7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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Apunte de clase
geo-estadistica lineal aplicada
DELGADO VEGA JosDocteur Gologie de lIngnieur
cole Nationale Suprieure des Mines de Paris
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Profesor
JosDelgado Vega: De formacin Ingeniero Civil de Minas es Doctor en alEscuela de Minas de Paris en geologa aplicada , adems tiene dos post-tituloen la escuela de minas de Paris ,el primero como especialista en explotacinde minas a cielo abierto canteras y el segundo como especialista en
geoestadstica Ha realizado diversos trabaos de en el rea de evaluacin dereservas , su investigacin doctoral se !a centrado sobre la modelizacingeo metalrgico y su influencia en la planificacin minera de minas a cieloabierto"
Es profesor ornada completa del departamento Minas de la #niversidad de
$ntofagasta , a dictado curso % a nivel nacional e internacional & de geo
estadstica lineal , no lineal simulacin , estadstica aplicada , planificacinminera a cielo " Don 'os traba( aos en operaciones minas y es expertoen seguridad minera clase $" Email ose"delgado)uantof"cl
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I. TIPO DE !"#O
Estos cursos se dirigen a alumnos de la universidad deAntofagasta que deseen comprender y aprender a utilizar lageoestadsticos lineal , sus dominios de validez y susmecanismos de clculo.
II. O$JETIVO GE%E"ALE#
Brindar los fundamentos de los principales conceptos ytcnicas usados en la geoestadstica lineal .
Analizar las herramienta para la estimacin de recursos yla cuanti!cacin del riesgo asociado a estos.
III. O$JETIVO# E#PEI&IO#" #roveer al alumno con herramientas $sicas para ccaracterizar yacimientos metlicos usando informacin deregistros de sonda%es de e&ploracin." #roveer al alumno con criterios para elegir cul es la tcnica
ms apropiada para descri$ir propiedades de un yacimiento." #roveer al alumno con tcnicas cuantitativas para
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IV. P"OG"A'A DE T"A$AJO
'os principales temas a desarrollarson(ntroduccin
)onceptos $sicos de estadstica#ro$lema que dio origen a la*eoestadstica*eoestadstica, concepto+aria$les aleatorias regionalizadasiptesis de la *eoestadstica
El anlisis estructural+arianza de dispersin+arianza de estimacin-rigeage rdinario-rigeage /imple)o0rigeage
)onclusiones
http://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#INTRO%23INTROhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#VARIAB%23VARIABhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#ANALISIS%23ANALISIShttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica2.shtml#CONCLUhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica2.shtml#CONCLUhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#ANALISIS%23ANALISIShttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#VARIAB%23VARIABhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#INTRO%23INTRO7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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V. 'ETODOLOG(A
'a metodologa del curso est orientada a la consecucin delos o$%etivos enunciados y est conformada por1E&posicin de los temas
2alleres en clase3iscusiones
VI. EVAL!AI)%El cali!cativo del curso ser el promedio ponderado de tresprue$as parciales que valen el 45 6 y un e&amen que vale el75 6
+alores de los e&menes
#rue$a 8 ............................... 99 6 #rue$a : . .............................. 99 6 #rue$a 9 ;;;....................... 97 6
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Referencia
PROFESOR M.ALFARO
*+$$'./ E0 1E.E/+$DI/+IC$ 2I0E$2 *
G.MATHERON
*2a t!eorie des varibles regionalise3s et ses aplications
Centre de geoestatisti4ue 5ontainebleau
H!LES JEAN"PA#L $ DELF!NER P!ERRE %&'''(
)1E./+$+I/+IC/ Modeling /patial #ncertainty)
$ 6iley Interscience Publications 7888
EMER* +AV!ER $ ARNA#D M!HEL %,---(
9Estimation et interpolation spatiale m3t!odes d3terministes
et m3t!odes g3ostatisti4ues9 Herm:s /ciences Europe ;
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Referencia
JOFRE D#4ER %,--'(
9Curso de categorizaciAn de reservas9
Diplomado Internacional en geoestadistica aplicada a la evaluaciAn de recursos mineros ;
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Referencia
R!VO!RAD6J. %,--7(G
90otes de classes de cours de g3ostatisti4ue multivariable9"
C5/1,Ecole des Mines de Paris 5ontainebleau ;
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INTRODUCCION
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La *ase de datos
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Analyse conomiquedu pro%et
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Dterministicos vs. Go estadisticos
Dterministicos : Utilizan funciones matemticas
para poder hacer las predicciones ;
Go estadsticos (Estocsticos): socian
funciones matemticas a los anlisis estadsticos
para hacer interpolaciones (e!: "ri#ea#e);
*eneralidades
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*eneralidades
'aestadstica se ocupa de los mtodos cient!cos pararecolectar, organizar, resumir, presentar y analizardatos, as como o$tener conclusiones vlidas y tomar
decisiones razona$les en $ase a dicho anlisis 'ageoestadstica es una rama de la estadstica aplicada
que desarrolla herramientas matemticas para elestudio de varia$les distri$uidas en el espacio,dependientes entre si, llamadas aria*les
regionaliadas.
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$%u es la #eo estadstica&
'atheron : Estudio de la variale re#ionalizada
encilla :Es la aplicaci*n de la estadstica a las
ciencias de la tierra
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*eneralidades
'a geoestadstica pone nfasis en1 El conte&to geolgico de los datos 'a relacin espacial entre los datos 3atos medidos con un soporte volumtrico y precisin
diferentes. 'a geoestadstica es Ftil para1
)uanti!car aspectos geolgicos =Gponerle nFmeros a lageologaH?
Estimacin I /imulacin
)uanti!cacin de la incertidum$re =categorizacin? 3iseJo de muestreo Anlisis de riesgo
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#rincipios Bsicos1 2ra$a%a dentro de restricciones geolgicas =fsicas? Entrega herramientas para cuanti!car y aprovechar la correlaci/n
espacial )onsidera la cercan0a 1 redundanciade la informacin disponi$le al
punto a estimar o simular
Algoritmos para modelamiento geolgico numrico y cuanti!cacin de laincertidum$re
Ko facilita el tra$a%o, pero lo me%ora =si es aplicada correctamente?
