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NGULO VERTICAL

Un ngulo se llamar vertical cuando est contenido en un plano vertical. Los ngulos verticales se clasifican en:

ngulo de elevacin

Es ngulo vertical que est formado por la lnea horizontal y la lnea de mira visual si el objeto est situado arriba del punto de observacin.

ngulo de depresin

Es un ngulo que est formado por la lnea horizontal y la lnea de mira visual si el objeto est situado debajo del punto de observacin

ngulo de elevacin

ngulo de depresin

Tanto los ngulos de elevacin como los de depresin sern tratados como se hace en geometra, es decir sus medidas tienen valores positivos y estn comprendidos en el siguiente intervalo

0 ( ( ( 90

Se define la visual de un objeto como la distancia que existe desde el observador hasta el objeto visible

Ejercicios1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ngulo de elevacin de 37 nos acercamos una cierta distancia y el ngulo de elevacin es ahora de 45. Si la altura de la torre es de 24m. Cul fu la distancia que nos acercamos?

a)6mb)4c)12d)8e)16

2. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ngulo de elevacin de 45, y lo alto de la antena que se encuentra al borde del edificio con un ngulo de elevacin de 53. Si la antena mide 6m. Cul es la altura del edificio?

a)18b)24c)32d)36e)42

3. Una nia de estatura 1m, observa lo alto de una torre de altura 3m con un ngulo de elevacin "a" y hacia el lado opuesto otra torre de altura 6m con un ngulo de elevacin "90 - a". Si desde lo alto de la torre mayor se v lo alto de la torre menor con un ngulo de depresin "a", calcular "ctga"

a) 2

b)

c)

d)

e)

4. Una persona observa la parte ms alta de un faro con una elevacin angular "q". Si camina "d" metros hacia el faro, observara al punto anterior con una elevacin "2q" y a otro punto que est "x" metros ms abajo que el primero con un ngulo de elevacin "q". Hallar "x".

a)dtgq

b)dcosq

c)dsenq

d)d/2 cscq

e)dctg2q

5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ngulo de elevacin "a". Nos acercamos una distancia igual a la altura del poste y el ngulo de elevacin es ahora el complemento de "a".

Hallar: M = ctga - tga

a)1b)2c)1/2d)4e)

6. Desde lo alto de un edificio de altura "H" se divisa lo alto de un poste, con un ngulo de depresin "q"; y desde la base del poste se ve lo alto del edificio con un ngulo de elevacin "90 - q". Si la altura del poste es "h"; hallar: "h/H".

a)tg2qb)tgq

c)1 - tg2q

d)1 tgqe)1 + ctg2q

7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ngulo de elevacin "q". Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ngulo de elevacin es ahora 37. Calcular: "ctgq"

a)5/3b)4/3 c)7/3 d)3 e)2

8. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio y de la antena que se encuentra en su parte mas alta; con angulos de elevacin de 45 y 53 respectivamente. Si la longitud de la altura es de 6m. Cual es la altura del edificio?.

a)10b)12c)18 d)24e)36

9. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una estatua con un ngulo de elevacin 2q y lo alto del pedestal que la sostiene con un ngulode elevacin "q". Si la visual mayor mide m, hallar la longitud de la estatua.

a)msenqb)mcosq

c)mtgqd)mctgq e) mcscq10. Desde un punto en tierra se v lo alto de un edificio con un ngulo de elevacin "a". Si el edificio mide: "h". A que distancia de la base del edificio se halla el observador?.

a)htga

b)hctga

c)hseca

d)hcsca

e)2h

11. "Mafe" est ubicada entre un poste y un edificio, observando sus partes ms altas con ngulos de elevacin complementarios; siendo el ngulo para el poste igual a "a". Si desde lo alto del edificio se divisa lo alto del poste con un ngulo de depresin "a", calcular: "ctga". Si adems se sabe que las alturas de "MAFE", el poste y el edificio estn en la relacin de 1; 3; 6.

a)

b)

c)

d)

e)312. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ngulo de elevacin de 37. Nos acercamos una distancia "x" y el ngulo de elevacin tiene por tangente 4. Si la altura del edificio es "h";

hallar: "x/h".

a)b)

c)

d)e)1

13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ngulo de elevacin "q"; nos acercamos a la torre una distancia "m" y el ngulo de elevacin es ahora "2q"; y si nos acercamos una distancia "n" el ngulo de elevacin es "4q".

