NOTAS III December 15, 2014 En topología uno de los problemas principales consiste en determinar cuando dos espacios topológicos son o no homeomorfos. Demostrar que dos espacios son homeomorfos consiste en encontrar una función f continua de un espacio X en Y , es decir f : X → Y , tal que f tenga una inversa continua. Pero la construcción de dichas funciones no siempre es sencillo. Si se desea demostrar que dos espaciosnoson homemorfos consiste en demostrar que no existe ninguna función continua con inversa continua entre ambos espacios. Si encontramos una propiedad topológica verificada por uno de los espacios pero no por el otro, entonces el problema queda resuelto y por tanto los espacios no pueden ser homemorfos. Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] no puede ser homeomorfo al intervalo abierto (0, 1) ambos provistos de la topología usual, porque el primer espacio es compacto y el segundo no. También sabemos que los espacios euclídeos R y R 2 no pueden ser homeomorfos, porque si se elimina un punto de R 2 el espacio resultante sigue siendo conexo, pero éste no es el caso si se priva a R de un punto. En el curso de Topología I impartido en la facultad se estudian las propiedades topológicas de compacidad, conexidad, metrizabilidad, numerabilidad, entre otras cosas; y en generarl no son siempre las más apropiadas para determi- nar una equivalencia entre dos espacios. Por ejemplo, no podemos demostrar que R 2 no es homeomorfo a R 3 . Ahora consideremos la esfera S 2 := {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 +y 2 +z 2 = a 2 ,a ∈ R}; sabemos que este espacio es compacto, conexo y admite una métrica. Analogamente sucede con el Toro T 2 que se puede definir como el cociente de [0, 1] 2 , por la relación de equivalencia (0,t) ∼ (1,t) y (t, 0) ∼ (t, 1), si 0 ≤ t ≤ 1 Figure 1: 1
En topologa uno de los problemas principales consiste en
determinar cuandodos espacios topolgicos son o no homeomorfos.
Demostrar que dos espaciosson homeomorfos consiste en encontrar una
funcin f continua de un espacioX en Y , es decir f : X Y , tal que
f tenga una inversa continua. Pero laconstruccin de dichas
funciones no siempre es sencillo. Si se desea demostrarque dos
espaciosnoson homemorfos consiste en demostrar que no existe
ningunafuncin continua con inversa continua entre ambos espacios.
Si encontramosuna propiedad topolgica verificada por uno de los
espacios pero no por el otro,entonces el problema queda resuelto y
por tanto los espacios no pueden serhomemorfos.
Por ejemplo, el intervalo cerrado [0, 1] no puede ser homeomorfo
al intervaloabierto (0, 1) ambos provistos de la topologa usual,
porque el primer espacioes compacto y el segundo no. Tambin sabemos
que los espacios eucldeos R yR2 no pueden ser homeomorfos, porque
si se elimina un punto de R2 el espacioresultante sigue siendo
conexo, pero ste no es el caso si se priva a R de unpunto.
En el curso de Topologa I impartido en la facultad se estudian
las propiedadestopolgicas de compacidad, conexidad, metrizabilidad,
numerabilidad, entreotras cosas; y en generarl no son siempre las
ms apropiadas para determi-nar una equivalencia entre dos espacios.
Por ejemplo, no podemos demostrarque R2no es homeomorfo a R3.
Ahora consideremos la esfera S2 := {(x, y, z) R3 | x2+y2+z2 =
a2, a R};sabemos que este espacio es compacto, conexo y admite una
mtrica.
Analogamente sucede con el Toro T2 que se puede definir como el
cociente de[0, 1]2, por la relacin de equivalencia (0, t) (1, t) y
(t, 0) (t, 1), si 0 t 1