'a geoestadstica no hace lo siguiente1
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'as herramientas que son apropiadas en una etapa inicialpueden no serlo ms delante
Algunas herramientas de modelamiento numrico1 Estimacin1
(nverso del cuadrado de la distancia -riging /imple I rdinario -riging de indicadores )o0riging
/imulacin de varia$les continuas1 /imulacin *aussiana /ecuencial /imulacin por Bandas
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*eneralidades
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*eneralidades
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+ ,-,/ E01 DE U
12/3E,0/ '-E2/
12/1E,,-/
E41+/2,-/
DE22/++/
E41+/0,-/
2E56-+-0,-/ 3 6D//
*eneralidades
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*eneralidades
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Nociones fundamentales
Variable regionalizada ( o regionalizacin )Se trata de una !uncin numrica"ue mide unatri#uto"ue presenta una estructura en el espacio$por e%emplo & la le' del co#re en un 'acimiento (
Camo)l campo es el dominio en le cual se e*tiende la
+aria#le regionali,ada -.uera del campo &la+aria#le no interesa o simplemente no estade/nida
*eneralidades
lid d
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!oorte
Se trata del +olumen so#re el cual se considera la
+aria#le regionali,ada -)s importante destacar "uelas propiedades estadsticas de los +alores dependeDe su soporte $e!ecto soporte(
Comositos
0uando los datos originales son testigos de sondagescu'o soporte es +aria#le &una operacin deregulari,acin
*eneralidades
lid d
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"#l inters or la geoestadistica esta basadoen su $abilidad ara modelar la %ariabilidad
esacial de fenmenos de ocurrenciasnatural &ue no ueden
ser totalmente modelados or rocesosdetermin'sticos
*eneralidades
* lid d
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$+a estructura de una variale 2e#ionalizada &
Es una variale aleatoria donde la localizacion7
el espacio 8 el tiempo son importante :
Ella presenta dos aspectos contradictorio
0iene un aspecto aleatorio
9u comportamiento es mas estructurada
*eneralidades
* lid d
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*eneralidades
* lid d
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*eneralidades
* lid d
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)l conocimiento "ue se tiene de un depsito essiempre !ragmentario 1solo se dispone dein!ormacin cualitati+a ' de muestras en las cuales
se mide +arios atri#utos 1 le' de co#re &arsnico oro &potencia de los estratos & densidad de la rocas &tipode litologa
2a densidad del muestreo in3u'e en el conocimientode la 4organi,acin 4 )spacial de los +alores de la+aria#le en estudio &su continuidad ' otrascaractersticas estructurales $anisotropa(
lgunas *roblem+tica general
*eneralidades
* lid d
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*rinciios directores
5-67espeto a los datos
8-6Principio del realismo
9-6Principio de la economa
*eneralidades
* lid d
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,!on siemre nuestros datos e&uirobables- no su.etos a concentraciones/
*eneralidades
* lid d
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*eneralidades
* lid d
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,0ue asa con la funcin de distribucin de losdatos/
*eneralidades
* lid d
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+ipos de muestreos+ipos de muestreos
7egular leatorio :ran6sect
leatorio estrati/cado Grupos 0ontorno
*eneralidades
* lid d
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*eneralidades
* lid d
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*eneralidades
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1re%e discusin de los mtodos tradicionales
de e%aluacin
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Mtodos
Numerosas tcnicas de interpolacin ;
La eleccin de la tcnica depende del tipo de datos
del tipo de superficie que se quiere del tiempo y del
tratamiento que se les quiere dar.
y tambin de la tradicin
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,0ue buscamos con nuestros mtodos/
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realidad ..............................Muestras ...........................Krigeage.................Carte de varianzas
'uestras 8 paneles .. ....0onelae de mineral... ;; 0onelae de metal .........le8es medias
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1uede ser: 1/+-G/+ 12/'ED-/
-/2
"2-GEGE7
E GEE2+:
== ni ii z ,1*
*
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5( M)DI 7I:M):I01Se #asa en losiguiente 4para estimar la le' media
de un con%unto se promedian las le'esde los datos "ue estn dentro delcon%unto;
Su !rmula general1 z zNs!=
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8(Polgonos1)l mtodo se #asa en
4asignar a cada punto del espacio lale' del dato ms pr*imo-Paraestimar una ,ona se ponderan lasle'es de los datos por el rea de
in3uencia s%; Su !rmula es la siguiente1
zs z
ss! !=
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9( IN
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P=2IG=N=
P7=M)DI=
I7IG)G) $se +era despus?
1=
ni
1=
=
=
ni i
i
i
d
d
,1
1
1
[ ]3,1
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#.emlo
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CO2#NTRIO!
)l mtodo tradicional mediaaritmtica no !unciona #ien enestimaciones locales por"ue"uedan #lo"ues sin in!ormacin-
)l mtodo de los polgonos engeneral es menos adecuado enestimaciones locales por"ue asignala misma le' a todos los #lo"ues deun mismo polgono
CO2#NTRIO!
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CO2#NTRIO!
2os mtodos tradicionales mencionados sonempricos&demasiado geomtricos ' no consideran laestructura del !enmeno minerali,ado $la continuidad
de las le'es ' la posi#le presencia de anisotropas(
Dic?os mtodos presentan una so#re6estimacin delas le'es altas ' una su#6estimacin de las le'es#a%as
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)onceptos generales
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!"VA# TO%ELAJE 2s LE3.
2eniendo los datos de las reservas del yacimientose puede o$tener una curva de 2onela%e vIs la
'ey de corte y la 'ey media. Esto se logra atravs del inventariado de reservas delyacimiento que se encuentran $a%o una ley decorte determinada y calculando la ley media detodos los recursos cuya ley es superior o igual ala ley de corte determinada o$tenindose doscurvas en un mismo gr!co.
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)urva 2onela%e D 'eyedia
)urva 2onela%e D 'ey de)orte2onela%e
'ey 64.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.: 4.; 4.< 4.= 5.4 5.5 5.65.7 5.8 5.9
=44.444.444
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,oncepto de le8es de corte econ*mica de e
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f(X)
#l d l d bl
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#l modelo de blo&ue1
)s un modelamiento tridimensional "ue consiste en discreti,ar+irtualmente el 'acimiento en cientos de paraleleppedos $#lo"ues(&
con caractersticas "ue +an de acuerdo al sistema de e*plotacin autili,ar& la cual permite representar caractersticas ' propiedades del'acimiento
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e &ue deende las dimensiones del modelo de blo&
aractersticas del deposito
ontinuidad espacial
asta a e*plotar-
electi+idad
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onceptos $sicos de estad0stica
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O.3E'*A3
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O.3E'*A3
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O.3E'*A3
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Pensemos en un pas imaginario ' pe"ueo llamado )lic? & donde tresseores de di!erentes corrientes de opiniones discuten & al +er la siguienteestadista de los salarios en dic?o pas
Salarios de Elic>
Media &9&7?,'.@&
Mediana &-----
Moda &----
DesiaciBn es/Cndar ?;@@,@.??
Variana de la 03es/ra 7.,&''E&7
oeficien/e deasi0e/ra ,.','-;97'
Mni0o &----
MCi0o ,-------
3en/a &-
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"epresentaci/n de los datos
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Histograma
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0,2 0 ,4 0,6 0 ,8 1 1,2 1 ,4 1,6 1 ,8 2 2,2 2 ,4 2,6 2 ,8 3 3,2 3 ,4 3,6 3 ,8 4 4,2 4 ,4 4 ,6 4,8 5
Clase
Frecuenc
ia
/e interpreta pro$a$ilsticamente =pro$a$ilidad de un valor depertenecer a una determinada clase?.Luncin de densidad de pro$a$ilidad1
%ota@ %o olide+os Bue un ?istogra+a no presenta ninguna infor+aci/nreferente a la u*icaci/n espacial de los datos CBue es clae en
"epresentaci/n de los datos
{ }21Pr)(')( $$$ob$%$f ==
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Histograma acumulado
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 0, 2 0, 4 0,6 0 ,8 1 1, 2 1,4 1 ,6 1 ,8 2 2 ,2 2 ,4 2 ,6 2 ,8 3 3, 2 3, 4 3, 6 3, 8 4 4, 2 4, 4 4, 6 4, 8 5
Clase
Frecuenciaacumu
lada
Luncin no decreciente con valoresde frecuencia relativa entre 5 y 8.