Hallar: "m/n".

a)cosqb)2cosq

c) cos2qd)2cos2qe)2cos4q

14. Desde lo alto de cada piso de un edificio de "n" pisos, se observa un objeto con ciertos ngulos de depresin; tales que la media aritmtica de sus tangentes es igual a seis veces la tangente del ngulo de depresin correspondiente al 6to piso. Calcular: "n".

a)7b)18 c)19 d)36 e)35

15. Un observador en tierra divisa lo alto de una torre con un ngulo de elevacin "q". De esa ubicacin sube un camino inclinado un ngulo "q" respecto a la horizontal alejndose de la torre, hasta alcanzar una altura "h" respecto al suelo; de donde divisa lo alto de la torre con un ngulo de elevacin "a". Si la altura de la torre es "5h"; calcular:

J = tgq ctga + tga ctgq

a)13/7

b)13/6c)15/4

d)25/12

e)11/516. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ngulo "a" y desde otro punto el ngulo de elevacin es "b" (a < b). Si desde el punto medio de la distancia que hay entre los dos primeros puntos de observacin el ngulo de elevacin es "q"; calcular:

M = (ctga + ctgb) tgq

a)1b)2c)3d)4e)6

17. Desde un punto en tierra ubicada a 200m del inicio de un camino inclinado un ngulo "q" respecto a la horizontal; se ve su parte ms alta con un ngulo de elevacin "a". Calcular la altura mxima del camino inclinado;

si: ctga = 7 y ctgq = 3.

a)20

b)30c)40d)50e)80

18. Subiendo por una colina inclinada un ngulo de 37, respecto a la horizontal, se observa en su parte ms alta una torre con un ngulo de elevacin de 45, a una distancia de su base de 20m. Cul es la altura de la torre?.

a)1

b)2

c)3d)4e)5

19. Una nia de estatura "h" observa lo alto de un poste, notando que su visual tiene una pendiente del 20%. Si la altura del poste es "H", calcular "h/H", para que al alejarse la nia un distancia igual a la altura del poste, su visual hacia lo alto del mismo, tenga una pendiente del 8%.

a)13/14

b)13/15

c)7/9

d)12/13

e)4/1120. Se tienen 3 postes de altura 2; 5 y 1; ubicados en un mismo plano vertical en el orden que se dan sus medidas. Desde lo alto del mayor se ve al intermedio y al menor con ngulos de depresin "a" y "90-a" respectivamente. Si desde lo alto del menor se ve lo alto del intermedio con un ngulo de elevacin "b", calcular el mnimo valor de "ctgb".

a)3

b)2

c)3

d)4

e)521. Descendiendo por una colina, se divisa un objeto, fuera de ella, con ngulo de depresin "a". A la mitad del descenso el ngulo de depresin para el objeto es "b". Si la inclinacin de la colina respecto a la horizontal es "q",

calcular:

a)1b)2 c)-1 d)-2 e)622. Un avin viaja en direccin paralela a la horizontal que une dos ciudades A y B. Cuando est entre ellas, las divisa con ngulos de depresin complementarios, siendo uno de ellos "a" y cuando est sobre "B" es visto desde "A" con un ngulo de elevacin "b". Si se sabe que "b" es maximo, calcular:

a)3b)6c)7d)9e)1023. Un joven observa los ojos de una seorita con un ngulo de elevacin "a". Se acerca una distancia igual al doble de la diferencia de sus estaturas y el ngulo de elevacin es el complemento de "a". Calcular: M = ctga + tga

a)

b) 2

c)3

d) 4

e) 224. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ngulo de elevacin "a". Nos acercamos una distancia igual a la altura del poste y el ngulo de elevacin es ahora el complemento de "a".

Hallar: M = ctga + tga

a)1b)

c)1/2d)4e)

ngulos en posicin normal y reduccin al primer cuadrante

Objetivo:

Reconocer un sistema de coordenadas rectangulares e identificar las razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida; asimismo determinar las propiedades de los ngulos coterminales y ngulos cuadrantales

I. NGULO EN POSICIN NORMAL

Es aquel ngulo trigonomtrico cuyo lado inicia coincide con el semieje positivo de las absisas y su vrtice con el origen de coordenadas, mientras que su lado final puede estar en cualquier parte del plano

II. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO EN POSICIN NORMAL

Para conocer las R.T. basta conocer un punto de su lado final

X : abscisa

Y : Ordenada

r : radio vaco

r2 = x2 + y2 ; r > 0

Sen (= y/r

Cot (= x/y

Cos (= x/r

Sec (= r/x

Tg (= y/x

Csc ( = r/yIII. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS

Signos de las R.T.

