + ð sin ð ⊠(2)
âð¹y = 0
ð âðð cosð â ð cosð = 0 â¹ ð = ðð cosð + ð cosð ⊠(3)
âðpm = 0
ðð â ðð â¹ ð = ð⊠(4)
Dari persamaan (1), (2) dan (4) akan kita peroleh
ð = ðð sin ð + ð sin ð
ð0ð = ðð sin ð + ð0ð sin ð
ð0(1 â sin ð) = ð sin ð â¹ ð0 = ð sin ð
1 â sin ð
c. Subtitusi ð0 ke (1)
ð =ðð sin ð
1 â sin ð⊠(5)
Subtitusi (5) ke (3)
ð = ðð cosð +ðð sin ð
1 â sin ðcos ð
ð =ðð cosð (1 â sin ð) +ðð sin ð cosð
1 â sin ð
ð =ðð cosð âðð sin ð cos ð +ðð sin ð cos ð
1 â sin ðâ¹ ð =
ðð cosð
1 â sin ð
d. Dari persamaan (4) kita tahu bahwa
ð =ðð sin ð
1 â sin ð
Maka
ð †ðsð
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.physolymp
Hal | 28
ðð sin ð
1 â sin ð†ðs
ðð cosð
1 â sin ð
ðs ⥠tan ð
ðs,min = tan ð