3e un gr!co de cumulativopodemos leer directamentepro$a$ilidades
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Estad0stica *sica
medidas de posicin
medidas de dispersin
medidas de forma
media, mediana, moda, mnimo, mximo, rango, deciles,
cuartiles, cuantiles
arian!a, desiaci"n estndar, coeficiente de ariaci"n,
rango intercuartil
coeficiente de asimetra, coeficiente de a#lanamiento
Estad0stica *sica
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edidas de posicin1 edia
ediana
oda, mnimo y m&imo
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P9
ediana oP:
P8
Estad0stica *sica
Estad0stica *sica
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edidas de dispersin1
+arianza
3esviacin estndar
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omentos
Esperana@ =primer momento? es un promedioponderado por las pro$a$ilidades, si e&iste. Kos da una
idea del centro de la distri$ucindonde1EQRS T valor esperado de R
UiT #onderador del dato iDsimo n T nFmero de datos m T media
En el caso continuo1
=
===n
i
i
i
n
ii
'
z'm(
1
1}{
+
+
=== dzzzfzzd%m( )()(}{
Esperana 1 ariana de una aria*le
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aleatoria
/ea V una varia$le aleatoria discreta, y supongamos quetoma valores en el espacio Q5, 8, :, ..S con pro$a$ilidad
Entonces se de!ne la esperanza de V
como
W la varianza
como
{ } )p)& ==Pr
[ ]
=
=&)
)p)&(
[ ] [ ]( )=
=&
2
)
)p&()&*
Esperana 1 ariana de una aria*le
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aleatoria
'a interpretacin es $astantesencilla
posi$les valores de
V
pro$a$ilidad que lavaria$le tome el
valor 0El valor GpromedioH quepuede asumir la varia$le
3esviacin cuadrtica de los posi$lesvalores de V respecto de su promedio
EXVY
3esviacincuadrticapromedio
[ ]
==
&)
)p)&(
[ ] [ ]( )
=
=&
2
)
)p&()&*
Esperana 1 ariana de una aria*le
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aleatoria
/ea V una varia$le aleatoria continua con valores en ", ycon funcin de densidad f+$,. /e de!ne la esperanza de V
como
W se de!ne la varianza de Vcomo
[ ] d$$f$&(
= )(
[ ] [ ]( ) d$$f&($&*
= )(2
Esperana 1 ariana de una aria*le
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aleatoria'a interpretacin para el caso continuo es similar. Enefecto
posi$le valor de V
#ro$a$ilidad de que la varia$lealeatoria V tome un valor en elintervalo X&, & Z d&Y
El valor GpromedioH quepuede asumir la varia$le
3esviacin cuadrtica de los posi$lesvalores de V respecto de su promedioEXVY
3esviacincuadrticapromedio
[ ] d$$f$&(
= )(
[ ] [ ]( ) d$$f&($&*
= )(2
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omentos
'a ariana=segundo momento centrado?. Kos da unaidea de la dispersin de la distri$ucin de la +A R. /ede!ne como la esperanza de la desviacin de Rrespecto de su media al cuadrado1
&}{}%{}{ 2222 === m(m(*ar
omentos
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omentos
En forma discreta, la varianza puede de!nirse como
En forma continua, puede escri$irse como
/e calcula con los dos primeros momentos de R1
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
'
mz'
*ar
1
1
2)(
}{
dzzfmzzd%mz*ar )()()()(}{ 22 +
+
==
{ } { }{ } { }{ } { } { }( )
uadradoalrdenPrimerde+omento
2
rdenegundode+omento
222
222
2
)()(
((mm(
m(((*ar
=+=
===
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
83/313
omentos
#ropiedades de la esperanza1
#ropiedades de la varianza
{ }
{ } { }
{ } { }
{ }
=
+=+=
=
dzzfzgg(
(baba(
(bb(
aa(
)()()(
{ }
{ } { }
{ } { }*arb*ar
*araa*ar
a*ar
=+=
=2
&
d0 i
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
84/313
's estad0sticas
edidas de forma1 )oe!ciente de asimetra =s0eUness?
#ositivo )ercano a 5 Kegativo
31
3))((n
1
asimetradeeoeficient s
muzn
=
=
Frec.
!x
"
m#
!x"
Frec.
#
m
Frec.
!x"m
#
Estadstica de dos
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
85/313
Estadstica de dosvaria$les
Anlisis $ivaria$le #ares de$en corresponder a la misma
u$icacin en el espacio =coDlocalizados?Grfico de Dispersin
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Variable 1
Variable2
)orrelacin
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
86/313
El coe/ciente de correlacines una medida dela dependencia lineal entre las dos varia$les
)orrelacin
21
21
1
21 ))((1
n
mzmzn
= =
P #l t
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
87/313
PDq #lot
*r!co PDP1 para comparardos distri$uciones L8 y L:cuantil a cuantil.
Ko se utiliza para compararla relacin par a par que hayentre las varia$les.
Escoger una serie de valoresde pro$a$ilidad
p0, 0 T 8, :, ;, -
*ra!car q8=p0? versus q:=p0?, 0T 8, :, ;, -
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
88/313
PDq #lot
/i todos los puntos caen en una lnea de 7No, lasdos distri$uciones son e&actamente iguales
/i la lnea esta desplazada de los 7No, las dos
distri$uciones tienen la misma forma perodiferentes medias
/i la inclinacin de la lnea no es 7No, las dosdistri$uciones tienen diferentes varianzas
/i hay un carcter no lineal en el gra!co PDP, lasdistri$uciones tienen diferentes formas en elhistograma
0.35
0.40
$!"
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
89/313
3istri$ucin Kormal
#ropiedades1 )ompletamente de!nida por su media y
varianza
2iene una descripcin matemtica precisa Lavora$le para enfoques tericos de
estimacin Luncin de densidad de pro$a$ilidad1
2
2
1
e2
1
"!$
=
0 2 4 6 8 10 12 14 160.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
$!"
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
90/313
3istri$ucin Kormal
Estandarizacin1
3istri$ucin normal estndar K=5,8?
Luncin de distri$ucin acumulada1
corresponde al rea $a%o la curva
=
2
2
e2
1"!$
=
=
&"!$"!'
0 2 4 6 8 10 12 14 160.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
$!"
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
91/313
3istri$ucin Kormal
(ntervalos de con!anza 4[6 MN6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
$!"
68%
16% 16%
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
$!"
(5 %
2.5% 2.5%
0 2 4 6 8 10 12 14 160.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
92/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
93/313
0.30
0.35$!"
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
94/313
3istri$ucin 'ognormal \na po$lacin es lognormal si los logaritmos de los datos estn
distri$udos como una normal #ropiedades1
En )iencias de la 2ierra es comFn encontrar varia$les cuya
distri$ucin es cercana a una lognormal
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
95/313
3istri$ucin 'ognormal
0 2 4 6 8 10
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35$!"
0 2 4 6 8 100.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.)
0.8
0.(
1.0
'!"
0 2 4 6 8 100.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
&-todo#araln
)}{Pro)( >
==
y.y-y% o-
==
ygyy%yf
o--
ln1)(')(
+==
== +
2
222
222$
1ln2$ln
%122
mm
emem
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96/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
97/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
98/313
3a Distribucin 3og Normal
Valor eserado
Varianza.
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
99/313
Para Bue sire una ariana de dispersi/n
1 una de esti+aci/n F
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
100/313
2a idea de la !uncin aleatoria
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101/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
102/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
103/313
=os Del#ado
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104/313
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105/313
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106/313
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107/313
presentacin de una regionali,acin por una !uncin aleatoionaria o intrnseca es una operacin SBC):I
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108/313
Variogra4a
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109/313
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110/313
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111/313
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112/313
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113/313
n+lisis Variogra4co
)l anlisis +ariogra/co es una de las ?erramientas mas importante 'potente "ue e*isten para anali,ar las !uentes de +aria#ilidad de losprocesos -
Podemos estudiar la +aria#ilidad de la +aria#le aleatoria en !uncindel tiempo o de la posicin
)n el caso de la mina podemos estudiar como +aran las le'es
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114/313
+ariograma E&perimentalDde!nicin
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115/313
+ariograma 2erico
+ariograma E&perimental
( ) ##
! )%()(' "$$(" +=
( ) =
="$$
!i
!i
$z$z"N
" 2* ))()((2
1)(
+A
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116/313
+A
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117/313
Es una herramienta que permiteanalizar el comportamiento
espacial de una propiedad ovaria$le so$re una zona dada-nformaci*n estructural aportada por el ario#rama
>.?continuidad espacial
@.?Aona de influencia
B.?las anisotropa
C.?+as estructuras anidadas
.?+a no estacionalidad ( derivas tendencias
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118/313
es independiente de la localizacin $
depende del mdulo y de la direccin delvector "
+alor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la
propiedad en dos puntos separados por una distancia ^"/
+ariograma 2ericoD)aractersticas
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
119/313
3eteccin decaractersticasque varansegFn ladireccin y ladistancia
( )"$ +
!"$+
"
1"
( )!"$ +
"$ +
( ) ##
! )%()( "$$(" +=
( )$
$
Le Variogra++e
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
120/313
&&
&
&
&& &
&&
h :h 3istance m.