IIC

Todas (+)

IC

IIIC

IVC

IV. REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

IC:(IIC:180 - (IIIC:( - 180

IV:360 - (Valores que toman las R.T.

V. R.T. DE NGULOS CUADRANTALES

A.C.

F.T.0 y 36090180270

Sen010-1

Cos10-10

Tan0(0(

Cot(0(0

Sec1(-1(

Cosec(1(-1

( : No existe = no determinado

VI. R.T. DE NGULOS NEGATIVOS

Sen(-() = - Sen (Cos(-() = cos (Tan(-() = -Tan (Cot(-() = -Cot(Sec(-() = Sec(Cosec(-() = -Cosec(VII. NGULOS COTERMINALES

Se llaman as a dos o ms ngulos en posicin normal, cuyos lados finales coinciden entre si

Propiedades

Si: ( y ( son las medidas de 2 ngulos coterminales entonces:

( - ( = 360 (n), n ( Z

R.T (() = R.T (()

Ejercicios1. Dado el grfico, calcular:

M = 25 Sen (. Cos (

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 16

2. Siendo: P(,-2) un punto del lado final del ngulo ( en posicin normal, calcula el valor de

S = Cosc ( - Tg (a) 1/2

b) 1/2

c) 7/2

d) 7/2

e) 5

3. Del grfico:

Calcular: Tg ( + Ctg (a) 5/2

b) 5/2

c) 3/2

d) 3/4

e) 2

4. Siendo: P(-3, -1) un punto del lado final de ( en posicin normal, evala:

K= Ctg ( + Csc2( - 3 Tg (a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

5. Sabiendo que:

2 Sen ( =

adems, ( ( II cuadrante

hallar: Tg (a) - /3 b)

c) 1 d) 1 e) 2

6. Dos ngulos coterminales estn en relacin de 2 a 7 la diferencia de ellos es mayor que 1200 pero menor que 1500. Hallar dichos ngulos.

a) 720 y 576

b) 2016 y 216

c) 1080 y 576

d) 2016 y 576

e) 720 y 576

7. Si: Sen ( > 0 (Cos ( > 0

En qu cuadrante est (?

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) Es cuadrantal

8. Calcular el signo de:

E=

a) +

b) -

c) +

d) + y -

e) No tiene signo

9. Calcular el signo:

E=

Si: ( ( III c ( ( ( IV C

a) +

b) -

c) +

d) +

e) Absurdo

10. Sabiendo que:

M=

N=

Sus respectivos signos son:

a) +; -

b) +; +

c) - ; +

d) - ; -

e) N.A

11. Hallar el valor numrico

M=

a) 3/7

b) 4/7

c) 5/7

d) 6/7

e) 1/7

12. Calcular:

M=

a) 2/5

b) 5/2

c) 2/5

d) 5/2

e) 5

13. Calcular el valor de:

E=

a) 1

b) 1/4

c) 2

d) 1

e) 3

14. Simplificar:

R=

a) 1

b) 1

c) 0

d) 2

e) 3

15. Cuantos ngulos cuadrantes hay en el intervalo de 1020 a 2150

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

16. Calcular: CTg ( + 7 Ctg (

a) 2

b) 3/2

c) 4

d) 7/4

e) 4/7

17. Del grfico mostrado calcular, E = 5Tg( +Cos(Si, ABCD es un paralelogramo

a) 9

b) 9

c) 10

d) 10

e) 0

18. Dada la figura mostrada

Calcule:

E=

a) 1

b) 2

c)

d) -

e) 2

19. Se tienen 2 ngulos coterminales cuyo cociente es igual a 1/7 y que la suma de estos no es mayor de 500 ni menor de 400. Hallar la suma de la tangentes de dichos ngulos.

a)

b) c) 2

d)

e) 2

20. Si: Tg ( = 2 y |Sen|= - Sen(Evaluar:

(=|Cos (|+2|Sen(|

a) 2/5b) 2c)

d) /3

e) 2

21. Si se sabe que Sen ( = adems: Tg ( < 0 y Cos ( > 0 . Hallar: E=(Sec(+Tg()

a) 0

b) 1

c) 2

d) 1

e) 2

22. Del grfico calcula:

K=(Sen(-Cos()

a) 0

b) 1

c) 3

d) 6

e) -6

23. Sabiendo que: (Sen ()Sen( = indicar un valor de: Tg( si y slo si: