NOTAS III
December 15, 2014
En topologa uno de los problemas principales consiste en
determinar cuandodos espacios topolgicos son o no homeomorfos.
Demostrar que dos espaciosson homeomorfos consiste en encontrar una
funcin f continua de un espacioX en Y , es decir f : X Y , tal que
f tenga una inversa continua. Pero laconstruccin de dichas
funciones no siempre es sencillo. Si se desea demostrarque dos
espaciosnoson homemorfos consiste en demostrar que no existe
ningunafuncin continua con inversa continua entre ambos espacios.
Si encontramosuna propiedad topolgica verificada por uno de los
espacios pero no por el otro,entonces el problema queda resuelto y
por tanto los espacios no pueden serhomemorfos.
Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] no puede ser homeomorfo
al intervaloabierto (0, 1) ambos provistos de la topologa usual,
porque el primer espacioes compacto y el segundo no. Tambin sabemos
que los espacios eucldeos R yR2 no pueden ser homeomorfos, porque
si se elimina un punto de R2 el espacioresultante sigue siendo
conexo, pero ste no es el caso si se priva a R de unpunto.
En el curso de Topologa I impartido en la facultad se estudian
las propiedadestopolgicas de compacidad, conexidad, metrizabilidad,
numerabilidad, entreotras cosas; y en generarl no son siempre las
ms apropiadas para determi-nar una equivalencia entre dos espacios.
Por ejemplo, no podemos demostrarque R2no es homeomorfo a R3.
Ahora consideremos la esfera S2 := {(x, y, z) R3 | x2+y2+z2 =
a2, a R};sabemos que este espacio es compacto, conexo y admite una
mtrica.
Analogamente sucede con el Toro T2 que se puede definir como el
cociente de[0, 1]2, por la relacin de equivalencia (0, t) (1, t) y
(t, 0) (t, 1), si 0 t 1
Figure 1:
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