*orte
*alier 5Variance des dones
*as de corrlation
entre oints
Variogramme e6rimental
Variogramme t$ori&ue
37 e8ect ite
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
121/313
+ariograma E&perimentalDde!nicin0oordenadas estratigra/cas
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
122/313
'a correlacin espacial se
de$e calcular dentro de lamisma unidad estratigr!ca
basetope
base
E%emplo /encillo
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123/313
E%emplo /encillo
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
124/313
+ariograma E&perimentalDtolerancia angular
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
125/313
2olerancia angular
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
126/313
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127/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
128/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
129/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
130/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
131/313
)lculo de variogramase&perimentales
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
132/313
In,luencia del -aso
e&perimentales
) lculo de variogramase&perimentales
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
133/313
In,luencia de la tolerancia en el -aso
p
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
134/313
variograma 'a estructura de corto alcance es la ms importante
#epita de$ido al error de medicin no de$iera modelarse 2amaJo de las celdas del modelo geolgico
'a direccin vertical es tpicamente la me%or informada
#uede tener artefactos producto del espaciamiento dedatos de testigo.
ane%o de derivas verticales y variaciones areales 'a direccin horizontal es en general ms difcil de
estimar
\sar un paso cercano al espaciamiento de los sonda%es 2picas razones de anisotropa horizontalDvertical
)omportamiento discontinuo
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135/313
(nterpretacin delnugget eEect
8? +aria$le muy irregular a distancias cortas
+$, y+$0", di!eren mucho
no se apro&ima a cero( ) 2)%()('2
1"$$(" +=
&"
)omportamiento discontinuo
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
136/313
(nterpretacin delnugget eEect
:? Errores de medicin enlas varia$les
0
0,
1
1,
2
2,
!
!,
01, !
", #
$, %
10, 1
2
1!, 1
1#, 1
&
Distancia
Variograma
Valores
obser'ados
Valores
reales
( ) ( ) ( )$$$obs +=
( ) ( ) 2
+= "" obs
2
)omportamiento discontinuo
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
137/313
(nterpretacin delnugget eEect
9? presencia de estructuras oausencia de valores en distanciasinferiores a las que se tomaronlas muestras
)omportamiento 'ineal
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
138/313
)omportamiento lineal
(ndica que paradistancias pequeJas, elvariograma tiene un
comportamiento lineal.
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
139/313
)omportamiento lineal
'a varia$ilidad de lapropiedad dependerde la pendiente de larecta en el origen
A mayor pendiente,mayor varia$ilidad
A menor pendiente,menor varia$ilidad
0
0,
1
1,
2
2,
!
!,
0 1 2 ! " # $ & % 10 11
Distancia
Variograma
0
0,
1
1,
2
2,
!
0 1 2 ! " # $ & % 10 11
Distancia
Vari
ograma
)omportamiento )uadrtico
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
140/313
)omportamiento )uadrtico
(ndica que para distanciaspequeJas, el variograma tieneun comportamiento
cuadrtico.
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
141/313
)omportamiento $rido1
+ariacin ms suave adistancias cortas
+ariacin ms fuerte adistancias grandes
(ndica presencia deestructuras actuando adiferentes escalas
0
1
2
!
"
#
$
&
0 1, ! ", # $, % 10, 12 1!, 1 1#, 1&
Distancia
Variograma
)omportamientoDgrandes distancias
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
142/313
K 23/ '/ +A
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
143/313
p
*eneralmente cuando el variogramae&perimental es calculado en distintasdirecciones presenta distintoscomportamientos con la variacin de ladistancia.
Anisotropa *eomtrica
Anisotropa Ronal
Anisotropa $rida
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
144/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
145/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
146/313
./0 45+
/XP/4+/670 0 +./0./ 45+
*
A%ustar*
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
147/313
#< P\E AW P\E )K/2
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
148/313
'/ +A
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
149/313
9? 2odo variograma es una funcion de!nida positiva condicional
#ara cualquier n2 cualesquiera puntos en el espacio y cualesquiera
valores tales que se tiene que
Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de com$inaciones
lineales de funciones aleatorias
n$$$$ ,,,, 321
n ,,,, 321 =
=n
i
i
1
&
( ) &1 1
= =
n
i
n
!
!i!i $$
( )
=ar
+ariograma 2ericoDpropiedades
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
150/313
7? /i es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrnseca entonces
En particular para " su!cientemente grande e&iste una constante c tal que
)riterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias
)riterio para detectar un comportamiento no estacionario
( )&
2 =
"
"lim"
( )2
"c"
+ariograma 2ericoDpropiedades
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
151/313
N? )om$inacion lineal de variogramas
/i son modelos de variograma y
son valores positivos entonces
#ermite modelarIa%ustar las estructuras im$ricadas =nested structures?
#ermite modelar la anisotropa zonal
( ) ( ) ( ) ( )""""N
,,,,321
N,,,, 321
( ) ( )""n
ii i
== 1
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
152/313
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
153/313
Por de/nicin
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
154/313
7ecordemos
2*)%(**)( ((*ar
=
2))((
=
mi$i(
)(* i$
i
i =
=== i i imii$(ii$i(( ))(()((*)(
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
155/313
)()%( !$i$
!
!i
i
i$i*ar =
)()%( !$i$C
!
!i
i
i$i*ar =
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
156/313
)()%()*( !$i$!ii$i*ar*ar ==
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
157/313
2a +arian,a es negati+a esto se produce por"ue la !uncin utili,ada
no esta de/nida positi+amente
!i
))1(322)89&(312)89&(212)&(23
)&(22
)&(21
( +++++
19&
):9&29&29&&&&(
=+++=
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
158/313
+ariograma 2ericoDpropiedades
2)
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
159/313
Z T
0
0)
1
1)
2
2)
!
!)
"
")
0 1)! 2)# !)% )2 #) $)& %)1 10)" 11)$ 1! 1")! 1)# 1#)%
0
0)
1
1)
2
0 1)! 2)# !)% )2 #) $)& %)1 10)" 11)$ 1! 1")! 1)# 1#)%
0
0)
1
1)
2
2)
0 1)! 2)# !)% )2 #) $)& %)1 10)" 11)$ 1! 1")! 1)# 1#)%
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
160/313
+./0 ./
45+
odelos de +ariograma
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
161/313
odelos de variograma isotrpicosms comunes1
8.Dodelos con meseta
odelo Efecto #epita #uro
odelo Esfrico
odelo E&ponencial
odelo *aussiano
odelo )F$ico
odelo /eno )ardinal
:.Dodelo sin meseta
odelo #otencia
odelo Efecto #epita #uro
odelo Efecto #epita #uro
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
162/313
Este modelo representa aun fenmenocompletamente aleatorio,en el cual no haycorrelacin espacial
Ko importa cun cerca seencuentren los valores delas varia$les, siempresern no correlacionados
==&&&
"sic"si"
odelo Esfricoodelo Esfrico
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
163/313
)omportamiento lineal en el origen
#endiente igual a
Es uno de los modelos devariograma ms utilizados
eseta c y alcance a
=a"sic
a"si
a
"
a
"c
"
3
3
2
1
2
3
ac $:91
odelo E&ponencial
odelo E&ponencial
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
164/313
Meseta s que alcanza asintticamente
Alcance aparente igual a a
3lcance practico al 45 6 de la meseta
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
165/313
eseta es c que alcanza asintticamente
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
166/313
eseta ) ylcance a
)omportamiento cuadrtico en el origen
+
=
a"sic
a"sia
"
a
"
a
"
a
"
c
"
;
;
:
:
3
3
2
2
;:9&:93;:98;
Distancia
Variograma
odelo /eno )ardinalodelo /eno )ardinal
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
167/313
eseta c que alcanza asintticamente
Alcacne aparente igual a a
lcance e&perimental igual a 7a
)omportamiento cuadrtico en el origen
/e utiliza para representar fenmenoscontinuos con periodicidades
( )
( )
= a"
8a"
c" $
seno
1
Distancia
Variograma
odelo #otencia
odelo #otencia
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
168/313
s se denomina factor de escala
El comportamiento en el origen
depende del valor de p
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
169/313
A%ALI#I# DE
VA"IA%A DE EHTE%#I)%
3VA"IA%A DE E#TI'AI)%.
84M
Introducci/n
Efecto de #oporte
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
170/313
Este captulo trata so$re el efecto de soporte deuna varia$le regionalizada =es decir, su forma fsica y
volumen? en su histograma y su variograma.
En un e%ercicio introductorio, se calcula las
estadsticas $sicas para dos tamaJos de soporte1
$loques de 8m`8m y $loques de :m`:m y se gra!ca
los histogramas resultantes.
85
Introducci/n
Efecto de #oporte
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
171/313
A continuacin se entrega las frmulas para el
clculo de la varianza de un punto en un $loque y la
de un soporte v, pequeJo, en otro de soporte + =de
mayor tamaJo?. #osteriormente, se prue$a la relacin
de aditividad de -rige.
Linalmente, veremos cmo el variograma
regularizado se relaciona con el variograma a soporte
puntual. \n e%ercicio ilustra el efecto que la
regularizacin tiene en el variograma.
88
El soporte de una aria*leregionaliada
En muchas situaciones prcticas una varia$le
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
172/313
En muchas situaciones prcticas una varia$le
regionalizada se mide como el promedio en undeterminado volumen o super!cie en lugar de un
punto. El volumen $sico so$re el cual se mide una
varia$le regionalizada se conoce como su soporte.
8:
El soporte de una aria*leregionaliada
\n cam$io de soporte da lugar a una nueva
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
173/313
\n cam$io de soporte da lugar a una nueva
varia$le regionalizada que est relacionada con laanterior, pero que tiene caractersticas estructurales
diferentes. #or e%emplo las leyes medidas en testigos
de : pulgadas =es decir, en un dimetro de N5 mm?
tienen una mayor varianza que las leyes medidas en
testigos de mayor dimetro, o en $loques o muestras
a granel.
89
El pro$lema que se plantea es el de sa$er cmo
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
174/313
El pro$lema que se plantea es el de sa$er cmo
una varia$le se relaciona con la otra. En otraspala$ras, bqu podemos decir so$re la ley de los
$loques conocidas las leyes de las muestras_
'a respuesta se dar en dos etapas. En primer
lugar se considera la dispersin de los valores como
una funcin de soporte. W luego vemos cmo se
relacionan sus variogramas.
87
#ara ilustrar el efecto de soporte tomemos los
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
175/313
#ara ilustrar el efecto de soporte, tomemos los
datos que se presentan en las !guras 8a y 8$,siguientes.
En el caso de la !gura 8a, se trata de las leyes de
47 $loques de 8m ` 8m de soporte. En tanto que en la
!gura 8$, se presenta las leyes medias de 84 $loques
de :m ` :m de soporte, o$tenidos promediando 7
$loques adyacentes de los $loques de 8m ` 8m desoporte, conforme se muestra en las !guras 8a y 8$ .
8N
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
176/313
Ligura 8$1 'eyes de 84 $loques de:m ` :m de soporte
Ligura 8a1 'eyes de 47 $loques de8m ` 8m de soporte
84
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
177/313
Ligura :1 'eyes de 47 $loques de 8m `8m de soporte
8
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
178/313
Ligura 91 'eyes de 84 $loques de :m `:m de soporte
8[
)omo era de esperarse las medias de am$os
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
179/313
)omo era de esperarse, las medias de am$os
con%untos de datos son las mismas, pero las varianzasno lo son.
'a varianza para los $loques de :m ` :m vale
844:5, valor que es $astante ms pequeJa que la
varianza de los $loques de 8m ` 8m, que vale :777.
8M
/i los valores fueran estadsticamente
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
180/313
/i los valores fueran estadsticamente
independientes, la varianza del soporte ms grandesera un cuarto de la varianza del soporte ms
pequeJo. Esto no ocurre en este caso de$ido a que
hay una alta correlacin entre los datos.
8[5
+eamos ahora qu sucede con la forma del
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
181/313
+eamos ahora qu sucede con la forma del
histograma en cada una de las dos situaciones.
8[8
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
182/313
Ligura N1 istograma de leyes de84 $loques de :m ` :m desoporte
Ligura 71 istograma leyes de 47$loques de 8m ` 8m de soporte
8[:
'as !guras 7 y N muestran que la forma de los
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
183/313
'as !guras 7 y N muestran que la forma de los
histogramas ha cam$iado tam$in. El histograma delos $loques de :m ` :m es menos disperso y ms
simtrico que el histograma de los $loques de 8m `
8m.D
Aunque las medias de am$as distri$uciones son
idnticas, la varianza del soporte mayor es mucho
ms pequeJa y su histograma es ms simtrico que el
de soporte menor.
8[9
'as consecuencias de este cam$io son muy
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
184/313
y
importantes en minera1 slo aquellos $loques queposeen una ley so$re un valor de corte sern
e&trados de manera renta$le.
'uego, es vital poder predecir la proporcin de
mineral so$re un valor de corte.
8[7
#or e%emplo, si se utiliza el mtodo de los polgonos
El soporte de una aria*leregionaliada
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
185/313
% p , p g
en la estimacin de reservas, el valor de la muestradentro del polgono se tomar como el valor estimado
para todo el polgono.
Esto conlleva a igualar el histograma de los valores
de las muestras con el histograma de los valores de
los $loques y, por lo tanto, a graves errores en la
estimacin de las reservas recupera$les de$ido a quelos histogramas son $astante diferentes, como puede
verse comparando las !guras 7 y N.
8[N
La ariana de un punto dentro de unolu+en
Ahora veremos la forma de evaluar la varianza de
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
186/313
$loques dado el variograma de las muestras.
/in perdida de generalidad, los soportes sern
llamados y V. /i los datos estuvieran en 9D3, stos
corresponderan a volFmenes, si estuvieran en :D3,
corresponderan a reas, y en 8D3, podran tratarse de
lneas =testigos?, o $ien, adimensionales1 puntos.
8[4
La ariana de un punto dentro de unolu+en
En nuestro modelo, la varia$le en estudio se
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
187/313
considera como una realizacin z=&? de una funcinaleatoria R=&?.
VC
8[
La ariana de un punto dentro de unolu+en
/i todos los valores dentro del volumen +
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
188/313
estuvieran disponi$les, sera posi$le encontrar lamedia de este volumen, as como la varianza de los
valores dentro de este volumen.
'a media es V
C
8[[
1( )*
*m z $ d$
*=
La ariana de un punto dentro de unolu+en
3el mismo modo, la varianza de los valores dentro
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
189/313
del volumen + queda dada por
Aqu 5 indica un punto, es
decir algo con volumen cero.
VC
8[M
2 21(&< ) ( ) %**
? * z $ m d$*
=
/i de%amos que la realizacin vare, la varianza de
La ariana de un punto dentro de unolu+en
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
190/313
z=&? dentro de + se o$tiene como el valor esperado des:=5^+? so$re todas las realizaciones posi$les.
/e puede demostrar que esta variacin est
relacionada con el variograma por la frmula.
8M5
2 2(& $ ) (& $ )%* ( ? * =
( )22
1& < ( )* $ y d$dy*
=
Esta integral corresponde al promedio o$tenido de
La ariana de un punto dentro de unolu+en
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
191/313
la variacin de & e y de forma independiente en todoel volumen +. #or consiguiente, esta varianza
denotada por =+, +?, corresponde a
En la prctica =+, +? se calcula al discretizar el
$loque + en tantos puntos como se desee.
8M8
( )2 & < ( , )* * * =
Variana de dentro de V
)onsideremos ahora una nueva funcin aleatoria
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
192/313
de!nida como el promedio espacial dentro de unvolumen v.
8M:
Variana de dentro de V
El o$%etivo es el de encontrar la dispersin de esta
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
193/313
nueva varia$le Rv=&? mientras se mueve dentro de unvolumen de +, mayor.
8M9
Variana de dentro de V
2picamente v podra representar un tramo de
tstigo mientras que + podra ser un $loque o $ien v
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
194/313
y
8M7
tstigo, mientras que + podra ser un $loque, o $ien v
podra ser una unidad de seleccin minera y + podra
ser todo el depsito.
( )
1( ) ( )*
v $ $ y dy
v=
1( )*
*m z $ d$
*=
2 21( $ ) ( ) %v **
? v * z $ m d$*
=
Variana de dentro de V
2 21( $ ) ( ) %v * ( z $ m d$ =
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
195/313
Esta es igual a
o sea
8MN
( $ ) ( ) %v **
v * ( z $ m d$*
=
2
2 2
1 1
( $ ) ( ) ( )* * vvv * $ y d$dy $ y d$ dy* v =
2 ( $ ) ( , ) ( , )v * * * v v =
'a com$inacin de los resultados de las ecuaciones
"elaci/n de aditiidad de rige
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
196/313
y
entrega como resultado la llamada relacin
aditividad o relacin de -rige.
8M4
2 (& < ) ( , )* * * =
2 2 2( < ) ( , ) ( , ) (& < ) (& < )v * * * v v * v = =
2 ( < ) ( , ) ( , )v * * * v v =
Esto puede generalizarse a tres volFmenes
"elaci/n de aditiidad de rige
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
197/313
cualquiera1 v, + y +C, donde
#or e%emplo, v podra ser un tramo de testigo de unsonda%e, + un $loque y +C un gran panel o todo el
depsito. En este caso la frmula podra interpretarse
como Gla varianza de un tramo de testigo en el
depsito es igual a la varianza del testigo en el
$loque, ms la varianza de un $loque en el depsitoH.
8M
2 2 2( < ') ( < ) ( < ')v * v * * * = +
' =v * *
"elaci/n de aditiidad de rige
2 (& $ ) ( , )* * * =
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
198/313
8M[
2 ( $ ) ( , ) ( , )v * * * v v =
2 2 2( $ ) (& $ ) (& $ )v * * v =
2 2 2(& $ ) (& $ ) ( $ )* v v * = +
2 2 2( $ ) ( $ ) ( $ )v * v * * * = +
Ahora, compro$emos e&perimentalmente lo
"elaci/n de aditiidad de rige
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
199/313
planteado con los datos del e%ercicio en revisin.
En este caso v corresponder a los $loques de 8m &
8m mientras que + corresponder a los $loques de
:m & :m.
8MM
emos visto que
"elaci/n de aditiidad de rige
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
200/313
El valor de puede ser calculado en forma
e&perimental como la varianza de los cuatro $loques
pequeJos =v? por cada cada $loque grande =+?, lo que
da 85[:7.
y que
:55
2 21 1( < ') 2;>>>$v * = =
2 2
2 2( < ') 1??2&$* * = =
2 ( < )v *
"elaci/n de aditiidad de rige
Es fcil compro$ar que este valor es igual a :777
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
201/313
3e hecho, esto es cierto para todos los casos en
que los $loques pequeJos =v? cu$ren e&actamente el
tamaJo del siguiente $loque
844:5, y que por tanto satisface la relacin deaditividad.
:58
2 ( $ ) ( , ) ( , )v * * * v v =
2
( $ ) 2;>>> 1??2& 1&82>v * = =
A%ALI#I# DE
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
202/313
VA"IA%A DE EHTE%#I)%
3
VA"IA%A DE E#TI'AI)%.
:5:
Del +odelado de la estructura espaciala la esti+aci/n
2res preguntas de inters fundamental en
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
203/313
*eoestadstica1)onocido el variograma calculado a partir de las
muestras, nos preguntamos1
b)mo calcular la varianza del error de estimacin
de un punto, un $loque, o dominio, mediante una
com$inacin lineal de los valores de las muestras_
b)mo calcular la varianza de dispersin de un
soporte de mayor que el soporte de las muestras_ b)mo calcular el variograma de la varia$le
regularizada a un soporte myor_
:59
Dos +odelos de funciones aleatoriasC&.A.
Luncin Aleatoria estacionaria de orden :
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
204/313
'a esperanza y la covarianza e&isten y son
estacionarias1
:57
( )( $ m =
( ) ( ) ( ),Cov $ $ " C " + =
( ) ( )&C *ar $ =
Dos +odelos de funciones aleatoriasC&.A.
L.A. estacionaria de orden : =continuacin?
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
205/313
'a covarianza es simtrica
3esigualdad de /chUarz
'a varianza de una com$inacin lineal cualquiera
:5N
( ) ( )C " C "=
( ) ( )&C " C
( ) ( )1 1 1
n n n
i i i ! i !
i i !
*ar $ C $ $ = = =
=
Dos +odelos de funciones aleatoriasC&.A.
Luncin Aleatoria intrnseca
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
206/313
los incrementos XR=&Zh? R=&?Y son estacionarias
de orden : y de esperanza nula E XR=&Zh? R=&?YT
5 +ariograma
en el
origen
:54
( ) ( ) ( )1
2" *ar $ " $ = +
( ) ( ) ( )( )21
2
" ( $ " $ = +
( ) &" =
Dos +odelos de funciones aleatoriasC&.A.
Luncin Aleatoria intrnseca =continuacin?
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
207/313
'a varianza de una com$inacin lineal autorizada
con
:5
( ) ( )1 1 1
n n n
i i i ! i !
i i !
*ar $ $ $ = = =
=
1
( )n
i i
i
= .
1
&n
i
i
=
=
o+paraci/n entre estacionaria eintr0nseca
\na funcin aleatoria estacionaria es igualmente
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
208/313
intrnseca si su variograma tiene meseta
'a varianza estacionaria
regula la dispersin de la varia$le alrededor de la
media constante
:5[
( ) ( ) ( ){ }2
&C *ar $ ( $ m = =
( )m ( $ =
o+paraci/n entre estacionaria eintr0nseca
A cada covarianza est asociado un variograma
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
209/313
+ariograma )ovarianza
:5M
( ) ( ) ( )&" C C " =
o+paraci/n entre estacionaria eintr0nseca
/i el variograma tiene meseta, la funcin( )"
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
210/313
aleatoria es estacionaria, de covarianza )=h? talque1
/i el variograma no tiene meseta, lacovarianza correspondiente no e&iste. El
variograma es una herramienta estructural ms
general que la covarianza.
:85
( ) ( ) ( )&" C C " =
( )"
o+paraci/n entre estacionaria eintr0nseca
\na funcin aleatoria estacionaria es tam$in
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
211/313
intrnseca pero una funcin aleatoria intrnseca noes necesariamente estacionaria.
:88
R=+? estimada por R=v? =o viceversa?
Variana de esti+aci/n
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
212/313
)aso de una L.A. estacionaria de esperanza m y de
covarianza )=h?
:8:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )22
( * v ( * m v m =
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2
2 o ,( * v ( * m ( v m C * v = +
( ) ( ) ( ) ( )( )2 ,*ar * *ar v Cov * v+
( ) ( ) 22( ( * v =
Variana de esti+aci/n
)lculo de la varianza de R=+?
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
213/313
:89
( ) ( ),*ar * C * * =
( ) ( )( )2
1
**ar * ( $ m d$
*
=
( ) ( )( ) ( )( )1 1
* **ar * ( $ m d$ t m dt
* *
=
( ) ( )( ) ( )( )21
* **ar * ( $ m t m d$ dt
*
=
( ) ( )2
1
* *
*ar * C $ t d$ dt
*
=
)lculo de la covarianza entre R=+? y R=v?
Variana de esti+aci/n
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
214/313
:87
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1
,* v
Cov * v ( $ m d$ t m dt * v
=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1
,* v
Cov * v ( $ m t m d$ dt *v
=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1
,* v
Cov * v ( $ m t m d$ dt *v
=
( ) ( )( ) ( )1
, * vCov * v C $ t d$ dt *v= ( ) ( )( ) ( ), ,Cov * v C * v=
R=+? estimada por R=v?
Variana de esti+aci/n
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
215/313
En variograma, caso de una L.A. intrnseca
:8N
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
2 ,( * v *ar * *ar v Cov * v = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
, , 2 ,( * v C * * C v v C * v = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 , , ,( * v * v * * v v =
Estimacin de R=+? a travs de una com$inacin
Variana de esti+aci/n
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
216/313
lineal de muestras puntualescon
+arianza del error de estimacin
:84
( )* ( )i ii
* = . 1ii
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
* * *2 ,( * * *ar * *ar * Cov * * = +
+arianza del estimador R`=+?
Variana de esti+aci/n
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
217/313
)ovarianza entre R=+? y R`=+?
:8
( ) ( )*1 1
n n
i ! i !
i !
*ar * C $ $ = =
=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )*1
1,
n
i i*
i
Cov * * ( t m dt $ m*
=
=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )*1
1,
n
i i*
i
Cov * * ( $ m t m dt *
=
=
( ) ( )( ) ( )*1
, ,n
i i
i
Cov * * C $ * =
=
Estimacin de R=+? por la media de n muestras
Variana de esti+aci/n
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
218/313
+arianza del error de estimacin
+arianza del error de estimacin =con variogramas?
:8[
( )*1
( )n
i i
i
* =
= .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
*
1 1 1
, 2 ,n n n
i ! i ! i i
i ! i
( * * C * * C $ $ C $ * = = =
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
*
1 1 1
2 , ,n n n
i i i ! i !
i i !
( * * $ * * * $ $ = = =
=
'a varianza del error de estimacin depende de1
Variana de esti+aci/n
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
219/313
el soporte + de la varia$le a estimar, el soporte v de la varia$le medida,
de la posicin relativa de + y v
y de la estructura espacial
Ko depende ni de R=+? ni de R=v?, lo que permite
optimizar la malla de e&ploracin.
:8M
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
, , ,( * v * v * * v v =
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
220/313
45+ @A.
comportamiento espacial en con!unto
-
+ariograma )ruzado
/i R, W son funciones aleatorias estacionarias o intrnsecas, el variogramacruzado de ellas se de!ne como 1
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
221/313
#ara su estimacin se utiliza el variograma cruzado e&perimental
))%()(())()('(2
1)( "$-$-"$$("
- ++=
( )
))()(())()((
2
1)(* !i
"$$
!i- $y$y$z$z
"N
"!i
= =
+ariograma )ruzadoDpropiedades
8? ( ) && =
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
222/313
8?
:?
9? )l +ariograma cru,ado es una !uncin simtrica
7?
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
223/313
El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente decada uno de los variogramas individuales
)onsecuencias1
El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor queel cuadrado del sill del variograma cruzado
( ) ( ) ( )""" -- 2
-- ??? 2
+ariograma )ruzadoDpropiedades
7? odelo lineal de coregionalizacin
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
224/313
modelos de variogramas
#ermite modelar en forma consistente el variograma cruzado y losvariogramas individuales
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )"'"'"'"
"v"v"v"
"u"u"u"
mm-
mm-
mm
+++=
+++=
+++=
2211
2211
2211
&>!u &>!v &2 > !!! 'vu
m!! ,,1, =
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
225/313
45+ ./ B@646/
46.4.
Modelando el comportamiento
espacial de %acies
%
Lunciones (ndicadoras
'a funcin indicadora de la facies%se de!ne como
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
226/313
/i se considera la facies %como un con%unto aleatorioentonces su funcin indicadora esuna funcin aleatoria que puede ser estacionaria o no.
En lo sucesivo asumiremos que la funcin indicadora de%es estacionaria
( )
=
nosi
%$si
$%
&
1
1
( ) ( ) ( )( ) 2112
1$"$(" %%% +=
Lunciones (ndicadoras
#ropiedades
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
227/313
8?
:?
)l sill de +ariogramas de !unciones indicadoras no puede ser ma'ora5.N
9?
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
228/313
En particular
0onsecuencia 1
\n variograma con comportamiento en el origen de laforma
no puede ser el variograma de una funcin indicadora
( ) ( ) ( )2121 """" %%% ++
( ) ( )""%%
22
1>p" p
Lunciones (ndicadoras
N?
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
229/313
1
2
( ) )( %"$y%$@"%
+=
Distancia
Variograma
Otras medidas e6erimentales ara medir la %ariabilidad9continuidad esa
:;< !emi%ariograma =
)(
2)(
)(*2
1)(
"N
iyiz"N
"
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
230/313
=;< !emi%ariograma cruzado
>;< Co%ariograma
?;< Correlograma
=1
)(2i
"N
=
=
)(
1
)')('()(*2
1)(
"N
i
iyiyiziz"N
"zy
=
=
)(
1
)()(
1)(
"N
i
ym$miyi$"N
"C
y$
"C"
)(
)( =
@;< !emi%ariograma general relati%o2)
2(
1)()(
ym$m
"".#
+=
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
231/313
A;< !emi%ariograma relati%o de are.a
B;< !emi%ariograma de logaritmo
;< !emimadograma
= =)(
1
2))ln()(ln()(*2
1)(
"N
i
iyi$"N
"L
=
=
)(
1)(*2
1)(
"N
i
iyi$"N
"M
= +
=
)(
1 2)2
)((
2)(
)(*2
1)(
"N
i iyi$iyi$
"N"@#
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Estrategia de'odela+iento
"E&@HaierE+er1
Anisotrop0as C:
EKe+plo de aKuste
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b)ul es el modelotridimensional_
)m18&(esf>29e#139&)(este += /)m1&&(esf:>9e#139&)(norte += /
)m8&(esf;29e#139&)(ertical += /
Anisotrop0as C;
'odelo tridi+ensional
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Z 5.8:esf=?
Z 5.8[esf=?
Z 5.8[esf=?
Veri,caci/n1 la suma de las mesetas vale
5.89 Z 5.7: Z 5.8: Z 5.8[ =5.[N =meseta total
)m18&(esf>29e#139&)(este += /
)m1&&(esf129&)m1&&(esf>29e#139&)(norte ++= /
)m8&(esf189&)m8&(esf129&)m8&(esf>29e#139&)(ertical +++= /
)m8&,,(esf189&)m8&,m1&&,(esf129&
)m8&,m1&&,m18&(esf>29e#139&)(
+++= /
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Relacin de rigen
arianza de un punto en un volumen
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i todos los valores de z(!) en el interior de el
olumen estuvieran disponile nosotros podramos
calcular
E
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/ desi#na un puntoEl muestreo puntual es soporte de volumen nulo
= * * d$m$z*
*A? 22 %)(1
)$(
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i ahora nosotros estudiramos todas las realizaciones
De A (!)
Esta es la llamada varianza de un punto en un volumen,onocida como varianza de dispersi*n de un punto en el
olumen
e puede demostrar
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Esta es la funci*n leatoria 7 media espacial de la funcion
leatoria A (8) sore el volumen v (!)
8
= )( )(1
)($v*
dyyv
$
d$$z*
m** = )(
1
= * *v d$m$z*
*v? 22 %)(1
)$(
+a varianza de dispersi*n de v en
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Esta es i#ual a
sea
= * *v d$m$z*
(*v }%)(1
{)$( 22
=* vv*
d$dyy$v
d$dyy$*
*v )(1
)(1
)$(22
2
),(),()$(2 vv***v =
2elaci*n de aditividad de "ri#e
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),()$(2 ***v =
),(),()$(2 vv***v =
)$()$()$( 222 vA*A*v =
)$()$()$( 222 *vvA*A +=
)$()$()$( 222 ***v*v +=
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Varianza de blo&ue - %arianza de disersi
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0omo entender
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/i pensamos que conocimos todas las realizaciones deR=& ?
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2endremos la varianza de un punto en un volumenllamada
Varianza de disersin de un unto en un%olumen
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3iscusin de varianza de dispersin y e&tensin
'a varianza de dispersin es el promedio de las varianzas dee&tensin
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'a varianza de dispersin es el promedio de las varianzas dee&tensin)uando v toma todas las posiciones posi$le en +
a varianza de estimacin disminuye cuando la muestra v devieneas representativa del dominio + a estimar
a varianza de estimacin disminuye cuando el variograma es mas regularla varia$le es mas continua ?
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Plan de tra#a%o
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Plan de tra#a%o
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Verdader
a Es/i0ada
i I %"I(, %"0(, %I"0I(,
1 5 6 1 0 1
2 ) 6 1 4 1
3 6 4 4 1 1
4 2 4 4 ( 1
5 5 5 0 0 0
s*m+ 25 25 10 14 4
s*m+5 5 5 2 2.8 0.8
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i
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rigeage
riging
rigea.e-
rigea.e1 interpolador de la geoestadstica& "ue
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g . p g & "s utili,a los anlisis estructural-
Inicialmente& Mat?eron denomin a esta tcnica
rigeage$en !rancs( "ue en ingles se con+ierteen riging' en espaol se escri#e rigea.e-)ste trmino "ue tiene su origen en el apellido deD-G- >rige& reconociendo de esta !orma su aporte-
)l rigea%e es una tcnica de estimacin
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)l rigea%e es una tcnica de estimacin"ue proporciona el me%or estimador linealimparcial $C2B)& en ingles& Cest 2inearBn#iased )stimator(& $Sc?aug et al-&5HH90?ristensen et al-&5HH9 #aso+ et al-&5HHJ(&
dems proporciona una error de
estimacin conocido como %arianza deE i . d d d l d l d
http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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es ac co oc do co oErigea.e"ue depende del modelode+ariograma o#tenido ' de laslocali,aciones de los datos originales
$rmstrong ' 0arignan& 5HHK ournel 'Lui%#regts& 5HK Da+id& 5HKK #aso+ etal-& 5HHJ(- )sto #rinda la posi#ilidad de?acer anlisis so#re la calidadde lasestimaciones $eerts ' Cierens& 5HH9Laas& 5HH8(-
)n trminos mineros& el pro#lema de
http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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& prigea%e consiste en encontrar la me%orestimacin lineal posi#le del contenidomineral de un panel& teniendo en cuenta lain!ormacin disponi#le& mediciones "ue?an sido o#tenidas tanto en el interiorcomo e*ternamente al panel "ue se desea
estimar-
)l rigea%e consiste en e!ectuar unaponderacin es decir atri#uir un peso a
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g %ponderacin& es decir& atri#uir un peso acada +alor o#ser+ado& los pesos soncalculados de manera "ue minimice la
+arian,a de estimacin resultante&teniendo en cuenta las caractersticasgeomtricas del pro#lema $Mat?eron&5HKJ(- l minimi,ar la +arian,a deestimacin se garanti,a el uso ptimo de lain!ormacin disponi#le $O?ang& 5HH(-
2a geoestadstica e*ige como primera etapa' !undamental el conocimiento del
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g g p p' !undamental el conocimiento delcomportamiento estructural de lain!ormacin& es decir& se de#e contar
adems& con el modelo de semi+ariogramaterico "ue re3e%e /elmente lascaractersticas de +aria#ilidad ' correlacinespacial de la in!ormacin disponi#le&discutido anteriormente-
)n el caso minero& particularmente& por la!orma en "ue se presenta la in!ormacin&de estar condicionada en una direccin
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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por di+ersos parmetros $7i+oirard 'Gui#lin& 5HHK(& se de#e o#tener modelos
de +ariogramas +erticales ' ?ori,ontales&el primero& "ue caracteri,a la correlacinespacial en esta direccin& es decir atra+s de los estratos& ' el segundo en los
estratos& o#tenindose un modelocon%unto para la estimacin de #lo"ues$Pan ' ri& 5HH9 rmstrong ' 0arignan&5HHK(-
2os #lo"ues a estimar son de/nidos condimensiones con+enientes a la unidad de
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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"dimensiones con+enientes a la unidad deseleccinminera& teniendo en cuenta elespaciamiento entre muestras ' el alcance
estructural& es decir& la distancia ?asta la cuallas muestras se encuentran correlacionadasespacialmente- 2as ecuaciones del rigea%e seo#tienen entonces de acuerdo las ?iptesisde
la geoestadstica "ue de#en ser asumidas '+eri/cadas como 'a se indic-
:eniendo en cuenta las ?iptesis de lageoestadstica se pueden o#tener las
http://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtml7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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pgeoestadstica se pueden o#tener lasecuaciones del rigea%e para los siguientescasos1 !uncin aleatoria estacionaria de
esperan,a nula o conocida& mtodo conocidocomo >rigea%e Simple& para una !uncinaleatoria estacionaria de esperan,adesconocida& ' una !uncin aleatoria
intrnseca& mtodo conocido para los dosltimos casos como >rigea%e =rdinario-
)*isten cuatro >rigeage un +aria#le
5-6>rigeage Simple 1
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g g pmedia
conocida
8-6>rigeage ordinario 1 rigeage de la media 1
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Utilizar el onderador de 3agrange ara minimizar
2inimizar la %arianza
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#ntrega un sistema de ecuacionesllamadas sistema del rigeage
-rigeage/ea
V V
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V VV
d d-..
R`0 =&? T j R =V? Z j R =V?
a?Esta$lecer /istema -rigeage.
8.D Es un estimador lineal
R`0 =&? T j R =V? Z j R =V?
:.D Es insesgadok XR`=&?Y T k XR =&?Y
X = ? = ?Y
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k XR`=&? D R =&?Y T 5
k Xj R =V? Z j R =V? D R =V?Y T 5
j m Z j m m T 5
j Z j T 8
9.D +arianza de estimacin =+arianza del error?Blue1 Best 'inear un$iased estimate+A< =R` R ? +A< =j R j R R ?
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+A< =R` D R? T +A< =j R Z j R D R?
+A< =R? T D ji j% =Vi D V%?
+A< = Ri? T DXZ j j D j j D j j D j j Z j j Z j j D j j Z j j
Z j j Y
T Dj D j D j D : j j Z :j j
Z : j j
i T5
:
#ero j T 8
T j j : j j Z : j
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T Dj D j D D : j j Z : j Z : j
ji j% =Vi V%? : ji =Vi D V? =V DV?
T +A< XR` D RY : = ji 8?
T D j =5? : j j =:d? D j =5? Z :j =d?
Z : j =d? : =j Z j D 8?
: : :
i T8
%T 8 i T8
I T D: =j Z j D8? T 5
j Z j T 8
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I j T D: j =5? : j =:d? Z : =d?
: T 5j =5? Z j =:d? Z T =d?
I j T D: j =:d? : j =5? Z : =d? : T 5j =:d? Z j =5? Z T =d?
j =:d? Z T =d?
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j =:d? Z T =d?
j Z j T 8
j T j T
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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T =d? D j =:d?
T =d? =8I:? =:d?
rigeage untual F2inimizar la %arianza
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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)ste es el sistema de >rigeage
rigeage *untual
Varianza del Erigeage
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rigeage de blo&ue
7/23/2019 Apunte de geoestadistica
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